17-18版 第5章 第3节 等比数列及其前n项和
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案
第3讲 等比数列及其前n 项和 ,)1．等比数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．1．辨明三个易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能马上断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必需留意对q ＝1与q ≠1分类争辩，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中依据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类争辩思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必需分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q；在推断等比数列单调性时，也必需对a 1与q 分类争辩．1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812D ．54C 法一：由a 3＝12，a 4＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得a 1＝163，q ＝32，所以a 6＝a 1q 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325＝812.故选C.法二：由等比数列性质知，a 23＝a 2a 4，所以a 2＝a 23a 4＝12218＝8，又a 24＝a 2a 6，所以a 6＝a 24a 2＝1828＝812.故选C.2.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64C 由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C. 3.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 27，814.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________． log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10 ＝log 2＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.255.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________． 由于a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以a 1q 4－a 1＝15，① a 1q 3－a 1q ＝6，②且q ≠1. ①②得（q 2＋1）（q 2－1）q ·（q 2－1）＝156，即2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4. 4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题． 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(2021·兰州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由于b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n 项和等其余量．(2)设元的技巧，可削减运算量，如三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq (公比为q )；四个数成等比数列且q >0时，设为a q 3，a q，aq ，aq 3.角度一 求首项a 1、公比q 或项数n1．(2021·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．由于a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又由于S n ＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n ＝6.6角度二 求通项或特定项2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 由于3S 1，2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.3n －1角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310) B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)C 由题意知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，则q ＝a n ＋1a n ＝－13，a 1＝a 2q ＝4，因此其前10项和等于4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．等比数列的判定与证明(2022·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【解】 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1.(2)由(1)得，S n ＝1－(λλ－1)n. 由S 5＝3132得，1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132. 解得λ＝－1.证明数列{a n }是等比数列常用的方法 一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋5d ＝22，解得a 1＝2，d ＝4.所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2. (2)证明：由T n ＝1－13b n ，①令n ＝1，得T 1＝b 1＝1－13b 1.解得b 1＝34，当n ≥2时，T n －1＝1－13b n －1，②①－②得b n ＝13b n －1－13b n ，所以b n ＝14b n －1，所以b n b n －1＝14.又由于b 1＝34≠0， 所以数列{b n }是以34为首项，14为公比的等比数列．等比数列的性质(1)(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42D ．48(3)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________． 【解析】 (1)法一：由于a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 24＝4(a 4－1)， 所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又由于q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：由于a 3a 5＝4(a 4－1)， 所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)．将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.(3)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.【答案】 (1)C (2)A (3)－12等比数列常见性质的应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要留意挖掘隐含条件，利用性质，特殊是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以削减运算量，提高解题速度．(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．依据题目条件，认真分析，发觉具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(3)在应用相应性质解题时，要留意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时留意设而不求思想的运用．1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558A 由于a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.2．(2021·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．323(1－4－n) ,)——分类争辩思想在等比数列中的应用已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.由于S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 【答案】 2(1)本题在利用等比数列的前n 项和公式表示S 2m 和S m 时，对公比q ＝1和q ≠1进行了分类争辩．(2)分类争辩思想在等比数列中应用较多，常见的分类争辩有： ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种状况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1争辩．③项数的奇、偶数争辩．④等比数列的单调性的推断留意与a 1，q 的取值的争辩．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)nb n ，求T n .(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)， 解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn ·(n ＋1)． 由于b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.,)1．(2021·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2B 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q2＝a 4a 2＝14， 所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a2，所以a ＝－13.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）2A 由于a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．故选A.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3C 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52.所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．(2021·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.6．(2021·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1D 设{a n}的公比为q ，由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q2q ＋q 3＝2，所以q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， 所以S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n－1，选D.7．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.2n－18．(2021·郑州其次次质量猜测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1（1－q n ）1－q，得S 6＝a 1（1－36）1－3，S 3＝a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3＝a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）＝28.289．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________． T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0＜a 1＜a 2＜…＜a 14＜a 15＜1＜a 16＜a 17＜…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.1510．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3（1－25）1－2＝93.9311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 由于S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.12．(2021·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1C 由于数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，由于数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n－1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 由于4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．14．(2021·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)由于a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 由于q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.。
(人教版)2020届高考数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课时作业
第三节 等比数列及其前n 项和课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 11－q 31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n－1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 11－251－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋1，n 为偶数，2n－1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q，∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1D ．13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1. ∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则q ＝( ) A.32B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列， 等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1，因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。
2022届高考一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和
15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析]
由题意知aa11＞＋0a，1q＋q＞a10q，2＋a1q3＝15， a1q4＝3a1q2＋4a1，
解得aq1＝＝21，，∴a3＝a1q2＝4.故选 C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝13，a24＝a6，则 S5 ＝________.
