2012年高考数学 冲刺60天解题策略 专题八 运用数学思想方法解题的策略...

a + 3 (a ? 1) 2 + 5(a ? 1) + 4 4 = = (a ? 1) + +5 ≥ 9， a ?1 a ?1 a ?1 4 ， a = 3 时等号取得. a ?1
当且仅当 a ? 1 =
方法二（看成不等式的解集）
Q a, b 为正数，∴ a + b ≥ 2 ab ，又Q ab = a + b + 3 ，
cos 2 θ ? m cos θ + 2m ? 2 > 0
令 t = cos θ ， θ ∈ [0,
π
2
] ，∴ t ∈ [0,1] .
2
于是问题转换为对一切的 t ∈ [0,1] ，不等式 t ? mt + 2m ? 2 > 0 恒成立，
∴ ab ≥ 2 ab + 3 ， ( ab )2 ? 2 ab ? 3 ≥ 0 ， 即 解得 ab ≥ 3 或 ab ≤ ?1 （舍
去） ，
∴ ab ≥ 9
（2）由 f ( x ) 是 R 上的奇函数可得 f (0) = 0 ，再利用 f ( x ) 的单调性，则可把 原不等式转换成 为关于 θ 的三角不等式，f ( x ) 是 R 上的奇函数， 又在 [0, + ∝) 上是增函数，故 f ( x ) 是 R 上为增函数.
Q ab = a + b + 3 ，∴ b =
又a > 0，
a+3 a+3 ，而 b > 0 ， ∴ > 0 ，即 a > 1 或 a < ?3 ， a ?1 a ?1
即
∴a > 1
，
a ?1 > 0
，
Q ab = a ?
设 k = x 2 + y 2 ，则 y 2 = k ? x 2 ，代入已知等式得： x ? 6 x + 2k = 0 ，
2
即k = ?
1 2 x + 3 x ，其对称轴为 x = 3 ，由 0 ≤ x ≤ 2 ，则得 k ∈ [0, 4] ， 2
所以 x 2 + y 2 的范围是 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 . 易错点： 易错点：忽视参数 k 的取值范围 ，将解得范围扩大； 变式与引申 3：设两个向量 a = (λ + 2, λ 2 ? cos2 α ) 和 b = (m, 数.若 a = 2b, 则 A. [ ?6,1]
易错点： 易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究； （2）由已知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到 θ 和 m 的不等式；错误理解自变 量只为 x ，不能把问题转换为 θ 和 m 的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来 研究 m 的取值， 并且容易把问题看成是 t 关于 m 的不等式问题， 从而用根的 分布来解决此 问题，较为繁琐，容易出错. 变式与引申 2：已知函数 f ( x) = x ? 2ax .
点拨： 点拨：在解答问题时，正难则反是转换的一种有效手段，问题的反面是存在一条弦能被直线
用心 爱心 专心 3
y = m( x ? 3) 垂直平分，解出问题反面 m 的范围，则原问题就出来了 .
