3匀变速直线运动的速度、位移与时间的关系

§2．3 匀变速直线运动的位移与时间的关系一、设计思想本节课的教学任务拟用两个课时来完成。

第一课时的中心内容是匀变速直线运动的位移规律，以位移公式为载体，采用“导学式”的教学方法，让学生经历匀变速直线运动位移规律的探究过程，利用v-t 图象，渗透极限思想，得出“t v -图象与时间轴所围的面积表示位移”的结论，然后在此基础上让学生通过计算“面积”发现几道位移公式，培养学生的发散思维能力。

最后用实验方法对公式进行验证，培养学生科学的探究能力和严谨的科学态度。

第二课时是学习匀变速直线运动的位移与速度的关系，初步学会用匀变速直线运动的位移公式来解决实际问题，体验知识的应用。

二、教学设计流程图——设计思路花接木三、学情分析知识与技能 1、会推导at v v +=0，掌握匀变速直线运动的速度与时间的关系式及其应用.。

2、理解t v -图象与时间轴所围的面积表示位移。

3、能推导2021at t v x +=并掌握匀变速直线运动的位移与时间的关系式及其应用。

4、初步了解微积分的思想，从斜率——微分和面积——积分的角度了解微元法。

过程与方法1、了解类比推理、函数、微积分等数学思想方法在物理学中的应用。

2、渗透极限思想、微元法，体验用数学方法解决物理问题的高效、实用；匀速直线运动的图像 匀速直线运动的速度特点 分析上节小车运动图像 加速度不变匀变速直线运动的概念 通过理论推导或数形结合两种途径得出at v v +=0 理论结合实际—— 通过例题加深理解且学以致用 匀速直线运动的位移vt x =对应着t v -图象中的矩形面积 启发学生讨论匀变速直线运动的位移与其t v -图象有什么关系用例题来巩固通过实例推导位移与速度的关系式 用例题巩固位移公式、位移与速度的关系式 运用极限的思想通过t v -图象推导出位移公式3、通过推导速度、位移公式的过程，体验的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较.4、让学生初步了解科学探究、研究性学习的方法． 情感态度与价值观1、经历函数法、微元法等推导公式和，增强科学探究能力和动手动脑的能力，培养对物理、科学、数学的的思想方法的亲和力和热爱。

2、体验科学探究过程带来的成功和快乐，培养数学、科学的艺术之美的高尚情操。

教学重点1、推导at v v +=0、2021at t v x +=等并能从图像、函数的角度理解其意义. 2、初步掌握公式及其应用。

教学难点1、数形结合、微元法、极限等思想方法在实际问题中的应用。

四、教学设计教师活动学生活动引入新课上节课,同学们探究了小车的位移、速度随时间变化规律，这只是定性的，我们不能裹足不前、蜻蜓点水式一笔带过。

这节课我们将再接再励定量研究速度、位移与时间的关系,并从图像、函数角度看待“公式”，多管齐下，全方位、立体式全景展现物理、数学思想方法在科学研究中的应用。

下面请大家拿出上节课的“作品”：师：从图像上看，你能得到什么信息？请同学们发表各自见解，组内讨论，尝试表达，动手写下来。

一、速度与时间的关系除了图像外，我们还可以用公式表示物体运动的速度与时间的关系。

师：能否直接从图线结合数学知识得到速度与时间的关系式?请模仿直线方程的写出匀变速直线运动的速度与时间的关系式。

学生讨论生：t v -是一条倾斜的直线； 生：初始时刻的速度;o V t第一章讲述了匀变速直线运动中总共涉及到的五个物理 量，分别是t 、x 、a 、、v ，可分为两类，变量是x 、v 、t ，不变量是a 、0v .请指出下图中的初速度0v ，加速度a 分别是多少，且写出它们之间的函数关系。

从对于匀变速直线运动的最基本公式tv v t v v t v a 000-=--=∆∆=（这是“根”公式）出发， 变形得at v v +=0(没有x ，v 是t 的函数，即t v -)，也可以变形为at v v -=0、t v v a 0-=和a v v t 0-=三个公式。

说明： 1.这是个矢量式，解题时首先要规定正方向，这样才能确定0v 或加速度a 的方向，但规定哪一个方向是正方向， 不会影响结果（如末速度的方向）。

2.一般先写原式公式，再写变形公式，只要写 “终极单位”就可以了。

介绍：π与祖冲之（割圆术） 二、匀速直线运动的位移提问：做匀速直线运动的物体在时间t 内的位移与它的υ－t 图象有什么关系？提出问题的同时，用投影片出示匀速直线运动的υ－t 图象，并用淡红色标出矩形的形状，引导学生把位移与矩形的面积联系起来。

设问：对于匀变速直线运动，它的位移与它的υ－t 图象是不是也有类似的对应关系呢？我们在研究此问题之前，先请同学们阅读＂思考与讨论＂栏目，思考下列问题：１．你对学生Ａ的估算方法做一评价。

２．若时间间隔△t=0.04s ，位置０～５的位移x=？与△t=0.1s 求出的x 相比较，误差会怎样？若△t 取得更小呢？３．要提高估算的精确度，时间间隔小些好还是大生：at 在数值上等于t 时间内速度的变化量；生：a 在数值上等于单位时间内速度的变化量，1s 内速度就变化a 个单位，再乘以t 就是t -0时间内速度的变化量；生：at 再加上0v 就是t 时刻的速度了；生：直线方程是b kx y +=； 生：斜率k 就是加速度；生：任意一个速时刻的速度；生：综合起来，就是at v v +=0；学生推导生：因为匀变速直线运动的v-t 图像是一条倾斜的直线，所以v 与t 是线性关系。

