第十七章 结构的极限荷载

F F 4.下限定理（极大定理）： PU P
小结
1.静定梁（单跨和多跨）
内容：求极限荷载
2.单跨超静定等截面梁 3.单跨超静定变截面梁 4.连续梁（超静定多跨梁）
注意：1.变截面处的MU为小值 2.多跨梁需分清静定还是超静定
拓展部分
简单刚架的极限荷载
2MU MU 2MU
27.86 M U qu 2 l
0.464l
2FP
A
l l2
FP
B
2MU
l l2 l l2
FP
MU
l l2
C
l
MU
2M U 6M U M U , , l l min l
q
A
U MM U
3ql
B
3 l l 2 2
M U 2M U
C
3l l 2 2
l
16M U 10M U 2 , 2 9l min l
q
A
MU
l
B
11.66 M U qU 2 l
要求作为结论直接应用
FP
A
MU B l 2
C
l 2
பைடு நூலகம்FPU
8M U l
q
A
MU
l
16 M U qU 2 l
B
FP
A
MU B l 2
C
l 2
FPU
4M U l
FP
FP D
l 3
A
l 3
B MU C
l 3
5M U 4M U 9M U , , l l min l
MU
l
FP
A
MU
l
B
MU
l
C
FP
A
1.5MU M U
B
1.5MU M U
C
MU
D
l
l
l
FP
A
1.5MU
B
1.5MU
C
MU
D
l
l
l
2ql
2
q
B
1.5MU
ql
C
MU
A
1.5MU
D
l
l
l
P
P
MU
l 3 l 3 l 3
高等数学知识回顾：
vu u v v 2 u u
' '
'
理想弹塑性材料
低碳钢
σs ε
σs
ε
理想弹塑性材料
1.弹性阶段OA，塑性阶段AB 2. 拉压性能相同 3.加载与卸载性能不同， 加载为弹塑性，卸载为弹性 4.同一应变对应不同应力 同一应力对应不同应变 o
S
A
ε
§17.2 极限弯矩 塑性铰 极限状态
单杆、纯弯曲、矩形截面、理性弹塑性材料 M M h b
塑性铰为单向铰，只能沿着MU增大的方向，若向
相反方向转动，则塑性铰消失，重新变为刚结点。
四、破坏机构：
当结构在荷载作用下形成足够多的塑性铰时， 结构变为几何可变体系，即为破坏机构。
此时为极限状态，荷载为极限荷载。 若有n个极限荷载，则最小者为整个体系的极限荷载
五、比例加载：
1.所有荷载保持比例不变。 2.单调加载。
塑性极限弯矩MU
1. 先找等面积轴 2.
MU S S1 S2
其中：S1为A/2对等面积轴的静矩（面积矩） S2为A/2对等面积轴的静矩（面积矩）
20
40 已知：
S
求：MU MS 20 15 80
20
MU 30000 S
4
I Z 6410
M S 16000 S
4R 3
已知：大圆半径为R1
小圆半径为R2
屈服强度为σS
求：MU MS
4 3 3 M U S R1 R2 3


三、塑性铰：
某截面的M达到MU时，其M不能进一步增
加，该截面两侧沿MU的方向发生相对转动，
相当于铰结点，称为塑性铰。
塑性铰与普通铰的区别：
1.普通铰不能承担M 塑性铰能承担M，且为常数，大小为MU。 2.普通铰为双向铰；
§17.3 梁的极限荷载
一、静定梁的极限荷载
1.塑性铰的个数： 只要有一个，结构即坏 2.塑性铰的位置： M的最大值处
求极限荷载的方法：
1.静力法
2.机动法（虚功法） 静定结构：静力法更好。
1.静力法步骤：
1）画弹性状态的M图 2）令Mmax=MU ，求出FPU
2.机动法（虚功法）
1）确定塑性铰位置 2）画虚位移图和受力图 3）列虚功方程
q
A
MU
3ql
B
3 l l 2 2
MU
C
3l l 2 2
l
16 M U qU 2 l
3ql
A
l 2
q
B
l 2
MU U 2M
MU
C
l
14M U 11.66M U 2 , 2 l 3l min
思考题：
n次超静定是否需要出现 （n+1）个塑性铰才能变为机构？
§16-4 判定极限荷载的一般定理
材料力学回顾：
1.矩形梁的最大正应力： max
M Wz

M bh2 6
2.空心圆截面梁的最大正应力：
max
M Wz

M ymax Iz
M (D ) 2 (D4 d 4 ) 64
第十七章 结构的极限荷载
本章思路：
刚结点达到极限时不是断裂而是发生定向转动 （沿着M增大的方向）——塑性铰 刚结点 承担着极限弯矩MU的单向铰
l 2
q
C
l 2
2MU
MU
D
l
l
16M U 12M U 11.66M U 2 , 2 , 2 l l l min
q
A
MU 2M
ql B
l 2
U
q
C M MU U l D
2MU M U
l
l 2
27.86M U 8M U 11.66M U , 2 , 2 2 l l l min
本书只讨论下列情况的连梁：
1.每一跨内为等截面，不同跨截面可不同
2.所有荷载作用方向均相同，且比例加载 结论：只在某一跨内形成破坏机构， 不会形成联合破坏机构.
B A C
B A C
B A
C
B A
C
求解方法：
分别求出每一跨的极限荷载，整个体系 的极限荷载即为所有跨中的 最小值
q
A
MU
ql B
FP
FP D
l 3
A
l 3
B MU C
l 3
12M U 6M U , l min l
三、变截面梁
2MU
P
MU
A
l 3
B
l 3
C
l 3
D
21M U 7.5M U 9M U , , l l min l
P
2MU
MU
A
l 3
B
l 3
C
l 3
D
21M U 2l
四、连续梁
二、单跨超静定梁
1.塑性铰的个数：不止一个，应从结构本身来看
2.塑性铰的位置：固定端，集中荷载作用处，均布 荷载的最大值处，变截面处
FP
A
MU B
l 2 l 2
C
应有2个铰，分别在A、B处
FPU
6M U l
PS
6M U P U l
单跨超静定梁FPU的计算特点：
1.无需考虑中间过程，只考虑最后破坏机构。 2.无需考虑变形条件，只考虑静力平衡条件。 3.不受温度变化、支座移动等的影响。
一、弹性极限弯矩MS
S
bh2 MS S 6
max
M Wz

M bh
2
6
S
二、塑性极限弯矩MU
S
S
bh2 MU S 4
S
S
S
弹性
S
S
S
塑性
弹塑性
不对称截面的MU
形心轴
等面积轴
弹性
弹塑性
全塑性
S S
塑性极限
S A1 S A2
M U S A1h1 S A2 h2 S S1 S 2
一.极限状态条件： 静定结构 1.平衡条件 单向机构
2.内力局限条件
3.单向机构条件
M max MU
1.可破坏荷载
2.可接受荷载
F F
P P
3.极限荷载
FPU F F
P
P
二.定理：
1.基本定理：F F
P P
2.唯一性定理：极限荷载是唯一的（试算法）
F F P 3.上限定理（极小定理）： PU
本章工作：
求极限荷载与MU的关系
一个截面的极限弯矩MU是一个常数
仅与材料和截面形状有关，
是一个已知量
极限荷载： 原来的结构刚变为机构时的荷载值
（该值与塑性铰的位置和个数有关）
§17-1
概述
1.弹性设计法：弯矩图上的最大值达到极限，则整 个结构认为达到极限。材料为弹性。
2.塑性设计法：整个结构变为机构后才认为达到极 限。材料为理想弹塑性。