均值不等式应用专题测试

均值不等式应用专题测试

一．选择题：

1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( )

(A)ab (B)2b a + (C)2

2

2b a + (D)222b a +

2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )

(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、下列不等式一定成立的是（ ）

A ．2

1

lg()lg (0)4

x x x +>> B ．1

sin 2(,)sin x x k k Z x

π+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．

21

1()1

x R x >∈+

4、若1a b >>，P =()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则下列不等式成立的是（ ）

A.R P Q <<

B. P Q R <<

C. Q P R <<

D. P R Q << 5、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B)

212- (C)12+ (D)2

1

2+ 6.已知y x n m b a ,,,,,均为正数，且b a ≠，若x b m a ,,,成等差数列你，y b n a ,,,成等比数列，则有（ ）

A.y x n m >>,

B.y x n m <>,

C. y x n m <<,

D. y x n m ><, 7、设)11

)(11)(11(

---=c

b a M ，且1=++

c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ）

A.⎪⎭⎫

⎢⎣⎡81,0 B.⎪⎭

⎫⎢⎣⎡1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8

8.若a 是b b 2121-+与

的等比中项，且0>ab ，则|

|2|||

|2b a ab +的最大值为（ ）

A.

1552 B. 42 C.55 D. 2

2

9、点(),P x y 在经过()3,0A ，()1,1B 的两点的直线上，那么24x

y

+的最小值是（ ）

A.不存在

10.若14<<-x ，则2

22

2)(2-+-=x x x x f 有（ ）

A.最小值1

B. 最大值1

C. 最小值-1

D.最大值-1

11、已知不等式()1a x y x y ⎛⎫

++

⎪⎝

⎭≥9对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的 最小值为 .A 2 .B 4 .C 6 .D 8

12、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙

的最小值为（ ）

(A) 4-3- (C) 4-+3-+二．填空题： 13.若对任意0x >，

2

31

x

a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。 14、设实数y x ,满足1)1(22=-+y x ，当0≥++c y x 时，则

c 的取值范围是 ___ _ ___。

15．函数f(x)=2

42

+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为

_______________．

16、已知221x y +=，对于满足条件的,x y 恒有不等式0x y k +-≥成立，则k 的最大值为 ； 三．解答题：

17、已知1x >-，求函数()

()

2

2413x y x +=

+的最大值。

18、函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n

m 1

1+的最小值为。

19、已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2552,a a ⋅=3417a a +=. （1）求n a ；

（2）若数列n b 是等差数列，且()c n b S n n +=，求非零常数c ； （3）是否存在最大的整数m ，使得对任意的*

N n ∈均有

()191

<++n n

b n mb 总成立？若存在，

求出m ，若不存在，说明理由.

20、某商场在促销期间规定：商场内所有商品都按标价的80﹪出售吧，同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券.

根据上述促销办法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110元，设购买商品得到的优惠率=

商品的表价

额购买商品和获得的优惠

，试问：

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率为多少？

(2)对于标价在[]800,500（元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于3

1的优惠率？

21.函数)(x f 对一切实数y x ,均有x y x x f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f . （1）求)0(f ； （2）求)(x f ；

（3）不等式205)(<<->x ax x f 当时恒成立，求a 的取值范围.

21、已知函数y ＝a

x x

+

有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(

上是减函数，

在)

+∞上是增函数．

()1如果函数y ＝2b

x x +（0x >）的值域为[)6,+∞，求b 的值；

()2研究函数y ＝22c

x x +（常数0c >）在定义域内的单调性，并说明理由；

()3对函数y ＝a x x +和y ＝2

2

a x x

+（常数0a >）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝

n x x )1(2+＋n x x )1(2+（n 是正整数）在区间1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值（可利用你的

研究结论）．