[解析] 由 a24＝a6 得(a1q3)2＝a1q5，
整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13（11－－335）＝1231.
[答案]
121 3
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. [解析] ①设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
[解析] (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)． 又因为 a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1. 所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
A．4
B．8
C．16
D．32
答案：C
2．(基础点：等比数列的前 n 项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5
第三节 等比数列及其前n项和
(2)由(1)知 bn＝an＋1－an＝－21n－1， 当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1 ＋－21＋…＋－12n－2 ＝1＋1－1－－－2121n－1＝1＋231－－12n－1 ＝53－23－21n－1. 当 n＝1 时，53－23－121－1＝1＝a1， 故 an＝53－23－21n－1(n∈N*).
答案：A
4．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若 a1＝12，a4＝4， 则公比 q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________. 解析：a4＝a1q3，得 4＝12q3，解得 q＝2，a1＋a2＋…＋an ＝1211－－22n＝2n－1－12.
答案：2 2n－1－12
5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋3S2＝0，则公比 q＝________. 解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均
是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
1.已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋2an＋1，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1. 当 n≥2 时，bn＝an＋1－an＝an－12＋an－an＝－12(an－an－1)＝
公式Sn＝a111－－qqn.
针对训练
等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，求 an 及前 n 项和 Sn. 解：当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3×32＝92，符合题意， 此时 an＝32，Sn＝32n.
第五章 第三节 等比数列及其前n项和
答案：17
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考点二 等比数列的判定与证明[探究型]——应用逻辑推理 [例 1] (2018·珠海模拟)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1 ＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中 λ 为实数，n 为正整数． (1)对任意实数 λ，证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． 解：(1)假设存在一个实数 λ，使{an}成等比数列，则有 a22＝a1a3， 即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即 9＝0，这与事实 相矛盾．所以对任意实数 λ，数列{an}都不是等比数列．
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③若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}， a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn(λ≠0)仍然是等比数列；
④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数 列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
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2．分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时， {an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
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第五章 第三节 等比数列及其前n项和
解析：∵ an－ 2 an－1＝0，∴an＝2an－1 2×1－2n ∴q＝2.∴Sn＝ ＝2n＋1－2. 1－2
答案：2n＋1－2
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2 8 3．(2012· 长安模拟)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝9.当n≥2时， 3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)． (1)证明：{an＋1－an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项．
a1q ＋a1q
2
3
1 1 ＝32a q2＋a q3. 1 1
2 a1q＝2， 即 2 5 a1q ＝32.
a2qq＋1＝2q＋1， 1 化简得 2 5 a1q q＋1＝32q＋1， a1＝1， 又∵a1>0，q>0，解得 q＝2.
