函数的基本性质教案1第1课时
1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）
1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）第一篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 教学重点/难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：1、说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（3）（4）二、新课教学（一）函数最大（小）值定义2）（1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2）利用图象求函数的最大（小）值3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为625px的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为为旅馆一天的客房总收入，元时，住房率为为与房价160相比降低的房价，因此当房价，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．的最大值的问题．因此问题转化为：当0≤将≤90时，求的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50x＋17600．由于二次函数1在x=25时取得最大值，可知y也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P37例4）求函数解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？在区间[2，6]上的最大值和最小值．课堂小结归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？板书略第二篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2. 教学重点/难点教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 随x的增大，y的值有什么变化？2 能否看出函数的最大、最小值？3 函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+11 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x21 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．2 在区间____________ 上， f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 任取x1，x2∈D，且x12 作差 f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．一、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1任取x1，x2∈D，且x12作差f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：1课本P38练习第3题； 2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．一、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论二、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，1求f(0)、f(1)的值；2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．课堂小结1、归纳小结，强化思想2、函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，（1）求f(0)、f(1)的值；（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．板书略第三篇：1.3函数的基本性质教学设计1.3 函数的基本性质一、教材分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
高中数学教案《函数的基本性质》
教学计划高：《函数的基本性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握函数单调性、奇偶性的定义及判断方法;能够运用函数图像理解并阐述这些性质;能够识别并解决与函数基本性质相关的简单问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、比较等数学活动，引导学生发现函数的基本性质;通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生团队协作和问题解决的能力;通过练习和实践，提高学生应用函数性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度;通过探索函数性质的过程，让学生体会数学中的对称美、和谐美，增强对数学美的感受力。
二、教学重点和难点教学重点：函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法;函数图像在理解函数性质中的应用。
教学难点：理解函数单调性、奇偶性的本质，能够灵活运用这些性质解决问题;通过函数图像准确判断函数的性质。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）情境导入：通过生活中的实例(如气温变化、股票价格波动等)引出函数的概念，让学生感受到函数在生活中的广泛应用。
提出问题：设问“这些函数有哪些共同的特点或性质?”引导学生思考并引出函数的基本性质——单调性和奇偶性。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握函数单调性、奇偶性的定义、性质及判断方法，并能够通过函数图像理解这些性质。
2. 讲授新知（约15分钟）定义讲解：详细讲解函数单调性(增函数、减函数)和奇偶性(奇函数、偶函数)的定义，结合实例帮助学生理解。
性质阐述：阐述函数单调性和奇偶性的基本性质，如单调函数的图像特征、奇偶函数的图像对称性等。
示例分析：通过具体函数示例(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，分析它们的单调性和奇偶性，加深学生的理解。
3. 观察探究（约10分钟）图像观察：利用多媒体展示不同函数的图像，引导学生观察图像的特点，尝试从图像中判断函数的单调性和奇偶性。
小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自观察到的图像特征和判断结果，相互纠正错误，共同探究函数性质的图像表示方法。
函数的简单性质教学设计
函数的简单性质——单调性（第一课时）一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（苏教版）《第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ》中第三节函数的简单性质的第一课时。
函数的性质是研究函数的基础，而函数的单调性首当其冲，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义证明函数单调性的步骤，并能运用单调性只是解决一些简单的实际问题。
通过对本节课的学习，加深学生对函数概念的认识。
函数的单调性是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的单调性的基础，也在比较数的大小、函数的定性分析及数学综合问题有广泛的应用，更是学生在以前学习函数的感念的延续和拓展，因此，函数的单调性在整个高中数学中起着承上启下的作用，并且本节的教学过程中还渗透了数形结合、化归转化等数学思想方法。
二、学生学习情况分析从学生的知识层次来看，他们在初中已经学过简单的函数比如一次函数、二次函数、反比例函数等，对于函数的概念及函数的表示、函数的图像都有了初步的认识。
