2021年中考数学复习题 (33)
2021年中考数学考点复习-【三角形】专项复习
2021中考数学考点复习【三角形】专项训练一．选择题1．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S＝28cm2，则阴影部分的面△ABC积是（）A．21cm2B．14cm2C．10cm2D．7cm22．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC ＝24，则图中阴影部分的面积为（）A．4B．6C．8D．123．如图，在四边形ABCD中，AE＝EF＝FG＝GD，BH＝HI＝IJ＝JC，四边形ABHE，EHIF，FIJG，GJCD的面积分别为S1，S2，S3，S4，则这四个面积之间的关系正确的是（）A．S1S3＝S2S4B．S1S4＝S2S3C．S1+S3＝S2+S4D．S1+S4＝S2+S34．如图，将△ABC沿BC方向平移2BC长得到△DEF，若四边形ACFD的面积为12，△DEF的面积为（）A．6B．4C．3D．25．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．12B．14C．16D．186．如图，在△ABC中，点D将线段AB分成AD：BD＝2：1的两个部分，点E将线段BC分成BE：CE＝1：3的两个部分，若△ADF的面积是4，则△ACF的面积是（）A．B．18C．D．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S 1，S △BEO ＝S 2，S △BOC ＝S 3，S △COD ＝S 4，则S 1•S 3与S 2•S 4的大小关系为（ ）A ．S 1•S 3＜S 2•S 4B ．S 1•S 3＝S 2•S 4C ．S 1•S 3＞S 2•S 4D ．不能确定 8．如图，△ABC 的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1．再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．……按此规律，倍长2018次后得到的△A 2018B 2018C 2018的面积为（ ）A ．62017B ．62018C ．72018D ．820189．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝16cm 2，则阴影部分（△BEF ）的面积等于（ ）A ．2cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2D ．8cm 210．如图，AB ∥DC ，ED ∥BC ，AE ∥BD ，那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，△ABC中，D为BC上一点，且S△ABC＝12cm2，BD＝BC，则BC边上的中线为，S△ABD＝cm2．12．如图所示，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝4，现将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置．若平移的距离为3，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的阴影面积为．13．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE ＝75，则S△ABC＝．14．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于cm2．15．如图，△ABC中，点D、E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是．三．解答题16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，设AC＝x，BC＝y（1）求y与x之间的函数关系式；（2）令x+y＝m，①当m＝12时，求△ABC的周长；②求m的最小值．17．已知：A（﹣b，a），B（b，﹣b）满足+|b+1|＝0．（1）点A坐标为，点B坐标为．（2）若x轴上有一点M（m，0），设三角形ABM的面积为S1，三角形ABO面积为S2．①当m＞1时，求S1（用含m的式子表示）；②当S1＝2S2时，求点M的坐标．18．已知△OAB的三个顶点的坐标为O（0，0），A（﹣2，2），B（﹣3，﹣4）（1）在已指定的平面直角坐标系中画出△OAB；（2）求△OAB的面积S．△OAB19．如图：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是 ；在△AEC 中，CD 是 边上的高；（2）若AB ＝CD ＝2cm ，AE ＝3cm ，求△AEC 的面积及CE 的长．20．平面直角坐标系中，点A 坐标为（0，﹣2），B ，C 分别是x 轴、y 轴正半轴上一点，过点C 作CD ∥x 轴，CD ＝3，点D 在第一象限，S △ACD ＝S △AOB ，连接AD 交x 轴于点E ，∠BAD ＝45°，连接BD ．（1）请通过计算说明AC ＝OB ；（2）求证：∠ADC ＝∠ADB ；（3）请直接写出BE 的长为 ．参考答案一．选择题1．解：∵S △ABC ＝28cm 2，D 为BC 中点，∴S △ADB ＝S △ADC ＝＝14cm 2，∵E 为AD 的中点，∴S △BED ＝＝7cm 2，S △CED ＝S △ADC ＝7cm 2， ∴S △BEC ＝S △BED +S △CED ＝7cm 2+7cm 2＝14cm 2，∵F 为CE 的中点，∴S △BEF ＝S △BEC ＝7cm 2，故选：D ．2．解：连接DE ，作AF ⊥BC 于F ，设DE 和AF 相交于点I ，DG 和EH 相交于点O ，如图所示， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE ＝BC ，DE ∥BC ，AI ＝FI ，∴△ADE ∽△ABC ，AI ⊥DE ，∴△ADE 的面积＝24×＝6，∴四边形DBCE 的面积＝24﹣6＝18，∵HG ＝BC ，∴DE ＝HG ，∴△DOE 的面积+△HOG 的面积＝2×DE ×FI ＝△ADE 的面积＝6， ∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，故选：D ．3．解：连接AH 、HF 、FJ 、JD 、AJ ，如图所示：∵AE ＝EF ＝FG ＝GD ，BH ＝HI ＝IJ ＝JC ，∴S △AHE ＝S △FEH ，S △FHI ＝S △FJI ，S △ABH ＝S △AHJ ，S △JGF ＝S △JFA ， ∴S △FEH +S △FHI ＝S 四边形AHJF ＝S 2，S △ABH +S △JGF ＝（S △AHJ +S △JFA ）＝S 四边形AHJD ＝S 2，∴S 四边形ABJG ＝S 四边形AHJF +S △ABH +S △JGF ＝2S 2+S 2＝3S 2，即S 1+S 3＝2S 2，同理可得：S 2+S 4＝2S 3，∴S 1+S 3+S 2+S 4＝2S 2+2S 3，∴S 1+S 4＝S 2+S 3，故选：D ．4．解：∵△ABC 沿着BC 方向平移到△DEF 的位置， ∴AB ∥DE ，AB ＝DE ，∴四边形ABED 为平行四边形，连接AE ，又∵平移距离是边BC 长的两倍，即BE ＝2BC ＝2CE ， ∴S △ABC ＝S △ACE ，即S △ABE ＝2S △ABC ，又∵S △ABE ＝S △ADE ，∴S 四边形ACED ＝3S △ABC∵四边形ACFD 的面积为12，∴S 四边形ACED +S △ABC ＝S 四边形ACFD ＝4S △ABC ＝12 ∴S △ABC ＝S △DEF ＝3故选：C ．5．解：连接AE 和CD ，∵BD ＝AB ，∴S △ABC ＝S △BCD ＝1，S △ACD ＝1+1＝2，∵AF ＝3AC ，∴FC ＝4AC ，∴S △FCD ＝4S △ACD ＝4×2＝8，同理可以求得：S △ACE ＝2S △ABC ＝2，则S △FCE ＝4S △ACE ＝4×2＝8；S △DCE ＝2S △BCD ＝2×1＝2；∴S △DEF ＝S △FCD +S △FCE +S △DCE ＝8+8+2＝18．故选：D ．6．解：如图，作DH ∥AE 交BC 于H ．∵DH∥AE，∴＝＝2，设BH＝a，则EH＝2a，∵EC＝3BE，∴EC＝9a，∵EF∥DH，∴＝＝，∵S＝4，△ADF＝×4＝18，∴S△ACF故选：B．7．解：如图，连接DE，设S＝S′1，△DEO则＝＝，从而有S1′S3＝S2S4．因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．故选：C．8．解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A 1BC 、△A 1B 1C 、△AB 1C 、△AB 1C 1、△ABC 1、△A 1BC 1、△ABC 的面积都相等， 所以，S △A 1B 1C 1＝7S △ABC ，同理S △A 2B 2C 2＝7S △A 1B 1C 1，＝72S △ABC ，依此类推，S △A 2018B 2018C 2018＝72018S △ABC ，∵△ABC 的面积为1，∴S △A 2018B 2018C 2018＝72018．故选：C ．9．解：∵S △ABC ＝16cm 2，D 为BC 中点，∴S △ADB ＝S △ADC ＝＝8cm 2，∵E 为AD 的中点，∴S △BED ＝＝4cm 2，S △CED ＝S △ADC ＝4cm 2， ∴S △BEC ＝S △BED +S △CED ＝4cm 2+4cm 2＝8cm 2，∵F 为CE 的中点，∴S △BEF ＝S △BEC ＝4cm 2，故选：B ．10．解：∵AE ∥BD ，∴S △ABD ＝S △BDE ，∵DE ∥BC ，∴S △BDE ＝S △EDC ，∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ，∴与△ABD 面积相等的三角形有3个，故选：C ．二．填空题11．解：∵BD ＝BC ，∴D 是BC 的中点，∴AD 是BC 边上的中线，等底同高的两个三角形面积相等．∴S △ABD ＝S △ADC ＝S △ABC ＝6cm 2．故答案为AD ，6．12．解：∵∠B ＝90°，BC ＝4，AB ＝4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∵△A ′B ′C ′是△ABC 平移得到的，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠A ′B ′C ′＝90°，∴∠B 'OC ＝45°，∴△B 'OC 是等腰直角三角形，∵B 'C ＝BC ﹣BB ′＝4﹣3＝1，∴S △B 'OC ＝×1×1＝，即S 阴影＝，故答案为：．13．解：作DM ⊥BC 于M ，AN ⊥BC 于N ，如图所示：则∠CMD ＝∠BMD ＝∠ANE ＝90°，∵∠ABC ＝45°，∴△BDM 、△BAN 是等腰直角三角形，∴BM ＝DM ，BN ＝AN ，∵AE ⊥CD ，∴∠AEN +∠EAN ＝∠AEN +∠DCM ＝90°，∴∠EAN ＝∠DCM ，在△AEN 和△CDM 中，，∴△AEN ≌△CDM （AAS ），∴AN ＝CM ，EN ＝DM ，∴BN ＝CM ，∴BM ＝CN ，∴BM ＝DM ＝CN ＝EN ，∵BE ：CE ＝5：6，∴设BE ＝5a ，则CE ＝6a ，BC ＝BE +CE ＝11a ，BM ＝DM ＝CN ＝EN ＝CE ＝3a ，CM ＝BC ﹣BM ＝8a ， ∴CD 2＝DM 2+CM 2＝（3a ）2+（8a ）2＝73a 2，∵S △BDE ＝BE ×DM ＝×5a ×3a ＝75，∴a 2＝10，∵AE ⊥CD ，AE ＝CD ，∴S 四边形ADEC ＝CD ×AE ＝CD 2＝×73a 2＝×73×10＝365，∴S △ABC ＝S △BDE +S 四边形ADEC ＝75+365＝440；故答案为：440．14．解：如图，点F 是CE 的中点，∴△BEF 的底是EF ，△BEC 的底是EC ，即EF ＝EC ，而高相等，∴S △BEF ＝S △BEC ，∵E 是AD 的中点，∴S △BDE ＝S △ABD ，S △CDE ＝S △ACD ，∴S△EBC ＝S△ABC，∴S△BEF ＝S△ABC，且S△ABC＝4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为1．15．解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴S△AEC ＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，∴S△AEC ＝S△ABC＝×8＝2．故答案为：2．三．解答题16．解：（1）∵S△ABC＝AC•BC＝10，∴y＝（x＞0）．（2）①∵x+y＝12，xy＝20，∴＝＝2，∴C△ABC＝x+y+＝12+2．②m＝x+y＝＝．∵（x ﹣y ）2≥0，xy ＝20，∴m ＝≥＝4． ∴m 的最小值为4．17．解：（1）∵A （﹣b ，a ），B （b ，﹣b ）满足+|b +1|＝0． ∴a ﹣3＝0，b +1＝0，∴a ＝3，b ＝﹣1，故答案为（1，3），（﹣1，1）；（2）①由（1）可知A （1，3），B （﹣1，1），如图1，∵M （m ，0），m ＞1，∴KM ＝m +1，GM ＝3，∴S 1＝S 矩形KMGH ﹣S △KMB ﹣S △ABH ﹣△AGM ＝3（m +1）﹣（m +1）×1﹣×（1+1）×（3﹣1）﹣×3＝m +2，∴S 1＝m +2；②∵OK ＝OQ ＝1，KQ ＝AH ＝2，KH ＝3，BH ＝2，∴S 2＝矩形AHKQ ﹣S △BOK ﹣S △AOQ ﹣S △ABH＝2×3﹣﹣﹣ ＝2，∵S 1＝2S 2，∴S 1＝4，∵当m ＞1时，S 1＝m +2，∴m ＝2，∴此时M （2，0）；当m ＜﹣1时，如图2，∵M （m ，0），A （1，3），B （﹣1，1），∴MF ＝AE ＝1﹣m ，EM ＝AF ＝3，MD ＝﹣1﹣m ，DF ＝2，BD ＝1，∴S 1＝S 矩形AEMF ﹣S △AEM ﹣S △BMD ﹣S 梯形ABDF＝3（1﹣m ）﹣﹣（﹣1﹣m ）×1﹣（1+3）×2＝﹣2﹣m ，∵S 1＝2S 2，∴﹣2﹣m ＝4，∴m ＝﹣6，∴此时，M （﹣6，0），综上，当S 1＝2S 2时，点M 的坐标为（2，0）或（﹣6，0）．18．解：（1）所作的图如图所示．（2），，，＝15﹣2﹣6＝7．∴S△OAB19．解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；在△AEC中，CD是AE边上的高；故答案为：AB；AE；（2）∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S＝AE•CD＝3cm2，△AEC∵S＝AB•CE＝3cm2，△AEC∴CE＝3cm．＝3cm2，CE＝3cm．故S△AEC20．解：（1）∵点A 坐标为（0，﹣2） ∴OA ＝2∵CD ＝3∴， ∵S △ACD ＝S △AOB∴∴AC ＝OB（2）延长DC 至点H ，使得CH ＝OA ，连接AH∵OB ＝AC ，CD ∥x 轴∴∠HCA ＝∠AOB ＝90°在△ACH 和△BOA 中，∴△ACH ≌△BOA （SAS ）∴AH＝AB，∠HAC＝∠CAD，∠H＝∠CAB ∵∠H+∠HAC＝90°∴∠CAB+∠HAC＝90°∵∠BAD＝45°∴∠HAD＝∠BAD在△HAD和△BAD中，∴△HAD≌△BAD（SAS）∴∠ADC＝∠ADB（3）∵△HAD≌△BAD∴BD＝DH＝CD+CH＝3+2＝5∵CD∥OB∴∠ADC＝∠DEB∵∠ADC＝∠ADB∴∠BDE＝∠BED∴BE＝BD＝5故答案为5。
