概率论 何书元编著 答案剖析
随机过程 课后答案 何书元
只与 s − t 有关, ∴ 是宽平稳的
4. Poisson 过程 X(t),t 0 满足 (i) X(t) = 0; (ii) 对 t > s, X(t) − X(s) 服 从均值为 λ (t − s) 的 Possion 分布; (iii) 过程是有独立增量的. 试求其均值 函数和协方差函数. 它是宽平稳的吗? 解：
= cos λ s cos λ tCov(Z1, Z1) + sin λ s sin λ tCov(Z2, Z2)
= 2 cos λ (s − t)VarZ1
=
2
cos
λ
(s
−
t
)
( E
(Z12)
−
E
2
(Z1
) )
= cos λ (s − t)
∴ 是宽平稳
Ft(x) = P(Z1 cos λ t + Z2 sin λ t x)
= Cov(X(s + 1), X(t + 1)) +Cov(X(s), X(t)) −Cov(X(s), X(t + 1)) −Cov(X(s + 1), X(t))
= λ [min(s + 1,t + 1) + min(s,t) − min(s,t + 1) − min(s + 1,t)]
令 β = s − t, 当 β > 1 或 β < −1 时, RY (s,t) = 0
t
1, 这是 U1, · · · ,Un 的经验分布函数. 试求过
概率论课后习题答案第一章
2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。
则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。
ⅱB r1r2r3r4。
1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。
⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。
⑶当全系运动员都是三年级学生时。
⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。
1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。
1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。
1.5 解样本点总数为28A8×7。
所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。
于是PA23698714。
1.6 解样本点总数为5310。
所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。
所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。
17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。
所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。
概率论 何书元编著 答案习题五解答
pq p2q2
1 pq
g(1)
2(1 2 pq) ( pq)2
VarX
g(1) g(1) [g(1)]2
q p2
p q2
8.验证 (n, )的特征函数 (t ) (1 it )n
证明
(t)
Ee itX
0 e itx
n
(n)
x n1e xdx
n
(n)
0
x n1e(it ) xdx
令 y ( it )x
甲掷得的正面次数大于乙掷得的正面次数 k 次的概率。
解
甲掷硬币并设
Xi
0 1
第i次反面， 第i次正面
i 1,2, , n
则 Xi 的概率母函数
gi
(s)
Es Xi
1(s0 2
s1 )
1 (1 2
s)
设 X 表示 n 次中甲正面出现的次数，
X X1 Xn,
则 X 的概率母函数
g(s)
[
g1
(
但 Z 2X , 所以
Z (t ) EeitZ Ee2itX e 2 t [e t ]2 X (t )Y (t )
2n
C
j 2n
s
j
j0
所以 sk 的系数为概率
P(Z
k)
P(X
Y
k)
1 2n
C
n 2n
k
7.独立重复试验中，用 Aj 表示第 j 次试验成功， 用 X表示首次成功后即接失败的试验次数（ X n 表示 An1 An 发生，但是对 j n 没有 Aj1 Aj 发生） 求 X 的母函数、EX、VarX
（2）h2 (s)
P(X
2k)sk , s [0,1]
概率论 何书元编著 答案习题三解答
解（1）先求 值
1 f ( x, y)dxdy R2
y1 y x2
11dxx12 x2 ydy
2
11( x2
x6 )dx
4
21
