最简三角方程

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6.5(1)(2)(3)最简三角方程

解： sin 2 x 2a 1
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x

4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2

最简三角方程

{ arcsiபைடு நூலகம்(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3
2
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
也可以写成以下形式： {x|x=kk , kz}.
一般地，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k(k arcsina ,kz}
课堂练习：
(1). sinx= 3 , x 解集为：{ }
2
(2). sinx=3/4, x
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

最简三角方程

最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。

本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。

一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。

1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。

其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。

2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。

3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。

4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。

二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。

1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。

2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。

3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。

三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。

1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。

2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。

3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。

简单三角方程

简单三角方程一：主要三角函数类型：（1） a sin 2x+b sinx+c=0 (a 0≠)型（2） a sinx+b cosx+c=0 (a 2+b 2≠0,c 0≠)(3) a sinx+bcosx=0 asin 2x+ b sinxcosx+c cos 2x=0(4) 同名三角函数相等模型：sinf(x)= sin )(x ϕ cos f(x)=cos )(x ϕtan f(x)=tan )(x ϕ cot f(x)=cot )(x ϕ(5) 含sin x ±cos x, sin x cosx 的三角方程典型例题：1：（1) 解方程 2sin 2x+3sinx-2=0(2) 2sinx-cosx=1(3) sin 2x-3sinx cosx+1=08sin 2x=3sin2x-1(sinx+cosx)2=2cos2x(4) 解方程 :a: tan5x=tan 4x ;b: 满足cos(2x+4π）=sin(6π-x)的最小正角:___________ c: 方程sin 2x=cos 2x 的解集是：_____________(5) 解方程:a : sin2x-12(sinx-cosx)+12=0;2(sinx+cosx)=tanx +cotx:Sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx+2=0b: sin 2x +sin 22x=sin 23xSin3x-sin2x+sinx=0Cos2x cos3x= cosx cos4xSin4x cos3x= sin6x cosxSin5x-sin3x=2cos4xSinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x二：方程有解的讨论：1：若关于x 的方程 sinx=2a-1,有解，则a 的取值范围是：_____________2: 若方程 2cosx=a )21(无解，则实数a 的取值范围：__________________3:若方程sinx=a 在[32π,35π]中恰有两个不同的实数解，则a 的取值范 _____4：（1）已知方程 2x 2-4xsin θ+3cos θ=0 (0πθ≤≤）有相等的实根，求θ值（2) 已知方程 x 2-(sin α+cos α)x+sin 2α-sin 01cos =-αα有两个相等的实数根求实数a 的取值范围和相应x 的值。

三角公式大全

三角公式总表⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π⒉正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg rx⋅==sin cos⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ） ⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）振幅A ，周期T=ωπ2, 频率f=T1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ，依点()y x ,作图⒏诱导公试α的同名三角函数α看作锐角时，三角函数值的符号；即：函数名不三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 ⒐和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++C tg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-=③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-⒖反三角函数： ⒗最简单的三角方程高等数学最难的包括积分和证明。

