赤平投影原理
赤平投影图原理
赤平投影图原理
赤平投影图是一种地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标。
赤平投影图的原理是将地球表面投影到一个平面上，使得地球上的点在投影平面上的位置与其在地球上的位置保持一致。
赤平投影图的基本原理是将地球投影到一个与地球赤道平行的平面上。
在赤平
投影图中，地球的赤道线被映射为一条直线，而其他纬度线则呈现出一种放射状的形态。
经度线在赤平投影图上呈现为平行于赤道线的直线。
赤平投影图的优点是保持了地球表面上的角度关系和形状关系，使得地球上的
点在投影平面上的位置相对准确。
然而，赤平投影图也存在一些缺点，如在高纬度地区，地图的形状会出现扭曲，使得地图上的距离和面积不再准确。
为了绘制赤平投影图，需要使用一些数学公式和计算方法。
首先，需要确定投
影中心的经度和纬度。
然后，根据地球上的点的经纬度坐标，利用公式计算出该点在投影平面上的坐标。
最后，将计算得到的坐标绘制在地图上，形成赤平投影图。
赤平投影图在地图制作、导航、航海等领域有着广泛的应用。
通过赤平投影图，人们可以更直观地了解地球的地理特征和分布情况。
同时，赤平投影图也为地理信息系统（GIS）的开发和应用提供了基础。
总结起来，赤平投影图是一种将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标的方法。
它通过将地球投影到一个与赤道平行的平面上，保持了地球上点的位置关系。
赤平投影图在地图制作和导航等领域有着广泛的应用，并为GIS的发展提供了基础。
赤平投影原理与应用简介汇总
5.岩层产状为330°∠40°，求在335°
方向剖面上该岩层的视倾角
据岩层面产状作其投影弧 EHF。 在基圆上数至335°得 D’ 点。 作D’ 点与圆心O的连线， 交EHF于H’ 点。Ｈ’ 为岩层面与NW335°方向 剖面的交线在下半球的投影。 D’ H’ 间的角距即为 335°方向上的视倾角。
（因此，倾斜岩层的倾角就等于倾斜岩 层与赤平面之间的交角）
2、 径向大圆
过圆心走向 南北、倾角 不等的一系 列倾斜平面 的赤平投影
用途：用来 度量倾斜 岩层面的
倾角
纬向小圆的投影过程＝走向东西、
不过球心、间隔相等的直立平面的投影
纬向小圆代表的平面＝锥轴为南北向、锥 顶角间隔相等（2°）的圆锥与球面的交 线所确定的直立平面
过球心倾斜平面的赤平投影 ＝弦为直径的大圆弧
上极点为发射点时，倾斜平面的 赤平投影获得方法
不过球心的平面的投影 =小圆
投影原理
直线的赤平投影 ＝赤平面上的一个点
二 、赤平投影网的构成
赤平大圆 东西向、南北向直径 径向大圆弧 纬向小圆弧 赤平面大圆中心
1 、赤平大圆
可以看作是代表大地水准面的平面
A点数经线大圆与纬线小圆的
A
交点，读出侧伏角44°（β），
标出该点C″角距γ即为直线 的倾伏角，C′的方位角则为直 线的倾伏角。
7 求两平面交线的产状
据已知的两平面产 状，在吴氏网上分别 求出其投影大圆弧 EHF和JHK。两大圆 弧的交点Ｈ即为两平 面交线与下半球面交 点的投影
圆锥侧面与赤平面的交线，将赤平面 大圆圆周分为角度间隔为2°的180份
用途：以此来表 示面、线在空间 的方位
走向 倾向 倾伏向
赤平投影网
赤平投影原理经典实用
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(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理
吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、
东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°-
360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。
（3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东
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例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相
同角度，使老地层ABC大圆
达到新位置，将新位置各点
拟合大圆即可。
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作业：
P230 9、11、12、16、18
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
赤平投影原理及讲解
