第2章 圆锥曲线的统一性质
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线的统一性质： 石家庄第一中学 冯伟冀 1． 第二定义的统一性圆的准线在∞,0=e . 2． 极坐标方程的统一性3． 曲线上一点光学性质的统一性椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。
双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。
抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。
具体应用：探照灯4． 一般弦长公式具有统一性 5． 过焦点弦长公式具有统一性 6． 过曲线上一点切线方程的统一性 7． 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8． 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性9． 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10． 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11． 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12． 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13． 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性14． 过同一焦点两任意焦点弦AB 和CD ，AC 和BD 交点轨迹统一 15． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角16． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角，又任意一弦AN 延长交准线于Q ，则FQ 平分BFA 外角后得到EFQ 是直角17． 过一个焦点交圆锥曲线于MN ，做MN 的垂直平分线交轴与P 则离心率等于2PF/MN 18． 二次曲线和二次曲线交于两点AB ，联立两方程消X 得0)(=Y H ,消Y 得0)(=X G 则AB 为端点的圆的方程就是0)()(=+Y H X G （必须先保证X 和Y系数相同）19． 若有弦AB,AB 中点为),(00.y x P 则弦AB 方程为 0)2,2(),(00=---y y x x f y x f20． 圆锥曲线通径长统一为定值ep 221． 利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型22． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AD 垂直L ，BC 垂直L 则有BD 、AC 同时平分线段EF （一组关系）23． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AB 是过焦点F 的弦，BC 平行FE ，N是线段EF 的中点，则BC 和AN 交点C 在准线L 上24 F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点，B 是圆锥曲线上一点，C 在L 上，BC 平行FE ，N 是线段EF 中点，则直线BF 和CN 的交点A 恰在圆锥曲线上25过圆锥曲线准线L 上一点做圆锥曲线的两条切线MA 、MB 则切点弦必过焦点F 且和MF 垂直（一组关系）25 F 是焦点，过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线交于Q ，则PFQ 是直角 26 点P 在圆锥曲线上时过P 的切线方程和点P 不在曲线上的切点弦方程一致27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性：用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
圆锥曲线的统一性
圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线。
以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。
一、方程形式的统一：在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有什么内在的联系。
可是从代数上说，它们的方程有统一的形式：⑴在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程)0,0(02222≠+≠=+++++C A B F Ey Dx Cy Bxy Ax 来表示①当02<-AC B 时，它表示椭圆； ②当02=-AC B 时，它表示抛物线 ③当02>-AC B 时，它表示双曲线。
代数式AC B -2值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数上的区别只在于方程系数AC B -2的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的：① 当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；② 当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；③ 当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。
另外，圆锥曲线还可用二次曲线：)0,0(02)1(2222>>=+-+-e p p px y x e 表示。
⑵在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：θρcos 1e ep-=① 当10<<e 时，该方程表示椭圆； ② 当1=e 时，该方程表示抛物线； ③ 当1>e 时，该方程表示双曲线。
利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。
（参看第二部分的“性质 2”）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹的观点看，圆锥曲线都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取植范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。
三、性质的统一：由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
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究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
返 首 页
利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
上课圆锥曲线的统一定义
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比 为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
思考
1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有 另一焦点，是否还有另一准线？ 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 3、题中的|MF|=ed的距离d到底是到哪一条准线 的距离？能否随意选一条？
1、对于焦点在x轴上的椭圆、双曲线有两个焦点，两条准线， 相对于焦点F2（c,0）的准线是x=a2/c；相对于焦点F1（-c,0） 的准线是x=-a2/c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
答案 8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向1 应用统一定义转化求最值
x2 y2 【例 3】 已知椭圆 ＋ ＝1 内有一点 P(1，－1)，F 是椭圆 8 6 的右焦点，在椭圆上求一点 M，使 MP＋2MF 的值为最小.
解
设 d 为 M 到右准线 l 的距离.