从图像的变化上，学生能体会函数的增减性的定义，对于引入单调性的定义是水到渠成的。
从学生的学习层次来看，在初中对函数的认识与实验，他们已具备一定的观察事物的能力并积累了一定的研究问题的经验，从某种程度来看具备一抽象概括能力和语言转换能力。
从学生的心理层次来看，虽然学生对函数的性质有了实例，但没有上升到抽象出“概念”的水平，因此定性的描述函数的性质是学生学习的重点，也是学生想关注的问题。
函数的单调性是学生比较容易发现的一个性质，通过对比感悟，学生较易产生兴趣，渴望学习的心态是学生学好本节课的情感基础。
对于学生理解起来较困难的是将自然语言转化为数学符号，因此在教学中多加以引导，让学生学生充分理解函数单调性的定义并能灵活转化应用。
三、设计思想1、教法（1）启发式教学法：以设问和疑问的形式通过层层引导，激发、启迪学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识上升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。
3.4函数的基本性质-奇偶性(第一课时)
3.4函数的基本性质—奇偶性（第一课时）一、教学内容分析本节的重点是偶函数与奇函数的概念.由熟悉的一次函数、反比例函数和二次函数的图像作为研究的起点，抓住图像的特征：关于原点中心对称和关于y轴轴对称，初步形成函数图像具有这种对称的代数特征.从对图像的研究这一角度来理解奇偶性并不困难.“形”的这种特征可以从“数”的角度，即用数量关系来描述函数这一特性，形成对奇偶性概念的认识.从具体到一般情况的研究方法是遵循认识事物的一般规律，用准确的数学语言刻画出偶函数与奇函数的定义.本小节的难点是理解定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件.突破难点的关键一是借助于图象对称的直观性，二是借助于)(x()=-的数量关系的真f-xf)((xff=x-或)实意义.利用数形结合的思想阐述满足条件的函数关系式：)(xfx=f--，这是既简单又直观且是最基本、最x-或)())(f=f(x常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标设计理解偶函数与奇函数的概念; 掌握判断函数奇偶性的一般方法；明确定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件；知道奇函数与偶函数的图象特征.通过对偶函数的学习，促进对奇函数的自我观察、比较、分析、概括等能力.发展运用数学语言进行表达、交流的能力.从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图象的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.三、教学重点及难点偶函数与奇函数的概念及其图象特征，数形结合思想方法在概念理解与解题中的运用；偶函数与奇函数之间的联系与区别；判断函数的奇偶性的一般方法.五、教学过程设计一、复习回顾对称这种结构我们大家很熟悉，在生活中有许多的对称的例子：赵州桥、古代宫殿、寺庙等.对称的设计体现了数学形态的美感.在数学学习中有很多对称，回忆一下在我们所学的内容中，特别是函数中有没有对称问题呢？初中，我们学过哪些函数的图象是关于y轴对称和关于原点对称的呢？（启发学生回忆）【学生回答：正比例函数)0y=kxy关于原点对称，2x(≠=k关于y轴对称.】当时一次函数等简单函数只要结合图象，一眼就观察出来了！那要是较为复杂的函数，我们不知道它的图象呢？怎么判断它的对称性呢？今天，我们从函数“形”的特征中，研究它们在数值上的规律，便于今后绘制函数图象与研究一些比较复杂的函数的性质.【提问：函数图象有哪几种对称？】（学生回答：函数图象的对称性有关于y轴对称和关于原点对称）【提问：有关于x轴对称吗？】（学生根据函数图象的特征回答“没有”）函数图象的对称性，就是今天我们研究的函数的基本性质之一——奇偶性【板书标题《函数的基本性质——奇偶性（第一课时）》】 先来看一组具体的函数，并按要求完成：①x y 3= ②xy 1= ③1+=x y ④2x y =⑤x x y 22+= ⑥32+=x y1） 分别画出函数的大致图像，观察图像的对称性.把它们分成不同的小组.【请学生上黑板演示】y 轴对称——④ ⑥②y 轴对称也不关于原点对称——③ ⑤2） 图像的对称性怎样用数学符号来表示呢？从数值的角度研究图像的对称性呢？.①在A,B 两组中分别计算)1(),1(-f f ；)2(),2(-f f 寻找等量关系.②对定义域内的任意x 的值，都具有这种等量关系吗？有没有D x ∈,)()(x f x f ≠-？ 二、讲授新课关于偶函数1、概念的萌发发现A组函数中，当Dx∈时都有)x=，这组函数叫f-f(x()做偶函数，请学生根据已有的经验，用完整的语言归纳出偶函数的定义.[说明]启发学生观察图象，并发现如下结论：当Dx∈时都有)f-=fx()(x2、概念形成⏹偶函数的定义如果对于函数)y=的定义域(xf．．．．．．x，都有．．．．．D．内的任意实数f=fy=是偶函数.x-，则函数)(x)()f(x对B组中的函数图象关于原点成中心对称，在数值上的特征又是什么？类比偶函数的定义，你可否给出奇函数的定义？（学生回答）⏹奇函数的定义如果对于函数)y=的定义域(xf．．．．．D．内的任意实数．．．．．．x，都有f-=y=是奇函数.xf-，则函数)(x())f(x对函数的奇偶性有了一定的认识，检验学生对概念的理解.请学生判断下列函数的奇偶性：1．Ry=)1((22．x=,)-xxf∈x3．1xy 4.2=x+1-+f-=x)1(x【说明】第1－4题，学生将是否满足)xf=-作为判断的依(x()f据对不是奇函数或者不是偶函数，要求举反例来说明.提问1：)2,2[,)(2-∈=x x x f 是偶函数吗？提问2：)(x f y =是偶函数或者奇函数应该具备的条件是什么？3、概念深化（1）“定义域．．．D ．内的任意实数．．．．．．x ”中“任意”指“所有”，即定义域内的所有x 具有的性质.是函数在整个定义域上的一个属性.把“任意”改为“无穷多个”行吗？（2）都有．．)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-”指数量关系式要恒成立.两要素相互结合，不能只注重第二个等式.函数的研究首先是在定义域内的研究.根据以上两点，偶函数和奇函数的定义域有什么特点？※ 定义域关于原点对称 【解释若D x ∈则D x ∈-】那么，反之成立吗？【举反例】※ “定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要非充分条件（概念辨析题）请学生判断下列函数的奇偶性：1．)1,1[,0-∈=x y 2．52x y =3．11)(22-+-=x x x f 4．x x x f -+-=11)(【要求：不是奇函数或偶函数请举反例说明】（3）偶函数、奇函数的图特像征※偶函数的图像关于y轴成轴对称.※奇函数的图像关于原点成中心对称4、例题解析例1：求证：函数243f-=是偶函数（教师板演）x)x2(x小结：证明函数是偶函数的一般步骤.（紧扣定义）证明函数是奇函数的一般步骤.5．概念的外延一、判断函数的奇偶性的方法★紧扣定义来判断1．定义域是否关于原点对称2．在定义域上是否满足)-x+f恒成立(=xf((x)f-＝)(xf或0)★根据图像的对称性来判断【提问1】怎样解释图像的对称性？紧扣定义，由Dx∈恒有)+-x(=ff，由点的x()(x)(f)-或0f=x对称⇒图像的对称.【提问2】由图像的对称性可以判断函数的奇偶性吗？为什么？（抓住定义来解释）小结如下：※“图像关于y轴成轴对称”是函数为偶函数的充要条件※“图像关于原点成中心对称”是函数为奇函数的充要条件二、怎样绘制偶函数和奇函数的图像？结合偶函数和奇函数图像的对称性先描绘y轴一侧的图像，然后做出这部分关于y轴对称或原点对称的图像，就得到整个函数的图像了.（完成课本P66页的绘图练习）三、函数奇偶性的类别（1）偶函数（2）奇函数（3）非奇非偶函数定义域没有关于原点对称；或者定义域关于原点对称，但是)f没有奇、偶函数那样的恒等式.(x(xf-与)（4）既奇又偶函数定义域关于原点对称且满足0x∈；既奇又偶函数f，D(=x)的图像特征——图像在x轴上且关于原点对称.三、巩固练习一、下列说法是否正确？如果错误，请举例说明.1． 