第九章,第四节：重积分的应用

∆U ≈ f ( x , y )dσ , 则 dU = f ( x , y )dσ ,
（3） U = ∫∫ f ( x , y )dσ ）
D
同样，也可将元素法推广到三重积分中。 同样，也可将元素法推广到三重积分中。
已知的重积分应用 二重积分 （1）曲顶柱体的体积 V = ∫∫ f ( x , y )dσ ）
曲面 S 的面 积计算公式 ∂z 2 ∂z 2 或 A = ∫∫ 1+ ( ) + ( ) dxdy ∂x ∂y D
D xy
xy
由元素法
2 2 A = ∫∫ 1 + f x + f y dσ ,
同理可得 ２．设曲面的方程为：x = g ( y , z ) 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 曲面面积公式为：
3） 所 量 的 素 f ( x)dx为 积 达 ， ） 以 求 U 元 被 表 式 在 间 区 [a, b]上 定 分 得 = ∫ f ( x)dx， 作 积 ， U
a b
为 求 U 积 表 式 即 所 量 的 分 达 .
这个方法通常叫做元素法． 这个方法通常叫做元素法． 元素法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
a 2 + 4 ρ 2 ⋅ ρ dρ =
πa 2
6
(5 5 − 1).
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − x 2 + y 2 z (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积. 2a S2 πa 2 解 S1 = (5 5 − 1). a 6
由 z = 2a − x + y 知
问题：如何求该平面薄片的质心坐标？ 问题：如何求该平面薄片的质心坐标？ My Mx y 因为 x = , y= M M M y = ∫∫ x ⋅ µ ( x , y )dσ ,
D
( x, y)
⋅
D
dσ
M x = ∫∫ y ⋅ µ ( x , y )dσ , M = ∫∫ µ ( x , y )dσ , 0 D D
x
z
s
M
dA
γ
γ
( x, y) dσ
y
的切平面 . 边界为准线， 以 d σ 边界为准线，母线平行 于 z 轴的小柱面 截曲面 s 为 ds；截切平面 Σ 为 dA，则有dA ≈ ds. ∵ dσ 为 dA 在 xoy 面上的投影 , ∴ dσ = dA ⋅ cos γ ,
n = ( − f x ( x , y ), − f y ( x , y ), 1) 1 , ∴ cos γ = 2 2 1+ fx + f y
D
（2）平面薄片的质量 M = ∫∫ µ ( x , y )dσ ）
D
（3）平面区域的面积 ）
S = ∫∫ dσ
D
三重积分 （1）空间立体的质量 M = ∫∫∫ ρ ( x , y , z )dv ）
Ω
（2）空间立体的体积 V = ∫∫∫ dv ）
Ω
二、曲面的面积
实例
一颗地球的同步轨道通 讯卫星的轨道位于地球的赤道平 面内， 面内， 且可近似认为是圆轨 道 ．通讯卫星运行的角速率与地 球自转的角速率相同， 球自转的角速率相同，即人们看 到它在天空不动． 到它在天空不动．若地球半径取 问卫星距地面的高度为 为 R，问卫星距地面的高度 为 h 时 , 通讯卫星的覆盖面积是多 大？
问题：如何求该平面薄片的质心坐标？ 问题：如何求该平面薄片的质心坐标？ My Mx y 因为 x = , y= M M ∆M ≈ µ ( x , y )dσ , dM y = x µ ( x , y )dσ ,
( x, y)
⋅
dM x = y µ ( x , y )dσ ,
M y = ∫∫ x ⋅ µ ( x , y )dσ ,
卫星
R R2 − ρ R
ρ dρ 2
h
α R
o
∑
R2 − ρ
ρ dρ 2
R ) R+h
x
y
= 2πR 2 (1 − cos α ) = 2πR 2 (1 −
例 1 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ，含在圆柱体 2 2 内部的那部分面积. x + y = ax 内部的那部分面积
解 由对称性知 A = 4 A1 ,
2 2
a
0
x
y
S1
在 xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 + y 2 ≤ a 2 ,
1 2 2x 2y 2 由 z = ( x + y )得 z x = , z y = , a a a
2x 2 2 y 2 1+ z + z = 1+ ( ) + ( ) a a
2 x 2 y
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − x 2 + y 2 z (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积. 2a S2
2 2
x y ∂z ∂z , , =− =− 2 2 ∂y 2 2 ∂x x +y x +y
0
x
y
S1
1 + z + z = 2,
2 x 2 y
= 2πa 2 S2 = ∫∫ 2dxdy
D xy
πa 2 S = S1 + S2 = ( 6 2 + 5 5 − 1). 6
三、质心（又称重心） 质心（又称重心）
π
θ
x
0
例 2 求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − x 2 + y 2 z (a > 0)所围立体的表面积 所围立体的表面积. 2a S2
解 解方程组
x + y = az , 2 2 z = 2a − x + y x2 + y2 = a2 得两曲面的交线为 , z = a
D1
= ∫∫
D1
a a2 − x2 − y2
θ
1
dxdy
0
x
例 1 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ，含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
解 由对称性知 A = 4 A1 , a A1 = ∫∫ dxdy a2 − x2 − y2 D1
x
z
卫星
h
o
y
的方程为： １设曲面 S 的方程为： z = f ( x , y ) 在 xoy 面上的投影区域为 D xy , n 设小区域 dσ ∈ D xy , 点 ( x , y ) ∈ dσ , M ( x , y , f ( x , y )) o Σ Σ 为 S 上过 M ( x , y , f ( x , y ))
的方程为： １设曲面 S 的方程为： z = f ( x , y )
z
∴ dσ = dA ⋅ cos γ ,