或者说v 是t 的一次函数，应符合y ＝kx+b 的形式：其中k 是图线的斜率，在数值上等于匀变速直线运动的加速度。

b 是纵轴上的截距，在数值上等于匀变速直线运动的初速度v 0，所以v=v 0+at展示：从运动开始（这时0=t ）到时刻t ，时间的变化量0-=∆t t ,速度的变化量0v v v -=∆因为加速度tv a ∆∆=是一个恒量，所以tv v t v a 0-=∆∆=, 解出速度v , 得到at v v +=0.生：初始时刻的速度大约是0.6m/s; 生：加速度是22/5/25.0-45.05.1-5.2s m s m t v a ==∆∆=； 生：综合起来，就是at v v +=0；些好？为什么？教师针对学生回答的多种可能性加以评价和进一步指导。

教师从学生讨论的结果中归纳得出：△t 越小，对位移的估算就越精确。

提问：这种估算位移的思想怎样较为直观地描述出来呢？笔和纸画出匀速直线运动和初速度不为零的匀加速直线运动的υ－t 图象并写出位移公式。

引导学生简要回答位移表示的几何意义。

矩形S vt x ==意义：由匀速直线运动的公式vt x =得到矩形的 “面积”代表位移。

即t v -图像与t 轴所围成的 “面积”代表位移。

从初始时刻到t 时刻的时间间隔为t 。

取初始时刻质点所在的位置为坐标原点，则有t 时刻离原点的位置坐标x 与质点在0～t 一段时间间隔内的位移相同。

思考：我们就用υ－t 图象来研究位移和时间的关系。

三、匀变速直线运动的位移与时间的关系方法1：微元法无限分割累加逼近化梯形为无数个小矩形方法2：用纸带上打出的点模仿上一节课的“裁剪”的办法，看一看是什么形。

讨论得出方案1先把纸带根据要制作的复制几份，分别减去前0.1s 、0.2s 、0.3s 、0.4s 、0.5s从剪断，得到若干短纸条。

再把这些纸条并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐，作为时间坐标轴，标出时间。

最后将纸条上端中心连接起来，于是得到v-t 图像。

请你按以上办法（用一张薄纸压在图上，复制得到纸带）绘制这个图像。

学生画出另一种形式：用给出的下落运动的频闪照相图片(频闪时间间隔为1/10 s =0.1s )列表： 位置A B C D E F 时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 位移 0.542.18 4.90 8.71 13.61 19.602学生描绘画出匀速直线运动 ——列表、描点、连线.某同学用以上方式绘制小车的x-t 图像。

0.20.40.60.80.20.40.60.810.20.40.60.80.20.40.60.81υ／（m ·s -2）t/st 0 υ师：上一节“剪拼”纸带而得到的“条形图”图形T x n -并不是严格意义上的位移——时间图像，因为它是连续相等的时间间隔T 内的每一个位移，并不是总位移随总时间变化的规律，即t x -，但我们能否可以“剪拼”出真正意义的“位移”图像？思考：方法是什么？怎么做？什么步骤？它是抛物线——二次函数吗？能把函数表达出来吗？师：把所有小球用平滑的曲线连接起来，以第一列纸带的左侧为坐标原点，横竖方向分别是横坐标和纵坐标，或以第一个球所在位置为坐标原点，因为是等间距的，横坐标轴代表时间，分别是T 1、T 2、T 3、T 4、T 5… …Tn )1-（，nT 内的位移321x x x 、、… …n n x x 、1-.师：能否证明就是二次函数呢？思考与讨论１．怎样近似计算或测量一块板或不规则图形的面积？２．怎样近似计算或测量一块不规则物体的体积？ ３．祖冲之怎么测量或计算π？４：根据上述的研究，匀加速直线运动的物体在时间t 内的位移能用vt x =来计算吗？如果不行，能否创造条件使它行？或用“纸带割补法” 连接ABCDE 五个点，看一看是不是抛物线，即位移是时间的二次函数。

学生用平滑的曲线连接，得到一条类似抛物线的曲线。

学生画出匀速直线运动和初速度不为零的匀加速直线运动的υ－t 图象思想：化“梯形”为“矩形”，近似位置 B C D E 时间/s 0.1 0.2 0.3 0.4 位移/cm 1.6 3.4 5.4 7.6阅读：课文和图形。

在船舶性能计算中，经常需要计算各种封闭曲线的面积和几何要素，如横剖面及水线面的面积及形心、水线面面积曲线的面积及形心（即排水体积及浮心）和水线面面积惯性矩等。

这些计算统称为船体计算。

按理这些计算都可以用定积分直接计算，但由于船体型线通常不能用解析式来表达，因此一般都是根据型线图（或型值表）用数值积分方法来进行近似计算。

在船体计算中，最常用的数值积分方法有梯形法、辛浦生法、乞贝雪夫法和[5，8，－1]等。

在本项目中重点学习梯形法、适当了解辛浦生法。

匀变速直线运动的位移t vv s x 20+==梯 (无a ，x 是v t 、的函数，即t v x 、-)。

由此出发再结合上述三个变形公式（“开枝散叶”），得到其它三个公式。

.一、梯形法 1、基本原理以折线近似代替原积分曲线。

如图所示，求曲线包围的图形面积，可将积分间距（长为L ）n 等分，作如图所示折线，以折线近似代替曲线，折线围成的图形面积就近似为原曲线所围面积。

2.辛浦生一法将积分间距（长为L ）n 等分（等分间距长l =L/n ），相邻两个间距的原曲线分别用二次抛物线代替。