奇函数的图像都通过原点.2． 偶函数的图像都和y 轴相交.3． 既奇又偶的函数只能是0)(=x f4． =y )(x f 是定义在R 上的奇函数，一定有0)0(=f5． 图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数.二、函数)(),(x g x f 在区间],[a a -上都是奇函数，且0)(≠x g ，则下列函数：①)()(x g x f + ②)()(x g x f - ③)()(x g x f ⋅ ④)()(x g x f 中为奇函数的是 ；为偶函数的是 （填序号）四、课堂小结本节课从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性（1）从“数”的角度：D x x f x f ∈=-),()(是偶函数；)()(x f x f -=-，D x ∈是奇函数.（2）从“形”的角度：图像的对称性来判断奇偶性.五、课后作业1、书面作业：课本部分剩余习题 66P #1，2，62、思考题：请你寻找判断函数奇偶性的一般规律◆偶函数与偶函数的和函数是 ；◆偶函数与奇函数的和函数是 ；◆奇函数与奇函数的和函数是 ；◆偶函数与偶函数的积函数是 ；◆偶函数与奇函数的积函数是 ；◆奇函数与奇函数的积函数是 ；3． 思考题：已知)(x f 是定义在R 上的任意一个函数，请以)(x f 和)(x f -构造)(x F ，使)(x F 为偶函数或者为奇函数.六、教学设计说明1．注重课题引入的自然性.由研究函数图像的对称性导入课题，是对偶函数、奇函数概念的铺垫，由初中的函数知识过渡到研究函数的性质，体现初高中函数知识的衔接.最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从一些常见的例子中，寻找)(x f 与)(x f -之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行概念的教学打下基础.2、注意概念的数学语言表示，提高学生的数学语言表达能力.3、运用对比教学的方法，使学生区分偶函数和奇函数的概念，能正确理解函数的奇偶性在图像上的特征.教师在讲解了偶函数的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容.见下表：小结奇偶性的判断方法与步骤，设计如下流程图：征的理解与掌握.密切联系实际，会以正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数及它们的线性组合为载体，注重从特殊到一般的学习过程，加深对函数奇偶性的本质理解，先对偶函数进行详细地研究，再用类比的方法来要求主动研究奇函数的定义和图像特征.为提高学生对函数性质的研究能力而打下扎实的知识基础.重视数形结合的思想方法.整堂课从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图像的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.在学生体会学习的过程中，感悟知识的习得.。
1.3_函数的基本性质_教学设计_教案.docx
教学准备1. 教学目标l.知识与技能（1）通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；（2）掌握集合中元素的三要素：确定性。
互异性。
无序性；（3）掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。
2.过程与方法（1）通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义。
（2）快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识。
3.情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性。
2. 教学重点/难点重点：集合的含义与表示方法。
难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性。
3. 教学用具课件4. 标签教学过程（一）自学指导：1.教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。
通过举例说明和互相交流。
做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。
2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容。
3.用6分钟时间预习教材P2~P5,完成下列内容：（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2.回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1~20以内所有的质数；（2）我国在1991~2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体。
教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么？3.每个小组选出--位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义。
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
高一数学必修1《函数的基本性质》教案
高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。
3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。
4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。
3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。
2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。
教学方法：一、讲授法。
二、探究法。
三、案例分析法。
教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。
$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。
2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。
函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。
3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。
例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。
三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。
四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。
五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。
