第3章 导数与微分学习指导(改)

第3章导一、学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解导数的概念和导数的几何意义与经济意义，掌握求平面曲线方程的切线的方法，理解可导与连续的关系。

2．熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3．熟练掌握导数的四则运算公式。

4．掌握反函数的导数公式。

5．熟练掌握复合函数的导数公式，掌握对数求导法与隐函数求导法。

6．了解高阶导数的概念，掌握求二阶，三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。

7．理解微分的概念，掌握可导与微分的关系，以及微分形式的不变性，掌握求可微函数微分的方法。

8．了解边际与弹性的概念，掌握求简单的经济应用题的方法。

重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点求复合函数和隐函数的导数的方法.（二）内容提要3.1 导数的概念导数的定义与几何性质，，可导与连续的关系。

3.2 求导法则导数的四则运算，导数与反函数的导数的关系，复合函数的导数，初等函数的导数，对数求导法。

3.3 高阶导数3.4 隐函数的导数，3.5 函数的微分微分的定义与几何意义，可导与微分的关系，微分法则与微分基本公式，一阶微分形式不变性，参数方程确定函数的导数，微分在近似计算中的应用。

3.6 导数在经济分析中的应用边际与弹性的概念二、主要解题方法1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求x x y =在0=x 处的导数. 解 由导数的定义知0limlim)0()0(lim)0(0=∆=∆-∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆x xx x xf x f f x x x .例2 求 ()ln 1()x f x x ⎧+=⎨⎩，，00<≥x x ，的导数.解 当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim0)0()(lim )0(0-=--='→→，所以 10lim)0(0=-='-→-xx f x ，1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(1==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 1,()11,f x x ⎧⎪'=+⎨⎪⎩00.x x >≤小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2． 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法 例3 设,1)(33x x x x x f +--=求)(x f '.解 3161323311)(-+--=+--=xx x xx x x x f ，154363211()363f x xxx---'=--.例 4 设)1ln(++=x x y 求 y '.解 利用复合函数求导法求导，得[ln(y x x '''=+=+])1(1[1122'++++=x x x ])1(1211[11222'+++++=x x x x11]11[11222+=++++=x x x x x .小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数)(x f 在点0x 可导，否则法则失效. 如x x y =在0=x 点，用四则运算法则求导，)0(y '不存在， 但由例1知 x x y =在0=x 的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.3．对数求导方法例 5 已知 y =xx x x 22)2()1(-- ，求y '.解 两边取对数，得：[])2ln(2)1ln(ln1ln 2---+=x x x xy ，两边对同一自变量x 求导，得]22121[1)]2ln(2)1ln([ln 11222---++---+-='⋅x x x x x x x x xy y ， ])2(2121)2()1(ln1[)2()1(2222222---++-----='x x x xx x x xx x x y x.小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4．隐含数的求导法例 6 已知 arctanlnx y =求y ''.解 两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x yx yx yx222222222221yx y y x yx yy x y yx y+'⋅+⋅+='-⋅+整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy x y y +-='上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y xy y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y y y x +-'将 xy x y y +-='代入上式，得2)(22x y yxy x y x y +-+-⋅=''322)(2222y x xyy x xy +---=322)()(2x y y x ++-=.小结 在对隐函数求二阶导数时，要将y '的表达式代入y ''中，注意，在y ''的最后表达式中，不能出现y '.5．由参数方程所确定的函数的求导法例7 设cos sin x t t y t =-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y. 解 d (s i n )c o s d 1s i n(c o s )yt t x t t t '=='+-22d d dcos dcos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y ttt txxxx tt txt t''===⋅=+++222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t tt tt -+--=⋅=+++.小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分y d 、x d ，然后作比值xy d d ，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6．求函数微分的方法例8 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xxxd ]sectan 1ee[d )e (d 2tan ln tanln tan ln ⋅+='=x xx xd )2sin 21(etan ln +=.解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得xx x x x x y t a n ln tan ln tan ln e d d e )e (d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x xx+= )tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x xx x xx ⋅+=x xx x x xx d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xx xd )2sin 21(etan ln +=.小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.7．利用微分求近似值 例9 求29sin 的近似值.解 设x x f sin )(= ，由近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000，得x x x x x ∆⋅+≈∆+000cos sin )sin(取 0,6180x x ππ=∆=-，则有4849.0)180(232129sin 0=π-+≈.例10 有一批半径为cm 1的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层铜，厚度为cm 01.0，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为3cmg 9.8）解 所镀铜的体积为球半径从cm 1增加cm 01.0时，球体的增量.故由v 3π34r =知，所镀铜的体积为v ∆π04.001.0π4)π34(d 13=⨯=∆⋅'=≈=r r v r质量为 g 2.1g 9.8π04.0=⋅=m .小结 利用公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000计算函数近似值时，关键是选取函数)(x f 的形式及正确选取x x ∆,0.一般要求 )(),(00x f x f '便于计算，x ∆越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，x ∆必须换成弧度.8．求曲线的切线方程 例11 求曲线2235(1)()24x y -++=的切线，使该切线平行于直线28x y +=.解 方程 2235(1)()24x y -++=两端对x 求导，得 32(1)2()02x y y '-++=x y y 22)23(-=+'， yx y 2322+-='由于该切线平行于直线 28,x y += 于是22322-=+-yx ，)23(1y x +-=- ，042=--y x ，y x 24+=.因为切线必在曲线上，所以，将y x 24+=代入曲线方程得2235[(42)1]()24y y +-++=22515100320y y y y ++=++=，解之 2,121-=-=y y ，此时1242(1)2, 42(2)0x x =+⨯-==+⨯-=切点的坐标为)1,2(-,)2,0(-，切线的斜率为直线28x y +=的斜率2- 因此得切线的方程分别为)2(21--=+x y ， 即 032=-+y x ， )0(22--=+x y ， 即 022=++y x .9．求函数的变化率例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是6m s ，问2s 末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解 设最外圈波纹半径为r ，扰动水面面积为S ，则 2πr S = 两边同时对 t 求导，得tr rtS d d 2πd d ⋅=从而2222π126π2d d π2d d =====⨯==t t t t rrtr rtS又6d d ≡tr 为常数，故 t r 6=（类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此 122==t r，故有)(π14412π12d d sm22=⋅==t tS .因此，2s 末受到扰动的水面面积的增大率为)(π144sm2.小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.三、学法建议1．本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的 求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.2． 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连 续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点x 可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点x 可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量y ∆与自变量改变量x ∆之比的极限)(limx f xy x '=∆∆→∆，微分是函数增量的线性主部)()(d x o x A x o y y ∆+∆⋅=∆+=∆，在概念上两者有着本质的区别.3． 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果 呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式xu uy xy d d d d d d ⋅=必须弄清每一项是对哪个变量求导，如 )]([,)]([x f y x f y ϕϕ'≠'=, 因为 )(d d )]([,d d x y x f xy y ϕϕ='='理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质.4．利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率x x xy k ==d d 及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度.d d d d ,d d 22ts tv a ts v ===加速度再有一类是用微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系)(x f y =，正确选取0x 及x ∆，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.。