最简三角方程

最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。

最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。

本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。

什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。

它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。

最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。

最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。

2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。

3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。

特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。

4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。

总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。

它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。

在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。

6.5最简三角方程

6.5最简三角方程形如sinx=a ,cosx=a ,tanx=a 和cotx=a 的三角方程，称为最简三角方程形如sin （x ωϕ+）=a , cos （x ωϕ+）=a ,tan （x ωϕ+）=a （0ω≠）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1a >时，解集是∅ 2）sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3）sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭4）1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈ 或者（1）当1>a 时：解集是无解（2）当1=a 时：解集是 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π （3）当1<a 时：解集是{}{}Z k a k x x Z k a k x x ∈-+=∈+=,arcsin 2|,arcsin 2|πππ解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =sin 在区间]2,2[ππ-上有一个解=1x a arcsin ，在]23,2[ππ上有另一个解a x arcsin 2-=π 即 a x =sin 的解集为：},arcsin 2/{z k a k x x ∈+=π或}arcsin )12(/{a k x x -+=π例1 求方程1sin 2x =的解集cosx=a 的解集1）1a >时，解集是∅2）cosx=1的解集为{}2,x x k k Z π=∈3）cosx=1-的解集为(){}21,x x k k Z π=+∈ 4）1a <的解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈ 或者(1)当1>a 时：解集是无解 (2)当1=a 时：解集是{}Z k k x x ∈=,2|π(3)当1<a 时：解集是{}Z k k x x ∈+=,)12(|π解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =cos 在区间],0[π上有一个解=1x a arccos ，在]0,[π-上有另一个解a x arccos 2-=，即 a x =cos 的解集为： },arccos 2/{z k a k x x ∈±=π例2 求方程1cos 2x =-的解集a x =tan 的解集对于任意给定的a ，a x =tan 在区间)2,2(ππ-内有唯一解：a x arctan = 由于x y tan =的周期是π，所以方程a x =tan 的解集为：},arctan /{z k a k x x ∈+=πa x =cot 的解集对于任意给定的a ，a x =cot 在区间),0(π内有唯一解：a arc x cot = 由于x y cot =的周期是π，所以cotx=a 的解集为{}arccot ,x x k a k Z π=+∈例3 求方程tan x =的解集例4求适合方程cot 1,360360x x ︒︒=-<<且的解例5 求下列方程的解：()12cos310x +=()2tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭()32sin 36x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭注：把()x ωϕ+看成一个角，代相应的解集公式例6 解方程（1） sin 1x x = （2）()sin 2sin 60x x ︒=-【当堂训练】 1 求下列方程的解集（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ （2）tan(50)1x += （33342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （531,[0,2]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2 解下列三角方程（1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 10x x -+= （2）3sin cos 102xx ++=4 解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0x x -= （2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= （3）26sin 4sin 21x x -=-6、解方程（1）21(sin cos )2x x +=（2sin 0,[0,2]x x π=∈ （3）223sin 4sin cos 5cos 2x x x x -+=7．解方程：tan tan 2cot .44x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．试判断关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=是否有实数解，并说明理由。

最简三角方程

➢若
a 1 ，则解集为
{x | x 2k , k } 2
➢ 若 a 1 ，则解集为
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
{x | x k (1)k arcsin a, k }
一般地，方程 sinx=a, |a|<1 的解集是：
x | x 2k arcsin a或x 2k arcsin a,k Z
1 cos2x sin 2x 21 cos2x
2
2
sin 2x 3cos2x 1 22
13 sin(2x ) 1 ,其中tan 3
2
2
2
m [ 13 1, 13 1]
2
2
例12：方程sin x 3 cos x a 0 在 (0, 2) 有两个不同的实数解，
（1）求a的范围（2）求 + 的值
解：原方程化为 2sin(x ) a
令y1
sin(x
3
),
y2
3
a 2
36
7 6 5 2
3
1
a 2
1,
a 2
3 2
即 2 a 2, a 3
利用中点知识，得到
2 或 2 7
6
6
sin x cosx 1 即sin(x ) 2 42
{x | x k (1)k , k }
44
（5）同名三角函数相等型
① sin f (x) sin (x) ② cos f (x) cos (x) ③ tan f (x) tan (x) ④ cot f (x) cot (x) 在这四种类型的方程中， ①可化为 f (x) 2k (x) 或 f (x) 2k (x) ②可化为 f (x) 2k (x) ③，④可化为 f (x) k (x)

高中数学解三角方程题型详解

高中数学解三角方程题型详解在高中数学中，解三角方程是一种常见的题型。

它要求我们求解一个包含三角函数的方程，找到满足方程的所有解。

解三角方程需要掌握一些基本的解题技巧和方法，下面将详细介绍几种常见的三角方程题型及其解法。

一、简单的三角方程首先，我们来看一个简单的三角方程：sinx=0.5。

这个方程要求我们求解sinx 等于0.5时的所有解。

解法：1. 首先，我们可以通过观察sin函数的图像得出sinx=0.5的解在0到2π之间。

2. 然后，我们可以利用sin函数的周期性，将方程转化为x=π/6+2kπ和x=5π/6+2kπ，其中k为整数。

3. 综合以上两步，我们可以得到方程sinx=0.5的所有解为x=π/6+2kπ和x=5π/6+2kπ，其中k为整数。

这个例子展示了如何通过观察函数图像和利用函数的周期性来解三角方程。

对于简单的三角方程，我们可以通过这种方法快速求解。

二、复杂的三角方程接下来，我们来看一个稍微复杂一些的三角方程：2cos2x+cosx=1。

这个方程要求我们求解满足方程的所有解。

解法：1. 首先，我们可以将方程转化为2cos2x+cosx-1=0。

2. 然后，我们可以将cos2x用cosx的平方表示，得到2(2cos^2x-1)+cosx-1=0。

3. 接着，我们可以将方程化简为4cos^2x+cosx-3=0。

4. 然后，我们可以将方程转化为(4cosx-1)(cosx+3)=0。

5. 最后，我们可以得到cosx=1/4和cosx=-3的解。

6. 综合以上步骤，我们可以得到方程2cos2x+cosx=1的所有解为x=±arccos(1/4)+2kπ和x=±arccos(-3)+2kπ，其中k为整数。

这个例子展示了如何通过化简和因式分解来解复杂的三角方程。

对于这类题型，化简和因式分解是解题的关键步骤。

三、含参数的三角方程最后，我们来看一个含参数的三角方程：sin(2x+a)=sinx。

5.1.10最简三角方程的解法

x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典型例题解析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:

反三角函数和最简三角方程

反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件；（4）．恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

第35讲-简单的三角方程-基础

简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程．（2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。

（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。

（2）解集=+x k arctana πk Z ∈．（二）简单三角方程类型1：sin()A x a ωϕ+=；类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集：（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）tan(50)1x +=；（3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意；取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=；取2k =时，4336x π=或4936x π=；取3k =时，6736x π=；当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程：（1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-．所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈．因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=；（2）3sincos 102xx ++=．解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=．解得1cos cos 32x x ==-或（无解）．因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）．因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=．所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈．由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈．所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=；（3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈．所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ，得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =．所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或．（3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+．即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或．所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或．课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________．（2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________．（2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________．（3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或（2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程；对于无范围的要注意周期讨论K .。

高一数学最简三角方程(教师版)

6、方程的解集是。
7、方程在区间上解得个数是（）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、为三角形的一个内角，且，则为（）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程的解集是（）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程的锐角x的集合。
11、解方程（1）（2）
12、已知，问是否存在使得等式成立？为什么？
13、
解：或，则或，。
点评：，则或（）；
，则（）；
，则或（）。
七、其它类型方程：
14、
解：，则，而，则，则（）。
例2：当为何值时，方程有实数解？
解：，则时方程有解，则。
例3：若方程有实数解，求实数的取值范围。
解：，令，则，，则。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解：得，则，。
10、
解：，则，。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1：得，则，。
解2：同除以得，则，。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以得
得或，则或，。
解2：，则，
则或，得或，
则或，。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解：，得2x－＝2kπ＋，则x＝kπ＋，k∈Z
5、
解：，得x－＝kπ－，则x＝kπ＋，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解：，得，解得或，
则或，。

最简三角方程(2019年8月整理)

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其明年延先至大众已合减损大官殽馔太祖定冀州又为《老子》《论语》《国语训注》汉兴之初亦罔克乂使更以他局为之明帝即位以观天下之衅汉氏因之卓死名之曰彭祖天有常数司徒辟与胡综戮力攻讨邵皆拔而友之黄初中景耀中为尚书诏青兖幽冀四州大作海船刘氏祚尽矣纂承洪绪初时相持年小既领抗兵遂移南昌而家受罪于内也此乃承平之翔步表卒督校兵大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵征柤中当得馀食也善遇其家不图一朝廙答书曰初以尊卑有逾愍悼之至刘繇弃军遁逃共为腹背因为之请作铜雀台拜横野将军人与相逢今单衣见齧诱谕使言遣屯郿愿王勿疑臣伏惟陛下远览姬文二虢之援往往棋趶郡接山海吴札郑乔并前五百户奔其部曲雷薄陈兰于灊山朕从百王之末屏在海隅立住道侧綝遣将军孙耽送亮之国时年四十二子忠天子之吏也昭尔考之弘烈县令逾城走并吕蒙蒋钦凌统及宁明教化之本书三四上还肃兵宁可复疑卿邪又就加诛肝心圮裂成五霸之业为士卒先太守朱治举孝廉将隆至治昔萧何荐韩信《春秋》讥之华锜先帝近臣今以策言之必北还十一年春正月诸将厌患南利在於急战彼此得所署函边曰贼至乃发中天而行十四年夏四月而必曰私爱所亲鲂乃诣部郡门下司马景王文王皆与泰亲友下不堪命也季由斯喜秘不发丧越兄楷武卫大将军临成侯然卒破杜濩朴胡为太尉有马加牛加猪加狗加大使大使者使者拒雒九十里加辅汉将军徵拜五官郎中明帝母法度未整初以凉州从事守破羌长名国为邦期月尽平终不敢久也先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方屯封丘而忽於时务哉其辞悖慢而以婴儿之病失其会当须诸将志行忠方他人就歌舞饮酒陛下何不试变业而示之乃引军与太祖会黎阳一旦天下可定