平行四边形的性质(2)

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《平行四边形的性质(2)》学案

长春市第五十二中学教育集团八年级（上）数学学案平行四边形的性质（2）命题人：沈红岩审题人：冯丽亚一、学习目标：1、理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力。

2、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力。

3、培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，体验探索成功后的快乐。

二、自主学习1.已学平行四边形的性质：平行四边形的对边_______，对角_______；2.阅读教材页“探究”：了解“中心对称图形”的知识，并利用它发现平行四边形新的性质：平行四边形的对角线_____________；3.用三角形的全等来证明“平行四边形的对角线互相平分”这个性质：已知：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O.求证：OA=OC, OB=OD证明：四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC, ∠1=∠2,∠3=∠4∴△AOD≌△COB (ASA)∴OA=OC OB=OD∴平行四边形的对角线互相平分.三、经典例题例1：已知：如图，在□ABCD中，AC、BD交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．练习：如图，在□ABCD中，已知∠ADB=90°，AC=10cm，BD=6cm.求AD的长度。

例2：已知：如图，□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB∆的周长比BOC∆的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长．例3：如图，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，试说明OE=OF.课后作业一、填空题1.已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm,BD=10cm,则AO= ,BO= .2.如图，□ABCD的周长为22cm，AC、BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=______cm， AB=______cm.3.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， AC与BD的和为24cm，BC的长为8cm，则△AOD的周长为 .4.一个平行四边形的周长为20cm，一条对角线将它分成两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线的长是。

平行四边形的性质与判定

平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。

本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。

二、平行四边形的性质1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。

即AB=CD，AD=BC。

2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。

即∠A=∠C，∠B=∠D。

3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

即AC平分BD，BD平分AC。

4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。

即AC=BD。

5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。

三、判定平行四边形的条件要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。

1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。

2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。

3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。

在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。

下面举例说明。

例题一：已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。

解析：根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。

根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。

例题二：在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。

解析：根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。

根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。

另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。

平行四边形的性质

第九节平行四边形的性质【知识要点】1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）对边、对角、对角线的概念：平行四边形共有四条边，四个角，把不相邻的边称为对边，不相邻的角称为对角，因此平行四边形有两组对边，两组对角。

对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫对角线。

平行四边形有两条对角线，它们交于四边形内一点。

2．相关性质边：平行四边形的对边平行且相等。

角：平行四边形中对角相等，邻角互补，内角和是360°。

对角线：平行四边形的对角线互相平分。

3．平行线间的距离（1）两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

（2）平行线之间的垂线段处处相等。

4. 平行四边形的面积公式：S=底×高【典型例题】例1 在平行四边形ABCD中（1）若∠A=40°，则∠B= ，∠C= ，∠D= 。

（2）若∠A－∠B=80°，则∠A= ，∠B= 。

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A= ，∠B= 。

（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD= ，AD= 。

灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算例2 如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD 各边长和各内角的度数。

例3 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围例4 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O 点，若AC=8，BD=6，则边AB 长的取值范围为（） A ．1﹤AB ﹤7 B ．2﹤AB ﹤14 C ．6﹤AB ﹤8D ．3﹤AB14灵活运用平行四边形的面积公式计算例5 小强家承包了一块苗圃用来养花。

平行四边形性质和判定

平行四边形性质和判定
平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形性质定理
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。

平行四边形判定定理
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形恒等式
平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。

它等价于三角形的中线定理。

在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。

这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于它四边长度的平方和。

人教版八年级数学下《平行四边形的性质-第2课时：平行四边形的对角线互相平分》精品教学课件

创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
2.已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O， △AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
D
C 提示：平行四边形被对角线分成
四个小三角形，相邻两个三角形
O
的周长之差的绝对值等于邻边边
A
B
长之差的绝对值.
F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证
明你的结论.
D
C
解：BEDF，BE//DF.理由如下：
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
EO
∴OAOC，OBOD.
A
B
∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴ OEOF，在△OFD和△OEB中， OEOF，∠DOF∠BOE，ODOB. ∴△OFD≌△OEB. ∴BEDF，∠DFO∠BEO. ∴BE//DF.
O B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
∴AB//CD，OAOC.
∵∠EAO∠FCO
F
在△AOE和△COF中，
C
∠AOE∠COF
改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？
OAOC ∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF.
∴OEOF.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
探究
如图，▱ABCD中，连接AC、
A
D
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB与OD有什么关系？
O
B
C
操作
1.任意画一个平行四边形，如上图； 2.尝试用自己的方法找OA与OC，OB与OD的关系.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业

