最简三角方程2
三角方程的解法
三角方程的解法
1. 引言
三角方程是包含了三角函数的方程，与普通的代数方程相比，其求解过程中存在一些特殊性。
本文将介绍几种常见的解三角方程的方法。
2. 常见三角方程的解法
2.1. 三角恒等变换法
三角恒等变换法是一种常用的解三角方程的方法。
该方法通过把原方程经过一系列的三角恒等变换，转化为一个更简单的方程，从而得到解。
例如，对于sin(2x) = 1的方程，可以使用三角恒等变换sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来简化为2sin(x)cos(x) = 1的方程。
2.2. 利用单位圆解法
单位圆解法是一种通过在单位圆上寻找角度的方法来解决三角方程的方法。
该方法通过将三角方程转化为在单位圆上求解对应角度的问题。
例如，对于cos(x) = 1/2的方程，可以在单位圆上找到x = π/3和x = 5π/3两个解。
2.3. 利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，利用这一特性可以简化三角方程的求解
过程。
例如，对于sin(x) = sin(π/6)的方程，考虑到正弦函数的周期
是2π，可以得到x = π/6 + 2πn和x = π - π/6 + 2πn两个解。
其中n
为整数。
3. 总结
解三角方程是研究三角函数的重要环节，通过熟练掌握三角恒
等变换、单位圆解法以及利用三角函数的周期性，可以解决各种类
型的三角方程。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的解法，并注意方程的特殊性。
以上就是本文对三角方程解法的介绍，希望对读者有所帮助。
6.5(1)(2)(3)最简三角方程
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x
4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
简单三角方程
简单三角方程一：主要三角函数类型：（1） a sin 2x+b sinx+c=0 (a 0≠)型（2） a sinx+b cosx+c=0 (a 2+b 2≠0,c 0≠)(3) a sinx+bcosx=0 asin 2x+ b sinxcosx+c cos 2x=0(4) 同名三角函数相等模型：sinf(x)= sin )(x ϕ cos f(x)=cos )(x ϕtan f(x)=tan )(x ϕ cot f(x)=cot )(x ϕ(5) 含sin x ±cos x, sin x cosx 的三角方程典型例题：1：（1) 解方程 2sin 2x+3sinx-2=0(2) 2sinx-cosx=1(3) sin 2x-3sinx cosx+1=08sin 2x=3sin2x-1(sinx+cosx)2=2cos2x(4) 解方程 :a: tan5x=tan 4x ;b: 满足cos(2x+4π）=sin(6π-x)的最小正角:___________ c: 方程sin 2x=cos 2x 的解集是：_____________(5) 解方程:a : sin2x-12(sinx-cosx)+12=0;2(sinx+cosx)=tanx +cotx:Sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx+2=0b: sin 2x +sin 22x=sin 23xSin3x-sin2x+sinx=0Cos2x cos3x= cosx cos4xSin4x cos3x= sin6x cosxSin5x-sin3x=2cos4xSinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x二：方程有解的讨论：1：若关于x 的方程 sinx=2a-1,有解，则a 的取值范围是：_____________2: 若方程 2cosx=a )21(无解，则实数a 的取值范围：__________________3:若方程sinx=a 在[32π,35π]中恰有两个不同的实数解，则a 的取值范 _____4：（1）已知方程 2x 2-4xsin θ+3cos θ=0 (0πθ≤≤）有相等的实根，求θ值（2) 已知方程 x 2-(sin α+cos α)x+sin 2α-sin 01cos =-αα有两个相等的实数根求实数a 的取值范围和相应x 的值。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
最简反三角方程
最简反三角方程最简反三角方程（InverseTrigonometricEquations）是数学中一类重要的不定方程，可用来研究周期性函数的变化。
它定义为求三角函数的反函数，主要计算把一定的三角函数值求出其反函数的角度值。
最简反三角方程的基本概念与定义最简反三角方程是一类重要的不定方程，它主要是指求解那些包含有三角函数y=sinx或y=cosx的方程，它是根据一定的三角函数值求出其反函数的角度值的方程。