《函数的基本性质第一课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的基本性质（第一课时）》教学设计◆教学目标1．能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上，用符号语言刻画函数的单调性，提升直观想象素养和数学抽象素养．2．对简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根据单调性的定义证明简单函数的单调性；提升数学逻辑推理素养．能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题，提升数学运算素养．3．体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化．◆教学重难点◆教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为符号化的不等式语言．◆课前准备用软件制作动画；PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题：（1）为什么要研究函数的性质？（2）什么叫函数的性质？（3）函数的性质主要有哪些？（4）如何发现函数的性质？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容．预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质．设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架．二、问题导入问题2：观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？图1 图2 图3 师生活动：学生读图并比较，指出图1的图象是一直上升，而图2，3有升有降．老师指出：在叙述函数图象特征时要按照一定的标准，即应沿x轴正方向，从左向右观察图象的变化趋势．预设的答案：图1的特点是：从左至右始终保持上升；图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．设计意图：直接引出课题，形成对单调性的直观感受．引语：当下很重要，趋势更重要．这节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性质—函数的单调性．（板书：函数的单调性）三、新知探究1．定性刻画函数的单调性问题3：你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？师生活动：学生根据初中学习经验和对图象的观察分析，能描述“y随着x的增大而增大（减小）”．老师在“如何观察”上加强启发和引导．比如：“从左到右”其实就是自变量x不断增大，“上升（下降）”就是函数值y不断增大（减小）．预设的答案：用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．教师点拨：函数值随着自变量的增大而增大（减小）的性质叫做函数的单调性．设计意图：将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．2．定量刻画函数的单调性问题4：如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？师生活动：这是一个高度抽象的问题，维的“脚手架”，从具体问题入手，一步步解决抽象问题．追问1：你能说说函数f(x)＝x2的单调性吗？（画出它的图象，如图4，由图可知：当x＜0时，y随着x的增大而减小，就说f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减的；当x＞0时，y x2 = 2.4x1 = 1.6f(x1) = 2.6f(x2) = 5.7坐标坐标显示控刻等单修改坐标随着x的增大而增大，就说f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上是单调递增的．）追问2：如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2的函数值随自变量的增大而增大”？（借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置，只要点A的横坐标大于点B的横坐标，就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上满足：若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＜f(x2)．）追问3：虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f(x1)＜f(x2)的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？（∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质7就可以得到f(x1)＜f(x2)．）追问4：你能类似地描述f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是减函数并证明吗？（若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＞f(x2)．证明：∀x1，x2∈(－∞，0]且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质4和性质7就可以得到f(x1)＞f(x2)．）追问5：函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？（f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上是单调递减．）预设的答案：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（如图5）．如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减（如图6）．图5 图6 教师点拨：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．设计意图：在实例感知的基础上，借助函数图象，抽象出单调性的概念．从特殊到一般，从具体到抽象，从图象到符号，提升学生的直观想象和数学抽象核心素养．3．辨析概念问题5：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：学生先独立思考举例，之后展示交流，老师指导总结．预设的答案：（1）不能，比如函数f(x)＝x2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，但f(x)在区间D上不是单调递增的．（2）f(x)＝x在整个定义域上单调递增；f(x)＝(x－1)2在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．设计意图：问题（1）加深单调性的概念中关键词“∀x1，x2∈D”的理解．问题（2）帮助学生理解单调性是函数的一种“局部性质”，完善对单调性概念的理解．4．单调性的简单应用例1根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．师生活动：学生结合初中的学习经验，可以利用函数图象得到该函数的单调性．老师引导学生寻找求解的依据——定义，根据定义将问题转化为考察当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)还是f(x1)＞f(x2)．进一步只需考察f(x1)－f(x2)与0的大小关系．预设的答案：解：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R．∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx＋b)－(kx＋b)＝k(x1－x2)．由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以①当k＞0时，k(x1－x2)＜0．于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函数．②当k＜0时，k(x1－x2)＞0．于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是减函数．设计意图：明确单调性的判定可以由函数图象获得，但是证明必须借助定义完成．掌握应用定义证明单调性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例2 物理学中得玻意耳定律p ＝k V（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试对此用函数的单调性证明．师生活动：学生先将物理问题转化为数学问题，即证明函数p ＝k V（k 为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减．