6.极射点:投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P)和下极射点(F)。由上极射点(Ｐ）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上
ﻫ
的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点:通过球心的直线与球面的交点称为极点,一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点)；水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B)。
赤平投影原理及讲解
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ﻩ
一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GＢ50021－94)推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线(包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得,不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
极射赤平投影原理
极射赤平投影原理极射赤平投影是一种地图投影方法，又称为极射投影或天体赤平投影。
它是一种将地球表面投影到一个切平面上的方法，保持地球的极点在地图的中心，使得赤道线在地图上呈现为直线，而经纬线则变成半圆形。
极射赤平投影的主要应用领域包括天文学、地理学以及地图制作等。
极射赤平投影的基本原理是将地球表面上的点，投影到位于地球极点与地球中心之间的一个平面上。
在极射赤平投影中，将地球的极点作为投影的中心，地球表面上的每一个点都沿着从极点到该点的直线被投影到平面上。
这种投影方法使得地球的周长圆变成了一个大圆，而经纬线则成为半圆形。
同时，由于赤道与极点之间的投影长度较长，因此在极射赤平投影中，赤道区域显得更为扭曲，而高纬度地区则比较平缓。
极射赤平投影的优点是可以在投影图上直观地看到赤道线、经线、纬线以及地球的极点。
它在天文学领域中被广泛应用，用于绘制天球图和天空赤平图，方便研究天文现象和观测星体的位置。
此外，在地理学中，极射赤平投影也可用于制作大比例尺地图，以及展示极地和高纬度地区的地理信息。
然而，极射赤平投影也存在一些缺点。
首先，它会引起地图上地理特征的形变和扭曲。
由于赤道区域在投影中较长，因此经度线在赤道区域内变形更为严重，会导致经线错位和拉长。
此外，在高纬度地区，极射赤平投影也存在较大的面积形变和形状变化，使得地图上的地理区域较难准确表示。
极射赤平投影的具体实现可以通过数学公式和计算机图形处理来完成。
数学公式包括投影点坐标的计算方法，以及经纬度坐标与平面坐标的相互转换方法。
计算机图形处理技术则用于实现将地球表面上的点投影到平面上，并进行图形绘制和渲染。
总之，极射赤平投影是一种将地球表面投影到平面上的方法，可用于绘制天球图和天空赤平图，以及制作大比例尺地图。
它在天文学和地理学领域中具有广泛的应用，但也存在地图形变和扭曲的问题。
通过数学公式和计算机图形处理技术，可以实现极射赤平投影的具体实现。
极射赤平投影及原理
极射赤平投影原理及应用
(一)平面的投影方法(图2) 设一平面走向南北，向
东倾斜，倾角40，若此平 面经过球心o，则其与下 半球面相交为大圆PGF，
H
以A点为发射点，PGF弧 在赤平面上的投影为PDF 弧，PDF弧向东凸出，代 表平面向东倾斜，走向南 北，DH之长度代表平面 的倾角。
极射赤平投影原理及应用
4．已知一平面产状为l500∠650，该面上一直线侧伏向南，侧伏角400，求此直 线的倾伏向、倾伏角(图12-13)。
(1)依平面产状作出其投 影大圆弧，标出平面走 向南端所在的点A。
(2)将大圆弧转至南北 方向，自平面走向南端 的A点数经线大圆弧被纬 线小圆弧分割的400所在 的点C。
2求两平面交线的产状(图12—11) (1)据巳知两平面的产状，在吴氏网上分别求出其投影大 圆弧EHF和JHK，两大圆弧的交点H为两平面交线与下半球 面交点的投影。 (2)作圆心O与H点的连线交基圆于G点，G点的方位角即两 平面交线的倾伏向，GH间的角距则为交线的倾伏角 。
极射赤平投影原理及应用
3．两直线为1200∠360和1800∠200，求所构成平面的产状及两直线间的夹角(图12-12)]
投影球(投射球)—以任意长为半径作成的球，投影球表面称 为球面；
赤平面—过投影球球心的水平面，即赤平投影面； 基圆—赤平面与投影球面相交的大圆(NESW)，或称赤平大 圆，圆内标有东西和南北直径线； 极射点—球上、下两极的发射点，由上极射点把下半球的几 何要素投影到赤平面上的投影称下半球投影，反之以下极射点 把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球投影。