21 4
（2）求边缘分布
fX ( x) f ( x, y)dy
y1 y x2
1
x2
21 4
x2
ydy
21 8
x 2 (1
x4 ),
x 1
fY
(
y)
f
(
x,
y)dx
min{X ,Y },max{X ,Y }, X Y 的概率密度。 解 不适合次序统计量的公式（不同分布），
所以只能重新推导 设 X ,Y 的分布函数分别为G( x), H( y), 密度分别为 g( x),h( y) （1）令 Z min{X ,Y }
FZ (z) P(min{ X ,Y } z)（次序统计量的一般推导方法） 1 P(min{ X ,Y } z) 1 P( X z,Y z) 1 [1 G(z)][1 H (z)] 1 ezez I(z0) 1 e()z I(z0)
（2） P( X
1,Y
3)
01dx2318 (6
x
y)dy
3 8
（3） P( X 1.5) P( X 1.5, Y )
01.5
dx
24
1 8
(6
x
y)dy
27 32
（4）P( X Y 4)
x
y4
1 8
(6
x
y)dxdy
02dx24 x
1 (6 8
x
y)dy
2 3
4
3
2
x y4
概率论第2版参考答案
概率论第2版参考答案概率论第2版参考答案概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性。
对于概率论这门学科，学生们经常会遇到一些难题，需要仔细思考和解答。
为了帮助学生更好地理解和掌握概率论知识，教材出版商推出了概率论第2版参考答案。
概率论第2版参考答案是一本针对概率论第2版教材的解答集合。
它包含了教材中所有习题的答案和解析，为学生们提供了一个参考和对比的标准。
通过查阅参考答案，学生们可以自我检测和纠正错误，加深对概率论知识的理解和应用。
在概率论第2版参考答案中，习题的答案和解析都被细分为不同的章节和主题。
这样的安排使得学生们可以有针对性地查找和学习相关的知识点。
同时，参考答案还提供了一些解题的技巧和方法，帮助学生们更好地应对各种概率论问题。
参考答案的编写过程需要经过严格的审校和校对。
编写者需要对概率论的知识有深入的理解和掌握，并且要能够清晰地表达解题思路和步骤。
同时，编写者还需要考虑到学生们可能会遇到的困惑和疑问，提供清晰的解释和说明。
概率论第2版参考答案的出版对于学生们的学习有着积极的影响。
首先，它为学生们提供了一个标准和参考，帮助他们更好地理解和掌握概率论知识。
其次，参考答案还可以帮助学生们发现和纠正自己的错误，提高解题的准确性和效率。
最重要的是，参考答案可以激发学生们的学习兴趣和动力，促进他们对概率论的深入思考和探索。
然而，概率论第2版参考答案也存在一些问题和限制。
首先，参考答案只提供了习题的答案和解析，而没有给出详细的解题过程。
这可能会导致学生们在遇到类似但稍微有些不同的问题时无法灵活运用所学知识。
其次，参考答案并不是万能的，它只是一种参考和辅助工具。
学生们在使用参考答案时，仍然需要自己进行思考和分析，不能完全依赖于答案本身。
综上所述，概率论第2版参考答案是一本对于学生们学习概率论非常有帮助的参考资料。
它提供了习题的答案和解析，帮助学生们更好地理解和掌握概率论知识。
然而，学生们在使用参考答案时需要保持独立思考和分析的能力，不能完全依赖于答案本身。
概率论何书元编著答案习题一解答
P(B)
C43 133 C532
169 425
4.从一副扑克牌的52张中有放回地任取3张，
求这3张牌互不同号的概率和同号的概率。
解 令 A “3张牌互不同号”
B “3张牌同号”
P( A)
C512C5124C5128 523
132 169
P(B)
C512C41C41 523
1 169
5.钥匙串上的5把钥匙中只有一把可以开房门，
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 \ A1 )P( A3 \ A1 A2 )
0.5 0.7 0.1 0.015
15.甲吸烟时在两盒有差别的火柴中任选一盒，使用
其中的一根火柴，设每盒火柴中有
n 根火柴，求遇到
一盒空而另外一盒剩下 r 根火柴的概率。
解 吸烟一次看做一次试验，重复了
（2） A F F 对 , A F
, A F A F F
（3）
Aj F F ,
Aj F
, Aj F Aj F F
j1
j1
所以 F F 也是 上事件域。
11.电梯中的两个人等可能地要去
2,3, ,n 层
（1）写出相应的概率空间 (, F , P)，给出 #,# F
解 (1) p 12! / 15! 25 4!4!4! 5!5!5! 91
(2) p 12! / 15! 6 2!5!5! 5!5!5! 91
7.直径为1的硬币随机地落在打有方格的平面上，
问方格的边长为多少才能使硬币和网格不相交的 概率小于0.01.