预设的答案：证明：任取V 1，V 2∈(0，＋∞)，且V 1＜V 2，则p 1－p 2＝k V 1－k V 2＝k (V 2－V 1)V 1V 2， 由V 1，V 2∈(0，＋∞)，得V 1V 2＞0，由V 1＜V 2，得V 2－V 1＞0，又k ＞0，所以p 1－p 2＞0，即p 1＞p 2，所以函数p ＝k V（k 为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减． 也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大．追问：你能总结用定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性的步骤吗？（第一步：在区间D 上任取两个自变量的值x 1，x 2∈D ，并规定x 1＜x 2，简记为“设元”；第二步：计算f (x 1)－f (x 2)，将f (x 1)－f (x 2)分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f (x 1)－f (x 2)的符号．若f (x 1)－f (x 2)＜0，则函数在区间D 上单调递增；若f (x 1)－f (x 2)＞0，则函数在区间D 上单调递减．简记为“断号、定论”．）设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养．例3 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上的单调递增． 师生活动：学生根据例1、例2的经验独立完成，然后展示交流，老师针对书写规范、变形技巧做重点的纠正和讲解．预设的答案：证明：∀x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，有y 1－y 2＝(x 1＋1x 1 )－(x 2＋1x 2 )＝(x 1－x 2)＋(1x 1 －1x 2) ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2 )＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1＞1，x 2＞1，所以x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0．由x 1＜x 2，得x 1－x 2＜0，于是(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)＜0，即y 1＜y 2． 所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上的单调递增． 追问：你能用单调性定义探究y ＝x ＋1x 在整个定义域内的单调性吗？（y ＝x ＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，在y 1－y 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)中，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，所以当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1＜0，则y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2，所以y ＝x ＋1x 在区间(0，1)上单调递减．同理可得，函数y ＝x ＋1x在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．）设计意图：通过例3掌握用定义证明单调性的步骤，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性．通过追问体会除了可以用定义法证明单调性外还可以用定义去探索单调区间，感受定义的力量．四、归纳小结，布置作业问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？（2）你能总结研究单调性的过程和方法吗？师生活动：学生叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念．交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．预设的答案：（1）略．（2）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质．设计意图：通过梳理本节课的内容，不仅让学生明确本节课的内容，还能让学生对研究函数性质有初步的方法论认识．作业布置：教科书习题3.2第1，2，3，6，8，9题．五、目标检测设计1．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．设计意图：考查单调性的定义．2．根据定义证明函数f (x )＝3x ＋2是增函数．设计意图：考查增函数的定义．3．证明函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递增． 设计意图：考查用定义证明单调性．4．画出反比例函数y ＝k x的图象． （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论．设计意图：考查单调性的判定与证明．参考答案：1．在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低．2．任取x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，因为f (x 1)－f (x 2)＝3(x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝3x ＋2在R 上是增函数．3．任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 2 －2x 1 ＝2(x 1－x 2)x 1x 2， 因为x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递增．4．图象略．（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)．（2）当k ＞0时，y ＝k x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k ＜0时，y ＝k x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．证明如下：当k ＞0时，任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝k (x 2－x 1)x 1x 2， 因为x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(－∞，0)上单调递减．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝k (x 2－x 1)x 1x 2， 因为x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )＝－2x在区间(0，＋∞)上单调递减．k同理可证：当k＜0时，y＝x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质-单调性教案第一章：函数单调性的概念与定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性的存在。
1.2 单调性的定义：函数单调递增和单调递减的定义。
1.3 单调性的表示：用符号表示函数的单调性。
1.4 单调性的性质：单调性的一些基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。
第二章：函数单调性的判断与证明2.1 单调性的判断方法：通过导数或者图像来判断函数的单调性。
2.2 单调性的证明：利用导数或者定义来证明函数的单调性。
2.3 单调性的应用：利用单调性解决一些实际问题，如最值问题、不等式问题等。
第三章：函数单调性与极值的关系3.1 极值的概念：函数的极大值和极小值的定义。