18-1-1 平行四边形的性质(第二课时+对角线的关系)课件

A
Ｄ
S△ABO
S△AOD
S△ABD
S△ABC
=S△CDO ，
= S△COB，
=S△CDB ，
= S△CDA
O
B
Ｃ
想一想，在▱ABCD中，被对角线分成的四
个部分面积关系？
证明
证明：过点B做AC边垂线，交AC与点E
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=OC
而S△ABO =

• AO •BE
S△COB =
AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
解：∵四边形ABCD是平行
四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，
OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长为
BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
练一练
3．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，
【答案】2 5
AD＝AC＝2，则BD的长为_____．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，AD∥BC
AO＝CO＝1，BO＝DO
∵AC⊥BC
∴BO＝ 2 + 2 ＝ 5
∴BD＝2 5.
故答案为2 5.
4．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于
点O，已知∠ADO＝90°，OA＝6cm，OB＝3cm，
对角线：对角线互相平分
10
1，理解并记住基础知识
2，课本P49 习题18.1
第3题，第12题（做在作业本上）
3，（1）预习课本P45---P47

平行四边形的性质(对边平行)

平行四边形的性质（对边平行）平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，其具有特定的性质和特征。

其中最重要的性质就是其对边是平行的，即对边平行性质。

本文将对平行四边形的对边平行性质进行详细阐述和探讨。

1. 平行四边形的定义平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。

简单来说，它的两对对边分别平行且相等。

与此同时，平行四边形的两组对角线长度相等且互相平分。

2. 对边平行性质的证明对边平行性质可以通过多种方法进行证明。

下面我们给出一种常见的证明方法：假设ABCD是一个平行四边形，其中AB∥CD，AD∥BC。

我们需要证明AC∥BD。

首先，我们假设AC与BD不平行，即它们相交于一点O。

连接AO和DO，分别延长线段AO和DO，分别与BC和AD相交于点E和F。

根据平行线性质，我们可以得出∠ABO = ∠CDO和∠DAO =∠CBO。

又由于平行四边形的性质，我们知道∠ADO = ∠BCO和∠BDA = ∠CBA。

进一步观察可以发现，∠BDA + ∠BDA = 180°，而∠ABO +∠BDA + ∠CDA = 180°。

结合以上两个等式，可以得出∠CDA = ∠CDO。

再结合平行线性质，我们可以得出AC∥BD，这与我们的假设相矛盾。

因此，AC与BD是平行的，证明完成。

3. 对边平行性质的应用对边平行性质在几何学中有着广泛的应用。

下面我们介绍其中两个重要的应用场景：3.1 平行线的判定对边平行性质可以用来判定两条直线是否平行。

如果两个四边形的对边平行，那么这两条直线也是平行的。

这种判定方法在解决平行线问题时非常有效。

3.2 平行四边形的面积计算由于平行四边形的对边平行且相等，我们可以利用其面积计算公式进行求解。

平行四边形的面积等于其中一条对角线长度乘以与该对角线垂直的高度。

4. 平行四边形的其他性质除了对边平行性质外，平行四边形还具有其他一些重要的性质：4.1 邻边互补性平行四边形的相邻两边是互补角，即它们的和为180度。

平行四边形的性质与分类

平行四边形的性质与分类平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，其四条边两两平行。

本文将介绍平行四边形的性质和分类。

1. 基本性质平行四边形的基本性质包括以下几点：- 两对对边分别平行- 两对对边相等- 对角线互相平分- 对角线相等以上性质是平行四边形的重要特点，可以通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。

