浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 3.2圆的轴对称性教案 浙教版
数学知识点浙教版九上3.2《圆的轴对称性》word教案-总结
3.2 圆的轴对称性（一）教学目标知识目标1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、•弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力．情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识．教学重点难点重点：探索圆的轴对称性和圆的性质．难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用．课堂教与学互动设计【创设情境，引入新课】复习提问：（1）什么是轴对称图形？（2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？（3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？──引入新课【合作交流，探究新知】一、自主探索1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，•然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴．二、合作学习1．在圆形纸片（如图3-3-1所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？图3-3-12．请你用命题的形式表达你的结论．3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明．4．圆的性质（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．三、概括性质1．直径垂直于弦..⎧⇒⎨⎩直径平分弦直径平分弦所对的弧例如：CD 是直径，AB ⊥CD EA=EB ，CA CB =，DA DB =．2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，图3-3-1中，•点C•是AB 的中点，D 是ADB 的中点．【例题解析，当堂练习】例1 （课本例1）已知AB （如图3-3-2），用直尺和圆规求作这条弧的中点．图3-3-2练一练如图3-3-3，同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆交于C ，D 两点，判断线段AC 与BD 的大小关系，并说明理由．图3-3-3例2 （课本例2）一根排水管的截面如图3-3-4所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．图3-3-5想一想在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？练一练 在直径为20cm 的球形油槽内装入一些油后，截面如图3-3-5所示，•如果油面宽是16cm ，求油槽中油的最大深度．图3-3-5课外同步训练【轻松过关】1．⊙O 的弦AB 的长为16cm ，弦AB 的弦心距为6cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条3．如图3-3-6，在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=BCB ．AN BN =C ．AM BM =D ．OC=CN图3-3-6 图3-3-7 图3-3-84．如图3-3-7，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠BOC ≠∠AOC ，则图中相等的弧共有（ ）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对5．⊙O 的半径为6cm ，垂直平分半径的弦长是_______cm ．6．如图3-3-8，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O 的半径OB=_______cm．7．如图3-3-9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，请你写出一个你认为正确的结论_________．图3-3-9 图3-3-10 图3-3-118．如图3-3-10，OA为⊙O的半径，弦CB⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CB•的长为________．9．如图3-3-11，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，•AB=•8cm，•PD=•2cm，•则CP=______cm．10．如图3-3-12所示，在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，•如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_______cm．图3-3-12 图3-3-1311．•“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问长几何？”用现在的语言表达是：如图3-3-13所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．12．如图3-3-14，已知AB交⊙O于C，D两点，且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？图3-3-14【适度拓展】13．如图3-3-15，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点C，AB=8，CD=2，求⊙O的半径长．图3-3-1514．如图3-3-16有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m．•问是否要采取紧急措施？图3-3-16【探索思考】15．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离．。
浙教版第三章圆的基本性质教案3.2圆的轴对称性(2)
3.2 圆的轴对称性(2)教学目标1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学方法：类比启发教学辅助：投影片教学过程：一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设结论指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.求证：CD⊥AB，.分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，又因为CD是直径，所以2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：(2)若选①④为题设，可得：3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论2.在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37)学生答接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习练习按图3-15，填空：在⊙O中(1)若MN⊥AB，MN为直径；则，，；(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则，，；(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则，，；此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例3我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15.指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业板书设计：定理1 ：例3解：定理2 ：练习练习教学反思：本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。
2016年秋季新版浙教版九年级上学期3.2、圆形的旋转教案5
