第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 考点小结与复习
八下知识点-第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
第一章一元一次不等式与一元一次不等式组【思维导图】【知识点】一、不等关系1. 不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做，如x＞3. 像x≠3这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2. 列不等式（1）常用的不等关系：①x是正数，则；②x是负数，则；③x是非负数，则；④x是非正数，则；⑤x大于y，则；⑥x不小于y，则。
1. 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向；2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向；3. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
4. 利用不等式的基本性质把不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式三、不等式的解集1. 不等式解集的相关概念（1）不等式的解：把是不等式成立的未知数的值，叫做不等式的。
不等式的解是一个具体的。
（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的。
不等式的解集是一个，包含不等式的 .2. 不等式的解集在数轴上的表示四、一元一次不等式1. 一元一次不等式不等式的左右两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，像这样的不等式叫做一元一次不等式。
2. 一元一次不等式的解法基本思想：运用不等式的基本性质，将不等式变形为x＞a（或x≥a）或x＜a（或x≤a）的形式，即得一元一般步骤：（1） （根据不等式的基本性质2或3）； （2） （根据去括号法则）； （3） （根据不等式的基本性质1）； （4） （根据合并同类项法则）； （5） （根据不等式的基本性质2或3）拓展延伸：解一元一次不等式与解一元一次不等式方程步骤大体一致，但需特别注意 和 的问题。
3. 列一元一次不等式解决实际问题 解题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量，未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解它们的含义。
（2）设：设出适当的未知数。
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。
北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题四【一元一次不等式】知识点总结+经典例
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专题四：一元一次不等式知识点一：认识一元一次不等式例1：下列各式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是？试说明理由。
（1）2x y；（2）x22x 10；（3）（4）--11x (x 1) 32x1x 132；挑战自我，勇攀高分1、判断下列式子是否是一元一次不等式：（是的打√，否的打x ）（1）7>4()（2）3x≥2x+1()（3）2x0()（4）x+y>1()（5）x2+3>2x()知识点二：解一元一次不等式与含字母系数的一元一次不等式的解法例1：解下列不等式（1）2x 1x 2(x 1)2（2）1 323（3）2x 1x 3232（4）2x－3－3x－2－3>2例2：解不等式2x 1（3x 1）132，并将解集在数轴上表示出来。
例3：已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜1）例4：若|a﹣5|﹣5+a=0，则a的取值范围是（）A．a≤5B．a＜5C．a≥5D．a＞5例5：已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围例6：关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（）A、0B、－3C、－2D、－1-2-1 0 1例7：解关于x的不等式（3a1)x3a2ax 3挑战自我，勇攀高分1.解下列一元一次不等式（1）x 12（2）(x1)2（3）23x 2＋x（4）3[x2(x2)]x 3(x2)2.二次根式2x4有意义，求x的取值范围。
3.x321成立，则x的取值范围是____________。
4.已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜15.已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣3D．x＜﹣36.已知y满足不等式﹣y＞2+，化简|y+1|+|2y﹣1|的结果是（）A．﹣3y B．3y C．y D．﹣y+27.当2(k 3)10k3时，求关于x的不等式k(x 5)4x k的解集。
《一元一次不等式和一元一次不等式组》综合复习课件
x m 2 x 3、若关于x的方程 x m的取值范围。 2 2
11.利用方程和一个一次函数的图象求一元一次 不等式的解集: 一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b是一元一次方 程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0 是一元一次不等式,它们分别对应直线x轴上方的部分
0.5x+0.2(50-x) ≤19 解：（1）由题意得： 0.3x+0.4(50-x) ≤17.2
解不等式组，得 28≤x≤30
（2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150。因为x越小， y越小，所以当x=28时，y最小。即当甲种饮料 配制28千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。
练习：绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收 获枇杷20吨，桃子12吨。现计划租用甲、乙两种货 车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲 种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装 枇杷和桃子各2吨。
-2 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2
D )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
)
-2 -1 0 1 2
x≥-1 A
x<1 B
x≥0 C
x>0 D
用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴;(2)定界点;(3)定方向.
8、不等式解集中最值问题： 对于不等式x≥a的解集有最小值，最小值为x=a；对于 不等式x≤a的解集有最大值，最大值为x=a，而不等式 x>a的解集没有最小值，x<a没有最大值。
C.m≤0;
D.m≥0.
(2).下列变形中正确的是( C
一元一次不等式(组)小结与复习
6.不等式－2x＜4的解集在数轴上表示正确的是
（B ）
A：
-3 -2 -1 0 1
B：-3 -2 -1 0 1
C：
-3 -2 -1 0 1
D：-3 -2 -1 0 1
7.利用数轴确定下列不等式组的解集：（a＞b） x≥a
x＞b ___x_≥___a_________
x≤a x<b x＞a x<b
__x__<__b__________ __无__解____________
（1）x <5 -1 0 1 2 3 4 5 6
（2）x ≥-2 -3 -2 -1 0 1 2 3
（3）x ≤ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
注意：空心圆圈与实心圆圈的区别.
