曹广福版实变函数第一章习题解答

第一章习题参考解答

3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？

解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.

反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,

C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.

最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(

事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.

A A C

B A

C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.

反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-

另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而

C B A C B A ⋃-⊂--)()(

于是，)()(C B A C B A --=⋃-

4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A

x A

x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是

一集列 ，证明：

（i ）)(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n

A n

n

A χχ=

证明：（i ）)(inf lim n n

m N n n n

A A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.

所以1)(=x m A χ，所以1)(inf

=≥x m

A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m

n

A n

m N b A n

χχ

N n A x n n

∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n n

m ≥∃⇒⋂∉≥

有0)(inf

0=⇒=⇒∉≥x A x m

n

k m A n

m A k χχ，

故0)(inf sup =≥∈x m

A n

m N b χ ，即)(inf lim x n

A n

χ=0 ，从而)(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(1

1

>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明

（i ）}{n B 互相正交

（ii ）i n

i i n

i B A N n 1

1

,===∈∀

证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=1

1

，又因

为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {

∞

=1}n n B 相互正交.

（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 1

1

==⋃⊂⋃，现在来证：i n

i i n i B A 1

1

==⋃⊂⋃

当n=1时，11B A =； 当1≥n 时，有：i n

i i n

i B A 1

1

===

则)()()()()(1

11

1

111

11

11

i n

i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==

事实上，i n

i A x 1

=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{n

i A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且

则 i n

i i i i i i B B A A x 1

11

000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 11

0 ，从而， i n

i i n i B A 1

1===

6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1

)({1n a x f n +≥∞

=

(ii)})(|{a x f x E ≥=}1

)({1n

a x f n ->∞=

证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(

}1)(|{1)(,n

a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+

≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1

)(|{1n

a x f x E n +≥∞=

反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1

)(|{n a x f x E x +≥∈