3.2 圆的轴对称性（二）教学目标 知识目标1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、•弦心距及半径之间关系的证明和计算． 能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力． 情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质． 教学重点难点重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用． 难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题． 课堂教与学互动设计 【创设情境，引入新课】1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？2．若把上述已知条件CD ⊥AB ，改成CD 平分AB ，你能得到什么结论？ 3．若把上述已知条件CD ⊥AB ，改成CD 平分弧AB ，你又能得到什么结论？ 【合作交流，探究新知】 一、自主探索1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？ 2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试． 二、叙一叙定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______． 定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________． 三、证一证已知：如图3-4-2，⊙O 的直径交弦AB （不是直径）于点P ，AP=BP ．求证：CD ⊥AB ， AC BC．图3-4-2四、讲一讲1．定理1中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件，你能举反例说明吗？ 2．概括成图式：直径平分弦（不是直径）..⎧⇒⎨⎩直径垂直于弦直径平分弦所对的弧直径平分弧..⎧⇒⎨⎩直径平分弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦3．表述：垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧，这三个元素中由一推二．【例题解析，当堂练习】例1 如图3-4-3，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是 AB和 AC的中点，•求∠MON的度数．图3-4-3 练一练（课内练习）已知：如图3-4-4，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．图3-4-4 例2 （课本例3）节前语所示的赵州桥的跨径（弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥的桥拱半径（精确到0.01m）．练一练如图3-4-5，在直径为130mm的圆铁片上切下一块高32mm的弓形（圆弧和它所对的弦围成的图形）铁片，求弓形的弦AB 的长．图3-4-5课外同步训练 【轻松过关】1．下列说法中正确的是（ ）A ．长度相等的两条弧是等弧B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．弧上一点到弦的距离叫做拱高D ．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 2．下列命题中，正确的是（ ） A ．弦的垂线平分弦所对的弧B ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心C ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧D ．平分弦的直径垂直于这条弦3．如图3-4-6，O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 分别交小圆于C ，D ，•则下列结论中正确的是（ ）A ． AB CDB ．AB=CDC ．AB ∥CD D ．∠OCD ≠∠B图3-4-6 图3-4-7 图3-4-84．如图3-4-7，在⊙O 中，弧CD 与直径AB 相交，且AB 平分 CD，则下列结论错误的是（• ）A ．AB ⊥CD B ．∠COE=∠DOEC ．OE=BED ． AC AD5．如图3-4-8，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是半圆上一点，点E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为_____cm ．6．已知⊙O 的弦AB 长为4cm ，弦AB 的弦心距为2cm ，则⊙O 的直径为______cm ． 7．如图3-4-9，AD 是⊙O 的直径，AB=AC ，∠BAC=120°，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD 除外）：①__________________;②__________________；③__________________．8．如图3-4-10，大圆的半径为5，小圆的半径为4，弦AB=8，则AC=_______．图3-4-9 图3-4-109．如图3-4-11，已知AB 为弓形AB 的弦，半径OD 所在直线垂直AB 于点C ．若OC=1，求弓高CD 的长．图3-4-1110．如图3-4-12，已知⊙O 的半径长6cm ，弦AB 与半径OC 互相平分，交点为M ，求AB 的长．图3-4-1211．如图3-4-13，BC是⊙O中的弦，点A是 BC的中点，半径OA交BC于点D，且BC=8，AD=2，求⊙O的半径．图3-4-13【适度拓展】12．储油罐的截面如图3-4-14所示，装入一些油，若油面宽AB=600mm，油罐直径为650mm，求油的最大深度．图3-4-1413．如图3-4-15，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A，B作弦CD的垂线，垂足为M，N，•求证：MC=DN．图3-4-15【探索思考】14．如图3-4-16，点O为 ADB的圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=2cm，矩形EFGH的顶点E，F在弦AB上，点H，G在 AB上，且EF=4HE，求EF的长．图3-4-16【趣味阅读】关于圆周率的历史圆的周长与直径之比，称为圆周率，记号是π．我国古代很早就得出了比较精确的圆周率．魏、晋时期的数学家刘徽普算出圆周率的近似分数，如果化成小数的话，相当于3.1416．而公元前3世纪，古希腊的阿基米德知道的π值和公元2•世纪时的托勒密所取的π值3.141667，皆比刘徽所得的粗疏．我国古代书籍《隋书·律历志》记载，南北朝的科学家祖冲之重新推算圆周率，知道π的值在3.1415926与3.14159267•之间，他还算出了两个π的渐近分数、约率与密率，比刘徽的结果更加精确．德国人奥托在1573年才重新得出祖冲之已经算出的密率，落后了11个世纪．英国数学家向克斯用毕业的精力，把圆周率算到小数点以后707位，•曾被传为佳话，但是他在第528位上产生了一个错误，因此后面的100多位数字是不正确的．由于电子计算机的问世，圆周率计算的精确记录一个接一个地被打破．就目前知道的，到了20世纪末，运用计算机获是圆周率π的值有6442450938位有效数字．•随着科学技术的发展与进步，圆周率π的有效数字会越算越多．但你可以发现，•它的小数部分永远不会结束，也永远不会循环，它的确是一个无限不循环的小数，•也就是一个无理数．。
九年级数学上册 3.2 圆的轴对称性 浙教版
Ｍ
Ｎ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
整理课件
如图，AB是A⌒B所对的弦，AB的垂直平分线DG交 ⌒AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ① DG⊥AB②AG=BD ③B⌒D=A⌒D
其中正确的是_①___③____（只需填写序号）
D
A
G
B
整理课件
如图，已知在⊙O中，弦AB的长 为16厘米，圆心O到AB的距离为6 A 厘米，求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝6厘米，AE＝BE。 ∵AB＝18厘米 ∴AE＝8厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有 OA＝10厘米 ∴⊙O的半径为10厘米。
整理课件
例2：如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
10 C 88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6 D 答:截面圆心O到水面的距离为6
概念：整理课弦件 心距
例题3
已知：如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
O.
