高考数学总复习讲义4：不等式

高三数学总复习讲义——不等式的性质知识清单：1．不等式的性质：⑴(对称性或反身性);a b b a >Û<⑵(传递性);a b b c a c >>Þ>，⑶(可加性),此法则又称为移项法则;a b a c b c >+>+Þ(同向可相加)a b c d a c b d Þ>>+>+，⑷(可乘性).0a b c ac bc Þ>>>，；0a b c ac bc Þ><<，(正数同向可相乘)00a b c d ac bd Þ>>>>>，⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>ÎÛ>>（）⑹(开方法则)0,20a b n N n >>Î>>（≥）⑺(倒数法则)110a b ab a bÞ>><，注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不ÞÛ等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.2．定理1：如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么≥（当且仅当a =b 时取“=”号）.2a b+ab 注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,（当且仅当a=b 时取“=”号）2112a b a b++即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：⑴3322a b a b ab ++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---可推出3333a b c abc++≥(,);0a b c ++>等式即可成立0a b c a b c ==++=或时取等⑶如果a ,b ,c ∈{x|x 是正实数}，那么3a b c ++（当且仅当a =b =c 时取“=”号）3.绝对值不等式：123123(0)a b a b a b ab a a a a a a --+++++⑴≤≤≥时,取等号⑵≤注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.课前预习1．如果，那么，下列不等式中正确的是（）0,0a b <>（A ）（B （C ）（D ）11a b<<22a b <||||a b >2．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A ）（B ）||||||a b a c b c -£-+-2211a a a a+³+（C ）1||2a b a b -+³--£3．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是A .a +c >b +dB .a －c >b －dC .ac >bdD.a b d c>4．若a <b <0，则下列结论中正确的命题是（）A和均不能成立11a b >11||||a b >B .和均不能成立11a b b >-11||||a b >C .不等式和（a +）2>（b +）2均不能成立11a b a >-b 1a 1D.不等式和（a +）2>（b +）2均不能成立11||||a b >a1b 15．“a ＞b ＞0”是“ab ＜”的（）222a b +(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充分必要条件(D)既不允分也不必要条件6．（1）若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（）A .18B .6C .2 D.23437．若a ＞b ＞1，P ，Q ＝（lg a ＋lg b ），R ＝lg （），则（）212a b+A .R ＜P ＜Q B .P ＜Q ＜R C .Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q高三数学总复习讲义——不等式证明知识清单：一、常用的证明不等式的方法1．比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

2．综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。

综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条件出发，12n A B B B B ÞÞÞÞÞ⋯A 逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论。

B 3．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

注意：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。

二、不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

1．不等式同解变形（1）同解不等式（(1)与同解；()()f x g x >()()()()f x F x g x F x +>+（2）与同解，与同解；0()()m f x g x >>，()()mf x mg x >0()()m f x g x <>，()()mf x mg x <（3）与同解）；()0()f xg x >()()0(()0f x g x g x ×>¹2．一元一次不等式解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

情况分别解之。

(1)0(2)0(3)0a ax b a a ì>ïï>Þ=íï<ïî分3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意20(0)ax bx c a ++>¹20(0)ax bx c a ++<¹Þ0a >0a <的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

24b ac D =-0D >0D =0D <4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

)()(x g x f Û)()(x g x f Û()()0()0f xg x g x ì׳ïí¹ïî5．简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。

高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a x 2<a 2－a<x<a(a>0)，ÛÛ|x|>a x 2>a 2x>a 或x<－a(a>0)。

ÛÛ一般地有：|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，Û|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

Û6．指数不等式()()f x g x a a >Þ；(1)1()()a f x g x >>当时，；(2)01()()a f x g x <<<当时，7．对数不等式log b a a N b N =Û=等，1(00log )log log log m n a a a b n a b b b b m a>>Û=，，，log ()log ()a a f x g x >Þ（1）当时，；1a >()0()()g x f x g x ì>ïí>ïî（2）当时，。

01a <<()0()()f x f xg x ì>ïí<ïî8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧0Ax By C ++>0Ax By C ++=所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

0Ax By C ++³说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符0Ax By C ++=(,)x y Ax By C ++号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断00(,)x y 00Ax By C ++表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。

0Ax By C ++>0C ¹（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件2z x y =+,x y ，求的最大值和最小值。

4335251x y x y x ì-£-ïï+£íï³ïîz x y -+=1x =由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面,x y 区域的公共区域。

由图知，原点不在公共区域内，当时，，即(0,0)0,0x y ==20z x y =+=点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在(0,0)0l 20x y +=0l l 2x y t +=t R Îl 的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之0l l (,)x y 20x y +>0t >l t 增大。