圆锥曲线又一个统一的几何性质
２ ｆ２２ ｙ＋ ２ ｍｙ － ｄ（ｌＹ ）
２ ‘ ｐａ一 ｄ・ｐｍ－ ｍ ２ ２ ２ － Ｏ，
③ 的两个根 ， 由根与 系数的关系得
一
－
＝
，
骊ｂ ａ ｄ ａ ２２ ２ ２ （－ ）
，
故ｋ Ｍ Ｂ ０， ：
故 尉
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅱ ＋ ＝ 逝 丝
，
把 点Ａ ，
即 ｔｎ／ＡＦ ｔｎ／ＢＦ ＝ ａ Ｘ＋ ａ Ｘ ０． 故 ｔｎ ａ
Ａ， 日两点 ． 则 ＡＦ 曰Ｆ Ｎ＝ Ｘ． 证明 设ＯＦ ＯＮ－ ．建 立直 角坐标 系 ＝ － ｄ
（孚 ）
＝
ｒ 上
２ １ 旦兰 （ ｌ ） ｍｙ ｙ
２ ２ Ⅱ ２ Ⅱ ｍａｂ（ ｄ） ２ ２２ ａｂｍｄ
点 ． ０ ＡＦ ＝＿ Ｆ 贝 Ｎ ／Ｂ Ｘ．
证 明 建 立 直 角 坐标 系如 图２ 示 ． 所 （２ｂ ） ａ＋ ｄ ａ （ － ） ｎⅡ ６
如 图１ 所示 ， 则抛物 线的方程 为
・ （ ） ，
则椭圆的方程为 ：
＋ ＝ ① ｌ
： ． ｜ Ｄ
即
＋ｐ ① ．又 直 线 曰过 ． － ｄ ２ａ ＆Ｎ（２ ，
定 理 ４ 圆 锥 曲线 的 一 个 类 焦 点 为 Ｆ 对 应 类 准 点 为 Ⅳ． 点Ⅳ的 直线 交 曲 线 ， 过 于Ａ， 两 点 ， 直 线 Ｆ Ｆ 与 曲 线 的对 称 Ｂ 则 Ａ， Ｂ 轴 俐 所 成 的角相 等 ． 特别地， 当Ａ， 两 点重 合 于一 点 时 ， Ｂ 直 线 Ｎ 与 圆 锥 曲线 相 切 于 点 ． 此 时 Ｍ ， 故 有 如下 结论 ： 上Ⅳ 定 理 ５ 圆 锥 曲线 的 一 个 类 焦 点 为
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质丁益民 (江苏省泰州市民兴实验中学 225300) 笔者通过对圆锥曲线的研究发现了下面的定理:定理1 如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括长轴端点),F 是椭圆的一个焦点, P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列的充要条件是P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分.证 (充分性)设椭圆的左准线的方程图1为l :x =-a2c ,若P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分,则每份长度为2a n -1.设P 1,P 2,…,P n -1,P n 在与F 相应的准线上的射影分别为P 1′,P 2′,…,P n -1,P n ′,由椭圆第二定义可知:P 1F P 1P 1′ = P 2F P 2P 2′ =…=P n -1FP n -1P n -1′ = P n F P n P n ′=e ,由此可得 P 1F =e P 1P 1′ =e (a 2c -a )=a -c ,P 2F =e P 2P 2′ =e (a 2c -a +2an -1×1)=a -c +2cn -1×1.……P n -1F =e P n -1P n -1′ =e [a 2c-a +2a n -1×(n -2)]=a -c +2cn -1×(n -2),P n F =e P n P n ′ =e [a 2c -a +2an -1×(n -1)]=a -c +2cn -1×(n -1).P n -1F - P n -2F = P n -2F - P n -3F =…= P 2F - P 1F =所以 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列.(必要性)若 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列,由椭圆第二定义可知即e P 1P 1′ ,e P 2P 2′ ,…,e P n -1P n -1′ ,e P n P n ′ 成等差数列,所以 P 1P 1′ , P 2P 2′ ,…, P n -1P n -1′ , P n P n ′ 成等差数列,P 2P 2′ - P 1P 1′ = P 3P 3′ - P 2P 2′ =…= P n -1P n -1′ - P n -2P n -2′ = P n P n ′ - P n -1P n -1′ ,即P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分.推论 椭圆x 2a 2+y 2b2=1上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括长轴端点),F 是椭圆的一个焦点,若P 1,P 2,…,P n -1,P n 在长轴上的射影将长轴n -1等分,则 P 1F + P 2F +…+ P n -1F + P n F =na .简证 由等差数列前n 项和公式有: P 1F + P 2F +…+ P n -1F + P n F=[a -c +a -c +2cn -1×(n -1)]n 2=2an 2=na .类比椭圆,对于双曲线与抛物线有定理2和定理3:定理2 双曲线x 2a 2-y 2b2=1的同一支上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括实轴端点),这些点在实轴上的射影为Q 1,Q 2,…,Q n -1,Q n ,点F 是双曲线的一个焦点,那么 P 1F , P 2F ,…, P n -1F , P n F 成等差数列的充要条件是Q 1Q 2=Q 2Q 3=…=Q n -2Q n -1=Q n -1Q n .定理3 抛物线y 2=2p x (p >0)上有n 个点P 1,P 2,…,P n -1,P n (包括顶点),这些点在对称轴上的射影为Q 1,Q 2,…,Q n -1,Q n ,点F 是抛物线的焦点, P 1F , P 2F ,…,・26・ 中学数学月刊 2007年第2期P n-1F , P n F 成等差数列的充要条件是Q1Q2=Q2Q3=…=Q n-2Q n-1=Q n-1Q n.