1 1 1 1 ＋ ，a3＋a4＝32 ＋ . ＝2 a a 1 a3 a4 2
(1)求{an}的通项公式；
2 (2)设bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
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解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，
1 1 由已知得a1＋a1q＝2a ＋a q， 1 1
D．32
答案： C
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3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4， 则an＝
3n A．4· 2 3n－1 C．4· 2 2n B．4· 3 2n－1 D．4· 3
(
)
解析：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)⇒a＝5，
等比 设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等 中项 比中项G＝ ± ab
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二、等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am· n－m. q
2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s， a · ＝ar· s a a 则有 p q . 1 3．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{a }， n
2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第3节 等比数列及其前n项和
多维层次练30[A 级 基础巩固]1．(2020·郴州一模)在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．254解析：数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1（1－27）1－2＝28－2＝254.答案：D2．(2020·惠州联考)已知数列{a n }为等差数列，且2a 1，2，2a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．15 B.212 C ．6D ．3解析：由2a 1，2，2a 6成等比数列，可得4＝2a 1·2a 6＝2a 1＋a 6， 即a 1＋a 6＝2，又数列{a n }为等差数列， 所以{a n }前6项的和为12×6(a 1＋a 6)＝6.答案：C3．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．(2＋2)[1－(2)n ]B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1)D.2(1－2n )解析：由{a n }为正项等比数列，且a 2＝2，a 3＝2a 1，可得a 1＝1，公比q ＝2，所以数列{a n a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2（1－2n ）1－2＝2(2n －1)．答案：C4．(2020·衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( )A ．{6}B ．{－8，8}C ．{－8}D ．{8}解析：因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}．答案：D5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8.答案：B6．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．解析：由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝13（1－35）1－3＝1213.答案：12137．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ·a m ＋2＝2a m ＋1(m ∈N *)，数列{a n }的前n 项积为T n ，且T 2m ＋1＝128，则m 的值为________，数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a m ·a m ＋2＝2a m ＋1，所以a 2m ＋1＝2a m ＋1，即a m ＋1＝2，即{a n }为常数列．又T 2m ＋1＝(a m ＋1)2m ＋1，由22m ＋1＝128，得m ＝3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n . 答案：3 2n8．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________．解析：由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )可得a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，即(a n ＋1－2a n )2＝0，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以数列{a n }是首项和公比都是2的等比数列，则其前9项的和S 9＝2（1－29）1－2＝210－2＝1 022.答案：1 0229．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 10．已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)因为点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，又a 1＝1， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3. 所以b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1，2.[B 级 能力提升]11．(2020·合肥二模)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n 万元，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列{a n }，且a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列{b n }，且b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以每一层货物的总价为a n b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1万元， 所以这堆货物的总价(单位：万元)为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ，所以S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1. 两边同乘910得，910S n ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，两式相减得110S n ＝1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝10－(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，所以S n ＝100－10×(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，由100－10×(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝100－200×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，整理得10×(10＋n )＝200，解得n ＝10. 答案：D12．数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________．解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝3－2n ＋32n ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝3－2n ＋12n －1(n ≥2)，两式相减得(2n －1)a n ＝2n －12n (n ≥2)，a n ＝12n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3－52＝12，适合上式，所以a n ＝12n (n ∈N *)．因此a 1＋a 2＋…＋a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .答案：1－12n13．(2020·长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n .(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， 所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列．[C 级 素养升华]14．(多选题)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，T n 是{a n }的前n 项之积，a 2＝27，a 3·a 6·a 9＝127，则当T n 最大时，n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3·a 6·a 9＝127，所以a 36＝127，解得a 6＝13.因为a 2＝27，所以q 4＝1327＝181，解得q ＝13，所以a n ＝a 2qn －2＝27×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5.令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5＝1，解得n ＝5，则当T n 最大时，n 的值为4或5.答案：AB素养培育数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用(自主阅读)(1)数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展．(2)数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想．类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .[典例1] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________．解析：(1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或a m＝2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案：(1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *)．[典例2] (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B ．－18 C.578 D.558解析：(1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：(1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q .若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比)．[典例3] (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________． 解析：(1)由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：(1)2 (2)3116。
2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第五章 数列 3 等比数列及其前n项和
可知 bn≠0，所以bbn＋n 1＝－23(n∈N*)。 故当 λ≠－18 时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等 比数列。
第七页，编辑于星期六：二点 四十七分。
4．设{an}是由正数组成的等比数列，a1，a9 是方程 x2－8x＋12＝0 的两根，则 a4a5a6＝__________。
解析：因为 a25＝a1·a9＝12，an＞0，所以 a5＝2 3，所以 a4a5a6＝ a35＝24 3。
答案：24 3
第八页，编辑于星期六：二点 四十七分。
第五页，编辑于星期六：二点 四十七分。
2．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若 a2＝2,2a3＋a4＝ 16，则 an 等于( )
A．2n－2 B．23－n C．2n－1 D．2n
解析：设该等比数列的公比为 q，则 a3＝2q，a4＝2q2，由此得 4q ＋2q2＝16，即 q2＋2q－8＝0，解得 q＝2 或者 q＝－4(舍去)，所以 an ＝a2qn－2＝2n－1。
＝
41－215 1－12
＝
第二十页，编辑于星期六：二点 四十七分。
考点二 等比数列的判定与证明 【典例 2】已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn ＝(－1)n(an－3n＋21)，其中 λ 为实数，n 为正整数。 (1)对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。
答案：C
第六页，编辑于星期六：二点 四十七分。
第三节 等比数列及其前n项和
第三节
等比数列及其前n项和
结束
2．已知数列{an}是公比 q≠± 1 的等比数列，则在{an＋an＋1}，{an＋1
an －an}，a ，{nan}这四个数列中，是等比数列的有 n＋1
(
)
A． 1 个 C． 3 个
B．2 个 D． 4 个
答案：C
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第三节
等比数列及其前n项和
2． 在涉及等比数列前 n 项和公式时要注意对公比 q 是否等 于 1 进行判断和讨论．
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第三节
等比数列及其前n项和
结束
[典例]
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝n.
