6. 投影变换

b′ k′ a′ e′ d′ c′
n
b a k d c n
（五）、把投影面垂直面变为投影面平行面 ）、把投影面垂直面变为投影面平行面 变为
V c′ c1 ′ V1 a1′ C a′ b′ b1′ A B X
X1
H
c′ c1 ′ b1′ X a1′ bc V a′ a b′ X bc a H c′ a′ b′
（六）、把一般位置平面变为投影面平行面
a2′ b2′ d2 b′ d′ a′ V X H a c′ b d c c2 ′
例题5 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。 a2′
15
b2′ d2
e2 ′ c2 ′
b′ e′ a′ V X H a d′ c′ b e
e1
d c
例题：求两平面ADC和BDC的夹角θ
思考题2
如何求两直线AB与CD间的距离？
b′ b′ a′ d′ V H b a a2 b2 提示
a′ cAB与CD的公垂线 。
a′ V X H 1 a c 2 c1 ′ 21 ′ 11′ d1′ 1′ c′ b′ 2′ d′
b d 22 d2 c2 12 a2b2
1、直线的旋转
（1）、直线的旋转可用直线上两点的旋 转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向 ，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何 元素相对位置不改变。
（2）、直线旋转的投影规律
AB绕铅垂线O沿反时针方向旋 转一个φ角，在水平投影中， 由于 oa=oa1 ； ob=ob1； ∠aob= ∠a1ob1 ； 则△aob≌
一、换面法的基本概念
c′ c1 ′ V1 a1′ b1′ A X1 a H V/H 体系变为V1/H 体系 换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 换面法 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出 其在新投影面上的投影。 b c B C a′ b′ X a1 ′ X1 c′ V c1 ′ b1′ X bc a′ b′
d′ d c b a c 直线与平面的交点 d
两点之间距离
§6-2 换面法
一、变换投影面法的基本概念 变换投影面法，简称 换面法，就是保持空间几何 元素的相对位置不变，借建立新的投影体系，使空间几何 元素对新投影体系处于有利于解题的位置，用旧投影求出 其新投影的方法。 二、新投影面的选择原则 新投影面应与空间几何元素处于解题有利的位置； 新投影面应垂直于原投影面之一，使投影体系仍为直角投 影体系，正投影特性及其规律在新投影体系中保持不变， 即可由正投影规律作出其新投影。 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题
三、点的投影变换规律
1、点的一次变换 2、点的投影变换规律 3、点的两次变换
1 点的一次变换 V a′ V1 a1′ A X
X1
a H
V a1′ A
a′
V1
X
a′
a H
a1′
XV H
a
2 点的投影变换规律
1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距 a′ 离。
投影变换的方法： 投影变换的方法：变换投影面法、旋转法、斜角投影法。
b′ a′ a′
c′ b′
a′ d′ d
c′ b′ a′
c′ d′ b′ b b a d c c′ b′ a′ d′ b′ b
a a b
c a b c′ b′ a′ a b a c 三角形实形 b a 两平面夹角 a′ c′ c
b′ a′
一、旋转法的基本概念
a′ A SCAB b′ X B a H b O V
旋转法—与换面法相反，在进行投影变换时，投影面不动，使空间 旋转法 几何元素绕某一轴进行旋转，改变其与投影面的相对位置。
二 点的旋转规律
1 点绕正垂轴旋转 a′ a′
轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形
V o′ a′ A A o a H A
o
若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动 ，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。
三
直线、平面旋转的投影变换规律
直线的旋转实际上是直线两端点绕同一轴、 按同一方向、旋转相同角度的旋转；平面的旋转 是平面图形各角点（各边）绕同一轴、按同一方 向、旋转相同角度的旋转；因此直线、平面的旋 转必须遵守绕同一轴、按同一方向、旋转相同角 度的三同原则（既同轴、同向、同角） ，以保 证各元素间的相对位置的不变性。
a1′
V X H
a
点在V/H1体系中的投影
V
a1
a′ a′ a1 X A a H a XV H
3
点的两次变换
a′ V1 XV H
a′
a2 a1′ A a1′ X1 a a a2
四、六个基本问题