自我测一测
1.用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与1的和小于零. (2)x的一半与3的差不大于2.
(3)a与b的4倍的和大于或等于-3.
含有_一_个未知数，且含未知数的项的次数是 _1__的_不_等__式__叫做一元一次不等式.
3.一元一次不等式组： 把含有_相__同__未知数的几个_一__元__一__次__不__等__式__
联立起来就组成一元一次不等式组.
4.不等式的解：
指满足不等式的未知数的_每_一__个__值_____.
5.不等式的解集：
一元一次不等式(组) 小结与复习
本章知识结构
不等式的基本性质
不
等
一元一次 一元一次
一元一次
式
不等式 不等式的解法 不等式的应用
组
一元一次 不等式组
一元一次 不等式组的解法
()
一 、不等式的有关概念 1.不等式：用_不__等_号____连接而成的式子叫做
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八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳北...八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳（北师大版）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系1.一般地,用符号“<</span>”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数大于等于0(≥0)，非正数小于等于0(≤0)二.不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质：(1)不等式的两边加上(或减)同一个整式,不等号的方向不变,即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,a/c=b/c.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即：如果a>b,并且c<0,那么ac2.比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)即：a>b <===>a-b>0 a=b <===>a-b=0 a<===>a-b<02.比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a那么a-b是负数;反过来,如果a-b是负数,那么a即：a>b <===>a-b>0a=b <===>a-b=0a<===>a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三.不等式的解集：1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.¤3.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向：边界：有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;。
一元一次不等式和一元一次不等式知识点总结加练习
1、不等式：一般地，用符号 连接的式子叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个 的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的 叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求 过程，叫做解不等式。
5、不等式两边都加上（或减去） ，不等号的方向不变。
6、不等式两边都乘以（或除以） ，不等号的方向不变。
7、不等式两边都乘以（或除以） ，不等号的方向改变。
演练一：不等式及不等式的基本性质1、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ；2、如果a ＞b,那么下列不等式中不成立的是( ) A ． a ―3＞b ―3 B ． ―3a ＞―3b C ．3a ＞3bD ． ―a ＜―b 3．若0<k ，则下列不等式中不能成立的是（ ）A ．45-<-k kB ．k k 56>C ．k k ->-13D ．96k k ->-1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有 未知数，未知数的次数是 ，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤： 演练二：一元一次不等式思考：在数轴上如何表示一元一次不等式的解集？ 1、在数轴上表示不等式x ≥－2的解集，正确的是（ ）2、解不等式()32121x x --≥， 3．解不等式652423-≤+-x x x4、解不等式x x 2131--≥5、1312523-+≥-x x ；1．关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图所示 ，则a 的取值是（ ）A ．0B ．—3C ．—2D ．—12．已知不等式x ＋8＞4x ＋m (m 是常数)的解集是x ＜3，求m 。
3．关于x 的方程2x+3k=1的解是负数,则x 的取值范围是多少？1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式 ，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的 ，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
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八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳北 ...八年级数学下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点归纳（北师大版）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地，用符号“《/span>” （或“w”），“>” （或“》”）连接的式子叫做不等式2. 要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系 ; 不等式表示的是不相等的关系 .3. 准确“翻译”不等式 , 正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数大于等于0（ >0），非正数小于等于0（ <0）二 . 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边加上（或减）同一个整式, 不等号的方向不变, 即：如果 a>b, 那么 a+c>b+c,a-c>b-c.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数 , 不等号的方向不变, 即如果 a>b, 并且 c>0, 那么 ac>bc,a/c=b/c.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数 , 不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac2. 比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式）即： a>b <===>a-b>0 a=b <===>a-b=0 a<===>a-b<02.比较大小：（a、b分别表示两个实数或整式）一般地：如果a>b,那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b;如果 a=b, 那么 a-b 等于 0; 反过来 , 如果 a-b 等于 0, 那么 a=b;如果a那么a-b是负数；反过来，如果a-b是负数，那么a 即： a>b <===>a-b>0a=b <===>a-b=0a<===>a-b<0（由此可见 , 要比较两个实数的大小 , 只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集：1. 能使不等式成立的未知数的值 , 叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解 , 组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程 , 叫做解不等式 .2. 不等式的解可以有无数多个 , 一般是在某个范围内的所有数 , 与方程的解不同 .O3.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时 , 要确定边界和方向：边界：有等号的是实心圆圈 ,无等号的是空心圆圈；。
八年级数学北师大版下册第二章 《一元一次不等式与一元一次不等式组》热门考点整合训练
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第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
12.商店以 7 元/件的进价购入某种文具 1000 件，按 10 元/件 的售价销售了 500 件．现对剩下的这种文具降价销售，如果要保 证总利润不低于 2000 元，那么剩下的文具最低定价是多少元？
解：设剩下的文具定价为 x 元/件，
依题意，得：500(10－7)＋(1000－500)(x－7)≥2000，
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第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
解：设第二批购进肉粽 y 个，则蜜枣粽购进(300－y)个，
获得利润为 w 元，
由题意得：w＝(14－10)y＋(6－4)(300－y)＝2y＋600，
∵2＞0，∴w 随 y 的增大而增大，∵y≤2(300－y)，
∴0＜y≤200，∴当 y＝200 时，
解得：x≥8.