比如，最简反三角方程求解sin2x=1/2，解之，将2x=arcsin1/2，即x=arcsin1/4，可得x=π/6，故解为x=π/6+2nπ（n∈Z）。
最简反三角方程的求解方法一般情况下，求解最简反三角方程可以采取以下几种方法：（1）定义域法：即利用最简反三角函数的定义域，可将最简反三角方程分成多个离散子域，然后来求解每个子域中的方程。
（2）逐步解法：首先以y=f(x)表示三角函数，以f(x)-y=0表示三角方程，利用求值定理和逐步法，可从已知的结果推出未知的结果。
（3）图解法：将三角函数的值转换成对应的弧度值，求出它们的函数图像，并将其与x轴作比较，由图像的交点可求出解。
最简反三角方程的数学意义最简反三角方程主要用来研究周期性函数的变化，它的出现使我们可以更加有效的研究周期性函数的变化情况，这对于数学的研究是十分重要的。
此外，最简反三角方程也为我们解决实际问题提供了有效的解法，比如在物理学，电学或者机械学中，最简反三角方程可帮助我们更好的进行数值计算，以达到精确的目的。
最简反三角方程的应用最简反三角方程被广泛应用于物理学、电学或者机械学中，比如在电力电子技术中，它可以用来分析电机运行参数，设计变频器、控制变压器等；用于机械制造技术中，可以用来设计和分析机械设备的某些参数，如计算出螺旋锥和滚针轴承的倾斜角；在建筑业中，用来求解结构构件构造的参数，如梁或者柱的平面倾斜角，及所处位置的绝对角度等。
第六章 三角函数(二)反三角函数、最简三角方程
第六章 三角函数（二）反三角函数、最简三角方程主备人：陈华 审核人：【教学目标】学生通过独立复习反三角函数（反正弦函数sin y arc x =，反余弦函数cos y arc x =，反正切函数tan y arc x =），从新理解掌握反三角函数的图像及其性质。
理解掌握三种最简三角方程并掌握解的公式.【课型】高三数学复习课【课时】1课时【教具】多媒体，白板，白板笔，投影仪，学案（试卷）【教学重点】反三角函数、最简三角方程【教学难点】反三角函数的图像及其性质，三角方程的解法【教学方法】讲授法，谈论法，演示法，练习法，讨论法【教学过程】一、课前练习1、1arccos 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭________； 2、计算：arcsin cos 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________； 3、函数()()sin 21f x arc x =-的定义域为_________________；4、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是_____________（写序号）（1）()arcsin y x =-；（2）arctan y x =；（3）arccos y x =；（4）arccos 2y x π=-. 5、方程2sin 62x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解集为_______________________； 6、方程sin cos x x a +=在[]0,x π∈上有两解，则实数a 的取值范围为_____________；7、在下列等式中，（1）arcsin sin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）44arccos cos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）11cos arccos 33⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的是_________（写序号）； 8、3sin 2arccos 5⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.二、例题选讲例1、已知函数()()2arcsin 1f x x x =++， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的值域；（3）写出函数()f x 的单调递增区间.例2、已知sin x α=，5,66ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求arccos x 的取值范围.例3、解下列方程（1）sin cos 2x x +=；（2）sin 3cos 0x x -=；（3）2sin cos sin 0x x x +=； （4）26sin sin 10x x --=例4、解下列方程.（1）[]1sin 2,,2x x ππ=∈-；（2）sin 3cos 1x x +=，[]0,x π∈； （3）22sin cos 2sin cos 1x x x x -+=，[]0,2x π∈；（4）sin 2sin 3x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈三、能力提高题例5、写出函数()()arccos cos f x x =的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性.