(1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n， ① 思 考 怎样从an+Sn=n中求出通项 an? ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ② ②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， an＋1－1 1 ∴ ＝ . an－1 2
结束
1．(2013· 承德一模)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为 A． 1 1 C．1 或－2 1 B．－2 1 D．－1 或2 ( )
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第三节
等比数列及其前n项和
结束
2 a1q ＝7， 解析：根据已知条件得 2 a1＋a1q＋a1q ＝21，
21－2n 故 Sn ＝ ＝2n＋1－2. 1－ 2
第三节 等比数列及其前n项和-高考状元之路
第三节 等比数列及其前n 项和预习设计 基础备考知识梳理1．等比数列的定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的比等于 那么 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 ．2．等比数列的通项公式设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为q ，则它的通项=n a3．等比中项 若 ，则G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：.m n a a = *).,(N m n ∈(2)若}{n a 为等比数列，且*),,,(1N n m i k n m k ∈⋅+=+，则(3)若}{},{n n b a （项数相同）是等比数列，则),0}({=/λλn a }}{{},{},1{2nn n n n n b a b a a a ⋅仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列}{n a 的公比为),0(=/q q 其前n 项和为⋅n s6．等比数列前n 项和的性质若公比不为-1的等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 则,n s n n n n s s s s 232,--仍成等比数列，其公比为典题热身1．已知等比数列}{n a 满足,6,33221=+=+a a a a 则=7a64.A 81.B 128.c243.D 答案：A2．在正项等比数列}{n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a a ( ) 32.A 64.±B 64.C 256.D答案：C3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且h a a a a ==22593,2.则1a 等于 （ ）21.A 22.B 2.C 2.D 答案：B4．(2011．山东济宁一模)在数列}{n a 中，n n ca a =+1（c 为非零常数），且前n 项和为,3k s n n +=则实数A 的值为（ ）0.A 1.B 1.-c 2.D答案：C5．(2011．上海春高考)若n s 为等比数列}{n a 的前n 项和，,082=+as a 则=36s s 答案：-7 课堂设计 方法备考题型一 等比数列有关基本量的计算【例1】已知}{n a 为等比数列，,320,2423=+=a a a 求}{n a 的通项公式， 题型二 等比数列的判定与证明【例2】已知数列}{n a 和}{n b 满足：432,11-+==+n a a a n n λ，n n b )1(-=),213(+-n a n 其中A 为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数⋅,λ数列}{n a 不是等比数列；(2)证明：当18-=/λ时，数列}{n b 是等比数列，答案：C3．（2010．全国I ）已知各项均为正数的等比数列*}{a 中，,10,5987321==a a a a a a 则=654a a a ( ) 25.A 7.B 6.C 24.D答案：A4．(2010．广东高考)已知数列}{n a 为等比数列，n s 是它的前n 项和，若,2.132a a a =且4a 与72a 的等差中项为,45则=5s ( ) 35.A 33.B 31.C 29.D答案：C5．(2010．辽宁高考)设}{n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和．若,7,1342==S a a 则=5s ( )215.A 431.B 433.C 217.D 答案：B高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．菱湖模拟）在等比数列}{n a 中，,21=a 前n 项和为,n s 若数列}1{+n a 也是等比数列，则n s 等于 ( )n A 2. n B 3. 13.-n C 12.1-+n D答案：A2．（2010．安徽高考）设}{n a 是任意等比数列，若它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )Y Z X A 2.=+ )(2)(.X Z X Y Y B -=- XZ Y C =2. )()(.X Z X X Y Y D -=- 答案：D3．（2011．广东汕头模拟）记等比数列}{n a 的前n 项和为n s 若,18,263==S s 则510s s等于( ) 3.-A 5.B 31.-c 33.D答案：D4．（2011．天津和平区质检）在正项等比数列}{n a 中，<+1n a ,5,6,6482=+=⋅a a a a a n 则75a a等于( ) 65.A 56.B 32.C 23.D 答案：D5．（2011．天津滨海新区五校联考）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比,1=/q 设=+=Q a a p ),log (log 2175.055.0,2log 935.0a a +P 与Q 的大小关系是( ) Q P A ≥. Q P B <. Q p c ≤. Q P D >.答案：D6．（2011．杭州联考）等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件,011,01,110099100991<-->->a a a a a 给出下列结论：i q 10<<①;0110199<-a a ②100T ③的值是n T 中最大的；④使1>n T 成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是( )①②④.A ②④.B ①②.c ①②③④.D二、填空题7．