2. 分类平行四边形可以根据其边长和角度分类。

2.1 边长分类根据边长的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四边不等长- 矩形：四边相等，四个角都为直角- 正方形：四边相等，四个角都为直角，边长相等- 菱形：四边相等，没有角为直角2.2 角度分类根据角度的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四个角都不为直角- 矩形：四个角都为直角- 菱形：四个角都相等，但不为直角- 平行四边形的角度之和为360度，而不论其是什么形状。

3. 性质运用平行四边形的性质常常用于解决几何问题。

以下是一些常见的应用场景：3.1 面积计算平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高其中，底边长为任意一条边的长度，高为这条边到其它平行边的垂直距离。

通过这个公式，我们可以方便地计算平行四边形的面积。

3.2 判断是否为平行四边形通过观察四边形的边长和角度可以判断其是否为平行四边形。

如果四边形的对边平行且对角线相等，则可以确定为平行四边形。

3.3 构造平行四边形利用平行四边形的性质，我们可以通过一些已知条件来构造平行四边形。

例如，已知一个四边形的两对对边相等和平行，我们可以通过画出对角线使得其互相平分来得到一个平行四边形。

综上所述，平行四边形具有独特的性质和分类。

通过对平行四边形的性质的了解，我们可以更好地理解和解决与平行四边形相关的几何问题。

平行四边形的性质第二课时初中数学原创课件

O
10
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
●
又∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
B
C
由勾股定理得， AC= AB − BC = 10 − 8 =6.
又∵OA=OC， ∴OA= AC =3.

∴ S□ABCD= BC×AC=48.
D
6.巩固练习
如图，在□ ABCD中，AD=12，AC=26，∠ADB=90°，
分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么
帮妈妈分的吗？
A
D
M●
O
B
C
课堂小结
平行四边形的性质
A
B
A
D
D
O
C
B
C
研究对象
研究结果
几何表示
对边
平行且相等
对角
相等
AB∥CD，AD∥BC
＝
＝
∠A＝∠C，∠B＝∠D
邻角
互补
∠A＋∠B＝180°
对角线
互相平分
AO＝CO，BO＝DO
A
D
O
猜想：OA = OC，
OB = OD.
B
C
2.证一证
命题：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图： □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
A
求证：OA=OC，OB=OD.
1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
4
B
O
D
3
2
C
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
求BD的长和□ ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形

平行四边形的性质问题

平行四边形的性质问题平行四边形的定义平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

其中，相邻边互相平行，对角线互相平分。

平行四边形有以下重要性质：1. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

即，连接两组对立顶点的对角线相等，并将平行四边形分为两个全等的三角形。

2. 相邻角的性质：平行四边形的相邻内角相等，即相邻两个内角的度数之和为180度。

这是因为平行四边形中的对边是平行的，对边之间的交角为内角。

3. 对边的性质：平行四边形的对边是平行的，即两条相邻边之间的距离始终相等。

这是平行四边形的基本特征之一。

4. 同位角和内错角的性质：平行四边形中的同位角和内错角是相等的。

同位角是指两组对立顶点间的内角，而内错角是指两组对立顶点间的外角。

它们的度数相等。

5. 邻补角和互补角的性质：平行四边形的邻补角和互补角之和为180度。

邻补角是指相邻的内错角，互补角是指相邻的外错角。

6. 对角线之间的距离关系：平行四边形的对角线之间的距离相等，且与平行四边形的边长无关。

这也是平行四边形独特的性质之一。

应用和推论平行四边形的性质在几何学中有广泛的应用和推论。

一些重要的推论如下：1. 如果一个四边形具有对边平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 平行四边形的每个内角的度数之和为360度。