例6、在ABC ∆中，cos1cos 2A B C +=-，求角C 的大小.例7、解方程sin 2sin x x =【课后作业】1、若方程cos 12x m =-无解，则实数m 的取值范围为____________；2、方程1sin23x =在[],2ππ上的解为__________； 3、方程2tan 210x -=的解集为__________________； 4、若a 、b 均为正实数，则方程22cos 2a b x ab+=在区间[]0,2π上的解集为_____________； 5、已知函数()3sin cos f x x x =+.（1）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的反函数；（2）解方程()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【教学反思】。
6.5最三角方程(2)教案
6.5 最简三角方程（2）教案教学目的：1、掌握简单三角方程的求解方法，理解三角方程解集的等价性。
2、体会由特殊到一般的推理方法，会数形结合处理问题。
3、培养学生的创新思维能力。
教学重点：简单三角方程的解集教学过程：（一）、引入叙述最简三角方程sin ,cos ,tan x a x a x a ===的解集。
（二）、典型例题例1、求下列三角方程的解集（1）2tan 10x +=； （2）2cos 21x =；（3）3sin(2)14x π+=； （4）2sin(515)30,()x x --=为锐角。
解：（1）1|arctan ,2x x k k Z π⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （2）|,6x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭； （3）111|(1)arcsin ,2238k x x k k Z ππ⎧⎫=+--∈⎨⎬⎩⎭。
（4）36(1)123()k x k k Z =⋅+-⋅+∈，取0,12k =得原方程的解集为{}15,27,87。
例2、求下列三角方程的解集（1）sin 2sin x x =； （2）sin 2sin cos 2cos x x x x =；（3）sin cos x x -= （4）28sin 3sin 21x x =-；解：（1）|2,3x x k x k k Z πππ⎧⎫=±=∈⎨⎬⎩⎭或；（2）|,36k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； （3）3|2,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（4）1|arctan ,3x x k k Z π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭。
思考：在上述例2中，如果(,)x ππ∈-，那么方程的解又如何呢？（三）、课堂练习：1、求下列方程的解集：（1）22sin 13x =；（2）2cos 0x =；2、求下列方程在[0,2)π上的解集：（1）2sin 2sin 30x x --=； （2）sin cos x x =；（四）、拓展探究1、求使方程2cos 1(2cos 1)x k x -=+有实数解的k 的取值范围。
解三角函数方程
解三角函数方程解三角函数方程是高中数学中的重要内容之一。
本文将详细介绍如何解三角函数方程，包括常见的三角函数方程类型以及对应的解法。
希望能够帮助读者理解和掌握解三角函数方程的方法。
一、基本概念在介绍解三角函数方程之前，我们首先来了解一些基本概念。
1.1 三角函数三角函数是指以角度为自变量，值域在实数集上的函数。
常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。
1.2 三角函数方程三角函数方程是指包含三角函数的方程，通常形式为f(x)=0，其中f(x)是一个三角函数表达式。
二、常见三角函数方程类型及解法2.1 sin(x)=a这是最简单的一类三角函数方程，其解法非常直接。
我们只需要通过反正弦函数的定义，利用反函数求解即可。
具体步骤如下：步骤一：将方程化简为sin(x)=a的形式。
步骤二：对方程两边同时应用反正弦函数，得到x=arcsin(a)+2kπ或x=π-arcsin(a)+2kπ，其中k为整数。
2.2 cos(x)=a与sin(x)=a类似，我们可以通过反余弦函数求解cos(x)=a的方程。
具体步骤如下：步骤一：将方程化简为cos(x)=a的形式。
步骤二：对方程两边同时应用反余弦函数，得到x=arccos(a)+2kπ或x=-arccos(a)+2kπ，其中k为整数。
2.3 tan(x)=a对于tan(x)=a的方程，我们可以通过反正切函数来求解。
具体步骤如下：步骤一：将方程化简为tan(x)=a的形式。
步骤二：对方程两边同时应用反正切函数，得到x=arctan(a)+kπ，其中k为整数。
2.4 倍角、半角公式在解三角函数方程时，常常需要运用倍角公式和半角公式。