若数列*}{a 满足；),(2,111⋅∈==+N a a a n n π则=5a ；前8项的和=8s （用数字作答） 答案：16 2558．设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为,n s 则=44a S 答案：159．设}{n a 是公比为q 的等比数列，,1||>q 令=+=n a b n n (1,...),2,1若数列}{n b 有连续四项在集合,19,23,53{--}82,37中，则=q 6答案：-9三、解答题10．（2011．课标全国卷）已知等比数列}{n a 中，,311=a 公比⋅=31q n s )1(为}{n a 的前n 项和，证明：;21n n a s -= (2)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}{n b 的通项公式．11．(2010．陕西高考)已知}{n a 是公差不为零的等差数列，,11=a 且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项；(2)求数列}2{n a 的前n 项和⋅n s12. (2011．安徽高考)在数l 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作,n T 再令.1,lg ≥=n T a n n(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设,tan tan 1+⋅=n n n a a b 求数列}{n b 的前n 项和⋅n s。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第5章 5.3 等比数列及其前n项和
因为 q＜1，解得 q＝－1 或 q＝－2. 当 q＝－1 时，代入①得 a1＝2， － 通项公式 an＝2×(－1)n 1； 1 当 q＝－2 时，代入①得 a1＝2， 1 通项公式 an＝2×(－2)n－1.
点评：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式， 并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项 和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算 过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
高中数学
5．3 等比数列及其前n项和
考纲点击 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用 有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，①____________等于同一个常 数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ② ______.公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．通项公式与前 n 项和公式． (1)通项公式：③__________，a1 为首项，q 为公比． (2)前 n 项和公式： 当 q＝1 时， ④__________； 当 q≠1 时， ⑤______________.
解析：由等比数列的性质知：a1· a19＝16＝a8· a12＝a2 10，∴ a10＝4，则 a8· a10· a12＝a3 10＝64，故选 B. 答案：B
1n 3． 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3( ) ＋m(n∈N*)， 则 2 实数 m 的取值为( ) 3 A．－ B．－1 2 C．－3 D．一切实数n－1 Nhomakorabea1 －2
2022届高考数学一轮复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课时作业(含解析)新人教版
第五章 数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组 基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组 能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误． 答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确． 答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， 两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1， 所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2， 两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 答案：D。
第三节 等比数列及其前n项和
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=
1 an
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,由6a1+1=9a1,
得a1= 1 .
3
当n≥2时,由6Sn+1=9an,
得6Sn-1+1=9an-1,
两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), ∴an=3an-1.
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考点三 等比数列的判定与证明
典例3
设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=
3 2
,a3=
5 4
,且当n≥2
时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明:
an1
1 2
an
为等比数列.
解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
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∴数列{an}是首项为
1 3
,公比为3的等比数列,其通项公式为an=
1 3
×3n-1=3n-2.
(2)∵bn=
1 an
=
1 3
n2
,
∴{bn}是首项为3,公比为
1 3
的等比数列,
∴Tn=b1+b2+…+bn=
3
1
1
1 3 1
n
=
9 2
1
1 3
n
.