圆锥曲线的这几个定理在高考中有着具体的应用,我们看下面两道高考题:例1 (2004年湖南卷)设F是椭圆x2 7+y26=1的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i(i=1,2,3,…),使 F P1 , F P2 , FP3 ,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为 .解析 由上面定理1的充分性证明可知, d =27-6n-1,由于n≥21,由椭圆的对称性以及命题可得d∈[-110,0)∪(0,110].例2 (2006年四川卷)如图2,把椭圆x2 25+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P77个点,F是椭圆的焦图2点,则 P1F + P2F+ P3F + P4F +P5F + P6F +P7F = .解析 将椭圆长轴8等分,说明椭圆上有9个点,分别为A,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,B,由定理1的推论易得:A F + P1F + P2F +…+ P7F +B F =9×5=45,而 AF + BF =2a=10,故 P1F + P2F + P3F + P4F +P5F + P6F + P7F =35.一个不等式的推广与引申罗会元 (江苏省淮阴中学 223002) 文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba+cb+ac≥13(a+b+c)(1a+1b+1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1 设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba+cb+ac≥yx+y(a+b+c)(1a+1 b+1c)+3(x-2y)x+y.(2)证明 a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(b-c)a2+(c2-b2)a+(b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b+c)a+bc]=(b-c)(a-b)(a-c),而a≥b≥c>0,所以a2b+b2c+c2a ≥ab2+bc2+ca2(当且仅当a=b或b=c或c=a时取“=”).因abc>0,对此不等式两边同除以abc,得ba+cb+ac≥ab+bc+ca.(*)设A=ba+cb+ac,B=ab+bc+ca,则A≥B,A≥33bacbac=3(当且仅当a=b=c>0时取“=”).将(a+b+c)(1a+1b+1c)展开即为A+B+ 3.因x≥y>0,2A≥A+B,所以A=2yx+yA+x-yx+yA≥yx+y(A+B)+x-yx+y3 =yx+y(A+B+3)+3(x-2y)x+y.即ba+cb+ac≥yx+y(a+b+・27・2007年第2期 中学数学月刊 。
圆锥曲线的共同性质
课堂互动讲练
考点突破 利用共同性质求方程
平面上， 动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 MF 线 l 的距离 d 之比 d ＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
例1 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0)，
x2 y2 例3 (本题满分 14 分)已知椭圆 ＋ 25 16 ＝1， 为椭圆上任意一点， 1， 2 为左、 P F F 右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求 点 P 的坐标．
【思路点拨】 出x. 设点P(x，y)，由焦半径公式求
【规范解答】 设点 P 的坐标为(x， y)． x2 y 2 ∵椭圆 ＋ ＝1， 25 16 ∴a＝5，b＝4，c＝3. 3 25 ∴e＝ ，准线方程为 x＝± .6 分 5 3 3 由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝ 5
圆锥曲线的焦半径、焦 点弦问题
圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的 问题常应用统一定义来解决． 圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题， 可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利 用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为 AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为 弦的两端点到准线的距离．
2． 圆锥曲线的焦点、 准线与曲线的相对 位置，曲线中与坐标系无关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心 c 率 e＝a，中心到焦点的距离 c，中心到 a2 准线的距离 c 等都是与坐标系无关的不 变量．
p 抛物线中焦点到顶点的距离 ，焦点到 2 准线的距离 p 也都是与坐标系无关的不 变量．
25 3 x＋ ＝ x＋5， 3 5
高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第2讲圆锥曲线的定义方程与性质
答案 A
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线
的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
4 3
又由|DF|=2,所以|NF|= 3 ,在等腰三角形
MNF 中,可
4
得|MF|= .
3
设
4
M(x0,y0),根据抛物线的定义,可得|MF|=x0+1=3,解
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形
π
AF1BF 为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
由直线 y=
π
3x 可知∠AOF=3,则|AF|=|OF|=|OA|=2
||
p=3.