答：剩下的文具最低定价是 8 元/件．
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第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
考点 ：一元一次不等式与一次函数
13．如图，直线 y＝kx＋b 经过点 A(3,1)和点 B(6,0)，则不等
式 0＜kx＋b＜13x 的解集为( C )
A．x＜0 B．0＜x＜3 C．3＜x＜6 D．x＞6
10．解不等式 2x＋2－1≥4x＋2，并把解集表示在数轴上．
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
第21课时 《一元一次不等式与一元一次不等式组》
解：移项得，2x－4x≥2－2＋1， 第21课时 《一元一次不等式与一元一次不等式组》
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 第21课时 《一元一次不等式与一元一次不等式组》
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
北师大版八年级数学下册第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 小结与复习
5. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的
一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体
车主收费 y1 元，国营出租车公司收 y (元)
4000
费为 y2 元，观察下列图象可知，当 3000
y2 y1
x_＞__1_5_0_0__时，选用个体车较合算．
2000 1000
O
1500 x (千米)
例3 如图是一次函数 y＝kx＋b 的图象，当 y＜2 时，x 的
取值范围是 ( C )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3
D．x＞3
y
【解析】一次函数 y＝kx＋b 经过点
(3,2)
(3，2)，且函数值 y 随 x 的增大而增大，
(2,1)
∴ 当 y＜2 时，x 的取值范围是 x＜3． O
x
针对训练
把解集在数轴上表示
3
出来，并将解集中的整数解写出来.
解：解不等式，得 x≤3. 解不等式，得 x 7 .
所以这个不等式组的解集是 7 ＜x≤3，解集在数轴5 上
表示如下：
5
0 17 2 3 4 通过观察数轴可知5该不等式组的整数解为 2，3.
方法总结
可借助数轴或口诀确定不等式组的解集.
针对训练
7. 使不等式 x－1≥2 与 3x－7＜8 同时成立的 x 的整数
值是 3 或 4 .
8. 若关于 x 不等式组
x x
2m ＜0 m＞2
，有解，则
m
的取值范
围是 ( C )
A. m＞ 2
3
B. m≤ 2
3
C.
m＞
2 3
D. m≤ 2
3
知识点五 不等式、不等式组的实际应用
八年级下册数学一元一次不等式与一元一次不等式组知识点总结
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的一个重要知识点，以下是该知识点的主要内容以及学习方法和应用：
一、定义：
1. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，可以用不等号连接的整式方程。
2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的方程组。
二、解题步骤：
1. 分别解每个不等式；
2. 找出解集的规律；
3. 画出数轴；
4. 根据数轴写出不等式组的解集。
三、注意事项：
1. 解不等式时要根据不等式的性质，不能丢三落四；
2. 解不等式组时要根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的原则。
四、应用：
不等式与不等式组可以应用于日常生活、工程问题、经济问题等领域，帮助我们解决实际问题。
例如，在购物时我们可以用不等式比较不同商品的价格，或者在工程问题中用不等式表示某些量的范围等。
五、练习方法：
1. 课本例题练习：通过解决课本例题来加深对一元一次不等式与一元一次不等式组的理解；
2. 课后习题练习：通过解决课后习题来巩固知识点；
3. 自测练习：自己出题并解答，以加深对知识点的掌握；
4. 专题练习：针对某一知识点进行专题练习，以加深对该知识点的理解和掌握。
六、总结：
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的重要知识点，需要我们通过多练习来加深对知识点的理解和掌握。
同时，我们也要学会在实际问题中应
用这些知识点，以增强我们的数学应用能力。
7 一元一次不等式与不等式组知识点总结
优能个性化辅导--一元一次不等式与不等式组一元一次不等式与一元一次不等式组的解法一.知识梳理1.知识结构图(二).知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c） 4．一元一次不等式（重点）只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．例：131321≤---x x 解不等式：6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．7．一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．（三）常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 .用不等式表示a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1；数轴题1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞0同等变换1.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见)1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥2.（2010福建宁德）解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．3.（2006年绵阳市）12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或bx a >）当0a <时，b x a <（或bx a>）4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜15 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-a b，那么a 的取值范围是________.1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个2.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1B.0C.－1D.不存在1. 不等式|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________.1.已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( ) A.x ＜2 B.x ＞－2 C.当a ＞0时，x ＜2 D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时， x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）y x＜0中，正确结论的序号为________。