3
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第三节 等比数列及其前n项和
教材研读
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等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。
高三一轮复习第五章 第三节等比数列及其前n项和
课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】 当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】 C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】 q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】 B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】 设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】 B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】 ∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】 A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】 A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】 由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】 C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】 各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】 A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】 B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】 令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6， 由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】 BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】 对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022， 所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确； 对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确． 【答案】 ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1． 【答案】 3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】 很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】 －1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2， 又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】 (1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。
【创新设计】高三数学 一轮复习 第5知识块第3讲 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A
3．解题的过程，常表现在“猜”与“凑”．“猜”即猜测解题方向； “凑”，即凑此方向．对于证明题，因为结论已明确，所以需要的 是
【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； 思维点拨：(1)构造新数列{an＋1－an}； (2)累加，求和得an.
得a＝5，则a1＝4，q＝
∴an＝4·
1. 对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解 方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入 (换元)思想方法的应用．
2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1的判 断和讨论．
【例1】 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ 求{an}的通项公式．
巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力．
【例3】 等比数列{an}的前n项和等于2，紧接在后面的2n项和等于
12，再紧接其后的3n项和为S，求出S.
思维点拨：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过
求 qn和
来解决问题．
解：解法一：设依次n项之和分别为：A1，A2，A3… 则有A1＝2，A2＋A3＝12，A4＋A5＋A6＝S， 而数列{An}为等比数列，公比为qn， ∴A2＋A3＝2qn＋2q2n，∴2qn＋2q2n＝12， ∴q2n＋qn－6＝0，∴qn＝2或qn＝－3. 当qn＝2时，S＝A4＋A5＋A6＝2×23＋2×24＋2×25＝112； 当qn＝－3时，S＝A4＋A5＋A6 ＝2×(－3)3＋2×(－3)4＋2×(－3)5＝－378. 所以S的值为112或－378.
第3节 等比数列及其前n项和
第3节 等比数列及其前n 项和考纲要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.那么Ga ＝b G，即G 2＝ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q. 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .1.若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q 3，xq ，xq ，xq 3.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12 B.－2 C.2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3.等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n＝________. 答案 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.4.(2021·兰州诊断)设等比数列{a n }的前6项和为6，且a 1＝a ，a 2＝2a ，则a ＝( ) A.221 B.17 C.421 D.521答案 A解析 由题意得公比q ＝a 2a 1＝2，则S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a ＝6，解得a ＝221.5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案 D解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f .6.(2019·全国Ⅰ卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3. 所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13（1－35）1－3＝1213.考点一 等比数列基本量的运算1.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A.16 B.8 C.4D.2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A.2n －1B.2－21－nC.2－2n －1D.21－n －1答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.所以S n a n＝a 1（1－2n ）1－2a 12n －1＝2n －12n －1＝2－21－n . 3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 (1)设{a n }的公比为q (q >1)，且a 2＋a 4＝20，a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8消去a 1，得q ＋1q ＝52，则q ＝2，或q ＝12(舍). 因此q ＝2，a 1＝2， 所以{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)易知(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1·22n ＋1， 则数列{(－1)n －122n ＋1}公比为－4. 故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－（－4）n ]1＋4＝85[1－(－4)n ]＝85－(－1)n ·22n ＋35.感悟升华 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .考点二 等比数列的判定与证明【例1】 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列. 感悟升华 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证. 【训练1】 (2021·石家庄质量评估)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(1)证明：数列{a 2n －1}和数列{a 2n }都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项. (1)证明 由a n a n ＋1＝12n ，得a n ＋1a n ＋2＝12n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n＝12因为a 1＝1，a 1·a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121，所以a 2＝12，所以{a 2n －1}是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列， {a 2n }是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列.(2)解 因为T 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ， 所以b n ＝(3－T 2n )n (n ＋1)＝3n （n ＋1）2n.则b n ＋1b n ＝3（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1·2n 3n （n ＋1）＝n ＋22n . 当n <2时，n ＋22n >1，即b 2>b 1＝3； 当n ＝2时，n ＋22n ＝1，即b 2＝b 3＝92； 当n >2时，n ＋22n <1，即b n ＋1<b n . 故数列{b n }的最大项是b 2或b 3，为92. 考点三 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( ) A.12 B.24 C.30 D.32(2)(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A.25 B.20 C.15D.10答案 (1)D (2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)在正项等比数列{a n }中，S n >0， 因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4， 易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列， 所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，所以S 12－S 8＝（S 4＋5）2S4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号)因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20. 