第三章导数与应用

f +′ ( 0 ) = lim+
x→0
sin x f ( x ) − f (0) = lim+ = 1 ； 故f ′(0) = 1 。 x→0 x−0 x
x3 练习 求函数f ( x) = x2 1 − e 答案 f ′(0) = 0 。
x≥0 x<0
在点x = 0的导数 。
2、几何意义 的切线问题可知， 由Leibniz的切线问题可知， 的切线问题可知
π
2 −x
法线：y = x −
π
2
3、可导与连续的关系
∆y 若函数 y = f ( x ) 在点 x = x 0 可导，即 f ′( x 0 ) = lim 存在， ∆x → 0 ∆ x ∆y ∆y 则 lim ∆ y = lim [ ∆ x ] = lim lim ∆ x = f ′( x 0 ) ⋅ 0 = 0， 即 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0
则 lim [ f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 )] = lim ∆ y = 0，得 lim f ( x ) = f ( x 0 )
∆x → 0 ∆x → 0
x → x0
f(x)在x0点连续。由x0的任意性，我们有： 在 点连续。 的任意性，我们有： 定理 可导函数一定连续。 可导函数一定连续。 此定理的逆命题不真 即连续的函数不一定可导。 逆命题不真， 注 此定理的逆命题不真，即连续的函数不一定可导。 从图像上看，连续表示图像在这一点是“连接着的”的， 从图像上看，连续表示图像在这一点是“连接着的” 没有断开，而可导表示图像在这一点有切线，即是“光滑” 没有断开，而可导表示图像在这一点有切线，即是“光滑” 的，没有“棱角”。 没有“棱角”
二、导数的四则运算 导数的广泛应用要求导数的计算必须熟练快速准确才能满 足各种需要，而靠定义来计算导数显然是不够的。因此， 足各种需要，而靠定义来计算导数显然是不够的。因此，我们 必须深入讨论导数的各种运算性质和导数的计算技巧， 必须深入讨论导数的各种运算性质和导数的计算技巧，同时给 出一些基本函数的求导结果。 出一些基本函数的求导结果。利用这些结果和公式可以计算一 般形式下较复杂的函数的导数。 般形式下较复杂的函数的导数。 定理 若u ′( x)、v ′( x)都存在，则： 都存在，
推论 若u ( x)、u1 ( x)、u 2 ( x)、 、u n ( x)在x可导，则： L 可导，
1 u′( x) (4) u ( x) ≠ 0，则 = − 2 。 u ( x) u ( x)
′
例 求函数y = sin x +
′

π
的导数。 4
π π π y′ = sin x + = (sin x cos + cos x sin )′ 解 4 4 4
1 1 dy 1 = = x 则 = dx y ln a a ln a dx dy
二、基本导数公式 (C )′ = 0
(sin x)′ = cos x (tan x)′ = sec 2 x (sec x)′ = sec x tan x
(a x )′ = a x ln a 1 ′= (log a x) x ln a
则其反函数 x = f
−1
( y )在y 0 = f ( x0 )处可导，且 处可导，
dx dy
=
y = y0
1 f ′( x0 )
例 求函数 y = a x 在x = x0 处的导数。 处的导数。 解 函数y=ax的反函数为 的反函数为x=log 函数 ， (log a y )′ = ay，又
1 。 y ln a
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x) − f ( x0 ) lim = lim =A h →0 − x→ x − h x − x0 0
存在，则称 为 在 的左导数， 存在，则称A为f(x)在x0的左导数，记为 f −′ ( x 0 ) = A 。 函数y=f(x)在U+(x0) ∪{x0}有定义，若极限 有定义， 定义 函数 在 有定义
f ′( x0 ) = lim
h →0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) = lim x → x0 h x − x0
x2 例 求函数 f ( x ) = 1 − cos x
x≥0 的导数。 在点 x = 0的导数。 x<0
由于f(x)为分段函数 为分段函数， 两边有不同的表达式。 两边有不同的表达式 解 由于 为分段函数，在x=0两边有不同的表达式。计 算极限时需用左右极限计算。 算极限时需用左右极限计算。
这个定理的逆否命题是：不连续则不可导。 这个定理的逆否命题是：不连续则不可导。例如函数
2 f ( x) = 2 x x≤0 x>0
不连续，因此在 也不可导。 不连续，因此在x=0也不可导。 也不可导
