2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)极限2

lim[

]()()

x

x x

x a x b →∞

=-+

(A)1 (B)e

(C) a b e -

(D) b a e -

(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x

=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠则

z z x y x

y

∂∂+=∂∂

(A) x (B)z (C) x -

(D) z -

(3)设,m n 为正整数,

则反常积分0

⎰的收敛性

(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关

(C)与,m n 取值都有关

(D)与,m n 取值都无关

(4) 2

2

1

1

lim

()()

n

n

n i j n

n i n

j →∞

===++∑∑

(A)1

2

00

1(1)(1)

x dx dy x y ++⎰⎰

(B)

10

1(1)(1)

x dx dy x y ++⎰⎰

(C)

110

1(1)(1)

dx dy x y ++⎰⎰

(D)

112

1

(1)(1)

dx dy x y ++⎰

⎰

(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵,若AB E =，则

(A)(),()r A m r B m == (B)秩(),()r A m r B n ==

(C) (),()r A n r B m ==

(D) (),()r A n r B n ==

(6)设A 为4阶对称矩阵,且2

0A A +=若A 的秩为3,则A 相似于

(A)11

1

0⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

(B)11

1

0⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣

⎦

(C) 11

1

0⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣

⎦

(D) 11

1

0-⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎣

⎦

(7)设随机变量X 的分布函数0,01

(),012

1,1

x

x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎩，则{}1P X ==

(A) 0 (B) 1 (C)

1

12

e

-- (D) 11e --

(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,

12

(),0

()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,则,a b 应满足

(A)234a b += (B) 324a b += (C) 1a b += (D) 2a b +=

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设t

x e -=，2

ln(1)t y u du =

+⎰

，求

2

2

______t d y dx

==。

(10)2

________π

=⎰

。

(11)已知曲线L 的方程为1,[1,1]y x x =-∈-，起点是(1,0)-终点是(1,0) 则曲线积分2

_______L

xydx x dy +=⎰

(12)设{

}

22

(,,)1x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标______z =。

(13)设1(1,2,1,0)T α=-，2(1,1,0,2)T α=，3(2,1,1,)T

a α=若由123, , ααα形成的向量空

间的维数是2，则___a =

(14)设随机变量X 概率分布为()!

C P X k k ==

(0,1,2,)K = 则2

()____E X =。

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程322x

y y y xe '''-+=的通解. (16)(本题满分10分)

求函数2

2

21

()()x

t

f x x t e

dt -=

-⎰

的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较1

ln [ln(1)]n t t dt +⎰与1

ln (1,2,)n t t dt n =⎰ 的大小,说明理由。

(2)记1

ln [ln(1)],(1,2,)n

n u t t dt n =

+=⎰

求极限lim n n u →∞

。

(18)(本题满分10分)

求幂级数1

21

(1)

21

n n

n x

n -∞

=--∑

的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xo y 面垂直，

求P 点的轨迹C

，并计算曲面积分I ∑

=⎰⎰

其中∑是椭球面S 位于曲

线C 上方的部分.

(20) (本题满分11分)

设1

10

101

1

A λλλ⎡⎤⎢

⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11a b ⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

已知线性方程组A X b =存在两个不同的解. (1) 求,a λ；

(2) 求方程组A X b =的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型123(,,)T f x x x X AX =在正交变换X QY =下的标准形为22

12y y +且Q 的第

三列为(

0,

2

2

T

(1) 求A

(2) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2

2

22(,)x xy y

f x y Ae

-+-=，x -∞<<+∞，

y -∞<<+∞求常数A 以及条件概率密度()||Y X

f y x 。

(23)(本题满分11 分)

设总体X