解：假设抛物线上两点 ( x1 , x1 ), ( x2 , x2 ) 关于直线 y = m( x ? 3) 对称，显然 m ≠ 0 ，于是
Q f (cos 2θ ? 3) + f (4m ? 2m cos θ ) > f (0) = 0 ∴ f (cos 2θ ? 3) > f (2m cos θ ? 4m)
Q
f ( x) 是 R 上 的 增 函 数 ， ∴ cos 2θ ? 3 > 2m cos θ ? 4m 即
范围． 本节主要考查： （1）等价转换思想在解题中的应用，几种常见的等价转换思路； 本节主要考查： （2）数形结合思想、方程思想、等价转换思想以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本 数学能力. 点评： 点评：等价转换是把未知解的问题转换到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思 想方法，通过不断的转换，把不熟悉、不规范、复杂的问题转换为熟悉、规范甚至模式法、 简单的问题，不断培养和训练自觉的转换意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力， 提高思维能力和技能、技巧，等价转换要求转换过程中前因后果是充分必要的，才保证转换 后的结果仍为原问题的结果， 等价转换思想方法的特点是具有灵活性和多样性， 在应用等价 转换的思想方法去解决数学问题时， 没有一个统一的模式去进行， 它可以在数与数、 形与形、 数与形之间 进行转换；它可以在宏观上进行等价转换，如在分析和解决实际问题的过程中， 普通语言向数学语言的翻译； 它可以在符号系统内部实施转换， 即所说的恒等变形， 消去法、 换元法、数形结合法、 求值求范围问题等等，都体现等价转换思想， 更是经常在函数、方程、 不等式之间进行等价转换， 可以说， 等价转换是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持 命题的真假不变，由于其多样性和灵活性，要合理地设计好转换的途径和方法，避免死搬硬 套题型，在数学操作中实施等价转换时，要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则， 即把遇到的问题，通过转 换变成比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题， 变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或 者比较难以解决、 比较抽象的问题， 转换为比较直观的问题， 以便精确把握问题的求解过程， 比如数形结合法； 或者正面难， 则从反面进行转换， 即反证法， 按照这些原则进行数学操作，
∴ t 2 ? 2 > m(t ? 2) ，即 m >
t2 ? 2 恒成立. t?2
用心 爱心 专心 2
又Q
t2 ? 2 2 = (t ? 2) + +4≤ 4?2 2 t ?2 t?2
∴m > 4 ? 2 2
∴ 存在实数满足题设的条件， m > 4 ? 2 2 .
1 . 4 r r r r r r r r （2）构造向量 a = (1,1), b = (sin x, 1 + cos 2 x ), 则 | a |=| b |= 2 ，由 | a ? b |≤| a || b | 知，
r r r r | y |=| sin x + 1 + cos 2 x |=| a ? b |≤| a || b |= 2 ，
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运用数学思想方法解题的策略
等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想， 将复杂的问题等价转换为简单的问题， 将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题， 将未 解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生 要有较强的等价转换意 识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想， 难度值一般控制在 0.3 ? 0.7 . 考试要求： （1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则； （2）了解等价转换思 想在解题中的作用； （3）掌握等价转换的主要途径、方法； （4）掌握几种常见的等价转换思 路，灵活运用等价转换思想解决数学难题. 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换 题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换 1.（1）求 sin 20 + cos 80 + 3 sin 20 cos 80 的值; 例 1.
2 o 2 o o o
（2）求函数 y = sin x + 1 + cos 2 x 的最大值. 点拨: （2）将函数最值 点拨: （1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值； 问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出 y 最大值. （1）注意到所求式与余弦定理类似，由 解：
π
2
时 ， 是 否 存 在 这 样 的 实 数 m ， 使 f (cos 2θ ? 3) + f (4m ? 2m cos θ ) > f (0) 对 所 有 的
用心 爱心 专心
1
π θ ∈ [0, ] 均成立？若存在，求出所有适合条件的实数 m ；若不存在，请说明理由.
r
r
m + sin α ), 其中 λ , m, α 为实 2
r
r
λ
D. [?1, 6]
的取值范围是 ( ) m B. [4,8] C. (?∞,1]
题型四 正向与反向思考中的等价转换
2 例 4 .试求常数 m 的范围，使曲线 y = x 的所有弦都不能被直线 y = m( x ? 3) 垂直平分.
即 (2m + 1)(6m 2 ? 2m + 1) < 0 因为 6m ? 2m + 1 > 0 恒成立，所以 2m + 1 < 0 ，所以 m < ?
2
1 ， 2
1 时，抛物线上存在两点关于直线 y = m( x ? 3) 对称， 2 1 所以当 m ≥ ? 时，曲线 y = x 2 的所有弦都不能被直线 y = m( x ? 3) 垂直平分. 2
2
点拨: 点拨:(1)将一个等式转换为不等式，是求变量取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调 性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题. (2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题，由函数的单调性、奇偶性得出 关于 θ 和 m 的不等式，既然需求 m 的取值，不防把此问题转换为 m 关于 θ 的函数和不等式 的问题. 解：(1)方法一（看成函数的值域）
2 2
有
2 1 2 1 x12 ? x2 1 2 ( x1 + x2 ) = m[ ( x1 + x2 ) ? 3] ， =? 2 2 x1 ? x2 m