2013年高考数学圆锥曲线大题练习及解析

1.已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．2.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F （1，0），且过点(20)，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交 于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求AMN △面积的最大值．（Ⅰ）由题设2a =，1c =，从而2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，， 设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，(4)(4)0n x m y -+-=．设00()M x y ，，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩， ②，③由②，③得05825m x m -=-，0325ny m =-．由于22220022(58)3434(25)(25)x y m n m m -+=+-- 2222(58)34(25)(25)m n m m -=+-- 222(58)124(25)m n m -+=- 222(58)3694(25)m m m -+-=- 1=．所以点M 恒在椭圆C 上．（ⅱ）设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得22(34)690t y ty ++-=．设11()A x y ，，22()M x y ，，则有：122634t y y t -+=+，122934y y t -=+．212233334t y y t +-=+．令234t +12314y y λλ--==因为4λ≥，1104λ<≤，所以当114λ=，即4λ=，0t =时，12y y -有最大值3，此时AM 过点F ．AMN △的面积12121322AMN S FN y y y y =-=-△有最大值92．3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线y =kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点. (Ⅰ)若ED =6DF ，求k 的值； (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值。

22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k=或38k=． ············································································································6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F，到AB的距离分别为1h==2h== ·····································································9分又AB==AEBF的面积为121()2S AB h h=+1525(14k=+==≤当21k=，即当12k=时，上式取等号．所以S的最大值为 ·······························12分解法二：由题设，1BO=，2AO=．设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ······························································································································9分===当222x y=时，上式取等号．所以S的最大值为··················································12分4.已知曲线11(0)x yC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为曲线1C的内切圆半径为3．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若M O O A λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．22．解：（Ⅰ）由题意得2ab ⎧=⎪⎨=又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+，因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1y x k =-，即x k y=-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠， 所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMB S AB OM =△ 2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++ 22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k+=+++++2224554920(1)20k k k +++==+， 又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=△．当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．5.已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y k x =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-22214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．6.抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．22．（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-即：1212()y x x x x x =+-因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+-①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+由210012x y y x y x x y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得：2210010x y x x y x ---=所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=同理，200222,F F y y x y x x =-=所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=--令0x x =-得0120012[()]y y x x x y x x =+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线（2）解：由已知A B M N 、、、共线，所以()00,)A y B y以AB 为直径的圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=7.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+即PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤．8.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． （1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB 的最小值．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<．则：12MA AF MBBFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MBBB BF==．…………②由①②得：12AF AF BF BFλλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）（2）解：由解法一，(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．9.已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，AB =（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB = 综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=．07天津（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△211BO F A OF F A=由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-， 解得22a F A =，而22b F A a=，得22b aa =，即a =．（Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得200t x x y y -= 代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=， 于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭4220220022t b x x y -=+． 若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为t =． 当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为t =． 另一方面，当t =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，(0)3t b =∈，使得所述命题成立．10.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点． （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且A O B ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．（Ⅰ）2a =，1b =，c =1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+> 又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k-=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是3(2,(,2)-．11.在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为y k x p =+，与22x p y =联立得22x p y y k x p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-． 于是12122AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p == ∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，QPQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '==∵ 111222y p O H a a y p +'=-=--，x222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S d AB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，12.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 面积最小值． 22．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-⎣因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-． 所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+．四边形ABCD 的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．。