三角函数和简单三角方程

第三单元 反三角函数和简单的三角方程
一、教材分析
本单元的重点是反三角函数的概念，最简三角方程的解集和简单三角方程的解法。

反三角函数的概念是本单元的难点。

但又是全章的基础。

最简三角方程的解集是，是解三角方程的基础与关键，应注意掌握解三角方程的增根、失根和解集的等效性问题是本章的又一个难点。

从题型来看，本单元知识主要以选择题和填空题的形式出现，故在训练中亦将这两种题型作为训练对象。

二、基础训练题
1．选择题：
（１）下列说法正确的是（ ）
Ａ．函数y=sinx 的反函数为y=arcsinx Ｂ．只有在区间［－
2
,2ππ］上，正弦函数y=sinx 才有反函数 Ｃ．函数y=arcsinx(x ∈［－1，１］与y=sinx(x ∈［－2,2ππ］)图象关于直线y=x 对称 Ｄ．函数y=arcsinx 的反函数为y=sinx
（２）下列等式恒成立有（ ）
①sin(arcsin 3π)=3
π ②－arcsinx+arcos(-x)=
2π(－1≤x ≤1) ③arctgx=arcctg x
1(x ≠0) ④arcctgx+arcctg(－x)=π
Ａ．②和③ Ｂ．①和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②③和④
（３）函数y=arcos(x 2+x)的值域是（ ）
Ａ．［arccos
41,1］ Ｂ．[arcos(－4
1)，０] Ｃ．－arccos 41，０］ Ｄ．［０，arccos(－41)］ （４）当－１≤x ≤０时，下列等式中，一定成立的是（ ）
Ａ．arcsin 21x -=π－arccos(－x)
Ｂ．arcsin 21x -π－arccosx
Ｃ．arccos 21x -π－arcsin(－x)
Ｄ．arccos 21x -π－arcsinx
（５）下列命题正确的是（ ）
Ａ．y=arccosx 为奇函数
Ｂ．y=cos(arctgx)为偶函数
Ｃ．y=ctg(arcctgx)为偶函数
Ｄ．y=2
π－arccosx 为奇函数 （６）若(a+1)(b+1)=2,则arctga+arctgb 之值为（ ） Ａ．
4π Ｂ．－4
π Ｃ．4π或－π43 Ｄ．4π或－4
π （７）sin2x=sin 7
π的解集为（ ） Ａ．｛14π｝ Ｂ．｛14π，14
13π｝ Ｃ．｛x|x=21k π+14π,(k ∈ｚ)｝ Ｄ．｛ｘ｜ｘ＝21ｋπ+（－１）k 14
π，ｋ∈ｚ｝ （８）已知｜sin θ｜＝31，θ∈（－π，－2
π），则θ可表示为（ ） Ａ．π+arcsin 31 Ｂ．π－arcsin 31 Ｃ．－π+arcsin 31 Ｄ．―π―arcsin 3
1 (9)sinx=21(a+a
1)(a ≠±１)的解集是（ ） Ａ．{x|x=2k π+2
π，ｋ∈ｚ} Ｂ．｛ｘ｜ｘ＝ｋπ+（－１）ｋarcsin 21(a+a 1),k ∈Z| Ｃ．φ
Ｄ．依a 的取值变化而变化
（１０）方程2cos(3)3
2--πx =0的解集为（ ） Ａ．{x|x=2k π±π，ｋ∈Ｚ}
Ｂ．｛ｘ｜ｘ＝２ｋπ±3
23ππ+
，ｋ∈Ｚ｝ Ｃ．｛ｘ｜ｘ＝４ｋπ±ππ323+，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．｛ππ,3
｝ （１１）若０＜a ＜1，在［０，２π］上满足sinx ≥a 的x 取值范围是（ ） Ａ．［０，arcsina ］ Ｂ．[arcsina,π－arcsina]
Ｃ．[π－arcsina,π] Ｄ．［arcsina,2
π+arcsina ］ （１２）函数y=－cosx(0＜x ＜π＝的反函数可写成（ ）
Ａ．y=2π+arcsinx Ｂ．y=2
π－arcsinx Ｃ．y=π－arcsinx D ．y=－arccosx
(13)arccos(sin5)的值是（ ） Ａ．５－
23π Ｂ．2
π－５ Ｃ．５－2
π Ｄ．25π－５ （１４）已知a=arcsin 31，b=arccos 31,c=arctg 31,则有（ ） Ａ．a ＜b ＜c Ｂ．c ＜a ＜b
Ｃ．a ＜c ＜b Ｄ．b ＜c ＜a
(15)函数y=12arccos -x 的定义域是（ ）
Ａ．［－１，cos1］ Ｂ．[－
21，2
1] Ｃ．｛x|x ∈Ｒ，x ≠２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．［－21，21cos1］ (16)y=arcsinx+arctgx 的值域为（ ）
Ａ．［－π，π］ Ｂ．(－π，π)
Ｃ．[－2
π，π] Ｄ．［－43π，43π］ （１７）arctg(ctg 3)=( )
A ．2π－3
B ．3
3 C ．6π D ．3 （１８）y=3arccos(x －2)的反函数为（ ）