解 假设方格的边长为 x, 硬币的圆心落在方格内
的红绿灯是独立工作的，在每个路口遇到红灯的概率
为 p, 求这辆出租车一天内遇到 m 个红灯的概率。
概率论与数理统计主编课后习题答案
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 xx概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布xx为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为,,,, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，+++=1, 即=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =1=-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布xx.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅53=110, P{X=4}=C32⋅53=310, P{X=5}=C42⋅53=3 5,所以X的分布xx为习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m 件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布xx为习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C103=35120,P{X=1}=C103=36120,P{X=2}=C103=21120,P{X=3}=C103=1120.X的分布xx为习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布xx为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一xxτ内断头的概率为0.005, 在τ这xx内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布xx为：求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6, P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅ππ(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的xx成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25, P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞(x)dx-∫-∞(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣,求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=,所以=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]xx的均匀分布. 设Y表示车站xx10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10xx努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ, 所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某xx男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>.因此，车门的高度超过时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第。
(优选)概率论何书元编著答案习题一解答
Ai
) P ( B1 B2
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第三十页，共39页。
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P(B1Br Br1 ) P(B1Br )
(n (n
1 1)nr 1 1 1)nr
第二十九页，共39页。
如果这 r 个球都是红球，求再抽一个也是红球的概率。
解 设 Ai 选中第 i 个口袋，i 0,1,2,, n Bj 第 j 次抽红球，j 1,2,, r
P(B1 )
n
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i 1
Ai
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1
n n
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P ( B1 B2
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P(
i 1
概率论何书元编著答案习题一 解答
第一页，共39页。
2 .100件产品中有3件次品，从中任取两件，
求至少有一件次品的概率。 解 令 A “至少有一件次品”，
A “两件都是合格品”
P( A)
1
P(A)
1
C927 C1200
0.0594
第二页，共39页。
3.从一副扑克牌的52张中无放回地任取3张， 求这3张牌同花色的概率和相互不同花色的概率。 解 令 A “3张牌同花色”
m pme
l
(1
p)l
m pme e (1 p)
m! l0
何书元概率引论答案
何书元概率引论答案1. 引言何书元的《概率引论》一书是概率论方面的经典教材之一。
本文将针对该书的一些问题进行解答，以帮助读者更好地理解和掌握概率论的基础知识。