A
E┐
C
D
B
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
整理课件
练1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
九年级数学上册 3.2 圆的轴对称性教案(1) 浙教版
3.2圆的轴对称性（1）教学目标教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA平分CD吗？（课内练习1）注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）．然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．四、应用新知，体验成功例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．变式一：求弧AB的四等分点．思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，∴圆心O到水面的距离OC为6．例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM⊥AB，垂足为M，∴CM=DM∵OA=OB ，∴AM=BM ，∴AC=BD．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．答案：242．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3 B．6cm C． cm D．9cm答案：A注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<55．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为．答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧．6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN=BC=2．六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．七、布置作业，巩固新知P75作业题1~6，第7题选做．。
浙教版九上第三章圆的轴对称性复习课教学实录及感悟
浙教版九上第三章圆的轴对称性复习课教学实录及感悟作者：徐建耀来源：《考试与评价》2018年第05期一、复习目标知识目标：1. 进一步理解圆的轴对称性2. 运用垂径定理解决相关问题能力目标：通过错题教学，进一步培养学生的探索能力和运用知识解决实际问题的能力情感目标：在运用圆的知识解决问题的活动中，培养学生乐于探究的良好品质及解决问题的能力二、教学重点难点重点：圆的轴对称性垂径定理难点：运用垂径定理及逆定理解决问题三、教学过程1.知识回顾师：圆是怎么样的图形？中心对称图形还是轴对称图形？生：既是中心对称图形又是轴对称图形师：圆是轴对称图形，那么它的对称轴是什么？生1：直径。
生2：不对，直径所在的直线！师：对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，有无数条。
师：老师在加上一条弦CD，交直径AB于点E，请问该图形还是轴对称图形吗？生3：是的。
生4：不是的。
学生吃不准，有争议了……师引导：是不是轴对称图形，关键看有没有对称轴？生5：通过观察，不存在对称轴，所以该图形不是轴对称图形。
师：怎么样改变CD的位置让该图形成为轴对称图形呢？学生迟疑一会……生5：让弦CD垂直AB。
生6：让弦CD变成直径也行。
生7：让弦CD平行AB。
学生思路打开了……2.垂径定理几何语言描述∵AB为直径，AB⊥CD∴CE=ED ，弧AC=弧AB 弧BC=弧BD逆定理1∵AB为直径，CE=ED （不是直径）∴AB⊥CD，弧AC=弧AB 弧BC=弧BD逆定理2∵AB为直径，弧AC=弧AB 弧BC=弧BD∴AB⊥CD，CE=ED四、课堂小结本节课主要内容：1. 圆的轴对称性；垂径定理及逆定理。
2. 画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路。
它们之间的关系：弘长AB=2五、教后感悟1.上什么说实话接到公开课任务是在中秋节前，当时一直在想如何来完成任务呢？事实上自己内心对公开课的理解就是希望公开课是一堂家常课，常态课，实在点，能给一线老师提供交流学习的平台。
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教案3
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教案3一. 教材分析《圆的轴对称性》是浙教版数学九年级上册3.2章节的内容，本节课主要让学生了解圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴的定义，以及如何判断一个图形是否为圆的对称图形。
教材通过实例和几何画图工具，引导学生探索圆的对称性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了轴对称图形的概念，对对称轴的性质有一定的了解。
同时，学生已经学习了圆的基本概念和性质，对圆的画法和操作也有一定的掌握。
但是，学生对圆的对称性质的理解还需要通过实例和操作来进一步加深。
三. 教学目标1.让学生了解圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴的定义。
2.培养学生观察、操作和推理能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.圆的对称轴的定义及其性质。
2.如何判断一个图形是否为圆的对称图形。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探索圆的对称性质。
2.利用几何画图工具，直观展示圆的对称过程。
3.采用小组合作讨论，培养学生的团队协作能力。
4.通过实例分析，让学生加深对圆的对称性质的理解。
六. 教学准备1.准备几何画图工具，如圆规、直尺等。
2.准备相关的实例图片，以便进行分析和讲解。
3.准备课堂练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾轴对称图形的概念，同时询问学生对圆的对称性质的了解。
然后，教师利用几何画图工具，画出一个圆，并提问：“这个圆有哪些特殊的性质？”从而引出本节课的主题。
呈现（10分钟）教师展示一些实例图片，如圆形印章、圆形桌面等，让学生观察并判断它们是否为圆的对称图形。
学生通过观察和判断，发现圆的对称性质。
教师引导学生总结圆的对称性质，并讲解圆的对称轴的定义。
操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
题目要求学生判断给定的图形是否为圆的对称图形，并说明理由。
2016年秋季新版浙教版九年级上学期3.2、圆形的旋转教案8
兴趣，学会 模仿
自学回答 学生口答 CD⊥AB，又根据垂径定理 得到 CD 平分弦所对的弧 学生在教师指导下概括逆定理： 定理 平分弦( 不是直径)的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的弧． 直 径 平 分 弦 ( 不 是 直
于 CD 于 P,AP=3cm， PD=1cm， 求 OP 的长。 径)
知识点 能力点 德育点
重 难 教 学 教 进 程 一 复 习 引 入
点 点 法 法 具 教 教
1.叙述垂径定理 学生回答 2.练习 (1)两同心圆中，弦 AB＝4，AB 交小圆 于点 C、D，CD＝2，且弦心距等于 1， 那么大圆和小圆的半径之比是（ ） 正确（1） (2) 平分已知 AB ；在已知 AB 上画一 5 ： 2
＝1:3 点 C,使 AC ： BC
二 新 课 讲 述 板书课题、 揭示目标
（一） 板书课题、揭示目标 本节课我们一起继续学习“3.2 圆的轴 对称性(2)” （板书） ，教学目标是掌握 垂径定理及其逆定理， 学会应用垂径定 理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心 距以及半径之间关系的证明和计算， 解 决一些生产实际问题． （二）自学例题前指导 1、明确自学内容、要求和方法 怎样运用垂径定理及其逆定理进行 学生看书归纳（口答） ： 画图、 计算或证明呢？下面请大家看书 本 66 页的内容，注意书写格式，每步 学生阅读 的依据，5 分钟后要能够做出与例题类 似的题目。 2、垂径定理的逆定理 (1)问：把已知 CD⊥AB，改成 CD 平分 AB，能得到什么结论?