北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题一【不等式关系】知识点总结+经典例题+
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组专题一：不等关系知识点一：认识不等式例1：下列各式中，哪些是不等式？（1）32> （2）0132≥+x （3）152>-x （4）352-=x x（5）132++a a （6）12+=x y （7）1≠x挑战自我，勇攀高分1.在数学表达式（1）-3<0；（2）054>+x ；（3）3=x ；（4）x x +2；（5）12+>+x x 中是不等式的有（ ）A 2个B 3个C 4个D 5个知识点二：列不等式例1：用不等式表示：（1）a 的2倍与4的差是正数； （2）b 的21与c 的和是负数；（3）a 与b 的差是非负数； （3）x 的绝对值与1的和不小于1；（4）地球上海洋面积大于陆地面积。
例2：某数学活动小组10名同学利用假期到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始2天，每人每天完成5本杂志，那么以后3天，每人每天必须完成几本杂志才能超额完成原计划装订300本杂志的任务？（只要求列出不等式即可）挑战自我，勇攀高分1.x 的2倍减去7的差不大于-1，可列关系式为（ ）A 172-≤-xB 172-<-xC 172-=-xD 472-≥-x2.下列列出的不等式关系中，正确的是（ ）A.a 是负数可表示为0>aB.x 不大于3可表示为3<xC.m 与4的差是负数，可表示为04<-mD.x 与2的和是非负数可表示为02>+x3.据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是c ο33，最低气温是c ο24，则当天佛山市气温)(c t ο的变化范围是（ ） A 33>t B 24≤t C 3324<<t D 3324≤≤t4.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（ ）A a b c <<B a c b <<C b a c <<D c a b <<5.某中巴车上表明“限载45人”，意思就是该巴中车的载客数____________，如果用x 表示载客数，则有不等式________________。
初中数学第二章一元一次不等式与一元一次不等式组复习
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组一、知识结构脉络1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、知识点梳理1、不等式的基本性质（如下表）2.运算性质（1）若a>b，c>d，则a 十c>b 十d（同向不等式相加）（2）若a>b，c<d，则a 一c>b 一d（异向不等式相减）（3）若a>b>0，c>d>0，ac>bd（4）若a>b>0，0<c<d，则db c a >（5）（5）若a>b>0，则ba 11<性质文字叙述数学语言（I）不等式的两边加（或减）同一个数或（式子），不等号的方向不变若a>b 则a 土c>b 土c （II）不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变若a>b 且c>0则ac>bc 或c b c a >（III）不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变若a>b 且c<0则ac<bc 或cb c a <（6）若a>b>0，n 为正整数，则nn b a >（7）（7）若a>b>0，n 为不小于2的整数则n n ba >3、解不等式的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）未知数的系数化为1。
要注意把系数化为1时，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选择解题步骤。
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 章末归纳与复习
则不等式组的解集是-1≤x＜2.
将不等式的解集表示在数轴上如答图2-J-2.
6. （2016西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550 元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格 将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元. 这批电 话手表至少有 （ C ） A. 103块 B. 104块 C. 105块 D. 106块 8. （2015广东）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种 计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号 和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号 计算器，可获利润120元. （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少 元；（利润=销售价格-进货价格） （2）商场准备用不多于2 500元的资金购进A，B两种型号计算 器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台.
解：（1）设A型号计算器的销售价格是x元，B型号计算器的 销售价格是y元. 由题意，得 解得
答：A型号计算器的销售价格是42元，B型号计算器的销售价 格是56元. （2）设购进A型号计算器a台，则购进B型号计算器（70-a） 台. 依题意，得30a+40（70-a）≤2 500. 解得a≥30. 答：最少需要购进A型号的计算器30台.