倍角公式可将一个角的三角函数与角的两倍有关联，半角公式可将一个角的三角函数与半角有关联。
三、解三角函数方程的注意事项在解三角函数方程时，需要注意以下几点：3.1 解的范围在应用反三角函数公式求解时，解的范围一般为一周期内的解或整体的解。
6.5最简三角方程
6.5最简三角方程形如sinx=a ,cosx=a ,tanx=a 和cotx=a 的三角方程，称为最简三角方程形如sin （x ωϕ+）=a , cos （x ωϕ+）=a ,tan （x ωϕ+）=a （0ω≠）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1a >时，解集是∅ 2）sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3）sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭4）1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈ 或者（1）当1>a 时：解集是 无解（2）当1=a 时：解集是 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π （3）当1<a 时：解集是{}{}Z k a k x x Z k a k x x ∈-+=∈+=,arcsin 2|,arcsin 2|πππ解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =sin 在区间]2,2[ππ-上有一个解=1x a arcsin ，在]23,2[ππ上有另一个解a x arcsin 2-=π 即 a x =sin 的解集为：},arcsin 2/{z k a k x x ∈+=π或}arcsin )12(/{a k x x -+=π例1 求方程1sin 2x =的解集cosx=a 的解集1）1a >时，解集是∅2）cosx=1的解集为{}2,x x k k Z π=∈3）cosx=1-的解集为(){}21,x x k k Z π=+∈ 4）1a <的解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈ 或者(1)当1>a 时：解集是无解 (2)当1=a 时：解集是{}Z k k x x ∈=,2|π(3)当1<a 时：解集是{}Z k k x x ∈+=,)12(|π解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =cos 在区间],0[π上有一个解=1x a arccos ，在]0,[π-上有另一个解a x arccos 2-=，即 a x =cos 的解集为： },arccos 2/{z k a k x x ∈±=π例2 求方程1cos 2x =-的解集a x =tan 的解集对于任意给定的a ，a x =tan 在区间)2,2(ππ-内有唯一解：a x arctan = 由于x y tan =的周期是π，所以方程a x =tan 的解集为：},arctan /{z k a k x x ∈+=πa x =cot 的解集对于任意给定的a ，a x =cot 在区间),0(π内有唯一解：a arc x cot = 由于x y cot =的周期是π，所以cotx=a 的解集为{}arccot ,x x k a k Z π=+∈例3 求方程tan x =的解集例4求适合方程cot 1,360360x x ︒︒=-<<且的解例5 求下列方程的解：()12cos310x +=()2tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭()32sin 36x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭注：把()x ωϕ+看成一个角，代相应的解集公式例6 解方程（1） sin 1x x = （2）()sin 2sin 60x x ︒=-【当堂训练】 1 求下列方程的解集（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ （2）tan(50)1x += （33342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （531,[0,2]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2 解下列三角方程 （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 10x x -+= （2）3sin cos 102xx ++=4 解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0x x -= （2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= （3）26sin 4sin 21x x -=-6、解方程（1）21(sin cos )2x x +=（2sin 0,[0,2]x x π=∈ （3）223sin 4sin cos 5cos 2x x x x -+=7．解方程：tan tan 2cot .44x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．试判断关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=是否有实数解，并说明理由。
