【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
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2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
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知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
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知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
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∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
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知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
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【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
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*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
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*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
������ -1 =- 1,x1 -x2=1, 2
������ -1 =5,x1 -x2=1, 2
②当 m 2=- 1 时,x1+x2=
组成方程组
答案 答案
2
关闭
解 :∵x1 ,x2 是方程 2 x2-3 x-1=0 的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 =- . ∴
快乐预习感知
2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
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1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
������ -1 =- 1,x1 -x2=1, 2
������ -1 =5,x1 -x2=1, 2
②当 m 2=- 1 时,x1+x2=
组成方程组
答案 答案
2
关闭
解 :∵x1 ,x2 是方程 2 x2-3 x-1=0 的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 =- . ∴
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北师大九年级数学上2.5一元二次方程的根与系数的关系课件
变式训练： 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0 (k为整数) ①只有整数根,且关于y的一元二次方程 (k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实数根y1和y2,试确定k的值.
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两 根之积 ： （1）x（3x-1）-1=0； （2）（2x+5）（x+1）=x+7
已知方程x2 2 x 7 0的一个根是3，求它的另一个根。 3
已知m为实数,试判断关于x2-(2m-3)x-(m-1)=0 的根的情况.
m取什么值时,关于x的方程
2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根. 说明不论m取何值,关于x的方程
(x-1)(x+2)=m2总有两个不相等的实数根.
于是，两根之和为
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1 x2
2a
2a
2a a
两根之积为
b b2 4ac b b2 4ac
x1 x2
2a
2a
（ - b）2 -（ b2 4ac）2 b2 b2 4ac c
4a 2
4a 2
a
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2， 那么
x1 x2 2 , x1x2 1
练习
1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和 、两根之积 ： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0
小明和小华分别求出了方程9x2 6x 1 0的根。
小明：x1
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0 (k为整数) ①只有整数根,且关于y的一元二次方程 (k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实数根y1和y2,试确定k的值.
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两 根之积 ： （1）x（3x-1）-1=0； （2）（2x+5）（x+1）=x+7
已知方程x2 2 x 7 0的一个根是3，求它的另一个根。 3
已知m为实数,试判断关于x2-(2m-3)x-(m-1)=0 的根的情况.
m取什么值时,关于x的方程
2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根. 说明不论m取何值,关于x的方程
(x-1)(x+2)=m2总有两个不相等的实数根.
于是，两根之和为
b b2 4ac b b2 4ac 2b b
x1 x2
2a
2a
2a a
两根之积为
b b2 4ac b b2 4ac
x1 x2
2a
2a
（ - b）2 -（ b2 4ac）2 b2 b2 4ac c
4a 2
4a 2
a
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2， 那么
x1 x2 2 , x1x2 1
练习
1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和 、两根之积 ： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0
小明和小华分别求出了方程9x2 6x 1 0的根。
小明：x1
北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT教学课件
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
第三页，共二十三页。
讲授新课
一 探究一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
方程
x1
x2 - 2x + 1 = 0
1
x2
x1 + x2
1
2
x2 2 3x 1 0
2x2 - 3x + 1 = 0
3 2
1 2
3 2 1
23
3 2
x1 ·x2
-1
-1
1 2
第四页，共二十三页。
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（xx1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能 看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
4a2
4ac
4a2
c. a
第八页，共二十三页。
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关(a≠0)的两个根分
别是x1、 x2，那么
b x1 + x2 = - a
x1
x2
c a
注意 满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
第九页，共二十三页。
二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
第十页，共二十三页。
（2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数3 根是 x1, x2, 那么
2.5《一元二次方程的根与系数的关系》北师大版九年级上册教学课件1
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1) x2 +7x +6 = 0；
(2) 2x2 - 3x -2 = 0 .
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0，
方程 x2-2x+1=0
abc 1 -2 1
x2 - 2 3 x-1=0 1 -2 3 -1
2x2-3x +1=0 2 -3 1
x1
x2 x1+x2 x1x2
1
12
1
3+2 3-2 2 3
-1
1
3
1
2
1
2
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
观察上述表格，回答下列问题：
5 一元二次方程的根与 系数的关系
学习目标
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
一元
二次
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
方程
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体
的根
会从特殊到一般的思想.
与系
4.增强学习的信心，培养科学探究精神.
数的
关系
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=
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2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a= .
关闭
±2
答案
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3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
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4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
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5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
2
关闭
解 :∵x1 ,x2 是方程 2 x2-3 x-1=0 的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 =- . ∴
3 2 ������3 1 x2 +x1 ������2 =x1 x2( ������1
3 2
1 2
+
1 2 ������2 2 )=x1 x2 [( x1+x2) - 2x1x2] =-2
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
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1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
������ -1 =- 1,x1 -x2=1, 2
������ -1 =5,x1 -x2=1, 2
②当 m 2=- 1 时,x1+x2=
组成方程组
答案 答案
×
3 2
2
+ 2×
1 2
=- .
13 8
答案
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6. 已知关于 x 的方程 2x -(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1 -x2 =1, 求 m 的值及方程的两个根.
关闭
2
解 :∵x1 ,x2 是方程的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 = . 2 2 ∵x1 -x2 =1,∴( x1-x2) 2=1 . ∴( x1 +x2 ) - 4x1· x2=1,∴
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
关闭
C
答案
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2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a= .
关闭
±2
答案
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3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
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4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
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5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
2
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解 :∵x1 ,x2 是方程 2 x2-3 x-1=0 的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 =- . ∴
3 2 ������3 1 x2 +x1 ������2 =x1 x2( ������1
3 2
1 2
+
1 2 ������2 2 )=x1 x2 [( x1+x2) - 2x1x2] =-2
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2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
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1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
������ -1 =- 1,x1 -x2=1, 2
������ -1 =5,x1 -x2=1, 2
②当 m 2=- 1 时,x1+x2=
组成方程组
答案 答案
×
3 2
2
+ 2×
1 2
=- .
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6. 已知关于 x 的方程 2x -(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1 -x2 =1, 求 m 的值及方程的两个根.
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2
解 :∵x1 ,x2 是方程的两个根,
∴x1 +x2 = ,x1 · x2 = . 2 2 ∵x1 -x2 =1,∴( x1-x2) 2=1 . ∴( x1 +x2 ) - 4x1· x2=1,∴