6.5最简三角方程

3
6
所以解集为 {x | x k , k }
6
tan x a的解集为：
{x | x k arctana, k }
一般地 ，方程cosx=a,|a|<1的解集是：
x | x 2k arccos x, k Z
一般地 ，方程tanx=a的解集是：
x | x k arctan a, k Z
24
令y1
(sin x
y
1 )2 , sin 2
y
x
[1,1],
9
y2
a
3 4
4
y1
4
1
11
sinx
2
y
y9
4
y1
4
1
11
sinx
2
a 3 0或a 3 9 时,sin x无解,即原方程无解
4
44
a 3 0时,sin x 1 ,原方程有两解
4
2
0 a 3 1 时,sin x在(0,1)内有两解,原方程有4解
{x|x=k( k • arcsina ,kz}
2）方程sinx=a,|a|>1的解集是： 3）方程sinx=a,|a|=1的解集是：
sinx=1,x=2k+/2 sinx=-1,x=2k-/2
例5、求方程cosx 1 的解集 2
方程cosx 1 在一个周期内的解为x 2 和x 4
2
3
4
sin(2x ) 1 2x k (1)k arcsin1
43
4
3
{x | x 1 k (1)k arcsin 1 , k }
2
2
38
例3.sin(2x ) 3
42
例4.sin(2x ) 2 , x [0, ]
6
2
总结：
1）方程sinx=a,|a|<1的解集是：
3
所以解集为 {x | x 2k 2 , k }{x | x 2k 4 , k }
3
3
{x | x 2k 2 , k }
3
cosx a的解集为：
{x | x 2k arccosa, k }
例6、求方程 tan x 3 的解集 3
方程 tan x 3 在一个周期内的解为 x
3m
原方程化为2sin(x ) 6 2m
3 3m
即sin(x ) 3 m
3 3m
| 3 m | 1 3m
(3 m)2 1 (3 m)2 (3 m)2 3m
练习：就实数a的范围讨论方程cos2x 2sin x 2a 3 0
在[0,2 ]内的情况
原方程即(sin x 1)2 1 a 1
tanx=-2,tanx=1
x
x
k
arctan 2 ,或x
k
4
,
k
Z
3）2sin2x-5cosx+1=0
解：2cos2x+5cosx-3=0
cosx=-3 （舍,）cosx=1/2
方程解集为x
x=2k
3
,k
Z
主要三角方程的类型：
(1)一次型 如a sin x b cos x 0； a sin 2 x b sin x cos x ccos2 x 0
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tanx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
例1.设x, 解方程: (1) sinx= 1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx= 1/2， 所以 x（，2）， x=7和x=
3.tan x a
x k arctana
1） sin x 3 cos x 2
解：
2 sin(
x
3
)
2
sin( x ) 1
3
x 2k
3
2
x
x
2k
5
6
,k
Z
2) sin x cos x sin2 x 0
sinxcosx+sin2x-2cos2x=0
tan²x+tanx-2=0
所以 原方程的解集为{7， }
(2)由于sinx=2/3.所以 x, x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3) 原方程的解集为{x=arcsin(2/3) ， arcsin(2/3)}
例1 ；求方程sinx=1/2的解集。 解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。 在（0，）上只有和5是原方程的解，
44
a 3 1 时,sin x 0或1,原方程有4解
44
1 a 3 9 时,sin x在(1,0)内有一解,原方程有2解
4 a
3பைடு நூலகம்
49
4 时, sin
x
1,原方程有1解
44
2
4 16
9 k5
16
2
k 0,1, 2.
例、 讨论方程 sin x 3 cos x m 0 在 o, 2 上
的解的个数.
sin( x ) m
32
分 别 在 同 一 坐 标 系 内 作出
y sin x 3
y m的图像。 2
例、讨论方程 sin x 3 cos x m 0在 o, 2上
最简三角方程
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinA=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinA= 3
2
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
的解的个数.
解： 2sin( x ) m
3
sin( x ) m
32 10 m 2或m 2,原方程无解.
20 m 2或m 3,原方程一解 .
30 m (2, 3) ( 3,2), 原方程两解。
三角方程解的讨论： 例：求m的范围，使方程sin x 3 cosx 6 2m 有解
Asin(wx ) b
(2)二次型 如a sin 2 x b sin x c 0
练习
1.方程5sin 2x 10 sin2 x 6的解集
解：10 sin x cos x 10 sin2 x 6 sin2 x cos2 x
2sin2 x 5sin x cosx 3cos2 x 0
练习、求下列方程解集。
(1).cos(2x ) 0
6
解： 2x k ,(k Z )
6
2
方程解集为x
x=
k
2
3
,
k
Z
2tanx 500 1
解： x 500 k.1800 450 ,(k Z )
方程解集为 x x=k.1800 50 , k Z
最简三角方程（二） 2013.4 实践课
cosx 0不是方程的解，方程两边同除以cos2 x 2 tan2 x 5 tan x 3 0 tan x 1 , or, tan x 3 2
x k arctan1 , or, x k arctan3, k Z
2
练习
1.方程5sin 2x 10 sin2 x 6的解集
2.求方程 sin2 x 2sin x 3 0在[0,2 )上的解集
例、已知方程 2sin2 x 6cos2 x 5 2k有解，
且k∈Z ，求k的值
2
解：2sin2x+3+3cosx=5-2k
-2cos2x+3cosx+5=5-2k
k cos2 x 3 cos x (cos x 3)2 9
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
也可以写成以下形式： {x|x=kk• , kz}.
一般地 ，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k(k • arcsina ,kz}
例2、求方程3sin(2x ) 1的解集
最简三角方程
1.sin x a
| a |1 x k (1)k arcsin a
| a | 1
sin x 1
sin x 1
x
x
2k
x 2k 2
2
(k Z)
2.cosx a
| a |1 x 2k arccosa
| a | 1 x
cosx 1 x 2k
(k Z)
cosx 1 x 2k