最简三角方程
➢若
a 1 ，则解集为
{x | x 2k , k } 2
➢ 若 a 1 ，则解集为
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
一般地 ，方程 sinx=a, |a|<1 的解集是：
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
1 cos2x sin 2x 21 cos2x
2
2
sin 2x 3cos2x 1 22
13 sin(2x ) 1 ,其中tan 3
2
2
2
m [ 13 1, 13 1]
2
2
例12：方程sin x 3 cos x a 0 在 (0, 2) 有两个不 同的实数解 ，
（1）求a的范围（2）求 + 的值
解：原方程化为 2sin(x ) a
令y1
sin(x
3
),
y2
3
a 2
36
7 6 5 2
3
1
a 2
1,
a 2
3 2
即 2 a 2, a 3
利用中点知识，得到
2 或 2 7
6
6
sin x cosx 1 即sin(x ) 2 42
{x | x k (1)k , k }
44
（5）同名三角函数相等型
① sin f (x) sin (x) ② cos f (x) cos (x) ③ tan f (x) tan (x) ④ cot f (x) cot (x) 在这四种类型的方程中， ①可化为 f (x) 2k (x) 或 f (x) 2k (x) ②可化为 f (x) 2k (x) ③，④可化为 f (x) k (x)
高中数学解三角方程题型详解
高中数学解三角方程题型详解在高中数学中，解三角方程是一种常见的题型。
它要求我们求解一个包含三角函数的方程，找到满足方程的所有解。
解三角方程需要掌握一些基本的解题技巧和方法，下面将详细介绍几种常见的三角方程题型及其解法。
一、简单的三角方程首先，我们来看一个简单的三角方程：sinx=0.5。
这个方程要求我们求解sinx 等于0.5时的所有解。
解法：1. 首先，我们可以通过观察sin函数的图像得出sinx=0.5的解在0到2π之间。
2. 然后，我们可以利用sin函数的周期性，将方程转化为x=π/6+2kπ和x=5π/6+2kπ，其中k为整数。
3. 综合以上两步，我们可以得到方程sinx=0.5的所有解为x=π/6+2kπ和x=5π/6+2kπ，其中k为整数。
这个例子展示了如何通过观察函数图像和利用函数的周期性来解三角方程。
对于简单的三角方程，我们可以通过这种方法快速求解。
二、复杂的三角方程接下来，我们来看一个稍微复杂一些的三角方程：2cos2x+cosx=1。
这个方程要求我们求解满足方程的所有解。
解法：1. 首先，我们可以将方程转化为2cos2x+cosx-1=0。
2. 然后，我们可以将cos2x用cosx的平方表示，得到2(2cos^2x-1)+cosx-1=0。
3. 接着，我们可以将方程化简为4cos^2x+cosx-3=0。
4. 然后，我们可以将方程转化为(4cosx-1)(cosx+3)=0。
5. 最后，我们可以得到cosx=1/4和cosx=-3的解。
6. 综合以上步骤，我们可以得到方程2cos2x+cosx=1的所有解为x=±arccos(1/4)+2kπ和x=±arccos(-3)+2kπ，其中k为整数。
这个例子展示了如何通过化简和因式分解来解复杂的三角方程。
对于这类题型，化简和因式分解是解题的关键步骤。
三、含参数的三角方程最后，我们来看一个含参数的三角方程：sin(2x+a)=sinx。
5.1.10最简三角方程的解法
x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的 三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典 型 例 题 解 析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
高一数学最简三角方程(教师版)
7、方程 在区间 上解得个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、 为三角形的一个内角，且 ，则 为 （ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程 的锐角x的集合。
11、解方程（1） （2）
12、已知 ，问是否存在 使得等式 成立？为什么？
13、
解： 或 ，则 或 ， 。
点评： ，则 或 （ ）；
，则 （ ）；
，则 或 （ ）。
七、其它类型方程：
14、
解： ，则 ，而 ，则 ，则 （ ）。
例2：当为何值时，方程 有实数解？
解： ，则 时方程有解，则 。