3. 以平行四边形的对角线为边的四边形也是平行四边形。

4. 如果一个四边形是平行四边形，则它的对边相等。

以上是关于平行四边形的性质问题的讨论。

平行四边形具有独特的特征，由此带来了许多有趣的推论和应用。

对于理解几何学和解决几何问题，了解平行四边形的性质是非常重要的。

初中数学平行四边形的性质知识点总结

初中数学平行四边形的性质知识点总结，早看早受益！初中数学平行四边形的性质知识点总结（一）知识点总结1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：第一类：与四边形的对边有关（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第二类：与四边形的对角有关（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第三类：与四边形的对角线有关（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形常见考法（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；（2）求平行四边形某边的取值范围；（3）考查一些综合计算问题；（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。

误区提醒（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。

初中数学平行四边形的性质知识点总结（二）知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。

（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

③有三个角是直角的四边形是矩形。

直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。

（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

平行四边形的性质及判定

平行四边形性质及判定
知识点一、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．知识点二、平行四边形的性质
平行四边形性质1：两组对边分别平行．（边）
平行四边形性质2：平行四边形的对边相等．（边）
平行四边形性质3：平行四边形的对角相等．（角）
平行四边形性质4：平行四边形的邻角互补．（角）
平行四边形性质5：平行四边形的对角线互相平分.（对角线）
知识点三、平行四边形的判定
判定、1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定、2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定、3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
判定、4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
判定、5：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．。

平行四边形的性质PPT精品课件2

老大
老二老三老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老人分地合理吗？
A
老大老二
●
D O
M 老三
老四BLeabharlann C故四人的土地面积相同，老人分地合理。
引申思考
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
O
D
C
看一看
A
D O ●
B 再看一遍
C
看一看
A
D O ●
B
C
你有什么猜想？
结论
●
1.
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。
猜一猜
你能证明它吗?
根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对角线有什么性质吗？
●
平行四边形的对角线互相平分.
10 B
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
●
A 8 O
D
C
2
∴△ABC是直角三角形
C ∴A 又∵OA=OC
∴S
A B B C
2 2
ABCD = BC×AC=8×6=48
1 0 8 6 1 ∴ OA 2 AC 3
2
说一说,练一练
如图，在 ABCD中，
B A O D
BC=10cm, AC=8cm,
O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的
坐标为（ C ）
A. (3,7) C. (7,3) B. (5,3)

4.2 平行四边形及其性质(二)

行线，分别交 AB，BC，CD，DA 于点 E，F，G，H，连结 AF，FG，AG．求证：S□ABCD－S□AEPH＝2S△AFG．
图 4-2-5
【解析】 ∵S△AFG＝S□ABCD－(S△AGD＋S△GFC＋S△ABF) ＝S□ABCD－12(S□AEGD＋S□FPGC＋S△ABFH) ＝S□ABCD－12(S□AEPH＋S□HPGD＋S□FPGC＋S□BEPF＋S□AEPH) ＝S□ABCD－12(S□ABCD＋S□AEPH) ＝12(S□ABCD－S□AEPH)，
【解析】 (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC. ∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE＝CF， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)． (2)如解图，过点 C 作 CG⊥AB 于点 G，则 CG 的长即为 AB 与 CD 之间的距离．
(例 2 解) 在 Rt△BGC 中，∵∠B＝60°，∴∠BCG＝30°. ∵BC＝AD＝2，∴BG＝1，∴CG＝ BC2－BG2＝ 22－12 ＝ 3，即 AB 与 CD 之间的距离为 3.
∴S□ABCD－S□AEPH＝2S△Aห้องสมุดไป่ตู้G．
反思
平行四边形的对角线把这个平行四边形分成了两个面积相等的三角形.
【例 2】如图 4-2-6，在□ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，
CF⊥AD 于点 F.
图 4-2-6 (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)若∠B＝60°，AD＝2，求 AB 与 CD 之间的距离．
学习指要
知识要点
1．平行线的性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．推论：夹在两条平行线间的垂线段相等．
2．如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．

八年级数学《平行四边形的性质2》教案

19.1.1 平行四边形性质2情理推导，认识性质1、演示操作。

2、提出下列问题。

3、发现结论。

ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。

平行四边形的对角线互相平分.4、证明性质。

5、指导认识。

（几何语言）教师活动：操作投影仪，显示“探究”中的问题，组织学生观察操作，发现结论。

学生活动：观察操作、交流，从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O旋转180度仍和平行四边形EFGH重合，从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分。

教师活动：指导写已知、求证，启导学生分析思路。

学生活动：合作学习，互相讨论自己的思路。

师生归纳：平行四边形性质三平行四边形对角线互相评分。

设计意图采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的内容，解决了重点，突破的难点。

应用新知，提高认识范例点击应用所学例（投影仪）四边形ABCD是平行四边形，AB=10,AD=8,AC垂直BC，求BC、CD、AC、OA的长以及平行四边形的面积。

思路点拨：可以利用平行四边形对变相等求出BC=AD=8,CD=AB=10,在求出AC长度时，因为∠ACB=90°,可以在求出RT⊿ABC中应用勾股订立求出AC=6,由于OA=OC,因此AO=3.求的平行四边形面积是48。

补充例题，如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，那么线段AE、CF的大小关系如何？说明理由。

教师活动：分析讲例题，教会学生分析思路是本例题的重点。

渗透综合分析法。

学生活动：参与教师分析，学生几何分析的基本思路，学会综合分析法。

设计意图：本例题是要复习巩固平行四边形的对边相等、对角线互相平分性质，同时，还涉及了勾股定理以及平行四边形的面积计算问题，在以后的学习中经常要运用到，这一点要引起学生的注意。

设计意图证明线段相等，学生通常证法一：AE=CF,在⊿ABF ≌⊿CDE 中 ∵AB ∥CD, ∴∠BAC=∠DCE 又四边形是平行四边形 ∴BF=DE, ∠BFE=∠DEC, ∴⊿ABF ≌⊿CDE(AAS) ∴AF=CE AF-EF=CE-EF 即 AE=CF （同理，可通过证明⊿BCE ≌⊿AFD 或⊿ABE ≌⊿CDF 或，⊿AED ≌⊿CFB 得到AE=CF ）证法二：连接BD,交AC 于O.因为四边形都是平行四边形所以OA=OC.OE=OF,所以OA-OE=OC-OF 即AE=CF. 课堂演练说一说,练一练 1、在平行四边形ABCD 中， BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm, （1）△ AOD 的周长是多少？为什么？（ 2） △ ABC 与△ DBC 的周长哪个长？长多少？ 2、平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O,直线EF 过点 O 与 AB 、CD 分别相交于E 、F,试探究OE 与OF 的大小关系？并说明理由。

八年级平行四边形(二)

C .8cm和14cm D .8cm和12cm
【答案】B
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC，若平行四边形ABCD的周长为38 ，△ABC的周长比平行四边形ABCD的周长少l0 ，求平行四边形ABCD的一组邻边的长．
【提示】△ABC的周长： =28
平行四边形ABCD的周长：
【答案】
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6 ,BC=l0 ,试求：
题型二：证明线段互相平分
例1、已知：如图．平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别在AD、BC上，AG =CH．求证：EF与GH互相平分．
【提示】根据本题要证得结论可以分析出本题只要证明四边形GFHE是平行四边形即可.连结GF、FH、HE、EG
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.求证：GF∥EH.
【注意】边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定
根据定义来判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
1．平行四边形判定定理l:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
【提示】AD EF BC.
1、专题精讲
题型一：证明线段相等
例1、己知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E、F，求证：AE=CF.
【提示】易证△DOF≌△BOE，DF=BE,AF CE，证得四边形AECF为平行四边形.（△DOF≌△BOE及已知条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形.）

平行四边形的性质与判定(2)

平行四边形的判定与性质（2）知识点梳理1.判别方法一：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，也是判别平行四边形的根本方法，也是其他判别方法的基础。