广东学导练
数学
八年级下册
配北师大版
第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组
章末归纳与复习
知识脉络
考点演练
3. （2016怀化）不等式3（x-1）≤5-x的非负整数解有
（ C ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. （1）（2016苏州）
一元一次不等式和一元一次不等式组复习
一元一次不等式和一元一次不等式组复习考点知识:1．概念：不等式：用不等号连接起来的式子，叫做不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集。
解不等式：求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式。
解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式.一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.2．不等式基本性质：（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（用字母表示：若啊）a>b ，则a ±c>b ±c ；若a<b ，则a ±c<b ±c ）（2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（用字母表示：若a>b,c>0，则ac>bc ，或c b c a >；若a<b,c>0，则ac<bc ，或cb c a <）（3）基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（用字母表示：若0,<>c b a ，则bc ac <，或c b c a <；若0,<<c b a ，则bc ac >，或cb c a >） 3．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似。
一般步骤如下：（1）去分母（注意每一项都要乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘;如分子是多项式的，去掉分母要加括号）（2）去括号（括号前是负号，去掉括号时里面的每一项都要变号）（3）移项（移项要变号）（4）合并同类项（5）未知数的系数化为1（当两边同时乘以（或除以）一个负数时，要改变不等号的方向）4．一元一次不等式组的解法： （1）分别求出每个不等式的解集。
第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点
八年级数学（下）第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》知识点班别 姓名 学号一、知识点：（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1： 基本性质2： 基本性质3：（三）不等式的解法1．一元一次不等式的解法：（一般步骤及依据）①去分母（根据不等式性质2或3）②去括号（根据去括号法则即乘法分配律）③移项（根据不等式性质1）④合并同类项（合并同类项法则）⑤化系数为1（根据不等式性质2或3）注意：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
2．不等式组的解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
请用数轴表示：设 a > b ：⎩⎨⎧〉〉b x a x ⎩⎨⎧〈〈b x a x ⎩⎨⎧〉〈b x a x ⎩⎨⎧〈〉b x a x（四）列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列：（4）解；（5）答（五）一元一次不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：直线l 1：y 1=k 1x+b 与直线l 2：y 2=k 2x+b 2相交于点P （1，2），则关于x 的不等式y 1 ＜y 2的解集为___ _ 二、配套练习： 1、x 的2倍与3的差不大于8列出不等式是 。
2、不等式3312-≥-x x 的正整数解是 。
3、若三角形的三边为4、5、x ，那么x 的取值范围是 。
4、下列不等式一定成立的是（ ）A. x+2<x+3B. 5a >4aC. －a >－2aD.32a a〉 5、若点P （m - 3 ，m+1）在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A 、-1 < m < 3B 、m > 3C 、m < - 1D 、m > -16、不等式组⎩⎨⎧〉〉mx x 2的解集是x ＞2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜ 2C ． m ≤2D ．m ≥ 27、解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。
第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》小结与复习-八年级数学下册(北师大版)
特点
个体
全体
形式
如:x=3是2x-3<7的一个解
如:x<5是2x-3<7的解集
联系
某个解定是解集中的一员
解集一定包括了某个解
创设情境 引入新课
一元一次不等式的定义：不等式的左右两边都是整式，只含一个未知数，并且
未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式的特征： ①左右两边都是整式； ②只有一个未知数，且未知数的最高次数是1； ③用不等号连接的式子.
创设情境 引入新课
用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
（1）审：认真审题找出不等关系； （2）设：设出适当未知数； （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （4）解：解所列的不等式； （5）答：根据实际情况写出答案.
在应用一元一次不等式解决 实际问题时，要抓住题中的 关键词，如“大于”“不大 于”“至少”“不超过”等.
解析： 选项A，由a>b,b<c，不能根据不等式的性质确定a>c ； 选项B，a>b,当c=0时，ac=bc，不能根据不等式的性质确定ac>bc ； 选项C，a>b,当c=0时，ac2=bc2，不能根据不等式的性质确定ac2>bc2； 选项D，ac2>bc2,隐含c≠0 ，可以根据不等式的性质在不等式的两边同时除以正数c2，从而 确定a>b.