3.2 极值与单调性的关系：函数在极值点附近的单调性变化。
3.3 利用单调性求极值：通过单调性来确定函数的极值点。
第四章：函数单调性与图像的关系4.1 图像的单调性：函数图像的单调递增和单调递减。
4.2 单调性与图像的交点：函数图像的交点与单调性的关系。
4.3 利用图像判断单调性：通过观察函数图像来判断函数的单调性。
第五章：函数单调性的应用5.1 函数的单调区间：确定函数的单调递增或单调递减区间。
5.2 单调性与函数值的关系：函数值的变化与单调性的关系。
5.3 应用实例：利用单调性解决实际问题，如最大值、最小值问题等。
第六章：单调性在实际问题中的应用6.1 引言：通过实际问题引入单调性的应用。
6.2 单调性在优化问题中的应用：如最短路径问题、最大收益问题等。
6.3 单调性在经济学中的应用：如市场需求、价格调整等。
第七章：函数单调性的进一步探讨7.1 函数的严格单调性：严格单调递增和严格单调递减的定义。
7.2 单调性的不变性：函数单调性在坐标变换下的性质。
7.3 单调性与连续性的关系：连续函数的单调性性质。
第八章：复合函数的单调性8.1 复合函数的定义：两个函数的组合。
8.2 复合函数的单调性：复合函数单调性的判定方法。
高一数学必修一 教案 3.2 函数的基本性质
3．2 函数的基本性质3．2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f (x )在区间[a ，b ]和(b ，c ]上都是增函数，则f (x )在区间[a ，c ]上是增函数．( × ) 2．函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( √ )3．若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( × )4．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则函数y ＝－f (x )在区间D 上是减函数．( √ )一、函数单调性的判定与证明 例1 根据定义，研究函数f (x )＝axx －1在x ∈(－1,1)上的单调性． 解 当a ＝0时，f (x )＝0，在(－1,1)上不具有单调性， 当a ≠0时，设x 1，x 2为(－1,1)上的任意两个数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 2－1－ax 2x 1－1x 1－1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1因为x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2， 所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以x 2－x 1x 1－1x 2－1>0，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 跟踪训练2 (1)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________． 答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析 方法一 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 方法二 函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，若将定义域R 改为(－1,1)，其他条件不变，则a 的范围又是什么？解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(－1,1)上是增函数， 且f (1－a )<f (2a －1)， 所以1－a <2a －1， 即a >23.②由①②可知，23<a <1，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上， 对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2， 从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C2．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)≥f (5)答案 C解析 因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)． 3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a 的值是________． 答案 －1解析 ∵f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[2－a ，＋∞)， ∴2－a ＝3，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C解析 单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案 C4．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数， 且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.5．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0 D ．增函数且f (0)>0答案 A解析 因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)解析 当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数， 所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析 因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________． 考点 函数单调性的应用题点 利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32， 故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 9．已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． 证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 因为x 2>x 1>－1，所以x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，因此f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性 答案 D解析 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数， 在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析 对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0， 则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8) 解 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8. 14．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减，∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1， 对称轴为x ＝－a －32a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 A 解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.16．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 了解函数的定义及其基本性质，理解函数的概念。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的定义及表示方法2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的基本性质及其证明方法。
2. 利用例题，展示函数性质在实际问题中的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
4. 利用信息技术辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习初中阶段的知识，如一次函数、二次函数的性质，引出高中阶段函数的基本性质。
2. 讲解函数的定义及表示方法，让学生理解函数的概念。
3. 讲解函数的单调性，引导学生掌握单调性的证明方法，并通过例题展示单调性在实际问题中的应用。
4. 讲解函数的奇偶性，引导学生掌握奇偶性的证明方法，并通过例题展示奇偶性在实际问题中的应用。
5. 讲解函数的周期性，引导学生掌握周期性的证明方法，并通过例题展示周期性在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置有关函数基本性质的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
8. 布置作业：布置有关函数基本性质的作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业完成情况，对教学进行反思，为下一步教学做好准备。
10. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈，对学生的学习情况进行评价，为后续教学提供参考。
六、教学评价1. 学生能够准确地描述函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
2. 学生能够理解并应用函数的基本性质解决实际问题。
3. 学生能够通过实例展示对函数性质的理解，并能够进行简单的证明。
函数的基本性质教案设计
函数的基本性质教案设计这是函数的基本性质教案设计，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
函数的基本性质教案设计第1篇各位老师,大家好!今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节”函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”，下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程,教辅手段,板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。
一、教材分析（一）教材特点、教材的地位与作用本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）重点、难点1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。
（三）教学目标1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中,使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教法、学法分析1．教学方法：启发引导式结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构．使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。
让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习．三、教辅手段以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学四、教学过程为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。
函数的基本性质(教案)
函数的基本性质教学目标：1. 理解函数的概念及其表示方法。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的概念与表示方法1.1 函数的定义1.2 函数的表示方法1.2.1 解析法1.2.2 图象法1.2.3 列表法第二章：函数的单调性2.1 单调增函数2.2 单调减函数2.3 单调性判断方法第三章：函数的奇偶性3.1 奇函数3.2 偶函数3.3 奇偶性判断方法第四章：函数的周期性4.1 周期函数的定义4.2 周期函数的性质4.3 周期性判断方法第五章：函数的基本性质的应用5.1 实际问题举例5.2 函数性质在解决问题中的作用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，引导学生回顾已学的数学知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 提问：同学们，你们认为函数是什么？函数有哪些表示方法？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解函数的表示方法，包括解析法、图象法和列表法，并通过实例进行演示。
2. 讲解函数的单调性，引导学生理解单调增函数和单调减函数的概念，并介绍单调性判断方法。
3. 讲解函数的奇偶性，引导学生理解奇函数和偶函数的概念，并介绍奇偶性判断方法。
4. 讲解函数的周期性，引导学生理解周期函数的定义和性质，并介绍周期性判断方法。
三、课堂练习（15分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
2. 引导学生独立完成练习题，并对答案进行讲解和分析。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调函数的基本性质在实际问题中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 根据本节课所学内容，设计一些课后作业，让学生进一步巩固函数的基本性质。
2. 要求学生在课后独立完成作业，并按时提交。
教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对函数的基本性质的理解和掌握程度。
2. 结合学生的实际问题解决能力，评价学生运用函数的基本性质解决实际问题的能力。
高中数学函数的基本性质计划课时
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1. 函数的定义（1课时）。
高一函数基本性质教案[1]
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（4）函数 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足 也满足 。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于 轴对称，那么这个函数是偶函数。
(2)f(x)=log2(x+ ) (x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一易知f(x)的定义域为R，
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
3．函数 是单调函数时， 的取值范围（）
A． B． C． D．
4．如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有（）
A．最大值B．最小值C．没有最大值D．没有最小值
四课后巩固
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）
（3）复合函数的单调性的判断：
设 ， ， ， 都是单调函数，则 在 上也是单调函数。
①若 是 上的增函数，则 与定义在 上的函数 的单调性相同。
②若 是 上的减函数，则 与定义在 上的函数 的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
∴f（x）= 在［1，+∞)上为增函数.