感悟升华 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.【训练2】 (1)(2021·西安调研)已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 1a 7＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( ) A.32 B.31 C.30D.29(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 (1)B (2)73解析 (1)由a 1a 7＝a 24＝4，且a n >0，得a 4＝2，又a 4＋2a 7＝52，所以a 4(1＋2q 3)＝52， 解得q ＝12，从而a 1＝16.故S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.(2)法一 由等比数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，所以S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.等比数列前n 项和性质的延伸在等比数列{a n }中，S n 表示{a n }的前n 项和，{a n }的公比为q ， 1.当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *). 2.S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，特别地S 2n ＝S 奇＋qS 奇.【典例】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 答案 (1)2 (2)3116解析 (1)由题设，S 偶＝S 奇－80，S 2n ＝－240.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋qS 奇＝－240，qS 奇＝S 奇－80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，q ＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 思维升华 1.等比数列前n 项和的性质，体现了整体思想在数列中的应用. 2.在运用性质1时，要注意条件S n ≠0；在性质2中，回避讨论公比q ＝1是否成立，优化了解题过程.【训练】 已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40 B.60 C.32 D.50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列， 则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16， S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，又S 9＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＝4＋8＋16＝28. 因此S 12＝28＋32＝60.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·皖北名校联考)设b ∈R ，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，则( )A.{a n}是等比数列B.{a n}是等差数列C.当b＝－1时，{a n}是等比数列D.当b≠－1时，{a n}是等比数列答案 C解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2，a n＝S n－S n－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合a n＝2·3n－1，{a n}为等比数列. 当b≠－1时，a1不适合a n＝2·3n－1，{a n}不是等比数列.2.(2021·郑州质检)正项等比数列{a n}中的a3，a4 039是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－3的极值点，则log 6a2 021＝()A.－1B.1C. 2D.2 答案 B解析因为a3，a4 039是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－3的极值点，则是f′(x)＝x2－8x＋6＝0有两个根，∴a3·a4 039＝6.又{a n}是正项等比数列，所以a2 021＝a3·a4 039＝6，因此log 6a2 021＝log 6 6＝1.3.(2021·长春检测)数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2＋a3＝4，a3＋3a4＝2，则S3＝()A.283 B.12C.383` D.13答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＝4，a 1q 2＋3a 1q 3＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝13，∴S 3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1331－13＝13. 4.在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( ) A.126 B.256 C.255 D.254答案 D解析 数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ， 又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1（1－27）1－2＝28－2＝254.5.(2021·西安调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3答案 C解析 ∵{a n }是等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，由S 6∶S 3＝1∶2，令S 3＝x (x ≠0)，则S 6＝12x .∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，则S 9－S 6＝x4， 从而S 9＝x 2＋x 4＝3x4，故S 9∶S 3＝3∶4.6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1 000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑完了1 000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( ) A.105－1900米 B.105－990米 C.104－9900米 D.104－190米答案 D解析 由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n }，且a 1＝100，q ＝110，a n ＝0.1.∴乌龟爬行的总距离为S n ＝100－0.1×1101－110＝104－190.二、填空题7.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－8）1－2＝7，得a 1＝1.9.若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *).令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 答案 5 050解析 由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1.所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050.三、解答题10.等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.11.(2020·南昌调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 3，a 17，S m 成等比数列，求S 3m .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 7＝49，a 2＋a 8＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 7＝7a 4＝49，a 2＋a 8＝2a 5＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 5＝9，则d ＝2. ∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －1.(2)由(1)知：S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.∵S 3，a 17，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a 217，即9m 2＝332，解得m ＝11.故S 3m ＝S 33＝332＝1 089.B 级 能力提升12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B.2716 C.32 D.2答案 B解析 由条件可知：3a n ＋S n ＝4，3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2).相减，得a n ＝34a n －1.又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1. 则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎨⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n .解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716.13.(2021·太原检测)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5＝________. 答案 121解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得a 2a 5＝a 3a 4＝3a 3，又a 3≠0，所以a 4＝3，即a 1q 3＝3 ①.因为a 4与9a 7的等差中项为2，所以a 4＋9a 7＝a 4(1＋9q 3)＝4 ②， 联立①②解得q ＝13，a 1＝81. 所以S 5＝81×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1351－13＝121.14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数.(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1， ∴S 2n ＝(S n ＋1－S n )2－λS n ＋1，则S n ＋1(S n ＋1－2S n －λ)＝0.∵a n >0，知S n ＋1>0，∴S n ＋1－2S n －λ＝0， 故S n ＋1＝2S n ＋λ.(2)解 由(1)知，S n ＋1＝2S n ＋λ， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋λ，两式相减，a n ＋1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }从第二项起成等比数列，且公比q ＝2. 又S 2＝2S 1＋λ，即a 2＋a 1＝2a 1＋λ， ∴a 2＝a 1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1. 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，（λ＋1）·2n －2，n ≥2.若数列{a n }是等比数列，则a 2＝1＋λ＝2a 1＝2. ∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{a n }是等比数列.。
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第五章 第三节等比数列及其前n项和精讲课件 文
解析(jiě xī)：(1)由等比中项的性质知a3a13＝a5a11＝3，又a3＋a13＝4，
∴a3，a13是方程(fāngchéng)x2－4x＋3＝0的两根，解得a3＝ 3，a13＝1或a3＝1，a13＝3，
(2)由已知得q＝2，a1q2－a1＝6，解得a1＝2.