（一）、把一般位置直线变为投影面平行线 ）、把一般位置直线变为投影面平行线 把一般位置直线变为 ）、把投影面平行线变为 变为投影面垂直线 （二）、把投影面平行线变为投影面垂直线 ）、把一般位置直线变为 变为投影面垂直线 （三）、把一般位置直线变为投影面垂直线 （四）、把一般位置平面变为投影面垂直面 ）、把一般位置平 变为投影面垂直面 把一般位置平面 ）、把投影面垂直面变为 变为投影面平行面 （五）、把投影面垂直面变为投影面平行面 （六）、把一般位置平面变为投影面平行面 ）、把一般位置平面变为投影面平行面 把一般位置平
a′
φ
a′
φ φ
o′
O
a
2 点的旋转规律
o
若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动 ，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。
二 点的旋转规律
1 点绕正垂轴旋转 a′ a′
轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形
V o′ a′ A A o a H A
a′
φ
a′
φ φ
o′
O
a
2 点的旋转规律
第六章
投影变换
§6-1 概 述 §6-2 换面法 §6-3 旋转法
§6-1 概 述
投影变换的目的： 投影变换的目的：
当直线或平面对投影面处于特殊位置（平行或垂直）时， 它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角 ，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。利用以 上特性可以在投影图中较方便地求解空间几何元素的量度和定 位问题。而一般线和一般面没有以上性质，求解量度和定位就 较麻烦。如果能设法把一般线、面变为投影面的特殊线、面， 对求解它们的度量和定位问题就可得到简化，甚至有的尺度和 倾角可以直接反映在投影图上。为了达到这一目的，就得研究 投影变换。因形成投影的三要素是投影面、空间形体、投影线 ；这三者间的关系一经确定，其投影便确定了，如果变动其中 任一要素，则它们间的相对位置随即改变，其投影图也因此而 变化，所以变换的方有三种。
的α、β求α作水平线求β作
正平线
投影面 平行面
换两次，先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换 成投影面垂直面，再新轴∥积聚投影换成投影面平行面
§6-3 旋转法
旋转法是投影体系不变，使空间几 何元素绕某一轴进行旋转，使该几何元素 旋转到与投影面处于有利的解题位置，然 后用旧投影求出其新投影的方法。
b′ a′ a
o′ o′
b1 ′
△ a1ob1
a1′ b1 a1
b
oo θ θ
所以 ab=a1b1 实际上AB绕铅垂线旋转时，只改 变直线与V面的夹角β，而不 改变直线与H面的夹角α。 因此直线在进行绕铅垂线旋转法 因此直线在进行绕铅垂线旋转法 投影变换时， 投影变换时，其水平面投影长 度不变, 度不变,且与该投影面倾角不 变。 同样道理， 同样道理，直线绕正垂线进行旋 转法投影变换时， 转法投影变换时，其正投影长 度不变。 度不变。
H2
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面
b′ b′ a′ d′ c′ D X A C b a d c H B b1
V
a′ V X d1H1 H a1 a c1
c′ b d c
例题3
求点S到平面ABC的距离
b′ d′ a′ s' b s d a c c′ s1 k1
例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e′。
换 面 法 小 结
一般位 置直线 新轴∥保留投影
求TL、α、β求α保留H
投影求β保留V投影
投影面 平行线
新轴⊥实长投影
可利用积聚性
投影面 垂直线
换两次，先新轴∥保留投影换成投影面平行线，再新轴 ⊥实长投影换成投影面垂直线 新轴⊥平面上的投影 新轴∥积聚投影 面平行线的实长投影 投影面 一般位 置平面 可利用积聚性；求平面 垂直面 求TS
（一）、把一般位置直线变为投影面平行线
b1′ B
b′ a′
V a′
b′ b1′
α
a1′ A b a H
α
X a1′
α
X
V H b
a
例题1
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a′
b′ XV H a b
a1′
β
b1′
（二）、把投影面平行线变为投影面垂直线
V b′ a′ X A a b H a b B a1′ b1′ XV H a1′ a′ b′
b′ a′ a
o′ o′
b1 ′
△ a1ob1
a1′ b1 a1
b
oo θ θ
所以 ab=a1b1 实际上AB绕铅垂线旋转时，只改 变直线与V面的夹角β，而不 改变直线与H面的夹角α。 因此直线在进行绕铅垂线旋转法 因此直线在进行绕铅垂线旋转法 投影变换时， 投影变换时，其水平面投影长 度不变, 度不变,且与该投影面倾角不 变。 同样道理， 同样道理，直线绕正垂线进行旋 转法投影变换时， 转法投影变换时，其正投影长 度不变。 度不变。