(2)转动透明纸将D点移至东西直径上，由基圆向圆心数300(倾角)得C点， 描绘C所在的经线大圆弧[图12-5(B)中之ACB弧]，A，B点的方位角为平面的走 向(300或2100)。
赤平投影原理ppt课件
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二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的交线产状: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求其交线 产状 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b, 即为两平面交线的产状 (倾伏向和倾伏角为4∠13°)
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的夹角及其等分面: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求两平面 的夹角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b，为二平面的交线。
构造地质学 实习讲义 第14章 赤平投影原理与应用简介1203
大圆图解。
圆柱状褶皱：各切面交线平行，且平行于褶皱枢纽， 这些经线大圆交于（β）点，即β轴=褶皱枢纽投影。
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D7054 Cam－O 褶 皱 岩 层 产 状 统 计 图
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D7052Cam－O褶 皱 岩 层 产 状 统 计
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1．投影平面245°∠30°；20°∠60°；340°∠40°；120°∠70°。 2．投影直线42°∠62°；130°∠45°；220°∠50°；315°∠32°。 3．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。 4．投影包含直线258°∠40°及42°∠62°的平面的产状。 5．已知铁矿层产状为154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：80°、330°、290°、 240°。 6．在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为120°∠16°和 227°∠22°，求该板状含金石英脉的产状。 7．岩层面产状为150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏 向和倾伏角。（提示：作出岩层面的大圆弧后，由大圆弧的走向SW端沿大圆弧数其被纬线小 圆弧所分割的30°，即得擦痕投影。） 8．求平面254°∠30°与145°∠48°的交线产状。 9．求平面335°∠30°与平面235∠48°的夹角及夹角平分面的产状。 10．一圆柱状背斜北西翼产状为330°∠45°，北东翼产状为65°∠35°。求：（1）东西向 直立剖面上两翼的视倾角及两翼之间的夹角；（2）横截面的产状、横截面上两翼的侧伏角及 两翼之间的翼间角。 11. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为190∠76°，另一组产状为278°∠53°， 假定两组节理的锐角等分线方向为最大主压应力方向，求三个主应力轴的产状。
赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
No9 第9章 极射赤平投影的原理和应用
二、β图解和π图解
一、β图解
求褶皱枢纽产状
❖ 定义 β图解是指以褶皱面上各点的切面产状所作的经线大圆图解。
在理想的圆柱状褶皱中，各切面交线相互平行，并与褶皱枢纽平行。 这些经线大圆应交于一点（β），该点称为β轴，即褶皱枢纽的投影。
二、β图解和π图解
一、π图解
求褶皱枢纽产状
❖ 定义
π图解是指褶皱面各部位法线的赤乎投影图解。
Hale Waihona Puke 本章小结❖ 面和线的产状投影 ❖ β图解和π图解 ❖ 两面夹角测量及面的旋转方法
课程总结
构造地质学
基础知识
技能训练 综合应用
绪力褶断 学 基
论础皱层
···· ····
读作赤 平 投
图图影
野综 外合 实实 习习
一、面和线的产状投影
➢ 直线的投影 直线：330º∠40º