2. 随机事件与样本空间在概率论中，我们首先需要明确随机事件和样本空间的概念。
随机事件是指在某种随机试验中可能发生的一个或多个结果，而样本空间则是所有可能结果的集合。
在书中，何书元通过举例详细解释了如何确定样本空间以及如何确定随机事件。
3. 概率的定义与性质概率的定义是概率论的核心概念之一。
何书元给出了概率的数学定义，并解释了其重要性。
在此基础上，他进一步讨论了概率的性质，如非负性、规范性、可列可加性等。
这些性质对于理解概率的本质和计算概率的方法非常关键。
4. 条件概率与独立性在实际问题中，我们经常需要考虑某个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率。
这就是条件概率的概念。
何书元对条件概率作了详细的解释，并给出了计算条件概率的方法。
此外，他还介绍了独立事件的概念，以及如何判断两个事件是否独立。
5. 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的另一个重要概念。
何书元在《概率引论》中详细介绍了随机变量的定义、分类和特性。
此外，他还讨论了概率分布函数的概念以及不同类型随机变量的概率分布函数的计算方法。
6. 数学期望与方差数学期望和方差是描述随机变量的重要指标。
何书元对数学期望和方差的定义进行了详细阐述，并给出了计算这些指标的方法。
此外，他还介绍了一些常见随机变量的数学期望和方差的性质。
7. 大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理。
何书元在《概率引论》中对这两个定理进行了详细的阐述，并给出了相应的证明过程。
这些定理对于理解随机变量的分布规律以及计算概率具有重要意义。
8. 随机过程与马尔可夫链最后一章中，何书元介绍了随机过程和马尔可夫链的概念。
随机过程是一类随时间变化的随机现象，而马尔可夫链则是一种特殊的随机过程。
何书元详细解释了随机过程和马尔可夫链的特性，并给出了相应的例证和应用实例。
概率论何书元第三章
概率论何书元第三章概率论是一门研究随机事件出现概率与规律的学科，概率论的基本概念包括随机事件、概率、随机变量等。
其中概率是一个非常关键的概念，也是研究概率论的重点之一。
在概率论中，一般将事件发生的可能性称为概率，通常用P来表示。
概率论中的事件是指能够发生或不发生的事情，这些事件可以是单个的、连续的、离散的或多元的。
其中，单个事件指只有一种可能结果的事件，连续事件指有无限个可能结果的事件，离散事件指只有一些特定结果的事件，多元事件指有多种可能结果的事件。
概率的计算方式可以使用经典概率、条件概率、贝叶斯概率等方法。
经典概率是指当每个事件的可能性都相同时，用特定的方法来计算概率。
条件概率是指在已知某些事件的情况下，计算另一事件的可能性。
贝叶斯概率是指在已知一组先验信息的情况下，计算另一事件的可能性。
随机变量是指在试验中可能取几个不同值的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量只有一些特定取值，而连续型随机变量则可能取任何一个数值。
概率分布是指随机变量所有可能取值与各自概率的关系。
离散型随机变量的概率分布通常用概率函数来表示，而连续型随机变量的概率分布通常用概率密度函数来表示。
概率论在现代科学领域中有广泛的应用，包括物理、生物、金融、经济等领域。
例如，在金融领域中，概率论可以用来评估投资中的风险和收益；在物理领域中，概率论可以用来理解和预测随机过程的发展。
总之，概率论是一个非常重要的数学分支，它的应用范围非常广泛。
在实际应用中，我们需要根据实际情况来选择适当的概率计算方法，以得到更加准确的结果。
概率论 何书元编著 答案共42页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
概率论 何书元编著 答案四
~ N (0,1)
而
E 2(1 )E (
2(1 )
)
2(1
) z
1 2
z2 e 2 dz
2
1
z2 0 ze 2 dz
2
1
z2 0 e 2 d (
1 z )2 2
2
E( X Y ) E X Y 1 E max{ X ,Y } 2 E( X Y ) E X Y 1 E min{ X ,Y } 2
习题四解答 1.设 X 在 [0, ] 上均匀分布，计算 E (sin X ) 2 解 E (sin X )
sin xf ( x )dx
0
2
2
sin xdx
2
2.设 X ,Y 独立同分布，都服从指数分布 ( ),
X Y ) E( ) 证明 E ( X Y X Y
gn ( x ) nF n1 ( x ) f ( x ) nx n1 I( 0 x1)
E ( X (1) )
1 xg1 ( x )dx 0 nx(1
x )n1 dx
1 ( 2)( n) n( 2, n) n ( 2 n) n 1
( ), 问库存多少吨大米才能获得最大的平均利润。
解 设库存 c 吨，利润 X 元，则
aY b(c Y ) Y c X g(Y ) ac Y. c
EX E[ g (Y )]
g( y ) fY ( y )dy
0 g( y )e y dy
1
解 X i 的密度函数 f ( x ) I( 0 x1) , 分布函数 F ( x ) xI( 0 x1) , 则 X (1) 的密度函数
何书元概率引论答案
何书元概率引论答案何书元概率引论答案【篇一：课程名称：概率论计划学时45】=txt>上课时间：周二3-4节；周四(单周) 1-2节地点：文史201 任课教师：任艳霞（教授）办公室：理科1号楼1381email:基本目的：1、对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解。
2、联系实际问题，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。