＞ 大于,高出 大于
小于或等于 号
≤
不大于, 小于或 不超过 等于
大于或等于 号
≥
不小于, 大于或
至少
等于
不等号
≠性质：
变形 两边都加上（或减去）同一个整式 两边都乘以（或除以）同一个正数 两边都乘以（或除以）同一个负数
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 考点小结与复习
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组小结与复习考点呈现考点1 不等式的基本性质例1 (2011年淄博市)若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ．33-<-b aB ．b a 22->-C ．44b a <D ．1->b a分析：根据不等式的基本性质，逐一验证即可得出结果.解: 本题考查了利用不等式的基本性质进行不等式变形．不等式两边都减去3，不等号方向不改变，所以A 错误；不等式两边同时乘以(－2)，不等号方向改变，所以B 错误；不等式两边都除以4，不等号方向不改变， 所以C 错误；因为b a >，b ＞b -1，所以1->b a ，故选D ．说明:不等式的基本性质是不等式变形的依据，注意当不等式两边同时乘以或除以一个不等于零的负数时，不等号的方向要改变．考点2 解一元一次不等式（组）例2（2011年北京市）解不等式：4(x －1)＞5x －6.分析：依据解不等式的步骤一步步完成.解：去括号，得4x －4＞5x －6.移项、合并同类项，得－x ＞－2.化系数为1，得x ＜2.所以原不等式的解集是x ＜2.说明：注意移向和化系数为1时，符号的变化.例3（2011年佛山市）解不等式组：1 2315x x,x x .⎧-⎪⎨⎪--≥-⎩＜（）分析：先确定不等式组中每一个不等式的解集，进而再确定其公共解集.解：解不等式2x －1＜x ，得x ＞－2；解不等式x －(3x －1)≥－5，得x ≤3.因此原不等式组的解集是－2＜x ≤3.说明：确定不等式组的解集的方法有两种：“数轴法”和“口诀法”.考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解例4（2011年烟台市）不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（ ）A.1 个B. 2 个C. 3个D. 4个分析：先依照解一元一次不等式的一般步骤求出不等式的解集，进而利用非负整数的意义求解.解：解不等式，得x ≤2.因为x 是非负整数，所以x ＝0，1，2，共有3个，故选C .说明：此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断.例5（2011年苏州市）不等式组30,32x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的所有整数解之和是（ ） A.9 B.12 C.13 D.15分析：先分别求出不等式组的解集，进而利用整数的意义求解.解：解不等式x －3≥0，得x ≥3；解不等式2x ＜3，得x ＜6，所以不等式组的解集为3≤x ＜6.因为x 是整数，所以x 可取3，4，5，所以所有整数解之和是12.故选B .说明：先求出不等式组的解集，然后按解集中有哪些整数，最后将这些整数相加.考点4 确定一元一次不等式（组）中字母系数的范围例6（2011年眉山市）关于x 的不等式3x －a ≤0，只有两个正整数解，则a 的取值范围是＿＿＿.分析：先求出不等式的解集，再由“只有两个正整数解”确定a 的取值范围.解：解关于x 的不等式3x －a ≤0，得x ≤3a .因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解只能为1，2，所以2≤3a ＜3，6≤a ＜9. 说明：本题也可以通过数轴来确定a 的取值范围.例7（2011年安顺市）若不等式组530,0x x m -≥⎧⎨-≥⎩有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A .m ≤53 B .m ＜53 C .m ＞53 D .m ≥53分析：先求出不等式组中的每一个不等式的解集，进而利用“有实数解”进一步求解.解：解不等式5－3x ≥0，得x ≤53；解不等式x －m ≥0，得x ≥m . 因为原不等式组有实数解，所以m ≤x ≤53，所以m 满足m ≤53.故选A . 说明：求解本题时，应注意理解“有实数解”的意义，同时要避免忽略等于53的情况. 考点5 不等式与一次函数例8（2011年西宁市）如图，直线y ＝kx +b 经过A (－1，1)和B (，0)两点，则不等式0＜kx +b ＜－x 的解集为＿＿＿.分析：要求不等式的解集，可分别求得不等式0＜kx +b 的解集和不等式kx +b ＜－x 的解集，此时可由已知的点的坐标，并结合图象求解.解：因为不等式0＜kx +b 对应的解集是直线在x 轴上方的部分对应的x 的值，而点B 的坐标是(，0)，所以x.将A (－1，1)代入函数关系式y ＝kx +b ，得k +1＝b .解不等式kx +b ＜－x 得(k +1)x ＜－b ，即bx ＜-b .因为b ＞0，所以x ＜－1.取其公共部分，得＜x ＜－1，即不等式0＜kx +b ＜－x＜x ＜－1.说明：求解本题时，一定要根据一次函数与不等式的关系，充分利用数形结合的方法求解.考点6 用一元一次不等式组解决应用题例9（2011年桂林市）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.（1）设敬老院有x 名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x 的式子表示）（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”易求牛奶盒数.