梳理概括， 形成结构
巩固提高， 形成结构
作 业 布 置 扳 书 设 计 教 后 感
3.2 圆的轴对称性(2) 投影
学生板演
学生完成定理 2 证明，并把逆定理 概括成图式： 直径平分弧
3.2圆的轴对称性(第2课时)课件ppt浙教版九年级上(精品课件在线)
●O
由 CD是直径
可推得
AM=BM
D
课件分享
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
4
思考：
平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？
• A⌒B是⊙O的一条弧,且A⌒C=⌒BC.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
●
M
B 小明发现图中有:
结论 CD平分弧ACB
CD⊥AB
课件C分D享平分弧ADB
3
探索规律
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
●
M
B 小明发现图中有:
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定得理A,BD是 A7.B2的,C中D点,2C.是4, HANB的中1点M,CND就1.是5.拱高.
1
1
2
AD AB 7.2 3.6,
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一
点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解:连接OC.
老师提示:
E设弯路的半径为 Rm,则OF (R 90)m.
注意闪烁的 三角形的特 点.
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计2
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计2一. 教材分析《圆的轴对称性》是浙教版数学九年级上册3.2节的内容，本节主要让学生理解圆的轴对称性，掌握圆的对称轴的性质，以及如何运用圆的轴对称性解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索、发现和总结圆的轴对称性的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称性有了初步的认识，但对其在圆上的应用可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，通过具体的实例和练习，让学生逐步理解和掌握圆的轴对称性。
三. 教学目标1.理解圆的轴对称性，掌握圆的对称轴的性质。
2.能够运用圆的轴对称性解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的对称轴的性质。
2.如何运用圆的轴对称性解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法等，引导学生主动探索、发现和总结圆的轴对称性的性质和应用。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学工具（如直尺、圆规等）七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：在一条直线上有三个点A、B、C，如何找到一个点D，使得AD+DC最长？引导学生思考和讨论。
2. 呈现（10分钟）通过PPT呈现圆的轴对称性的定义和性质，结合实例进行解释和展示。
让学生观察和思考，引导他们发现圆的对称轴的性质。
3. 操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个实例，运用圆的轴对称性进行分析和解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对圆的轴对称性的理解和掌握程度。
教师选取一些学生的作业进行点评和讲解。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考和讨论圆的轴对称性在实际问题中的应用，如建筑设计、艺术创作等。
让学生尝试提出问题和解决问题。
6. 小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调圆的对称轴的性质和应用。
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计3
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计3一. 教材分析《圆的轴对称性》是浙教版数学九年级上册3.2节的一课，主要内容有圆的对称轴、圆的对称性以及圆的直径的性质。
本节课是在学生已经掌握了圆的基本概念、垂径定理的基础上进行学习的，对学生来说，这部分内容比较抽象，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于轴对称图形也有了一定的了解。
但是，对于圆的对称性以及直径的性质，还需要通过实例和操作来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解圆的对称轴的概念，知道圆有无数条对称轴。
2.掌握圆的对称性，理解圆的直径的性质。
3.能够运用圆的对称性解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.圆的对称轴的概念。
2.圆的对称性和直径的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法等，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等途径，理解和掌握圆的对称性以及直径的性质。
六. 教学准备1.准备一些圆的模型和图片。
2.准备投影片或多媒体课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过向学生展示一些轴对称图形，如正方形、矩形、圆等，引导学生回顾轴对称图形的概念，同时提出问题：“你们认为圆有对称轴吗？如果有，有几条？”让学生思考圆的对称性。
呈现（10分钟）教师通过投影片或多媒体课件，向学生展示圆的对称性以及直径的性质。
通过实例和动画，引导学生观察和思考，让学生理解圆的对称轴的概念，以及圆的对称性和直径的性质。
操练（15分钟）教师提出一些问题，让学生通过操作圆的模型或画图来解决。
如：“请找出一个圆的所有对称轴”、“请证明圆的直径的两个端点到圆心的距离相等”。
通过这些操练，让学生巩固对圆的对称性的理解。
巩固（5分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过互相解释和讨论，巩固对圆的对称性的理解。
同时，教师可以通过提问的方式，了解学生对圆的对称性的掌握情况。
拓展（5分钟）教师提出一些综合性的问题，让学生进行思考和讨论。
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教案2
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教案2一. 教材分析《圆的轴对称性》是浙教版数学九年级上册3.2章节的一部分，本节课主要让学生了解圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴的定义，以及如何判断一个图形是否为圆的对称图形。
