二次根式
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2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
3、如果 x2 a(a 0) ， 那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）； 3、关系式中h 5t 2，用含有h的式子
7.已知：x 7 3, y 7 3 ，求 x2 xy y2 的值。
解 x y 2 7, xy 4 x2 xy y2 (x y)2 3xy 28 12 16
巩固提高2：
1.若 (a 5)2 (2b 2)2 =0，则 ab2 =___5__。
2.已知a,b为实数，且满足
解：原式 a2 a2 解：原式 ab
解：原式 22 4
a 0,b 0
ab 0
(4) 1 2a a2 其中a= 3 原式 ab
解: 原式 (a 1)2 a 1
当a 3时，原式 3 1 （ 3 1） 3 1
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
解：原式 1 2 2 1
2 1 2 1 2 2
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1 x 3 x 有意义.
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
解：由题意得
x 5 0
x
1
5
0
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时， 1 在实数范围内有意义。
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
a (a 0)
的值是 3 1.
跟踪练习
将下列各式化简：
1
1
2
2
(23) x2 2xy y2 (x﹤y)
解:原式 1 2
解:原式 (x y)2
(1 2)
xy
Qx y
2 1
x y 0 原式 （x y)
yx
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
例2 求下列二次根式的值：
例题
(1) (3 )2 ;
(2) x2 2x 1 ,其中x 3.
解：(1解) ：((23) x)222x|31| (x 1)2 | x 1|
因为 3 ＜0，所以
当 x 3 时，原式= | 3 1 |
|3 |= －（3 ）= 3
= 3 1
所以所，以(，3当 )2x 3. 3 时，元二次根式
m4
m40
(m 4)2 ? 4 m m 4
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A．x 2 B． x C． x2 2 D． x2 2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
5.化简
(1) (a 1)2 ( a)2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（
1 3x)2 1 x
1 3x 0 x1
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 22 0
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
an (n为偶数） a
x2
(2).x为全体实数
(3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2.当x__=_0__时, 3x 3x 有意义.
3.化简：(
a b)2 2
2
(b a)
=_2_a_-_3_b_
4.要使式子 x x 有意义，那么x的取值范围是（ C ）
A、x＞0 B、x＜0 C、x=0 D、x≠0
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
数学
初二
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
复习
1、如果 x2 4，那么 x ±2 ；
➢ a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ➢ a可以是数,也可以是式.
➢ 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 22 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含
( a)2与 a2有区别吗?
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
a 2 根号a的平方 a 2 先开方,后平方
a2 根号下a平方 a2 先平方,后开方
3.从取值范围来看：
2
a
a≥0
4.从运算结果来看:
a 2=a
a2 a取任何实数
a (a 0)
a2 =∣a 0 (a 0)
∣
a (a 0)
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
4.真正理解：
2
a a(a 0)
a(a 0) 这两个性质的概念，
a2 a 0(a 0)
a(a 0)
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
ab c
(a b)2 (b c)2 c a
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a)2 + (c a b)2 - (b c a)2
解：原式 b c a c a b b c a
a,b,c是三角形三边, b c a 0,c (a b) 0,b (c a) 0
5.如果 (a 5)2 +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰 三角形的周长。
解 (a 5)2 b 2 0,a 5,b 2 A B C的周长为12
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
2
a a,(a 0)
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
(5) 22 |2|=2 (6) (2)2 -|-2|=-2
5. a 0, a 0（. 双重非负性）
解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。
2.化简及求值：
a (1) 24 (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
(4) 1 2a a2 其中a= 3
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
(1) 24
a (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
解：原式= (x 3)2 (x 1)2 =|x-3|+|x+1|
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m(m m42)28m 416 m 4,
则m的取值范围是 _________
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
1. a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义?
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
有二次根号，所以 22 是二次根式．
(3) 代数式 吗?
a 2(a 2), 1 (x 0) 是二次根式 x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
的值。
解：∵
a(x a) a(y a) x a a y
a 0,
x
y , x
y,
3x2 x2
xy xy
y2 y2
1 3
巩固提高1：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围
（1）( 3 2x )2 （2） (1 x)2 （3） x 3
(1).3 2x 0 x 3 2
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
(2)a4 6a2 9
解：(1)原式 （a2）2 32 (a2 3)(a2 3)
(a2 3)(a 3)(a 3)
(2)原式 (a2 3)2 (a 3)2(a 3)2
1、当 x 1 y 3 0时，
分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意 义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
解 2 x 0, x 2,原式 3 x 2 x 1
7.设等式 a(x a) a(y a) x a a y
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x2 xy y2 x2 xy y2
5.已知 y x 3 3 x 2 ,求 y 3x 的值。
解 x 3 0且3 x 0, x 3且x 3,只有x 3, y 2 y 3x 2 9 3
6.已知 xy ຫໍສະໝຸດ Baidu ，化简： x2 y 解由xy 0, x2 y 0得: x 0, y 0, x2 y x y
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a 2
⑸ m 32
⑷ x (x 0)
a9
⑹ a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) xx155 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
a 2b 1 1 2b 1 ,你能求出a及a+b 的值吗？
3.已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
4.．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+
( 2010 2011)2
解原式 2 1 3 2 4 3 ... 2011 2010 2011 1
a (a 0)
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2)2 3 b c 2 0,则a b c 3
6.化简： (x 3)2 - ( 2 x )2
表示t，则t为 h 。
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 a( a 0 ) 的
式子做叫二次根式。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
x5
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x
x0
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x 1,且x 2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x2 1x为全体实数
x
? 一般地,二次根式有下面的性质:
3、如果 x2 a(a 0) ， 那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）； 3、关系式中h 5t 2，用含有h的式子
7.已知：x 7 3, y 7 3 ，求 x2 xy y2 的值。
解 x y 2 7, xy 4 x2 xy y2 (x y)2 3xy 28 12 16
巩固提高2：
1.若 (a 5)2 (2b 2)2 =0，则 ab2 =___5__。
2.已知a,b为实数，且满足
解：原式 a2 a2 解：原式 ab
解：原式 22 4
a 0,b 0
ab 0
(4) 1 2a a2 其中a= 3 原式 ab
解: 原式 (a 1)2 a 1
当a 3时，原式 3 1 （ 3 1） 3 1
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
解：原式 1 2 2 1
2 1 2 1 2 2
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1 x 3 x 有意义.