（2）欲求老人的数目，需要确定一个范围，根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知1≤最后一个老人分得的牛奶盒数＜5，由于前面的老人每人6盒，且总共有(5x +38)盒，所以最后一个老人分得的牛奶盒数为(5x +38)－6(x －1)，因此有1≤(5x +38)－6(x －1)＜5，解之可得出老人的数目.解：（1）依题意，得牛奶盒数为(5x +38)盒.（2）根据题意，得5386(1)5,5386(1) 1.x x x x +--<⎧⎨+--⎩≥解得39＜x ≤43. 因为x 为整数，所以x ＝40，41，42，43 .所以该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.说明：应用不等式及不等式组解决实际问题时，需先设出未知数，根据题意找到不等关系，列出不等式（组）求解，再根据实际情况进行分析解答.如本题老人的数目必须是整数.误区点拨误区一：概念不清例1 下列四个式子：①0<x ；②2≠a ③12>；④b y ≤.其中是不等式的有（ ）A . ②③B . ②③④C . ①②③④D . ②④错解:选D剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是不是用不等号连接.常见的不等号有:≠≥≤><、、、、.所以所给四个式子都是不等式.正解：选C .误区二：对不等式基本性质理解错误例2已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（ ）A .1个B . 2个C . 3个D . 5个错解：根据不等式的基本性质知，5个式子都是正确的，故选D .剖析：当2a =-，1b =时，①不正确；根据不等式的基本性质1，可知②③正确；根据不等式的基本性质3，可知④正确； c 的值不确定，当c <0时，⑤不正确.正解：选C .误区三：与方程组的解法混淆例3 解不等式组⎩⎨⎧≥+-≥-②①，.03201x x错解：由①+②，得-x +2≥0.解得x ≤2.所以，原不等式组的解集为x ≤2.剖析：错解误将解方程组的加减消元法用在解不等式组中，导致错误.正解：解不等式①，得x ≥1；解不等式②，得x ≤23. 所以原不等式组的解集是1≤x ≤23. 误区四：忽视等号例4 已知不等式组⎩⎨⎧-<+>2,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（ ）A .a ≤－3B .a ＜－3C .a ≥－3D .a ＞－3错解：选D .剖析：原不等式组等价于2a ＋1＜x ＜a －2，因为此不等式组无解，所以2a ＋1与a －2之间不能留有“空隙”，因此，2a ＋1应比a －2大，即2a ＋1＞a －2.2a ＋1与a －2可以相等吗？当2a ＋1＝a －2时，解得a ＝－3，不等式组为－5＜x ＜－5，x 同样取不到任何的值，原不等式组仍然无解，所以2a ＋1≥a －2，解得a ≥－3.正解：选C .。
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第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组小结与复习
考点呈现
考点1 不等式的基本性质
例1 (2011年淄博市)若b a >，则下列不等式成立的是（ ）
A ．33-<-b a
B ．b a 22->-
C ．44b a <
D ．1->b a
分析：根据不等式的基本性质，逐一验证即可得出结果.
解: 本题考查了利用不等式的基本性质进行不等式变形．不等式两边都减去3，不等号方向不改变，所以A 错误；不等式两边同时乘以(－2)，不等号方向改变，所以B 错误；不等式两边都除以4，不等号方向不改变， 所以C 错误；因为b a >，b ＞b -1，所以1->b a ，故选D ．
说明:不等式的基本性质是不等式变形的依据，注意当不等式两边同时乘以或除以一个不等于零的负数时，不等号的方向要改变．
考点2 解一元一次不等式（组）
例2（2011年北京市）解不等式：4(x －1)＞5x －6.
分析：依据解不等式的步骤一步步完成.
解：去括号，得4x －4＞5x －6.移项、合并同类项，得－x ＞－2.化系数为1，得x ＜2.所以原不等式的解集是x ＜2.
说明：注意移向和化系数为1时，符号的变化.
例3（2011年佛山市）解不等式组：1 2315x x,x x .⎧-⎪⎨⎪-
-≥-⎩＜（）
分析：先确定不等式组中每一个不等式的解集，进而再确定其公共解集.
解：解不等式2
x －1＜x ，得x ＞－2；解不等式x －(3x －1)≥－5，得x ≤3.因此原不等式组的解集是－2＜x ≤3.
说明：确定不等式组的解集的方法有两种：“数轴法”和“口诀法”.
考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解
例4（2011年烟台市）不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（ ）
A.1 个
B. 2 个
C. 3个
D. 4个
分析：先依照解一元一次不等式的一般步骤求出不等式的解集，进而利用非负整数的意义求解.
解：解不等式，得x ≤2.因为x 是非负整数，所以x ＝0，1，2，共有3个，故选C .
说明：此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断.
例5（2011年苏州市）不等式组30,32
x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的所有整数解之和是（ ） A.9 B.12 C.13 D.15
分析：先分别求出不等式组的解集，进而利用整数的意义求解.
解：解不等式x －3≥0，得x ≥3；解不等式2
x ＜3，得x ＜6，所以不等式组的解集为3≤x ＜6.因为x 是整数，所以x 可取3，4，5，所以所有整数解之和是12.故选B .
说明：先求出不等式组的解集，然后按解集中有哪些整数，最后将这些整数相加.
考点4 确定一元一次不等式（组）中字母系数的范围
例6（2011年眉山市）关于x 的不等式3x －a ≤0，只有两个正整数解，则a 的取值范围是＿＿＿.
分析：先求出不等式的解集，再由“只有两个正整数解”确定a 的取值范围.