专题33第6章四边形之与正方形有关的其他题型备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(原卷版
33第6章四边形之与正方形有关的其他题型一、单项选择题1．如图,四边形ABCD 是正方形,E 是BC 的中点,连接AE 与对角线BD 相交于点G ,连接CG 并延长,交AB 于点F ,连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．42．如图,正方期ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 上,且22.5,BAE EF AB ︒∠=⊥为F ,那么EF 的长为〔 〕A ．2B 2．2．422-3．如图,正方形ABCD 的边长为12,BE ＝EC ,将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ,延长EF 交AB 于G ,连接DG ,现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB ＝2AG ；③∠GDB ＝45°；④S △BEF ＝725．在以上4个结论中,正确的有〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．44．如图,正方形ABCD 的边长为4,P 是对角线BD 上一点,PE //CD 于点E,PF //BC 于点F,连接AP,EF.给出以下结论：①PD 2EC =；②四边形PECF 的周长为8；③APD 一定是等腰三角形；④AP EF =；⑤EF 的最小值为2 2.其中正确结论的序号为( )A ．①②④⑤B ．①③④⑤C ．②④⑤D ．②③⑤5．如图,在正方形ABCD 中,点M 是AB 上一动点,点E 是CM 的中点,AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ,连接DE ,DF 给出结论：①DE EF =；②45CDF ∠=︒；③75AM DF =；④假设正方形的边长为2,那么点M 在射线AB 上运动时,CF 有最小值2．其中结论正确的选项是〔 〕A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6．如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点,连接AF 、DE 交于点P ,过B 作BG ∥DE 交AD 于G ,BG 与AF 交于点M ．对于以下结论：①AF ⊥DE ；②G 是AD 的中点；③∠GBP ＝∠BPE ；④S △AGM ：S △DEC＝1：4．正确的个数是〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图,在正方形ABCD 中,点E 是边BC 上的点,且CE =2BE ,连接AE 、DE ,分别交BD 、AC 于点P 、Q ,过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ,以下结论：①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°；②AP =FP ；③AE =1510AO ；④假设四边形OPEQ 的面积为2,那么该正方形的面积为36；⑤CE ·EF =EQ ·DE ．其中正确的结论有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点P 为线段AB 上的动点,E 为AD 的中点,射线PE 交CD 的延长线于点Q ,过点E 作PQ 的垂线交CD 于点H 、交BC 的延长线于点F ,那么以下结论：①AEP CHF ；②EHQ CHF ；③当点F 与点C 重合时3PA PB ；④当PA PB =时,22CF =．成立的是( )A．①③④B．②③④C．①③D．②④二、填空题9．如图,矩形ABCD中,3AB=,4BC=,点M,N分别在边AD,BC上,沿着MN折叠矩形ABCD,使点A,B分别落在E,F处,且点F在线段CD上〔不与两端点重合〕,过点M作MH BC⊥于点H,连接BF．当四边形CDMH为正方形时,NC=______；假设13DF DC=,那么折叠后重叠局部的面积为______．10．如图,将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFC的位置,那么图中阴影局部的面积为_______．11．如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,以下结论：①BE＝DF,②∠AEB＝75°,③EG＝FG且∠AGE＝90°,④BE＝FG⑤S△ABE＝12S△CEF．其中正确结论是_____〔填序号〕．12．如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点．