P 在 x 轴的
突破点二 圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
x2 y2
x2 y2
[例 2—1]已知双曲线 C1: 2 − 2 =1(a>0,b>0)以椭圆 C2: + =1 的焦点为顶
4
3
a
b
点,左、右顶点为焦点,则双曲线 C1 的渐近线方程为(
A. 3x±y=0
B.x± 3y=0
.
答案 (1)ACD
(2)4
解析 (1)由题意知,m>0 且 m2-1>0.由已知可得 2 --1=1,解得 m=2 或 m=1(舍去负值),故椭圆
2
C 的方程为 3
2
+ 2 =1.
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。
如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
有心圆锥曲线的统一性质
化 简得 ‘ ＝
ｘ ｌ ｙ ２ －ｘ ￣ ｙ ｌ ａ ＋
十 ｙ２ ，
口 ＝一
，
代 入上 式得 Ｐ Ｆ ￣ ＋ Ｐ Ｆ ２ ＝ — Ｌ （ ａ ＋ ｅ ｘ ２ ） ＋ — 一（ ｏ — ｅ 衲） 其中 Ｙ ｌ （ ｌ ＋
，
＋ Ｙ２
ｙｌ － ｌ － ｙ ２
２ ０ １ ３ 年 ３月 ２ ８ １ ３
课例 交 流
有 圆锥曲线的统一性质
文／ 卢
摘
茜
要： 圆、 椭 圆和双 曲线这 三种具有对称 中心 的圆锥 曲线为有心圆锥 曲线． 受两道高考题 的启 示， 进 而引发联想 ， 对其加 以引 申推
广， 从 而归纳 出有心 圆锥 曲线 的一种定义形 式， 并 由此推 导出椭 圆、 双 曲线 的几个有趣性质． 并 ０ 用几何 画板软件 可 以很好地论证结论 的 正确性 ， 所以在研 究问题 的过程 中， 应该很好地利用 多媒体辅助 ， 又快又准． 关键词 ： 椭圆； 双 曲线 ； 焦半径 借助 “ 几何画板” ， 笔者近 １ ３ 在学 习和教学 中发现了有心 圆锥 ： 曲线 中一 组漂亮 的统一性质 ， 现与大家分享。
其 中ｙ １ ＝ ｋ ｘ ， ＋ ｍ， Ｙ ２ ＝ Ｊ ｊ ｝ ２ ＋ ｍ
一 一
ａ ［ ２ ２ ＋ ， ｎ （ ｌ ＋ ２ ） ＋ （ ２ 二 Ｌ ２ ］ ．
ｍ（ ｘ 】 ， Ｘ ２ ） ＋ 础（ ２ ＋ ｔ ） ＋ ２ ｍ ａ
ｃ ） ， （ ｃ ） ， 即
・
（ 口 ， ０ ） ， 过Ｙ 轴上任 意一 点 Ｍ（ Ｏ ， ｍ） 作 一直线 ， 交椭 圆与 ｃ ， Ｄ两 ： 点， 与 轴 交于点 Ｑ（ 异 于 Ａ， 两点 ） ， 连接
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第14课时 圆锥曲线的共同性质教案
第二章 圆锥曲线与方程
第14课时 圆锥曲线的共同性质
教学目标：
1.了解圆锥曲线的统一定义；
2.掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法.