解：解关于x 的不等式3x －a ≤0，得x ≤
3a .因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解只能为1，2，所以2≤3
a ＜3，6≤a ＜9. 说明：本题也可以通过数轴来确定a 的取值范围.
例7（2011年安顺市）若不等式组530,0x x m -≥⎧⎨
-≥⎩有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A .m ≤53 B .m ＜53 C .m ＞53 D .m ≥53
分析：先求出不等式组中的每一个不等式的解集，进而利用“有实数解”进一步求解.
解：解不等式5－3x ≥0，得x ≤
53
；解不等式x －m ≥0，得x ≥m . 因为原不等式组有实数解，所以m ≤x ≤53，所以m 满足m ≤53.故选A . 说明：求解本题时，应注意理解“有实数解”的意义，同时要避免忽略等于
53
的情况. 考点5 不等式与一次函数
例8（2011年西宁市）如图，直线y ＝kx +b 经过A (－1，1)和B (－7，0)两点，则不等式0＜kx +b ＜－x 的解集为＿＿＿.
分析：要求不等式的解集，可分别求得不等式0＜kx +b 的解集和不等式kx +b ＜－x 的解集，此时可由已知的点的坐标，并结合图象求解.
解：因为不等式0＜kx +b 对应的解集是直线在x 轴上方的部分对应的x 的值，而点B 的坐标是(－7，0)，所以x ＞－7.将A (－1，1)代入函数关系式y ＝kx +b ，得k +1＝b .解不等式kx +b ＜－x 得(k +1)x ＜－b ，即bx ＜-b .因为b ＞0，所以x ＜－1.取其公共部分，得 －7＜x ＜－1，即不等式0＜kx +b ＜－x 的解集为－7＜x ＜－1.
说明：求解本题时，一定要根据一次函数与不等式的关系，充分利用数形结合的方法求解.
考点6 用一元一次不等式组解决应用题
例9（2011年桂林市）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.
（1）设敬老院有x 名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x 的式子表示）
（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？
分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”易求牛奶盒数.（2）欲求老人的数目，需要确定一个范围，根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知1≤最后一个老人分得的牛奶盒数＜5，由于前面的老人每人6盒，且总共有(5x +38)盒，所以最后一个老人分得的牛奶盒数为(5x +38)－6(x －1)，因此有1≤(5x +38)－6(x －1)＜5，解之可得出老人的数目.
解：（1）依题意，得牛奶盒数为(5x +38)盒.
（2）根据题意，得5386(1)5,5386(1) 1.x x x x +--<⎧⎨+--⎩
≥解得39＜x ≤43. 因为x 为整数，所以x ＝40，41，42，43 .
所以该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.
B A y
x O
说明：应用不等式及不等式组解决实际问题时，需先设出未知数，根据题意找到不等关系，列出不等式（组）求解，再根据实际情况进行分析解答.如本题老人的数目必须是整数.
误区点拨
误区一：概念不清
例1 下列四个式子：①0<x ；②2≠a ③12>；④b y ≤.其中是不等式的有（ ）
A . ②③
B . ②③④
C . ①②③④
D . ②④
错解:选D
剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是不是用不等号连接.常见的不等号有:≠≥≤><、、、、.所以所给四个式子都是不等式.
正解：选C .
误区二：对不等式基本性质理解错误
例2已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（ ）
A .1个
B . 2个
C . 3个
D . 5个
错解：根据不等式的基本性质知，5个式子都是正确的，故选D .
剖析：当2a =-，1b =时，①不正确；根据不等式的基本性质1，可知②③正确；根据不等式的基本性质3，可知④正确； c 的值不确定，当c <0时，⑤不正确.
正解：选C .
误区三：与方程组的解法混淆
例3 解不等式组⎩⎨⎧≥+-≥-②①
，.03201x x
错解：由①+②，得-x +2≥0.解得x ≤2.
所以，原不等式组的解集为x ≤2.
剖析：错解误将解方程组的加减消元法用在解不等式组中，导致错误.
正解：解不等式①，得x ≥1；解不等式②，得x ≤
23. 所以原不等式组的解集是1≤x ≤
2
3. 误区四：忽视等号
例4 已知不等式组⎩⎨⎧-<+>2
,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（ ）
A .a ≤－3
B .a ＜－3
C .a ≥－3
D .a ＞－3
错解：选D .
剖析：原不等式组等价于2a ＋1＜x ＜a －2，因为此不等式组无解，所以2a ＋1与a －2之间不能留有“空隙”，因此，2a ＋1应比a －2大，即2a ＋1＞a －2.2a ＋1与a －2可以相等吗？当2a ＋1＝a －2时，解得a ＝－3，不等式组为－5＜x ＜－5，x 同样取不到任何的值，原不等式组仍然无解，所以2a ＋1≥a －2，解得a ≥－3.
正解：选C .。