通过学习，学生能够更好地理解圆的性质，为后续学习圆的其它性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对轴对称图形有了一定的了解。
但学生在学习圆的对称性时，可能会将其与之前学习的长方形、正方形等轴对称图形的性质混淆。
因此，教师在教学过程中要引导学生区分不同图形的对称性，并能够灵活运用。
三. 教学目标1.让学生了解圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴的定义。
2.培养学生观察、思考、动手操作的能力，提高学生的空间想象能力。
3.引导学生运用圆的对称性解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.圆的对称轴的定义及判断。
2.圆的对称性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究圆的对称性。
2.运用直观演示法，让学生直观地理解圆的对称性质。
3.运用练习法，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备一些关于圆的图片，用于引导学生观察圆的对称性。
2.准备圆规、直尺等几何画图工具，让学生动手操作。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–教师展示一些轴对称图形，如长方形、正方形等，引导学生回顾轴对称图形的性质。
–提问：同学们，你们认为圆是对称图形吗？如果是，请说明理由。
2.呈现（10分钟）–教师通过几何画图工具，现场画出一个圆，并提问：这个圆有几条对称轴？–引导学生观察、思考，并尝试回答问题。
3.操练（10分钟）–教师给出几道关于圆的对称性的练习题，让学生独立完成。
–学生在纸上画图，并进行解答。
4.巩固（10分钟）–教师挑选几位学生的解答，进行讲解和分析。
浙教版初三上学期数学圆的轴对称性教学计划指导思想-教学文档
浙教版初三上学期数学圆的轴对称性教学计划指导思想当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
接下来大家一起来看一看初三上学期数学圆的轴对称性教学计划指导思想。
浙教版初三上学期数学圆的轴对称性教学计划指导思想一、教学背景分析教学内容分析：本节圆的对称性(第二课时)主要内容是圆心角、弧、弦之间的关系，它由圆的旋转不变性引出，是圆的轴对称性学习之后圆的又一重要性质，圆心角、弧、弦之间的相等关系在以后的证明和计算中有着重要的作用。
学生情况分析：学生在第二学段已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。
前一节已经学习过弦、弧等圆的有关概念和垂径定理的内容，利用垂径定理及推论解决了与直径、弦、弧等有关的问题，对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性容易理解。
但对弦、弧以及要学到的圆心角、弦心距等之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。
教学方式及教学准备：教学方式：任务驱动问题教学小组合作探究教学准备：学生课前准备圆形纸片(两个等圆);教师制作几何画板课件二、教学目标知识目标：理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明。
能力目标：通过本节课的学习培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力。
情感态度与价值观：结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育;渗透圆的内在美。
并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”中体会数学的严谨性。
三、教学重点、难点重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论难点：对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现归纳能力的培养。
初三上学期数学圆的轴对称性教学计划指导思想到这里就结束了，希望同学们的成绩能够更上一层楼。
初三数学教案-圆的轴对称性(2)浙教版 精品
3.2 圆的轴对称性(2)教学目标：1、经历探索垂径定理的逆定理的过程；2、掌握定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理 “平分弧的直径平分弧所对的弦”。
3、会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题。
教学重难点：重点：垂径定理的逆定理。
难点：例3的问题情境较为复杂是难点。
教学准备：透明圆形纸片（有勾线笔画好）课本图3—15。
教学过程：一、复习引入（完成下列各题）1、如图已知⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，弦心距为1， 求弦AB 的长。
注：通过此题回顾垂径定理（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．（学生齐答）师：谁能用几何语言来表述垂径定理的内容？（结合图形）生：∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD 师（板书）：⎩⎨⎧=⇒⎭⎬⎫⊥ADBAB EB EA AB CD CD 和弧平分弧为直径 2、如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的一条弦，且AB=32， P 为AB 的中点，求OP 的长。
生：可能部分学生很自然会连结OP ，利用勾肌定理求得OP 的长度，此时教师提出P 为AB 的中点，能直接得出 AB OP ⊥？☆在解决问题的过程中遇到困难，激起学生的求知欲望，从而引出课题（板书）二、探索新知 1、探索垂径定理的逆定理 师：(1)若已知CD 为直径，EB EA =是否能推出AB CD ⊥，AC=BC ，AD=BD (2)若已知CD 为直径， AC=BC ，AD=BD 是否能推出 AB CD ⊥，EB EA =？下面就（1）给出证明（投影）已知：如图，⊙O 的直径交弦AB （不是直径）于点P ，AP=BP 。
求证：AB CD ⊥，AC=BC ，AD=BD 。
A B C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：（1）此定理证明较简单，利用等腰三角形三线合一的性质直接证得；若有学生利用请三角形全等，教师也应给予肯定。
浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 3.2圆的轴对
3.2圆的轴对称性（1）
一、精心选一选
1. 如图，O e 的弦AB 的长为6cm ，弦AB 的弦心距OC 为4cm ，则O e 的半径为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C ．8cm
D ．10cm
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．圆
B ．等腰三角形
C ．平行四边形
D ．直角三角形
3．如图，在O e 中，弦AB 与直径CD 垂直，垂足为E ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AE BE =
B ．CE DE =
C ．»
»AC BC = D ．»»AD BD =
二、耐心填一填
4.圆是轴对称图形，每一条 所在的直线都是对称轴.