教学重点：
圆锥曲线的统一定义
教学难点：
圆锥曲线的准线方程
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
圆锥曲线的统一定义：
Ⅲ.数学应用
例1：点M 与一定点F(c ，0)的距离和它到一定直线x =c a 2（0>>c a ）的距离的比是a
c ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
练习：点M 与一定点F(c ，0)的距离和它到一定直线x =c a 2（0>>a c ）的距离的比是a
c ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
例2：点P 与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程．
练习：点P 与一定点F(4，0)的距离和它到一定直线x =1的距离的比是2，求点P 的轨迹方程．
例3：求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）6222=+y x （2）1242
2=-y x
练习：求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）6222=-y x （2）12422=+y x
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P 49 习题2
1. 求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
（1）022=-y x （2）12422-=-y x
2. 求顶点在x 轴上，两准线间的距离为
532， e =45的双曲线的标准方程．
3. 求中心到准线的距离为
225，e =5
4的椭圆的标准方程．．。
高中数学圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质———由一道高考题引发出的思考衡阳县第三中学 吴伟昌题（2001年全国·理）：设抛物线y 2=2px （p>0）的一个焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴。
证明：直线AC 经过原点O 。
参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ， 过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||,||||||||||||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN ===根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC ||,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．近几年，笔者在高三复习备考教学中，对该题的条件与结论进行一番探究，编拟如下一组命题，从而得到圆锥曲线的一个统一性质。
命题1 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，经过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在椭圆的右准线 上，且BC ∥x 轴。
证明：直线AC 经过定点。
证明：如图，记x 轴与椭圆的右准线l的交点为E ,过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||||,||||||||||||AB AF BC NF AB BF AC CN AD EN ===根据椭圆的第二定义，ADAF BCBF e ==|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，∴直线AC 经过EF 的中点N 。
命题2 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，经过点F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，点C 在椭圆的右准线 上，且BC ∥x 轴。
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2.5
练
习
1. 若 椭 圆 的 长 轴 长 是 短 轴 长 的 4 倍 ， 一 条 准 线 方 程 是 y 4 ， 则 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ； 2.双曲线的两条准线把两焦点的连线三等分，则它的离心率是 2 2 3.若双曲线 2 x y k (k 0) 的焦点到它相应准线的距离是 2，则 k ； ；
答
抛物线上的点到一个定点的距离与它到一条定直
线(定点不在定直线上 )的距离相等，即这两个距离之
比为1.
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2.5
问题情境
问题2
F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M
到定点F的距离和它到定直线l的距离的比e是小于1 的常数．那么M点的轨迹是什么？若e>1呢？
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x2 y 2 （1） 16 9 1 ；
2 2 （3） x y 4 ；
则
；
x2 y 2 （2） 16 9 1 ；
2 x （4） 3 y
x2 y 2 3. 椭 圆 4 3 1 上 一 点 P 到 它 的 左 焦点 的 距 离 是 3 ， 那 么 点 P 到 它 的 左 准线 的 距 离 2
是
；
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2.5
数学运用
例1 （1）已知椭圆的左准线为 x 4 ，离心率 e 2 ，求椭圆的标准方程。 （2）已知双曲线 C 的渐近线是 4 x 3 y 0 ，一条准线为 y 5 ，求双曲线标准方程；
16
1
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2.5
数学运用
x2 y 2 例 2 双曲线 64 64 1 上一点 P 到它的右焦点的距离为 8， 那么点 P 到它的左准线的
距离是
.
x2 y 变题：已知椭圆 100 36 1 上有一点 P，到左、右两准线距离之比为 1：3，求点 P 坐
标及点 P 到左焦点的距离。
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2.5
数学运用
x2 y 2 练习： 在双曲线 12 13 1 的上支有不同的三点
A( x1 , y1 ), B(6, y2 ), C ( x3 , y3 ) 与焦点 F （5,0）
x2 y 2 **4.已知椭圆 4 3 1 ，能否在椭圆上找到一点 M ，使 M 到左准线的距离是到两焦点
F1 , F2 的距离的等比中项？
2 2 2 ( x 1) ( y 1) | x y 2 | 表示的曲线是 方程 ***5.
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2.5
探索求知
实例 动点 M 到定点 求点 M 轨迹方程. F(5,0)的距离与到定直线 x
5 16 5 的距离之比是 4 ，
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2.5
探索求知
问题 3 结合上面的实例，你会又怎样的猜想呢？你能证明吗？
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2.5
建构数学
圆锥曲线的统一定义
的距离成等差数列，求 x1 x2 .
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2.5
数学运用
x2 y 2 思考题：已知椭圆 C : 25 16 1 内有一点
A（2，1） ，F 是椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上 P 的坐标.
5 PA PF 的最小值及取到最小值时点 的动点，求 3
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圆锥曲线可以统一定义为：平面内到 一个定点F 和到 一条定直线l(F 不在 l 上 ) 的距离的比等于常数 e 的点的
轨迹．
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆； 当 e＝1 时，该圆锥曲线为抛物线； 当 e>1 时，该圆锥曲线为双曲线．
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பைடு நூலகம்.5
新知巩固
1.已知动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离的比为 2 ， 其中点 F 不在 l 上， 点 P 的轨迹是 2.求下列曲线的准线方程
第2章
圆锥曲线与方程
§2.5 圆锥曲线的共同性质
2.5
明目标、知重点
1.通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义. 2.理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决
实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统
一观点．
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2.5
问题情境
问题1 抛物线上的点满足什么条件？