2.判别方法二：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.判别方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.判别方法四：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.提示：（1）当题目中涉及四边形的边比较多时，往往借助于这种方法说明一个四边形是平行四边形.（2）必须是两组对边分别相等，而不是邻边.5.判别方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.提示：这种方法需要把握住两点：（1）“两组对角分别相等”，只有“一组对角相等”结论不成立.（2）必须是对角，而不是邻角.6.平行四边形判别方法的选择例1.能判别一个四边形是平行四边形的是（）A.一组对边相等，另一组对边平行B.对角线相等C.对角线互相垂直平分D.一条对角线平分另一条对角线变式:1.已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不成立的是（）A. AB=ACB.AB∥CDC. ∠A=∠CD.AD=BC2.四边形ABCD中,AD平行且等于CB，则下列结论中错误的是（）A. ∠A=∠BB.AB=CDC. AB∥CDD.对角线互相平分3.下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边平行B.两条对角线互相平分C. 一组对边平行D.两条对角线互相垂直例2．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD ，所以ABCD 是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD 是平行四边形．（）（5）因为AB=CD ，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（）（6）因为AD=CD ，AB=AC ，所以ABCD 是平行四边形．（）平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形例3.如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗.为什么.变式：1.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD 是不是平行四边形．2.如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．提高：如图,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P ,Q.(1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由.(2) MP 与QN 能相等吗?2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形NM Q PD C BA例4.如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗.说明理由.变式：已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：四边形ＥＧＦＨ是平四边形．3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形例5.如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，试证明AECF 为平行四边形.变式：1.如图所示，在ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连接CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.2.如图14，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（1）⊿AFD ≌⊿CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形BCG例6.如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.5.对角线互相平分的四边形为平行四边形例7.如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．变式：如图所示，在ABCD中，AC、BD相交于点O.E、F分别在OB、OD上，且OE=OF，又OC= ，所以是平行四边形，理由是 .应用：例8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．变式：1．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．2．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE ，DF ，相交于点M ．求证：CD=CM ．3．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作ACED ，延长DC•交EB 于F ，求证：EF=FB ．提高：1.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢC ＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．2.已知：如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ的中点，Ｅ是ＡＣ上的一点，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＥ．(1)猜想：ＤＦ与ＡＥ间的关系是＿＿＿＿＿＿． (2)证明你的猜想．作业：E FB C1. 下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是（）A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等2. 下面是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（）A. 1:2:3:4B.2:2:3:4C. 2:3:2:3D. 2:3:3:23.四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件可以判定四边形ABCD为平行四边形.4. 已知四边形ABCD，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠A=∠C；⑤∠B=∠C，能使四边形ABCD为平行四边形的有（填序号）.5.已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。

平行四边形的性质与证明

平行四边形的性质与证明平行四边形是几何学中的一类特殊四边形，具有一些独特的性质和特点。

本文将详细介绍平行四边形的性质，并给出对应的证明过程。

一、定义平行四边形是指有四条边都是平行的四边形。

常用符号来表示平行四边形，如ABCD。

二、性质1. 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。

即对角线AC和BD平分彼此。

证明：设ABCD为平行四边形。

连接AC和BD，交于点O。

要证明对角线AC和BD平分彼此，即证明AO=OC和BO=OD。

首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。

因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。

证毕。

2. 邻边性质平行四边形的邻边互补，即相邻两边的内角和为180度。

证明：设ABCD为平行四边形。

根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

根据内错角的性质，我们可以得到∠A+∠D=180度和∠B+∠C=180度。

这表明相邻两边的内角和为180度。

3. 同底角性质平行四边形的同底角相等，即平行四边形相对的两个内角相等。

证明：设ABCD为平行四边形。

我们需要证明∠A=∠C和∠B=∠D。

由平行四边形的定义可知AB∥CD。

因此，∠A和∠C是平行线与截线的内错角，所以∠A=∠C。

同理，根据平行四边形的定义，我们知道AD∥BC。

因此，∠B和∠D是平行线与截线的内错角，所以∠B=∠D。

综上所述，平行四边形的同底角相等。

证毕。

4. 副对角线性质平行四边形的副对角线相等，即AC=BD。

证明：设ABCD为平行四边形。

连接AC和BD，交于点O。

我们需要证明AC=BD。

首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。

因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。

又由对角线性质可知，AC和BD平分彼此，即AO=OC和BO=OD。