∴an＝2×2n－1＝2n，
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变式探究
(tànjiū)
1．(1)(2012·南宁适应性测试)已知数列(shùliè){an}是正项等比 数列(shùliè)，若a2＝2,2a3＋a4＝16，则数列(shùliè){an}的通 项公式an＝( )
A．2n－2 B．22－n C．2n－1 D．2n
(2)(2012·泉州四校联考)数列(shùliè){an}满足a1 ＝1，log2an＋1＝ log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是
是首项为 ，公比为 的等比数列(shùliè)
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【例3】 数列(shùliè){an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1 ＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列(shùliè)；
(2)设cn＝
，求证：{cn}是等比数列(shùliè)．
(2)由 当n≥2时，
＝an＋1得，
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两式相减得：n≥2时， ＝an＋1－an＝2. ∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． 又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3. ∴cn＝ ∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋ ＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
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是等比数列(děnɡ bǐ shùliè)，
第五章 第3节 等差、等比数列的片段和性质-原卷版
第3节 等差、等比数列的片段和性质知识与方法1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则m S ，2m m S S -，32m m S S -，…，也构成等差数列，公差为2m d .2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则m S ，2m m S S -，32m m S S -，…，也构成等比数列，公比为m q ，其中m 为偶数且公比1q =-这种情况除外.典型例题【例1】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41S =，84S =，则17181920a a a a +++的值为（ ） A.9 B.12 C.16 D.7变式 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则159S S =______.【例2】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312S S =，则93S S =_______.变式 设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++=（ ）A.18 B.18-C.578D.558强化训练l.（★★★）已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520SS 等于（ ） A.110 B.19 C.18 D.132.（★★★）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10512S S =，则1510SS =_______. 3.（★★★）设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A.23X Z Y +=B.44X Z Y +=C.237X Z Y +=D.86X Z Y +=4.（★★★）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S =，314n S =，则4n S 等于（ ） A.80 B.30 C.26 D.16。
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第三节 等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1
a n
＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．
(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：
S n ＝⎩⎨⎧
na 1(q ＝1
)，
a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q (q ≠1).
3．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；
(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )
(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )
(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )
(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n
)
1－a
.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知等比数列{a n }的公比为－1
2，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )
A ．－2
B ．－12 C.12
D ．2
A [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5
－12
(a 1＋a 3＋a 5)
＝－2.]
3．(2017·浙江五校一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝
( )
A ．64
B ．128
C ．256
D ．512
A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝6，a 3＝a 1q 2
＝8，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
q ＝2或⎩⎨⎧
a 1＝18，q ＝－23
(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A.]
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]
5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.
6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )
1－2
＝126，解得n ＝6.]
n {a n }的前n
项和，a 2·
a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( ) A ．32 B ．64 C ．128
D ．256
(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．
(1)C (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1(1－q 2)1－q
＝3，∴4
q 2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，
∴q ＝－2
3或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.
(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3＝9，
a 21·
q 3＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2或⎩⎨⎧
a 1＝8，q ＝1
2.
又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝2，
∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．。