教材: 何书元，《概率论》, 北京大学出版社2006年参考书1、汪仁官，《概率论引论》，北京大学出版社19942、李贤平，《概率论基础》（第二版），高等教育出版社，19973、钱敏平、叶俊，《随机数学》，高等教育出版社，20044、sheldon ross, a first course in probability (7thedition)教学安排：第一章古典概型与概率空间(10学时)1) 随机事件及古典概型（1.1-1.2节）(2学时)2) 几何概型、概率空间与概率的性质（1.3-1.5节）(2学时)3) 条件概率和乘法公式（1.6节）(2学时)4) 独立性、全概率公式、bayes公式（1.7-1.8节）(3学时)5) 概率模型举例与概率空间续（1.8-1.9节）(1学时)第二章随机变量与概率分布(9学时)1) 一维随机变量定义、离散型随机变量（2.1-2.2节）(2学时)2) 连续型随机变量（2..3节）(2学时)3) 概率分布函数（2.4节）(2学时)4) 随机变量函数的分布（2.5节）(2学时)5) p分位点（2.5节）(1学时)第三章随机向量及其分布(8学时)1) 随机向量及其分布、离散型随机向量及其分布（3.1-3.2节）(2学时)2) 连续型随机向量及其联合密度（3.3节）(2学时)3) 随机向量函数的分布（3.4、3.6节）(2学时)4) 条件分布和条件密度（3.5节）(2学时)第四章数学期望与方差(8学时)1) 数学期望(4.1-4..2节) (3学时)2) 方差（4.3节）(1学时)3) 协方差与相关系数（4.4节）（2学时）4）条件数学期望（2学时）第五章概率极限理论(10学时)1) 概率母函数与特征函数（5.1-5.2节）(2学时)2) 多元正态分布（5.3节）(2学时)3) 大数律(5.4节) (2学时)4）中心极限定理(5.5节)（2学时）5）随机变量收敛性介绍（2学时）【篇二：2011f_master】目）招生简章北京大学数学科学学院金融数学系成立于1997年，目前已形成从本科到硕士和博士的应用数学专业金融数学与精算学方向的较为系统和有品质的培养体系。
概率论何书元答案第四章
概率论何书元答案第四章1、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。
[单选题] *34(正确答案)512、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为13、设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( ) [单选题] *A. M＜NB. M＞N(正确答案)C. M=ND. 不能确定4、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)5、10．如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用表示左眼，用表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．[单选题] *A．（1，0）B（-1，0）(正确答案)C（-1，1）D（1，-1）6、已知sina<0且cota＞0，则是（）[单选题] *、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角7、7．如图，数轴上点M表示的数可能是（）[单选题] *A．5B．﹣6C．﹣6(正确答案)D．68、36．如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）[单选题] * A．3B．±6(正确答案)C．6D．±39、23.将x-y-6=0改写成用含x的式子表示y的形式为（）[单选题] *A. x=y+6B. y=x-6(正确答案)C. x=6-yD. y=6=x10、-230°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限(正确答案)第三象限第四象限11、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] * A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m12、下列各角中，与300°终边相同的角是（）[单选题] *A、420°B、421°C、-650°D、-60°(正确答案)13、按顺时针方向旋转形成的角是（）. [单选题] *A. 正角B. 负角(正确答案)C. 零角D. 无法判断14、下列函数是奇函数的是（）[单选题] *A、f（x）=3x(正确答案)B、f（x）=4xC、f（x）= +2x-1D、f（x）=15、11、在第二、四象限内两条坐标轴夹角平分线上的点，它们的横坐标与纵坐标是（）[单选题] *A.相等B.互为相反数(正确答案)C.零D.以上结论都不对16、46、在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（）[单选题] *A．8.4B．9.4(正确答案)C．10.4D．11.17、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 1218、20．已知集合A={x|x2(x的平方)－2 023x＋2 022<0}，B={x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是___. [单选题] *A a≥2022(正确答案)B a>2022C a<2022D a≥119、7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）[单选题] *A．110°(正确答案)B．145°C．35°D．70°20、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对21、5、若关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）[单选题] *A、1B、-1(正确答案)C 、1或-1D、222、3.