2015年下学期八年级数学竞赛试题

2015年下学期八年级数学竞赛试题
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（共8道小题，每小题4分，满分32分）
1．已知大家以相同的效率做某件工作，a 人做b 天可以完工，若增加c 人，则提前完工的天数为（ ）
A ．ab b a c -+
B ．b b a c -+
C ．ab b a c -+
D ．b
b a c
-+ 2．已知13m m +=，则221
m m
+的值是（ ）
A ．9
B ．11
C ．7
D ．1 3．如图，ABC △的面积为1cm 2
，AP 垂直B ∠的平分线BP 于P ，则PBC △的面积为（ ）
A ．0.4 cm
2
B ．0.5 cm 2
C ．0.6 cm 2
D ．0.7 cm 2
4．在等腰ABC △中，AB AC =，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）
A ．1cm ＜A
B ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cm
C ．4cm ＜AB ＜8cm
D ．4cm ＜AB ＜10cm
5．已知m ，n 为常数，若0mx n +>的解集为1
3
x <，则0n x m -<的解集是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＞﹣3 D ．x ＜﹣3
6．若方程组4143x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足条件01x y <+<，则k 的取值范围是（ ）
A ．﹣4＜k ＜1
B ．﹣4＜k ＜0
C ．0＜k ＜9
D ．k ＞﹣4
7．下列说法中正确的是（ ）
A ．0.9的算术平方根是0.3
B 4
C ．﹣0.6是0.36的平方根
D ． 4
8．计算
2015
2016
--⋅
的结果是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C
D 二、填空题（共7道小题，每小题4分，满分28分）
9．若x 取整数，则使分式67
23x x -+的值为整数的x 的值有 个．
10．若3927a b ⋅=，则()2
2a b -+= ．
11．在ABC △中，若20A B C ∠-∠-∠=︒，则A ∠= 度．
12．已知关于x，y的方程组
3
25
x y a
x y a
-=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足0
x y
>>，化简3
a a
+-=
_______________．
13
．化简：
⎛
-=
⎝
．
14
5
=，则x的取值范围是．
15
m的平方根，则m=．
三、解答题（共六道小题，每小题10分，满分60分）
16．先化简，再求值：
2
22
1121
x x x x
x x x x
-
⎛⎫
-÷
⎪
---+
⎝⎭
，其中x是不等式组
13
22
124
x
x
+
⎧
≤
⎪
⎨
⎪-<
⎩
的整数解．
17．
求2
yz x
-
的平方根．
18．若a，b
是一等腰三角形的两边长，且满足等式4
b-，
试求此等腰三角形的周长．
19．如图，在ABC △中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由．
20．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货
A E
C
H
D B
G
F
车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
21．在四边形ABCD中，AD BC
=，E为AB边上一点，
∠=︒，AB BC
∥，90
ABC
=．连接DE交对角线AC于H，连接BH．
∠=︒，且AE AD
15
BCE
（1）求证：AC ED
⊥；
（2）求证：ACD ACE
△≌△；
（3）试判断CDE
△的形状，并说明理由．
参考答案
16．解：
=
×
﹣
×
=1﹣
=，……4分
∵， 由①得：x ≤2，由②得：x ＞﹣，
∴原不等式组的解集是：﹣＜x ≤2，…………………………………………………6分 ∴原不等式组的整数解是：﹣1，0，1，2，…………………………………………7分 又∵（x ﹣1）（x+1）x ≠0∴x ≠±1且x ≠0，∴x=2，……………………………………9分 ∴原式=
=．………………………………………………………………………10分
170=，
0=0=，∴1x =，3y =-.……………………………4分
2
2420z z +++=，
∴2
440z z ++=，即()2
20z +=，∴2z =-，……………………………8分
∴()()232214yz x -=-⨯--⨯=，∴2yz x -的平方根是2±.……………10分
18．解：根据题意得，3a ﹣6≥0且2﹣a ≥0，………………………………………………2分
解得a ≥2且a ≤2，所以a =2，b =4，………………………………………………5分 ①a =2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，∴不能组成三角形，……………………………………………………7分 ②a =2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，周长=2+4+4=10，…………………………………………………9分 所以此等腰三角形的周长为10．………………………………………………………10分 19．解：线段BH 与AC 相等．理由如下：…………………………………………………1分
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，………………3分
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．……………………………………………………5分
∵在△DBH与△DCA中，，
∴△DBH≌△DCA（AAS），……………………………………………………8分
∴BH=AC．…………………………………………………………………………10分20．解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）=320，……………………………………………………………1分
解这个方程，得x=200．
∴x﹣80=120．…………………………………………………………………2分
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；…………………………………3分（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：
，…………………………………………………5分
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，………………………………………………………………6分
安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：
①甲2辆，乙6辆；②甲3辆，乙5辆；③甲4辆，乙4辆； (7)
分
（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；
②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；……………9分
∴方案①运费最少，最少运费是2960元． (10)
分
21．解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，
又∵AB=BC，∴∠BAC=45°，∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，∴AH⊥ED，即AC⊥ED；……………………………3分（2）由（1）证得∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，又∵∠BAD=90°，∴∠BAC=∠DAC，
在△ACD和△ACE中，，∴△ACD≌△ACE（SAS）；…6分
（3）△CDE为等边三角形．理由如下：
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，
∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，
又由（2）知CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，……………………………………………………10分。