不能由2′| 不能由 x=0=0， ， (x2)′|x=0=0就得到 就得到 f ′(0)=0
∆x是自变量 的改变量 可正可负 ； ∆y=f( x0+ ∆x) - f ( x0) 是自变量x的改变量 可正可负)； 是自变量 的改变量(可正可负 是因变量的改变量。 是因变量的改变量。
∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = 反映的是自变量x从 反映的是自变量 从 ∆x ∆x
x0 改变到 0+∆x时函数的平均变化速度，称为函数的平均变化 改变到x 时函数的平均变化速度， 时函数的平均变化速度 称为函数的平均变化 率。 导数表示因变量相对于自变量的变化率， 导数表示因变量相对于自变量的变化率，它反映了函数 f ( x)在x0的变化速度，也称为函数在 x0 处的变化率。f ′(x0)是 x)在 的变化速度， 处的变化率。 )是 一个数值，由函数 一个数值 由函数f ( x)和x0唯一确定。 由函数 和 唯一确定。 为方便起见， 为方便起见，导数的定义中的极限在应用中也可表示为其 它形式： 它形式：
实际上，对于一般的分段函数， 实际上，对于一般的分段函数，都需要用这种左右极限计 算，为方便以后的讨论，对应于左右极限与左右连续，我们定 为方便以后的讨论，对应于左右极限与左右连续， 义左右导数。 义左右导数。
函数y=f(x)在U-(x0) ∪{x0}有定义，若极限 有定义， 定义 函数 在 有定义
f ( x ) − f ( 0) 1 − cos x lim = lim =0 x →0 − x →0 − x−0 x f ( x ) − f ( 0) x2 lim = lim =0 x →0 + x →0 + x x−0
因此
f ( x ) − f ( 0) f ′(0) = lim =0 x →0 x−0
x=2
1 ，则切线的方程为 = 2 ln 2
y −1 =
1 ( x − 2) 2 ln 2
法线的方程为
y − 1 = −2 ln 2 ⋅ ( x − 2)
求曲线y=cosx在点 在点(π/2,0)处的切线方程与法线方程。 处的切线方程与法线方程。 练习 求曲线 在点 处的切线方程与法线方程 答案 切线：y =
一。基本知识 §3.1 导数概念与运算法则 一。导数的基本概念 1、导数的定义 、 设函数f(x)在 有定义， 定义 设函数 在U(x0)有定义，若极限 有定义
∆x→ 0
lim
Байду номын сангаас
f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 ) = A ∆x
(* )
存在，则称 在 可导， 存在，则称f(x)在x0可导，x0为f(x)的可导点，A为f(x)在x0处的 的可导点， 为 在 导数， 导数，记为
x0
x
对应的法线方程为： 对应的法线方程为：
y − f ( x0 ) = − 1 ( x − x0 ) f ′( x0 )
求曲线y=log2x在点 在点(2,1)处的切线方程与法线方程。 处的切线方程与法线方程。 例 求曲线 在点 处的切线方程与法线方程 解 由于 y′ x = 2 =
1 x ln 2
f ′( x 0 ) = y ′
x = x0
=
dy dx
=
x = x0
df dx
= A
x = x0
若极限(*)不存在，则称 在 可导或没有导数， 若极限 不存在，则称f(x)在x0不可导或没有导数，x0为 不存在 f(x)的不可导点。特别地，若A=∞，则称 在x0处的导数为 的不可导点。特别地， ，则称f(x)在 无穷大。 无穷大。
2 2 2 2 π cos x − sin x = cos x + ′+ ′= (cos x) (sin x) = 2 2 2 2 4
§3.2 求导公式与求导方法
一、反函数的导数 定理 若函数 f ( x)在区间 I单调，在 x0 ∈ I处可导， f ′( x0 ) ≠ 0， 单调， 处可导，
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x) − f ( x0 ) lim = lim =A + + h →0 x→ x 0 h x − x0
存在则称A为 在 的右导数， 存在则称 为f(x)在x0的右导数，记为 f +′ ( x0 ) = A 。 与左右极限、左右连续对应的定理类似， 与左右极限、左右连续对应的定理类似，左右导数有如 下结果。 下结果。 定理 f ′( x0 ) = A ⇔ f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) = A 。
这个结果主要应用于计算分段函数在分段区间的端点处 的导数，而且为便于理解和减少错误， 的导数，而且为便于理解和减少错误，尽管以后学习导数的 其他公式， 其他公式，对分段函数在分段区间的端点处的导数一律用定 义计算。 义计算。