5．如图，在O e 中， AB 、CD 都是弦，且AB CD =，若OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，则OE OF .
6．在ABC ∆中，O 是它的外心，6BC cm =，点O 到BC 的距离是4cm ，则ABC ∆的外接圆的半径等于 cm.
三、专心解一解
7.如图，在O e 中，弦AB 为直径，CD AB ⊥于点E ，10AB =，:1:4AE EB =，求OE 和CD .。
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计1
浙教版数学九年级上册3.2《圆的轴对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的轴对称性》是浙教版数学九年级上册3.2节的内容，主要包括圆的轴对称性质及圆的对称变换。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的方程和圆的性质的基础上进行学习的，是进一步研究圆的性质和解决相关问题的重要基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的轴对称性的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过适当的例子和练习，引导学生理解和掌握圆的轴对称性。
三. 教学目标1.理解圆的轴对称性的概念和性质。
2.学会运用圆的轴对称性解决相关问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的轴对称性的概念和性质的理解。
2.圆的对称变换的运用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和举例，引导学生理解和掌握圆的轴对称性。
2.互动法：通过提问和讨论，激发学生的思考，提高学生的参与度。
3.练习法：通过适量的练习，巩固学生对圆的轴对称性的理解和运用。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，辅助教学。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问和复习，引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）讲解圆的轴对称性的概念和性质，通过示例和图形的变换，让学生直观地理解和感受圆的轴对称性。
3.操练（15分钟）让学生通过实际的例题和练习，运用圆的轴对称性解决相关问题，加深对知识的理解和运用。
4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评和讲解，解答学生的疑问，巩固学生对圆的轴对称性的理解。
5.拓展（10分钟）通过提问和讨论，引导学生思考圆的轴对称性在实际问题中的应用，提高学生的思维能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容和知识点进行总结，让学生形成系统的知识结构。
九年级数学上册 3.2《圆的轴对称性》学案(1)(无答案) 浙教版
九年级数学上册 3.2《圆的轴对称性》学案（1）（无答案） 浙教版我预学1. 在七年级下册第二章中，我们曾经学过轴对称图形和轴对称变换，在回忆轴对称图形的定义和轴对称变换的性质后，判断下列图形是否是轴对称图形，若是，请画出它相应的对称轴.2. 如图，点P 是圆上一点，先作出圆的一条对称轴l ，再作出点P 关于直线l 的对称点（不写作法，但须保留作图痕迹）.3. 对本节教材中，圆的性质“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”， 你是如何理解的？你能说明它的合理性吗？【我求助】预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理【我反思】通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，下列结论中一定正确的是（ ）A. AE =OEB. ∠AOC =60°C. CE =DED. OE =CE圆的轴对称性 相关概念垂径定理圆是 图形，每一条 都是圆的对称轴.垂直于弦的直径平分 ； 能够 的圆弧叫做相等的圆弧；圆心P知识链接：圆是个轴对称图形，对称轴是，只要是对称轴两侧的，无论的长是 .3．在半径为5的⊙O中，若弦AB=8，则△AOB的面积为 .4．若⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长度范围是 .小贴士：利用垂径定理的性质我们可以得到一个以半径、弦心距和弦的一半为5．如图,，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，求证：四边形OACB是菱形．6．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；②若AB=10，OA=13，求OP的长．小贴士：半径为边的等腰三角形和垂径定理中的直角三角形是经常需要构造利用的两个我挑战7．圆的半径为13cm，两弦AB=24cm，CD=10cm，且AB∥CD，，则两弦AB、CD的距离是．8．如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．9. 如图，AB是半径为5的圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上．则四边形CDMN和DEFG的面积之和为．10．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A ﹑B 两点，他测得“图上”太阳的半径为5厘米，AB =8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则求太阳升起的平均速度为多少？（已知太阳的实际半径约为6.90×108米）我登峰11．请在⊙O 内作一个等边△ABC ，使得△ABC 的顶点都在⊙O 上 (不写作法，保留作图痕迹) .8 9 . O。
数学：3.2圆的轴对称性教学设计(浙教版九年级上)
3.2圆的轴对称性——垂径定理及其推论下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。
一、教学内容的说明教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。
同时垂径定理和它的推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，还为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点，同时由于它的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。
鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：(1)了解圆的轴对称性。
(2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。
(3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。
(4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。
教学重点：垂径定理及其推论教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。
二、教学目标的确立根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：1、通过直观演示了解圆的轴对称性。
2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。
3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。
激发学生的探索精神。
三、教学方法与手段的选择在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。