s
M
o γ
n = ( − f x ( x , y ), − f y ( x , y ), 1) 1 , ∴ cos γ = 2 2 1+ fx + f y
n
Σ
x
dA
γ
( x, y) dσ
y
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面 S 的面积元素
∂x 2 ∂x 2 A = ∫∫ 1 + ( ) + ( ) dydz; ∂y ∂z D
yz
３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 曲面面积公式为：
∂y 2 ∂y 2 A = ∫∫ 1 + ( ) + ( ) dydz; ∂x ∂z D
xz
求曲面 S 面积的步骤 （1）确定曲面 S 的方程 z = f ( x , y ) ） （2）确定 S 在xoy 面上的投影区域 Dxy ） （3）计算面积元素 ）
∂z 2 ∂z 2 dA = 1 + ( ) + ( ) dσ ∂x ∂y
（4）计算二重积分 ）
∂z 2 ∂z 2 A = ∫∫ 1 + ( ) + ( ) dydz; ∂x ∂y D
xz
实例解答 ∑: z = R2 − x2 − y2 ,
x + y ≤ R sin α
2 2 2 2
A = ∫∫ 1 +
1 2 解 由 z = ( x + y 2 )得 a
a
2y 2x zy = , zx = , a a 2x 2 2 y 2 2 2 1 + zx + z y = 1 + ( ) + ( ) a a
x
0
y
S1
1 2 a + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy ∴ S1 = ∫∫ D a
xy
=
a1 2π ∫0 dθ ∫0 a
D D D
D
dσ
0
x
M x = ∫∫ y ⋅ µ ( x , y )dσ , M = ∫∫ µ ( x , y )dσ ,
设有一平面薄片， (2) 设有一平面薄片 ， 占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 µ ( x , y ) ， 假定 上连续。 µ ( x , y ) 在 D 上连续。
D1 : 0 ≤ θ ≤
π
A1 =
2
π
2
a cosθ dθ ∫0 ∫0
2
π
2
, 0 ≤ ρ ≤ a cosθ ,
a a2 − ρ
ρ dρ 2
= a ∫0 (1 − sinθ )dθ =
π
y
D1
ρ = a cosθ
2
a2 − a2.
2 2
∴ A = 4( a − a ) = 2π a − 4a 2
2 2
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U 对于xoy面上的闭区域 具有可 若要计算的某个量 对于 面上的闭区域 D具有可 加性， 加性， 即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量 U相应 分成许多小闭区域时， 相应 地分成许多部分量， 等于部分量之和。 地分成许多部分量，且 U 等于部分量之和。 个小区域， （1）设想将 D 分成 n 个小区域，并任取其中一小 ） 区域 dσ。 （2）将相应于小区域 dσ 的部分量 ∆U 近似表达为 ）
(1) 设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于 个质点，
( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，⋯ , ( x n , yn )处，质量分别
为 m1 , m 2 ,⋯ , m n ．则该质点系的质心的坐标为 则该质点系的质心 质心的坐标为
x=
i =1 n
∑ m i xi
=
i =1 n
n
My
∑ mi
M
,
y=Hale Waihona Puke Baidu
i =1 n
∑ m i yi
i =1
n
∑ mi
Mx , = M
M y = ∑ mi xi : 质点系对 y 轴的静力矩
M x = ∑ mi yi : 质点系对 x 轴的静力矩
i =1
i =1 n
设有一平面薄片， (2) 设有一平面薄片 ， 占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 µ ( x , y ) ， 假定 上连续。 µ ( x , y ) 在 D 上连续。
D1 ： x 2 + y 2 ≤ ax
曲面方程 z =
2
( x , y ≥ 0)
2 2
a −x −y ,
a ∂z 2 ∂ z 2 , 于是 1 + ( ) + ( ) = 2 2 2 a −x −y ∂x ∂y y ρ = a cosθ 2 2 A1 = ∫∫ 1 + z x + z y dxdy D
2）设想把区间[a, b]分成 n个小区间，取其中 个小区间， ） 任一小区间并记为[ x, x + dx]， 求 相 于 小 间 部 量 U的 似 . 出 应 这 区 的 分 ∆ 近 值
果 如 ∆U 能近 地表 为 a, b]上的 个连 函 似 示 [ 一 续 数 dx 乘积，就 在x处 的值f (x) 与 的 积， 把 f ( x)dx 称 为 U 的 素且 作 ， dU = f ( x)dx； 量 元 记 dU 即
x
.
∫∫ y ⋅ µ ( x , y )dσ
x=D
∫∫ y ⋅ µ ( x , y )dσ
, y=D
∫∫ µ ( x , y )dσ
D
∫∫ µ ( x , y )dσ
D
设有一平面薄片， (2) 设有一平面薄片 ， 占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 ( x , y )处的面密度为 µ ( x , y ) ， 假定 上连续。 µ ( x , y ) 在 D 上连续。
D xy
2 fx
+
2 f y dσ
= ∫∫
D xy 2 2
R R2 − x 2 − y 2
z
dσ ,
D xy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ R sin α }
= {( ρ ,θ ) | 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ρ ≤ R sin α }
∴ A= =
2π R sin α ∫0 dθ ∫0 R sin α 2πR ∫0
第四节 重积分的应用
• • • • • • 一、问题的提出 二、曲面的面积 三、质心 四、转动惯量 五、引力 六、小结
一、元素法 定积分元素法的一般步骤： 定积分元素法的一般步骤：
1） 据 题 具 情 ，选 一 变 例 ） 根 问 的 体 况 取 个 量 如 x [ 为积分变量， 为积分变量，并确定它的变化区间 a, b]；