一、面和线的产状投影
➢ 法线的投影
一、面和线的产状投影
二、应用
1. 已知真倾角求视倾角 ✓ 某岩层产状为300º∠40º，
求在走向335º方向直立 剖面上该岩层的视倾角
一、面和线的产状投影
2. 求两平面交线的产状
一、面和线的产状投影
三、两面夹角的测量及面的旋转方法
二、面的旋转方法
➢ 已知某平面的产状，求依某一方向旋转一定角度后此 平面的投影。
1．操作原理
平面与球面的交线为一大圆，这一大圆是由许多点组成的， 因此，大圆的旋转实际上是组成此大圆的许多点的旋转。球面上 任一点绕定轴旋转时，如果这一旋转轴与南北直径重合，则此点 的旋转轨迹为一圆，此圆为东西向的直立平面，其投影与吴氏网 纬线小圆重台。因此，只要求出大圆上各点绕定轴旋转后的位置， 即可得到旋转后面的投影。
构造解析_2_赤平投影
赤平投影是在两度空间上解析三度空间的直线、 平面关系问题的方法。它能够处理线状和面状 构造的方位、运动轨迹和角距关系，可以帮助 解析复杂的构造问题。但是，它不涉及地质体 的具体位置、规模和相互距离，因此，不能代 替剖面图、平面图和立体图。
公元前二世纪，球面和平面三角的创始人、希腊 天文学家希巴克斯将其用于天文学、地图学、航 海学。
第二章 赤平投影原理
1. 直线和平面的几何性质（略） 2. 球面几何基本原理 3. 球面投影 4. 赤平极射投影 5. 赤平极射投影网 6. 赤平圆外投影或赤平极外投影 7. 等面积投影网 8. 基本作图方法
第二节 球面几何基本原理
1. 主要的球面几何定理 (1) 任意平面和球相截而成的交线（或截痕）为一
表示。
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第四节 赤平极射投影
简单模拟即可知道： 一条直立线的赤平极射投影位于
投影中心O点； 一条水平直线的赤平极射影为基
圆上两点； 倾斜线的赤平极射投影，介于投
影中心与基圆之间的两点。因两 点为对蹠点，所以任选一点即可。
返回
第五节 赤平极射投影网
为了便于迅速绘制赤平极射投影图，进行面、 线构造的方位、角距测算，一般是在根据上述 原理制作的网上进行的。通用的网是前苏联结 晶学家吴尔福（Wulff,1893,1902）创制的，
函数，所以不同位置上的单位格值所围的面积不 等，离网心愈远面积就愈大。
换言之，球面上面积相等 的圆或其它图形，投影到 吴氏网上之后，面积变得 了不相等了（Ⅱ—17）。
第五节 赤平极射投影网
（5）赤平极射投影最大的特征是球面上二线或二 平面夹角，经投影后仍保持不变，就是赤平极射 投影的保角性，所以这种投影又叫做等角投影。
赤平投影图原理
赤平投影图原理赤平投影图是一种常用的地图投影方式，广泛应用于地理学、地图制作、导航系统等领域。
它是一种将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标的方法，以便更方便地表示地球表面的地理信息。
赤平投影图的原理基于地球的形状和旋转。
地球是一个近似于椭球体的三维物体，而赤平投影图是将这个三维物体投影到一个平面上。
在赤平投影图中，地球的赤道被映射到平面的中心，而其他纬度线则以放射状的方式向外展开。
具体来说，赤平投影图的原理如下：1. 坐标系统选择：赤平投影图使用的是赤道坐标系统，其中赤道被定义为坐标系的原点。
经度则以赤道上的某个点为基准，通常选择格林尼治子午线作为起点。
2. 投影方式选择：赤平投影图采用的是等面积投影方式，也称为兰勃托投影。
这意味着在投影过程中，保持了地球表面上各个区域的面积比例，避免了地图上的失真。
3. 投影计算：将地球上的经纬度坐标转换为平面坐标的过程中，需要进行一系列的数学计算。
这些计算包括将经纬度转换为弧度、计算投影中心、计算投影坐标等步骤。
4. 坐标转换：经过投影计算后，地球上的每个点都被映射到了平面上的对应位置。
这些平面坐标可以通过数学公式进行转换，以便在地图上准确表示地理信息。
赤平投影图的优点是能够保持地图上各个区域的面积比例，使得地图更加真实和准确。
它广泛应用于导航系统中，帮助人们更好地理解和使用地图。
此外，赤平投影图也被用于地理学研究中，用于表示地球表面的地理现象和分布规律。
然而，赤平投影图也存在一些缺点。
由于地球是一个三维物体，将其投影到平面上必然会引起一定程度的失真。
在赤平投影图中，纬度线越远离赤道，失真程度越大。
这意味着在极地地区，地图上的地理信息可能会有较大的偏差。
为了解决这个问题，人们还发展了其他类型的地图投影方式，如墨卡托投影、极射投影等。
这些投影方式各有优缺点，适用于不同的地理区域和应用领域。
总结起来，赤平投影图是一种常用的地图投影方式，通过将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标，方便地表示地球表面的地理信息。
