实变函数第一章第2讲ppt

第一章 集合
第二节 映射与势
１ 映射的定义
定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f， 对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称 中的每个x，均存在Y 唯一的 这个对应法则 这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射， 记作 f: X→Y
令B1 = f ( A1 ) B 2 = f ( A2 )
A3 = g ( B 2 ) K
A1
f g f
B 3 = f ( A3 )
K
A2
g
A3
A
*
A
f B
B1
B2
B3
B
*
Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明
A1
f g f
A2
g
A3
A
*
A
f
*
B B 由g ( B) = A*知A2 = g ( B1 ) ⊂ A* , 而A1 = A \ A*，故A1与A2不交
4 Bernstein定理 Bernstein定理
设A, B是两个集，若有 的子集A*，使B ~ A* , A 及B的子集B*，使A ~ B* , 则A ~ B.
即：若A ≤ B, B ≤ A, 则A = B.)
注：要证A = B，需要在A与B间找一个既单又满的映 射； 而要证A ≤ B，只需找一个单射即可 ；从而我们把找既单 又满的映射转化找两个 单射。
例
1、 定积分运算 ∫a 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子, 变换) 2、 实数的加法运算+: R×R→R 3、 集合的特征函数 χ : X →{0,1} A （集合A与特征函数互相决定） 称 χA (x) = {
1 x∈A 0 x∉A
b
(群 (群,环,域)
为集A的特征函数，
基数的大小比较
1)若A ~ B, 则称 A = B；
2)若A ~ B1 ⊂ B, 则称A ≤ B； 相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射
3)若 A ≤ B, 且 A ≠ B，则称 A < B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
如： 1,1) ~ (−1,1) ⊂ (−∞, +∞) (−
注：模糊集：
f : X →[0,1]
参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh
2 集合运算关于映射的性质（像集）
定理1：设 f : X → Y , A, B , Aα (α ∈ Γ )是 X 的子集， 称{ f ( x ) : x ∈ A}为 A的像集，记作 f ( A), 则有： 1) A ⊂ B ⇒ f ( A) ⊂ f ( B ); 2) f ( A U B ) = f ( A) U f ( B ), 一般地有： f ( U Aα ) =
α ∈Γ α ∈Γ
U f ( Aα ); α
∈Γ
3) f ( A I B ) ⊂ f ( A) I f ( B ), 一般地有： f ( I Aα ) ⊂
I f ( Aα ); α
∈Γ
证明的过程略
f ( A I B ) = f ( A) I f ( B )一般不成立, 如常值映射， 等号成立当且仅当 f为单射
从而 A1 , A2 , A3 , L 两两不交 , B1 , B 2 , B3 , L 也两两不交 而且 An ~ B n ( n = 1, 2 , L ), 所以 U An ~ U B n
n =1 n =1 f ∞ f ∞
另 外 由 B k ~ A k + 1 ( k = 1, 2 , L ), 可 知 U B k ~ U A k + 1
n
1,3,5,7,9,11,13,15,...
2n-1
2,4,6,8,10,12,14,16...
2n
0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,...
例
2)(−1,1) ~ (−∞,+∞)
f : x → tg (
π
2
x)
3){去掉一个点的圆周} ~ (−∞,+∞)
Galileo在17世纪最 先考虑自然数与自 然数平方的多少, 1870Cantor开始系 统考虑. 有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
B1
B2
B3
从而A1 , A2在f的象B1 , B2不交 B1 , B2 在 g下的象 A2 , A3不交
由A3 ⊂ A , 知A1与A3不交, 故A1 , A2 , A3两两不交
*
从而A1 , A2 , A3在f 下的象B1 , B2 , B3也两两不交， LL
Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明
注：称与A对等的集合为与A有相同的 势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
2)性质 1)自反性：A ~ A; 2)对称性：A ~ B ⇒ B ~ A; 3)传递性：A ~ B, B ~ C ⇒ A ~ C ;
例
1) N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z
…,-5,-4,-3,-2,…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
α ∈Γ α ∈Γ
3) f −1 (C I D) = f −1 (C ) I f −1 ( D), 一般地有：f −1 ( I Cα ) = I f −1 (Cα );
α ∈Γ α ∈Γ
4) f −1 (C \ D ) = f −1 (C ) \ f −1 ( D ); 5) f −1 (C c ) = [ f −1 (C )]c ; 6) A ⊂ f −1[ f ( A)]; 7) f [ f −1 (C )] ⊂ C ;
集合运算关于映射的性质（原像集）
定理2：设f : X → Y , A ⊂ X , C , D, Cα (α ∈Γ)是Y的子集，称{x : f ( x) ∈ C} 为C的原像集，记作f −1 (C )( f 不一定有逆映射)，则有： 1)C ⊂ D ⇒ f −1 (C ) ⊂ f −1 ( D); 2) f −1 (C U D) = f −1 (C ) U f −1 ( D), 一般地有：f −1 ( U Cα ) = U f −1 (Cα );
[ ]
或：设X,Y是两个非空集合，f是X×Y的子集，且 ：设X,Y是两个非空集合，f 子集，且 对任意x∈X，存在唯一的y ∈Y使(x,y) ∈ f，则f 是从 任意x 存在唯一的 ，则f X 到 Y的一个映射
注：集合，元素，映射是一相对概念 略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射， 一一映射（双射）
k =1 k =1 k =1 k =1 k =1
∴ A = ( A \ U Ak ) U ( U Ak ) ~ ( B \ U B k ) U ( U B k ) = B
k =1 k =1 k =1 k =1
∞
∞
∞
∞
注：6），7）一般不能使等号 成立，6）等号成立当且仅当 f为单射， 7）等号成立当且仅 当f为满射
证明的过程略
3 对等与势
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 设A,B是两 集合，若存在着A 一一映射（既单又满），则称A 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 对等, 记作 A ~ B 约定 Φ ~ Φ
k =1 k =1
g
∞
g
∞
又B ~ A , 所以B \ U Bk ~ A \ U Ak +1
* * k =1 k =1
∞ ∞ ∞
g
∞
g
∞
此处都是关于映射g, g, 如果不是同一映射, 则不一定成立.
∞ ∞
A* \ U Ak +1 = ( A \ A1 ) \ U Ak +1 = A \ U Ak ∴ B \ U Bk ~ A \ U AkU λAλ Nhomakorabea∈Λ
Aλ ~
fλ
U λ
∈Λ
Bλ
Bλ
Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明
证明: 证明:
根据题设，存在 到B*上的一一映射f ,以及B到A* A 上的一一映射g.
A*
f g A
B
*
B
Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明
令A1 = A \ A*
A2 = g ( B1 )
例：由 (−1,1) ⊂ [−1,1] ⊂ (−∞,+∞) ~ (−1,1) 可知 (−1,1) ~ [ −1,1] ， 试问如何构造两者间的既单又满的映射。
Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明
引理：设{ Aλ : λ ∈ Λ}， λ : λ ∈ Λ}是两个集族, Λ是一个 {B 指标集，又∀λ ∈ Λ, Aλ ~ Bλ , 而且{ Aλ : λ ∈ Λ}中的集合 两两不交, {Bλ : λ ∈ Λ}中的集合两两不交，那么：