Ａ．y=cos(
3x +2),x ∈［０，２π］ Ｂ．y=cos 3
x ＋２，x ∈［０，３π］ Ｃ．y=cos 3x ＋２，x ∈［０，２π］ Ｄ．y=cos 3x －２,ｘ∈［０，３π］ （１９）方程sin2x ＝sinx 在［０，２x ］内解的个数为（ ）
Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
20.使arcsin2x ＞arccos2x 成立的x 取值范围是
A.[0，21]
B.[-1，2
2] C.[- 21，42] D.[- 2
1，0] 21.方程3tg(2x-
3π)=3的解集是（ ） Ａ．｛x|x=21k π+6
π，ｋ∈Ｚ｝ Ｂ．{x|x=21k π+4
π，ｋ∈Ｚ}
Ｃ．{x|x=k π+
4
π，ｋ∈Ｚ} Ｄ．｛ｘ｜ｘ＝32ππ+k ，ｋ∈Ｚ｝ （２２）下列函数
①y=cos(arcsinx)与y=sin(arccosx)
②y=sin(arcsinx)与y=cos(arccosx)
③y=arcsin(sinx)与y=arcos(cosx)
④y=arcsin(cosx)与y=arcos(sinx)
表示同一函数的有（ ）
Ａ．１组 Ｂ．２组 Ｃ．３组 Ｄ．４组
参考答案
1．选择题
CADBD CDCCC BADBD DABCC BBBAD CDDCA
2．填空题
（1）32π- （2）)67,6()3(21πππ∈+=x x ty y （3）2512 （4）4
π （5）－1 （6）
43π （7）15° （8）}⎩⎨⎧∈--+=Z k k x x k │44)1(πππ （9）⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-1,22 （10）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ,6 （11）4π－π2 （12）1010- （13）10π （14）6
π （15）9π 3．解答题
（1）解：令arccosx=t ，则],0[π∈t ，且x=cost ，从而f(t)=cos 2t+2acost
而f(x)=cos 2x+2acosx
=(cosx+a)2－a 2 (0≤x ≤π)
当－1≤a ≤1时，f(x)min =－a 2
由－a 2=－3知a=±]1,1[3-∉舍去
当a ＞1时，f(x)min =1－2a
由1－2a=－3知a=2 适合题意
当a ＜－１时，f(x)min =1+2a
由1+2a=－3时知a=－2 适合题意
综上知，所求a 值为±2．
（2）解：原方程为(sinx 0)2
1)(sin 23=+-x
∴sinx=2
1sin 23-=x 或． ∴Z k k x k x k k ∈--+=-+= 或)6()1(3·)1(π
πππ ∴原方程的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--=-+=)(6)1(3
)1(Z k k x k x x k k ππππ或│ （3）原方程整理为
(cosx －sinx)(1+sinxcosx)－(1+sinxcosx)=0 而 (1+sinxcosx)(cosx-sinx-1)=0
∴sinxcosx=－1 或 sinx －cosx=1
而 sin2x=－2（舍去） 或 2sin(x －4π
)=1
∴x －4π
=k π+(－１)k 4π
(k ∈Z)
而 x=k π+(－１)k 4π＋4π
（k ∈Z ） ∴原方程的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-+=Z k k x x k
│44)1(π
ππ （4）解：原方程可化简为
sin2x －3sin2x=－１ ∴1)32sin(10-=-acrtg x
∴sin(2x-arctg3)=1010
∴2x-arctg3=k π－（－１）k acrsin 1010
∴原方程的解集为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+--=)(32
11010arcsin 21·)1(2Z k arctg k x x k
│π （5）解：令sinx+cosx=t ，则]2,2[-∈t 且sinxcosx=21
2-t
故原方程为3t －2t 2+2=0
即2t 2－3t+2=0
∴t=－21
或 t ＝２(舍去)
即sin(x+4π)=－4
2 ∴x=k π－（－１）k cossin
42－4π (k ∈Z) 故原方程的解集为
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈---=)(442arcsin )1(Z k k x x k │ππ。