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
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一. 赤平投影的基本原理 (四) 赤平投影网: 构造地质学中常用的投影网有由吴尔福创造的吴氏 网和由施密特创造的施氏网。 1. 吴氏网的结构及成图原理: 吴氏网由基圆(赤平大圆) 、经向大圆弧、纬向小圆弧 等东西、南北经纬线组成。标准的吴氏网的基圆直径为 20cm , 经、纬度间距2°。
透明纸
二. 赤平投影网的使用方法
(一) 平面的赤平投影: 例如: 一平面的产状为120∠30° 2. 转动透明纸, 使120 °倾向的注记点移动至投影网的东西直 径上, 沿着投影网东西直径由投影网圆周向圆心方向数30°, 得一点 C, 然后描绘出过C点的经向大圆弧, 该大圆弧为产状为120∠30°倾 斜平面的赤平投影。 3. 把透明纸指北箭头转回原来0°方位, 此时所画大圆弧的弧 凸方向为120 °, 角距为30°。
180°
150
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构及成图原理: (1) 基圆: 由指北方向N为0°, 顺时针方向刻出 0~360°的刻度，这些刻度起着量度方位角的作用。
一. 赤平投影的基本原理 1. 吴氏网的结构及成图原理: (2) 经向大圆弧: 由一系列通过球心，走向南北，分 别向西和向东倾斜，倾角从基圆边上到基圆中心倾角 由0°～90°的许多平面投影大圆弧所组成。这些大圆 弧与东西直径线的各交点到直径端点(E、W) 的距离分 别代表各平面的倾角值。如图中NGS大圆弧向西倾斜, 倾及其等分面: 3. 把b点转至东西直径上, 从b点沿东西直径朝着圆心 方向数90 °得K点。 4. 将K点转至一经向大圆弧上, 过K点作出大圆弧FG, FG大圆弧所代表的平面即为产状为70∠40°和290∠30° 两平面的公垂面, 因而在FG大圆弧上两交线之间的夹角为 真二面角, 其中一对为锐角, 另一对为钝角, 二者互为补角。
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构及成图原理: 2. 吴氏网与施氏网的区别: 吴氏网 施氏网
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构及成图原理: 2. 吴氏网与施氏网的区别: 吴氏网－球面上大小相等的小圆, 投影在吴氏网上直径角距 是相等的，但由于所处部位不同，投影小圆的作图半径不等、面 积也不等，其规律是，由基圆圆心到圆周逐渐变大。 施氏网－球面上大小相等小圆投影到施氏网上不成小圆，而 成四级曲线，但每个四级曲线构成的图形面积相等，而且是球面 小圆面积的1/2。
二. 赤平投影网的使用方法
二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
一. 赤平投影的基本原理
(一) 投影要素: 3. 基圆: 赤平面与投影球面相交的大圆叫基圆。凡 是过球心的平面与投影球球面相交所成的圆通称为大圆; 凡是不过投影球球心的平面与投影球球面相交所成的圆通 称为小圆。
一. 赤平投影的基本原理
(一) 投影要素: 4. 极射点: 投影球上下两极的发射点叫极射点。由 上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影 称下半球投影; 以下极射点(F)把上半球的几何要素投影到 赤平面上的投影叫上半球投影。构造地质赤平投影分析一 般采用下半球投影。
极射赤平投影原理及使用方法
极射赤平投影及使用方法
极射赤平投影简称赤平投影 主要用来表示 线、面的方向及其它们之间的角距关系和运动规 律; 它把物体三维空间的几何要素(例如线、面) 反映和投影在平面上进行研究处理，从而提供了 一种形象、直观、简便、综合的定量计算和图解 方法。由于具有以上优点，赤平投影被广泛地用 于天文、航海、测量、地理、地质科学等学科中。 构造地质学应用赤平投影来分析地质构造的几何 学形态以及作用力和地质构造之间的关系等方面 的问题。它是研究地质构造的一种重要手段。
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构 及成图原理: 吴氏网由基 300° 圆(赤平大圆) 、 经向大圆弧、纬 向小圆弧等东西、 270° 南北经纬线组成。 标准的吴氏网的 基圆直径为20cm 240 经、纬度间距2°。
°
0°
330° 30°
60°
90 °
120°
210°
一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析: 1. 过球心的平面的赤平投影:
上述球面直立大圆(SPNF) 、水平大圆或基圆(WNES) 、倾 斜大圆(SANB) 的各点与上极射点(P)的连线必穿过赤平面, 在赤 平面上留下的一系列穿透点, 这些穿透点的连线即为相应大圆的 极射赤平投影, 简称大圆弧。
(五) 求平面上一直线的倾伏向和倾伏角: 2. 转动透明纸使该大圆弧的走向对准投影网上的SN 直径, 并从透明纸上大圆弧的E(直线的侧伏向)端开始, 沿 大圆弧数44°(直线的侧伏角)得一点C’’, C’’点为平面上 AC直线的投影点。
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构及成图原理:
2. 吴氏网与施氏网的区别:
因为吴氏网上反映角距关系比较精确，且作图方便， 尤其是在旋转操作方面更显示其优越性，因此，在求解 线、面之间的角距关系方面，采用吴氏网。 在面临众多的线、面统计分析，进行线、面的变化 规律和分布规律的研究时，多用施氏网，因为施密特网 具有等面积特征，能够真实地反映球面上投影极点地分 别疏密。
一. 赤平投影的基本原理
1. 吴氏网的结构及成图原理: (3) 纬向小圆弧: 由一系列走向东西而不通过球心的 直立球面小圆的投影小圆弧组成。纬向小圆弧也是2° 一个间隔，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分 割东西直径线的距离是相对的。
纬向小圆弧
经向大圆弧
吴氏网 施密特网
一. 赤平投影的基本原理
二. 赤平投影网的使用方法
二. 赤平投影网的使用方法
(三)法线的赤平投影:
这里说的法线是指平面的法线，平面 及其法线二者之间相互垂直，夹角相差 90°; 平面及其法线的投影常常互为使用。 平面投影是大圆弧，而平面法线的投影则 为一极点，投影起来方便，在图面上表示 起来也较简洁。
二. 赤平投影网的使用方法 (三)法线的赤平投影: 例如: 求一平面产状为90∠40°的法线投影。 1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0° 开始, 顺时针数到投影网的90 °处, 用铅笔在该处的基 圆上注记一点。该点为平面的倾向。
(二)直线的赤平投影: 例如: 一直线的产状为330∠40° 1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0°开始, 顺时针 数到投影网的330 °处, 用铅笔在该处的基圆上注记一点。该点为直 线的倾伏向。
二. 赤平投影网的使用方法
(二)直线的赤平投影: 例如: 一直线的产状为330∠40° 2. 转动透明纸, 使330 °倾伏向的注记点移动至投影网的东西 直径上, 沿着投影网东西直径由投影网圆周向圆心方向数40°, 得一 点A, 该点即为为产状为330∠40°倾斜直线的赤平投影。
一. 赤平投影的基本原理
(一) 投影要素: 赤平投影是以圆球体作为投影工具, 投影球中用于投影的各 个组成部分称为投影要素: 1. 投影球: 是一个以任意长度为半径的球体, 投影球的表面叫 球面。
一. 赤平投影的基本原理
(一) 投影要素: 2. 赤平圆: 过投影球球心的水平面, 又叫赤平投影面、 或简称赤平面。
一. 赤平投影的基本原理
(三) 直线的赤平投影解析: 设想一直线通过球心, 无限延长必相交于投影球面 两点, 称为极点。铅直线交于球面上下两点, 水平直线交于 基圆上两点; 倾斜直线交于交于相应球面两点。这些交点 与上极射点(P)的连线穿过赤平面的穿透点称为直线的赤 平投影点。
一. 赤平投影的基本原理
二. 赤平投影网的使用方法 (三)法线的赤平投影: 2. 转动透明纸, 使90°倾向的注记点移动至投影网的 东西直径上, 沿着投影网东西直径由投影网圆周向圆心方 向数40°, 得一点D’, 该点即为产状为90∠40°倾斜平面的 赤平投影。 3. 继续沿东西直径再数90 °得P’点, 该点即为产状为 90∠40°平面的法线投影点。
二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
二. 赤平投影网的使用方法
(五) 求平面上一直线的倾伏向和倾伏角: 例如: 一平面产状为180∠a (a =37°), 该平面上一 直线AC 的侧伏向为E(90°), 侧伏角为b (b =44°), 求该直 线的倾伏向、倾伏角。 1. 据平面产状在透明纸上作出该平面的赤平投影得一 大圆弧WD’E。
二. 赤平投影网的使用方法
一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析: 1. 过球心的平面的赤平投影: 设想通过球心的平面无限延伸，必定与球面相交构 成一个直径与投影球直径相对的大圆。直立平面与投影 球相交为一直立大圆(SPNF)，水平平面与投影球相交 为水平大圆或基圆(WNES)，倾斜平面与投影球相交为 一倾斜大圆(SANB) 。