如果两个数的和是正数，那么[单选题] *A.这两个数都是正数B.一个为正，一个为零C.这两个数一正一负，且正数的绝对值较大D.必属上面三种情况之一(正确答案)23、2．如图，BC＝AB，D为AC的中点，DC＝3cm，则AB的长是（）[单选题] *A．4cm(正确答案)B．CmC．5cmD．cm24、以A（3，2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是（）[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断25、44、如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）[单选题] *A．1对B．2对C．3对(正确答案)D．4对26、17. 的计算结果为（）[单选题] *A.-7B.7(正确答案)C.49D.1427、(正确答案)函数y=4x+3的定义域是（）。
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0.01 ( ) 0.995 0.01 2.57
P(
0.00388
10.设车间有100台型号相同的机床相互独立地工作 着，每台机床发生故障的概率是0.01，一台机床发生 故障时需要一人维修，考虑两种配备维修工人的方法 （1）5个工人每人负责20台机床 （2）3个工人同时负责100台机床 在以上两种情况下求机床发生故障时不能及时维修 的概率，比较哪种方案的效率更高？
当 不为整数时， k0 [ 1]
所以当 为整数时， k0 1 或
5.设 X 和 Y 是随机变量，则
X Y X Y （1）max{ X ,Y } 2
X Y X Y （2） min{ X ,Y } 2
（3） max{ X ,Y } min{ X ,Y } X Y 证明 （1）不妨设 X Y , 则 max{ X ,Y } X ,
1 解 每个路口遇到红灯的概率为 , X 服从几何分布 2 1 1 1 k P ( X k ) ( ) k 1 2 2 2
k 0,1,2
4.设 X 服从参数为 的泊松分布，求 pk P ( X k ) 的最大值点 k 0 解 P ( X k0 )
k0 1 1 1 k 1 0 P ( X k0 1) k P ( X k 1) k0 0 0 1 1 P ( X k0 )
2(1.67 ) 1 2 0.9525 1 0.905
2 N ( 10 , ), 当部件 9.机床加工部件长度服从正态分布
的长度在 10 0.01 内为合格品，要使该机床生产的 部件的合格率达到 99%, 应当如何控制机床的 ? 解
p P (10 0.01 X 10 0.01)
# 6n
若 m k , 每次掷的骰子点数 k , 在 k , k 1,,6
n ( 6 k 1 ) 中选，共有 ，但还应减去不出现 k 点的 n ( 6 k ) 情况，共有 种，所以
(6 k 1) (6 k ) P (m k ) 6n
n
n
k n ( k 1)n （2）同理 P ( M k ) n 6
x
8.某台机床加工的部件长度服从正态 N (10,36 10 6 ), 当部件的长度在 10 0.01 内为合格品，求一部件为 合格品的概率。 解
p P (10 0.01 X 10 0.01)
F (10 0.01) F (10 0.01) 0.01 0.01 ( ) ( ) 3 3 6 10 6 10
（3）当 m 2, M 4 时，点数只能为2，3，4， 共 3 n 种，但应减除全为2和全为4的，共 2 2 n种， 所以
3 2 1 1 n 1 n 1 n p ( ) 2( ) ( ) n 6 2 3 6
n
n 1
7.设 T 是表示寿命的非负随机变量，有连续的 概率密度 f ( x ), 引入 T 的生存函数 s( x ) P ( X x ),
X Y X Y X左 右 2
（2）同（1）可证之
（3）显然
6.将一颗骰子投掷 n 次，用 M 表示掷得的最大
点数， m 表示掷得的最小点数，计算 （1） P ( m k ),1 k 6
（2） P ( M k ),1 k 6 （3） P ( m 2, M 4) 解（1）掷一颗骰子 n 次，每次都有6种可能，所以
f (t ) ( t ) dt 失效函数 ( t ) , 证明 s( x ) e s( t )
x 0
证明 s( x ) P ( X x ) x f ( t )dt
( t ) s( t )dt 0
两边求导得
x
s( x ) ( x ) s( x )
习题二解答
3 1.一射手击中目标的概率是 , 现在他连续射击 4 直到击中目标为止，用 X 表示首次击中目标时的
射击次数，求 X 是偶数的概率。 解
p P ( X k ) pq
k 1 k 1
2 k 1
q q 1 p 2 1 q 1 q 5
2.设 X 服从 [2,5] 上的均匀分布，对 X 进行三次独立 观测时，求观测值大于3的次数大于等于两次的概率。 解 观测值为 X , 设对事件 " X 3"的观测次数为 K , 则
解 （1）20台机床中发生故障机器个数 X 1 的概率 （得不到维修）
p 1 P ( X 1) P ( X 0)
1 1 C 20 (0.01)(0.99)19 (0.99)20 0.0169
p P ( X 3) 5 3 2 52 3
P ( K 2) P ( K 2) P ( K 3)
2 2 1 2 3 20 C ( ) ( ) ( ) 3 3 3 27
2 3
3.一辆汽车需要通过多个有红绿灯的路口，设各 路口的红绿灯独பைடு நூலகம்工作，且红灯和绿灯的显示时间 相同，用 X 表示首次遇到红灯时已经通过的路口数， 求 X 的概率分布。
ds( x ) ( x )dx s( x )
两边从0到 x 积分
且 s ( 0) P ( X 0) 1
ln s( x )
x 0
( t )dt
x 0
ln s( x ) ( t )dt
x 0
s( x ) e
0 ( t ) dt