四川省成都市2013届高三第二次诊断性检测数学(理)试题

成都市2013届高中毕业班第二次诊断性检测
数学(理工农医类）
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至 4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后,只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共50分）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内,复数z=
i
+12
(i 为虚数单位)对应的点位于 (A )第一象限 （B )第二象限 （C )第三象限 （D )第四象限
2. 已知全集U ={x|x >0}，M ={x|x
2
<2x }，则M C U =
(A){x|x>2} (B){x|x>2} (C){X |x ≤0 或 x ≥2}
(D) {X |0<x<2}
3.若直线(a+l)x+2y=0与直线x 一ay =1互相垂直，则实数a 的值等于 (A)-1
(B)O
(C)1
(D)2
4. 已知直线l 和平面a ，若l//a ，P ∈a ，则过点P 且平行于l 的直线 (A)只有一条，不在平面a 内 （B)只有一条，且在平面a 内
(C)有无数条，一定在平面a 内 （D)有无数条，不一定在平面a 内 5.
—个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角 形，则该几何体的体积为
(A)
3
3
(B)1 (C)
3
3
2 (D)
3 6. 函数f(x)= log 2x+x
1
—1的零点的个数为 (A)O 个
（B)1个
（C)2个
（D)3个
7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x （a>0,b>0)的一条渐近线与曲线12-=x y 相切，则该
双曲 线的离心率为
(A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 22
8. 若不等式x
x m -+≤
12
21当1∈(0，l)时恒成立，则实数m 的最大值为 (A)9 (B) 29
(C)5 (D) 2
5
9.已知数列{a n }满足 a n +2-a n +1= a n +1-a n ，*N n ∈，且a 5=
2
π
若函数f(x)= sin2x+2cos 2
2
x
，记y n =f(a n )，则数列{y n }的前9项和为
(A)O
(B)-9
(C)9
(D)1
1O.某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出
的S 等于
(A) 24 (B) 26 (C) 30 (D) 32
第II 卷(非选择题，共100分）
二、填空題:本大题共5小题，每小题5分，共
25分. 11.已知sina+cosa=3
2
，则sin2a 的值为_______.
12.若（1-2x)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1+a 2 +a 3 +a 4 =_______
13. 设G 为ΔABC 的重心，若ΔABC 所在平面内一点P 满足02=+BP PA =0，则
|
|||AG AP 的值等于_______
14. 已知集合⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪
⎨⎧
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≥+≤-+00042)
,(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P 的坐标满足不等式x 2
+y 2
≤2的概率为_______
15.对于定义在区间D 上的函数f(x)，若满足对D x x ∈∀2
1,，且x 1<x 2时都有 )()(21x f x f ≥，
则称函数f(x)为区间D 上的“非增函数”.若f(x)为区间[0，1]上的“非增
函数”且f(0) = l ，f f(x)+f(l —x) = l ，又当]4
1
,0[∈x 时，f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题：
①0)(],1,0[≥∈∀x f x ;
②当，
且2121]1,0[,x x x x ≠∈时，f (x 1)≠f(x)
③ 2)87
()137()115()81(＝f f f f +++;
④当
]4
1,0[∈x 时，)())((x f x f f ≤. 其中你认为正确的所有命题的序号为
________
三、解答题:本大题共6小题，共
75分. 16.(本小题满分12分）
在ΔABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c B a =+)4
sin(2π
(I)求角A 的大小.，
(II)若ΔABC 为锐角三角形，求sinBsinC 的取值范围.
17.(本小题满分12分）
某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：
试根据图表中的信息解答下列问题：
(I )求全班的学生人数及分数在[70，80)之间的频数；
(II)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80)，
[80，90)和 [90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80)分数段的人数X 的分布列和数学期望.
18. (本小题满分12分）
如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC —A 1
B 1
C 1中，
AC=AA 1=2AB = 2, BAC =900
，点D 是侧棱CC 1 延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1
B 1
C 1的交线.
(I)
求证:EF 丄A 1C;
(II)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为
26
26
时，求DC 1
的长.
19. (本小题满分12分）
设函数f(x)=x 2
过点C 1(1,0)作X 轴的垂线l 1
交函数f(x)图象于点A 1,以A 1为切 点作函数f(x)图象
的切线交X 轴于点C 2，再过C 2作X 轴的垂线l 2交函数f(x)图象于点 A 2，…，以此类推得点
A n ，记A n 的横坐标为a n ，*N n ∈.
(I)证明数列{a n }为等比数列并求出通项公式a n ;
(II)设直线l n 与函数g(x)=
x 2
1log :的图象相交于点B n
，记
n n OB OA bn .=（其中O 为坐标原点），求数列
{b n
}的前n 项和S n .
20. (本小题满分13分）
巳知椭圆E.. )0(12
222>>=+b a b y a x (a>b>0)以抛物线y 2
=8x 的焦点为顶点，且离心率为21
(I )求椭圆E 的方程；
(II )若直线l:y=kx+m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线
x= -4相交于Q 点，P 是 椭圆E 上一点且满足OB OA OP += (其中O 为
坐标原点），试问在X 轴上是否存在一点T ， 使得TQ OP .为定值？若存在，求出点了的坐标及TQ OP .的值;若不存在，请说明理由.
21. (本小题满分14分） 已知函数a x x
x x g x a x x x f )(ln 1
)(,ln 1)(-+=--=，其中x>0,a ∈R
(I)若函数f(x)无极值,求a的取值范围；
(I I)当a取（I)中的最大值时，求函数g(x)的最小值；
(III)证明不等式∑
=
+
∈
+
>
+
n
k
n
n
k
k
N
n
1
1
*)
(
1
2
2
ln
)1
2(
2
1
.。