在教学过程中，遵循“实验－观察－猜想－证明－讨论－总结－应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。
遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。
同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。
在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。
四、教学过程的设计1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。
浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学》(上)教案3.1《圆》(3)
3.1 圆（一）教学目标知识目标1．理解圆、弧、弦等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法．2．理解直径和半径的关系，点与圆的位置关系并能正确判断．能力目标：通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力．情感目标：通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情．教学重点难点重点：弦和弧的概念，弧的表示方法和点与圆的位置关系．难点：点与圆的位置关系及判定．课堂教与学互动设计【创设情境，引入新课】1．展示一些类似圆的形状的物体图片，例如高压锅封圈、•玉手镯……你觉得这些物体与哪种图形很类似呢？你能再举出一些例子吗？2．你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？【合作交流，探究新知】一、自主探索1．师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点O．2．教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，•另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆．（课本图3-1）3．圆上的任意一点P（铅笔尖）到定点O（图钉）的距离相等吗？二、概念形成（一）1．圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点旋转一周（如图3-1-1所示），另一端点P所经过的封闭曲线叫做________，定点O叫做圆心，•线段OP•叫做圆的_________．图3-1-1 图3-•1-22．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．3．弦的定义：连结圆上任意两点的___________叫做______________（如图3-•1-2中的AB）．经过圆心的弦叫做__________．显然，直径等于半径的______倍（•如图3-1-2所示）．三、做一做已知点O和线段a（如图3-1-3所示），请以O为圆心，线段a为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦．四、概念形成（二）1．弧的定义：圆上任意两点间的__________叫做__________，简称弧．2．半圆、劣弧、优弧的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做________．小于半圆的弧叫做_________，•劣弧用符号“»”和弧两端的字母表示，如图3-1-4中的劣弧BC记作»BC，读作“弧BC”；大于半圆的弧叫做_________，•优弧用符号“»”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图3-1-4中的优弧BAC，记作¼BAC，读作“弧BAC”．图3-1-4 图3-1-5 图3-1-63．如图3-1-5所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？•4．•等圆：•半径相等的两个圆能够完全重合，•因此，•把半径相等的两个圆叫做_________，如图3-1-6中的⊙O和⊙O是等圆．5．想一想：等圆的半径相等吗？6．补充：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________．五、议一议同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？请你与你的同伴议一议．结论：一般地，如果点P是圆所在平面内的一点，d表示点P到圆心的距离，r表示圆的半径，则有：d>r⇔点在圆外；d=r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内【例题解析，当堂练习】例1（课本例1）如图3-1-7，在A地往北80m的B处有一幢民房，正西100m的C•处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑．因施工需要必须在A处进行一次爆破，•为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？图3-1-7练一练（课本练习）在直角三角形ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以点C为圆心，•画一个半径为3cm的圆，试判断点A，点B和⊙C的相互位置关系．例2已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如图3-1-8所示．（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？图3-1-8练一练如图3-1-9，△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，AD是高线，AE是中线．（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？（2）以点A为圆心作⊙A，使点B，D，E，C四点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．图3-1-9。
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课题
3.2圆的轴对称性(2) 教
学目的知识点
1．掌握垂径定理及其逆定理．
2．学会应用垂径定理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间关系
的证明和计算，解决一些生产实际问题．
能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．
德育点
用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加
热爱生活
重点应用定理解决生产实际问题．
难点例3的教学．
教法先学后导教学法
学法自学、讨论、归纳、巩固
教具把例题写在幻灯片上．
教学设计
进程教师活动学生活动
设计意图
达到效果
一复习引入
二新课讲述1.叙述垂径定理
2.练习
(1)两同心圆中，弦AB＝4，AB交小圆
于点C、D，CD＝2，且弦心距等于1，
那么大圆和小圆的半径之比是（）
(2)平分已知
»AB；在已知»AB上画一
点C,使
»AC：»BC＝1:3
（一）板书课题、揭示目标
本节课我们一起继续学习“3.2圆的轴
对称性(2)”（板书），教学目标是掌握
垂径定理及其逆定理，学会应用垂径定
理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心
距以及半径之间关系的证明和计算，解
决一些生产实际问题．
（二）自学例题前指导
1、明确自学内容、要求和方法
怎样运用垂径定理及其逆定理进行
画图、计算或证明呢？下面请大家看书
本66页的内容，注意书写格式，每步
的依据，5分钟后要能够做出与例题类
似的题目。
2、垂径定理的逆定理
(1)问：把已知CD⊥AB，改成CD平分
AB，能得到什么结论?