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
解：由题意得
x 5 0
x
1
5
0
x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时， 1 在实数范围内有意义。
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
a (a 0) a2 a 0 (a 0)
a (a 0)
的值是 3 1.
跟踪练习
将下列各式化简：
1
1
2
2
(23) x2 2xy y2 (x﹤y)
解:原式 1 2
解:原式 (x y)2
(1 2)
xy
Qx y
2 1
x y 0 原式 （x y)
yx
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
例2 求下列二次根式的值：
例题
(1) (3 )2 ;
(2) x2 2x 1 ,其中x 3.
解：(1解) ：((23) x)222x|31| (x 1)2 | x 1|
因为 3 ＜0，所以
当 x 3 时，原式= | 3 1 |
|3 |= －（3 ）= 3
= 3 1
所以所，以(，3当 )2x 3. 3 时，元二次根式
m4
m40
(m 4)2 ? 4 m m 4
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A．x 2 B． x C． x2 2 D． x2 2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
5.化简
(1) (a 1)2 ( a)2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（
1 3x)2 1 x
1 3x 0 x1
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 22 0
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
an (n为偶数） a
x2
(2).x为全体实数
(3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2.当x__=_0__时, 3x 3x 有意义.
3.化简：(
a b)2 2
2
(b a)
=_2_a_-_3_b_
4.要使式子 x x 有意义，那么x的取值范围是（ C ）
A、x＞0 B、x＜0 C、x=0 D、x≠0
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判
1
2
3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
数学
初二
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
复习
1、如果 x2 4，那么 x ±2 ；
➢ a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) ➢ a可以是数,也可以是式.
➢ 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a 是二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 22 是二次根式吗？
答：符合条件(1)被开方数 22 为非负数; (2) 含
( a)2与 a2有区别吗?
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
a 2 根号a的平方 a 2 先开方,后平方
a2 根号下a平方 a2 先平方,后开方
3.从取值范围来看：
2
a
a≥0
4.从运算结果来看:
a 2=a
a2 a取任何实数
a (a 0)
a2 =∣a 0 (a 0)
∣
a (a 0)
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
4.真正理解：
2
a a(a 0)
a(a 0) 这两个性质的概念，
a2 a 0(a 0)
a(a 0)
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
ab c
(a b)2 (b c)2 c a
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a)2 + (c a b)2 - (b c a)2
解：原式 b c a c a b b c a
a,b,c是三角形三边, b c a 0,c (a b) 0,b (c a) 0
5.如果 (a 5)2 +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰 三角形的周长。
解 (a 5)2 b 2 0,a 5,b 2 A B C的周长为12
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
2
a a,(a 0)
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
(5) 22 |2|=2 (6) (2)2 -|-2|=-2
5. a 0, a 0（. 双重非负性）
解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。
2.化简及求值：
a (1) 24 (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
(4) 1 2a a2 其中a= 3
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
(1) 24
a (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
解：原式= (x 3)2 (x 1)2 =|x-3|+|x+1|
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m(m m42)28m 416 m 4,
则m的取值范围是 _________
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
1. a 表示什么含义?
答:当a>0时, a 表示a的正平方根; 当a=0时, a 表示a的平方根.
2. 当a满足什么条件时,代数式 a 才有意义?
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时, a 才有意义!
3. 代数式 a (a≥0)有如下特征:
有二次根号，所以 22 是二次根式．
(3) 代数式 吗?
a 2(a 2), 1 (x 0) 是二次根式 x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
的值。
解：∵
a(x a) a(y a) x a a y
a 0,
x
y , x
y,
3x2 x2
xy xy
y2 y2
1 3
巩固提高1：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围
（1）( 3 2x )2 （2） (1 x)2 （3） x 3
(1).3 2x 0 x 3 2
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
(2)a4 6a2 9
解：(1)原式 （a2）2 32 (a2 3)(a2 3)
(a2 3)(a 3)(a 3)
(2)原式 (a2 3)2 (a 3)2(a 3)2
1、当 x 1 y 3 0时，
分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意 义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
解 2 x 0, x 2,原式 3 x 2 x 1
7.设等式 a(x a) a(y a) x a a y
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x2 xy y2 x2 xy y2
5.已知 y x 3 3 x 2 ,求 y 3x 的值。
解 x 3 0且3 x 0, x 3且x 3,只有x 3, y 2 y 3x 2 9 3
6.已知 xy ຫໍສະໝຸດ Baidu ，化简： x2 y 解由xy 0, x2 y 0得: x 0, y 0, x2 y x y
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a 2
⑸ m 32
⑷ x (x 0)
a9
⑹ a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) xx155 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
a 2b 1 1 2b 1 ,你能求出a及a+b 的值吗？
3.已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
4.．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+
( 2010 2011)2
解原式 2 1 3 2 4 3 ... 2011 2010 2011 1
a (a 0)
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2)2 3 b c 2 0,则a b c 3
6.化简： (x 3)2 - ( 2 x )2
表示t，则t为 h 。
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 a( a 0 ) 的
式子做叫二次根式。
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
x5
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x
x0
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x 1,且x 2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x2 1x为全体实数
x
? 一般地,二次根式有下面的性质: