人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
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一、 函数的单调性
1.单调函数的定义
(1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
(2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
(3)单调性:如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 (1)定义法:
判断下列函数的单调区间:2
1x y =
(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断:
设)(x f y =,)(x g u =,],[b a x ∈,],[n m u ∈都是单调函数,则[()]y f g x =在]
,[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数,则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 练习:(1)函数24x y -=的单调递减区间是 ,单调递增区间
为 .
(2)5
412
+-=
x x y 的单调递增区间为 .
3、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上
是增(或减)函数
4.例题分析
证明:函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。 证明:设任意1x ,2x ∈(0,+∞)且12x x <,
则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=-=
, 由1x ,2x ∈(0,+∞),得120x x >,又12x x <,得210x x ->, ∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >
所以,1
()f x x
=在(0,)+∞上是减函数。
说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:x
y 1
=不能说
)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间;
练习:1..根据单调函数的定义,判断函数3()1f x x =+的单调性。
2.根据单调函数的定义,判断函数()f x x =的单调性。
二、函数的奇偶性
1.奇偶性的定义:
(1)偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=,
那么函数()f x 就叫做偶函数。例如:函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函数。
(2)奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ,都有()()f x f x -=-,
那么函数()f x 就叫做奇函数。例如:函数x x f =)(,x
x f 1
)(=
都是奇函数。 (3)奇偶性:如果函数()f x 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。 说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称;
(2) ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算()f x -,看是等于()f x 还是等于()f x -,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
(4)函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足
)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。
(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数。
(6)奇函数若在0x =时有定义,则(0)0f =.
2、函数的奇偶性判定方法 (1)定义法 (2)图像法 (3)性质罚 3.例题分析:
判断下列函数的奇偶性:
(1)2
()||f x x x =- ( ) (2)2
1()2|2|
x f x x -=-+( )
说明:在判断()f x -与()f x 的关系时,可以从()f x -开始化简;也可以去考虑
()()
f x f x +-或()()f x f x --;当()f x 不等于0时也可以考虑()
()
f x f x -与1或1-的关系。 五.小结:1.函数奇偶性的定义;
2.判断函数奇偶性的方法;
3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称,否则将会导致结论错误或做无用功。
二、函数的最大值或最小值
.在区间)0,(-∞上为增函数的是 ( )
A .1=y
B .21+-=
x
x
y C .122---=x x y D .2
1x y +=
.函数c bx x y ++=2
))1,((-∞∈x 是单调函数时,b 的取值范围 ( ) A .2-≥b B .2-≤b C .2->b D . 2-
( )
A .最大值
B .最小值
C .没有最大值
D . 没有最小值
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
( )
A .y =2x +1
B .y =3x 2+1
C .y =
x
2
D .y =2x 2+x +1
2.函数y =(x -1)-
2的减区间是___ _.
3.偶函数()f x 在[]0,π上单调递增,则(2),(3),()2
f f f π
--从小到大排列的顺