学生回答
正确（1）
5 ： 2
学生看书归纳（口答）：
学生阅读
掌握旧知
并唤起对
垂径定理
的兴趣
板书课题、
揭示目标
明确自学
内容、方
法、要求
通过阅读
探究比较
激发学习
垂径定理
及其逆定
理应用的
(2) 学生概括定理时，一般会遗忘“不是直径”．教师启发学生思考：定理中的弦为何不能是直径?试举反例说明．(完成本节课的“想一想”)
(3)学生模仿垂径定理，把这个逆定理概括成图式。
组织学生讨论熟记垂径定理及其逆定理的方法．即垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧，这三个元素中由一推二．
3.出示与例题类似的题目 (1)如图，CD 是e O 的直径，弦AB 垂直
于CD 于P,AP=3cm ，PD=1cm ，求OP 的长。
教师分析：要用22
2()2
a r d =+进行计
算，先必须连结OA.若设OE 为x ，则OA 长怎样用x 的代数式表示？列出的方程怎样？ (2)建于1400年前的河北省赵县的赵周桥，是一座圆弧石拱桥，其设计与工艺是中外桥梁史上的卓越典范。
它的跨径（弧所对的弦长）约为37.0m,拱圈的矢高（弧的中点到弦的距离）为7.2m 。
求桥拱圈的半径(精确到0.1m) （介绍跨径、矢高概念，点到为止） (3) 已知DC 是⊙O 的直径，直线AB 交⊙O 于E 、F ，AD ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，求证：AE ＝BF (4) 已知CD 是⊙O 的直径，直线AB 交⊙O 于A 、B ，DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，问AE 与BF 是否相等？为什么？ （三）学生自学例题 1、 学生看例题，找方法 2、 检查自学例题的效果 请同学上黑板板演，其余同学在座位上做，教师巡视收集反馈信息。
（四）点拨矫正 教师指出：(1)添加弦心距是证明弦的一部分相等问题中常见的辅助弦。
(2)有关弧的中点问题常连结圆心和弧的中点； (3)线段长度的计算常在直角三角形中
自学回答 学生口答CD ⊥AB ，又根据垂径定理得到CD 平分弦所对的弧 学生在教师指导下概括逆定理： 定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 直径平分弦(不是直径)⎧⇒⎨⎩直径垂直于弦
直径平分弦所对的弧 学生完成定理2证明，并把逆定理概括成图式： 直径平分弧 {
⇒直径平分弦所对的弧
直径垂直于弧所对的弦
由学生讨论一套测算桥拱半径的方案：22
2()2a r d =+
4位同学上黑板板演，其余同学在座位上做， (1)若错，则让学生说出错在哪里，为什么错，怎样更正；若全对，则要求学生讨论其余方法 (2)同桌互阅 兴趣，学会
模仿
通过本题
的练习目
的是解决
例3难点作准备 赵州桥历史作一介绍，对学生
爱国主义教育
三小结
四、随堂练习进行。
1.定理及其逆定理
2.定理解决实际问题
1.布置作业内容：P67课内练习和探究
活动；视时间完成P68作业题。
2.明确作业要求：注意格式，比谁做得
又对右快，书写又工整
3.学生做作业，教师巡视
4.批改学生已完成的作业
5.思考题
1)判断下列各题：
(1)垂直于弦的直线平分弦（）
(2)过圆心的直线平分弦（）
(3)平分弦的直径垂直于弦（）
(4)平分一条弧的直径垂直平分弦（）
2)如图弦AB＝AC，D是弧BC的中点，
那么结论：①AD平分∠BAC；②AD垂直
平分BC；③AD是⊙O的直径；正确的是
（）
3)求证：圆的两条平行弦的中点和圆心
在同一直线上。
4)已知圆的半径为5cm,弦AB//CD且弦
AB=6cm,CD=8cm,求这两弦之间的距离。
（注意两解）
师生一起讨论得出
独立完成，课堂校对
梳理概括，
形成结构
巩固提高，
形成结构
作
业
布
置
见作业本
扳书设计3.2圆的轴对称性(2)
投影学生板演
教后感。