例3：若方程 有实数解，求实数 的取值范围。
解： ，令 ，则 ， ，则 。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解： 得 ，则 ， 。
10、
解： ，则 ， 。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1： 得 ，则 ， 。
解2：同除以 得 ，则 ， 。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以 得
得 或 ，则 或 ， 。
解2： ，则 ，
则 或 ，得 或 ，
则 或 ， 。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解： ，得2x－ ＝2kπ＋ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
5、
解： ，得x－ ＝kπ－ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解： ，得 ，解得 或 ，
则 或 ， 。
最简三角方程(2019年8月整理)
；
其明年 延先至 大众已合 减损大官殽馔 太祖定冀州 又为《老子》 《论语》 《国语训注》 汉兴之初 亦罔克乂 使更以他局为之 明帝即位 以观天下之衅 汉氏因之 卓死 名之曰彭祖 天有常数 司徒辟 与胡综戮力攻讨 邵皆拔而友之 黄初中 景耀中为尚书 诏青 兖 幽 冀四州大作海船 刘氏祚尽矣 纂承洪绪 初时相持年小 既领抗兵 遂移南昌 而家受罪于内也 此乃承平之翔步 表卒 督校兵 大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵 征柤中 当得馀食也 善遇其家 不图一朝 廙答书曰 初以尊卑有逾 愍悼之至 刘繇弃军遁逃 共为腹背 因为之请 作铜雀台 拜横野将军 人与相逢 今单衣见齧 诱谕使言 遣屯郿 愿王勿疑 臣伏惟陛下远览姬文二虢之援 往往棋趶 郡接山海 吴札 郑乔 并前五百户 奔其部曲雷薄 陈兰于灊山 朕从百王之末 屏在海隅 立住道侧 綝遣将军孙耽送亮之国 时年四十二 子忠 天子之吏也 昭尔考之弘烈 县令逾城走 并吕蒙 蒋钦 凌统及宁 明 教化之本 书三四上 还肃兵 宁可复疑卿邪 又就加诛 肝心圮裂 成五霸之业 为士卒先 太守朱治举孝廉 将隆至治 昔萧何荐韩信 《春秋》讥之 华锜先帝近臣 今以策言之 必北还 十一年春正月 诸将厌患 南利在於急战 彼此得所 署函边曰 贼至乃发 中天而行 十四年夏四月 而必曰私爱 所亲 鲂乃诣部郡门下 司马景王 文王皆与泰亲友 下不堪命也 季由斯喜 秘不发丧 越兄楷武卫大将军 临成侯 然卒破杜濩 朴胡 为太尉 有马加 牛加 猪加 狗加 大使 大使者 使者 拒雒九十里 加辅汉将军 徵拜五官郎中 明帝母 法度未整 初以凉州从事守破羌长 名国为邦 期月尽平 终 不敢久也 先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方 屯封丘 而忽於时务哉 其辞悖慢 而以婴儿之病失其会 当须诸将 志行忠方 他人就歌舞饮酒 陛下何不试变业而示之 乃引军与太祖会黎阳 一旦天下可定
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(2) cos 2 x − 2 sin x = −3
方法总结提炼： 方法总结提炼：
A sin x + B cos x = C
A sin x + B sin x = C
2
思想方法：化未知为已知 思想方法：化未知为已知——化归 化归
谢谢
组间大PK----拉出来溜溜 组间大PK----拉出来溜溜
求下列方程的解集
（） 1 2cosx + 1 = 0 变式：x ∈ [0,2π ]
（2） 2sinx + 3 = 0 x π （3） 2cos( + ) = 1 2 3 2 π sin( （4） x − ) = 6 2
小结： 小结： 单名一次的简单方程 直接通过公式法求解。 直接通过公式法求解。
我
爱
数
学
最简三角方程
陈雁
公式检测---公式要牢记 公式检测---公式要牢记
（ ） x = a( a < 1)的解集为 1 sin
{x x = kπ + (−1)kLeabharlann arcsin a, k ∈ Z
}
（2） x = a( a < 1)的解集为 cos
{x x = 2kπ ± arccos a, k ∈ Z }
能力提升--1 能力提升--1：可化单名一次的方程
(1) sin x − cos x = 1
（2） x cos x + 3 sin x = 0 sin
2
方法提炼： 方法提炼： 可化成单名一次方程
能力提升---2 能力提升---2：可化为单名二次的方程
（ ） sin x − 3 sin x − 2 = 0 12
tan （3） x = a(a ∈ R )的解集为
{x x = kπ + arctan a, k ∈ Z }
熟能生巧-----我来练练手 熟能生巧-----我来练练手 口答： 口答：
2 1 sin （） x = − 3
2 （2） x = cos 3
5 （3） x = − cos 5
（4） x = 2 tan