当x≤-1时，u（x)为减函数， 为减函数，
函数的基本性质(教案)
[课题 ]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间： 2013 年 9 月 30 日使用班级（ 21）（ 22）计划上课时间： 2013-2014 学年第一学期第 6周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容 ]：课标要求教学大纲要求广东考试说明的内容①通过已学过的函数特别是二次函①了解函数的单调性的概念，①理解函数的单调性、最大值、数，理解函数的单调性、最大（小）掌握判断一些简单函数的单最小值及其几何意义；结合具体值及其几何意义；结合具体函数，了调性的方法。
函数，了解函数奇偶性的含义．解奇偶性的含义。
②能够运用函数的性质解决②会运用函数图象理解和研究②学会运用函数图象理解和研究函某些简单的实际问题。
函数的性质．数的性质。
【教材与学情分析】学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。
学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。
[教学目标 ]：知识目标：能力目标：情感态度与价值观目标：1．运用已学过的函数特别是二次函1．会用定义证明函数的单 1.树立用数形结合思想解决数的图象，理解函数的单调性、调性，会求函数的单调区问题的意识 .最大（小）值及其几何意义；间及求函数的最值； 2.通过学习数学推理的能力，2．会用定义证明函数的单调性，会2．会判定简单函数的奇偶性；体会数学推理的严谨性。
求函数的单调区间及求函数的最 3.进一步体会数学语言的简值；洁性与明确性，发展运用数学3．结合具体函数，了解奇偶性的含语言交流问题的能力。
义，会判定简单函数的奇偶性；[教学重难点 ]：1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。
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课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值
⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义；
⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的
最大（小）值．
⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？
⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律：
①f(x) = x ○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________
上，随着x 的增
大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________
． ③f(x) = x 2
○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．
○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．
⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．
，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有
)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．．
，如图⑵
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有．．f(x 1)<f(x 2)
二、函数的单调性定义及判断步骤
⑴单调区间：函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，我们就称函数)(x f 在这个区间D 具有（严格的）单调性，区间D 是这个函数的单调区间。
⑵判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
①假设取值 x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
②作差变形f(x 1)－f(x 2)；（通常是因式分解和配方）；
③判断符号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
④下定结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
三、单调性典型例题
例1．（教材P 32例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P 36练习第1、2题
例2．（教材P 32例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：①课本P 36练习第3题； ②证明函数x x y 1+
=在（1，+∞）上为增函数． [附加]借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略） 思考：画出反比例函数x
y 1=的图象． ①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论．
四、函数的最大、最小值
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1）32)(+-=x x f （2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x
（3）12)(2++=x x x f （4）12)(2
++=x x x f ]2,2[-∈x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；
⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值．
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
y=f(x)的最小值的定义．（学生活动）
五、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；
六、最大（小）值典型例题
例3．（教材P 34例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
[附加题]
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%1020
55(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%1020
55(⋅+x ． 由于)%1020
55(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．
将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600．
由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例4．（教材P 35例4）求函数12-=
x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）
巩固练习：（教材P 36练习5）
再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函
P 43 习题1．3（A 组） 第1-2题．
提高作业：设f(x)是定义在R 上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
⑴求f(0)、f(1)的值；
⑵若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．。