假设△CEF 的周长为18,那么OF的长为_____________________ ．13．如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAC交BD于点E,那么BE的长为_________．14．如图,正方形ABCD中,AB＝3,点E为对角线AC上一点,EF⊥DE交AB于F,假设四边形AFED的面积为4,那么四边形AFED的周长为______．15．如图,正方形ABCD的边长为1,AC、BD是对角线,将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG．那么以下结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣22；③∠AFG＝135°；④BC+FG3_____．〔填入正确的序号〕16．如图,以Rt ABC的斜边AB为一边,在AB的右侧作正方形ABED,正方形对角线交于点O,连接CO,如果AC=4,CO=62,那么BC=______．三、解做题17．正方形ABCD,点E在AB上,点G在AD,点F在射线BC上,点H在CD上．〔1〕如图1,DE⊥FG,求证：BF＝AE+AG；〔2〕如图2,DE⊥DF,P为EF中点,求证：BE＝2PC；〔3〕如图3,EH交FG于O,∠GOH＝45°,假设CD＝4,BF＝DG＝1,那么线段EH的长为．18．正方形ABCD中AC与BD交于点O,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于点E,过D作DH⊥AE 于H,设直线DH交AC于点N．〔1〕如图1,当M在线段BO上时,求证：OM＝ON；〔2〕如图2,当M在线段OD上,连接NE和MN,当EN//BD时,求证：四边形DENM是菱形；〔3〕在〔2〕的条件下,假设正方形边长为4,求EC的长．19．如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且∠EAF＝45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ．〔1〕求证：EA是∠QED的平分线；〔2〕BE＝1,DF＝3,求EF的长．20．如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点〔不与点B、C重合〕,垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．〔1〕求证AE＝MN；〔2〕如图2,假设垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F．求∠AEF 的度数；〔3〕如图3,假设该正方形ABCD边长为10,将正方形沿着直线MN翻折,使得BC的对应边B′C′恰好经过点A,过点A作AG⊥MN,垂足分别为G,假设AG＝6,请直接写出AC′的长________．21．如图,在平面直角坐标系中,边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O=上时停止在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转,旋转角为θ,当点A第一次落在直线y x=于点M,BC边交x轴于点N．旋转,旋转过程中,AB边交直线y xθ=︒时,求点A的坐标；〔1〕假设30△的周长为P,在旋转正方形OABC的过程中,P值是否有变化？请证实你的结论；〔2〕设MBN22．在ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D为直线BC上一动点〔点D不与B,C重合〕,以AD为边在AD 的右侧作正方形ADEF,连接CF．〔1〕观察猜测如图1,当点D在线段BC上时,①BC 与CF 的位置关系为： ；②BC,CD,CF 之间的数量关系为： ．〔将结论直接写在横线上〕〔2〕数学思考 如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,结论①②是否仍然成立？假设成立,请给予证实：假设不成立,请你写出正确结论再给予证实,〔3〕拓展延伸如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G,连接GE ．假设AB ＝22,CD ＝1,请求出GE 的长．23．如图1,正方形ABCD 顶点A ,B 分别在y 轴和x 轴上,边CD 交x 轴的正半轴于点E ．〔1〕假设()20,45A a a -+,且32a =,求A 点的坐标．〔2〕在〔1〕的条件下,假设34AO EO =,D 点的坐标．〔3〕如图2,连结AC 交x 轴于点F ,点H 是A 点上方轴上一动点,以AF ,AH 为边作平行四边形AFGH ,使G 点恰好落在AD 边上．求证：22224HG DG BF +=．24．,四边形ABCD是正方形,点E是正方形ABCD所在平面内一动点〔不与点D重合〕,AB＝AE,过点B作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF．提出问题：当点E运动时,线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：〔1〕首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合〔如图①〕时,点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；〔2〕然后考察点E的一般位置,分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点〔如图②〕时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点〔如图③〕时．在情况1或情况2下,线段CF与线段DE之间的数量关系与〔1〕中的结论是否相同？如果都相同,请选择一种情况证实；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同,请说明理由；拓展问题：〔3〕连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．25．如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD上两点,BE交AF于点G,且DE=CF．〔1〕写出BE与AF之间的关系,并证实你的结论；〔2〕如图2,假设AB=2,点E为AD的中点,连接GD,试证实GD是∠EGF的角平分线,并求出GD的长．26．根底探究：如图①,在正方形ABCD中,点E为AD上一点,DF⊥CE交AB于F,垂足为点O．求证：CE ＝DF．应用拓展：如图②,在正方形ABCD中,点E为AD上一点,FG⊥CE分别交AB、CD于F、G,垂足为点O．假设正方形ABCD的边长为12,DE＝5,那么四边形EFCG的面积为_______．。
2021年中考数学真题 二次函数图象性质与应用(共38题)-(原卷版)
13二次函数图象性质与应用（共38题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·山东泰安市·中考真题）将抛物线223y x x =--+的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）A ．(2,2)-B ．(1,1)-C ．(0,6)D ．(1,3)-2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值63．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0abc >B ．函数的最大值为a b c -+C ．当31x -时，0yD ．420a b c -+<4．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大5．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---6．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =-- D ．11y x =-和21y x =-+7．（2021·上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变8．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-9．（2021·天津中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；①24b ac <；①23c b <；①2()a b m am b +>+（1m ≠）；①若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）A ．y x =-B ．1y x =C ．2y xD ．1y x=- 12．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知6OA =，8OB =，2BC =，P 与OB 、AB 均相切，点P 是线段AC 与抛物线2y ax =的交点，则a 的值为（ ）A ．4B ．92 C ．112 D ．513．（2021·四川资阳市·中考真题）已知A 、B 两点的坐标分别为()3,4-、()0,2-，线段AB 上有一动点(),M m n ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线2(1)2y a x =-+于()11,P x y 、()22,Q x y 两点．若12x m x <≤，则a 的取值范围为（ ）A ．342a -≤<-B ．342a -≤≤-C ．302a -≤<D ．302a -<< 14．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞4B ．a ＞0C ．0＜a ≤4D ．0＜a ＜415．（2021·浙江中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1PAB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；①当122x x <-时，12S S <；①当12221x x ->->时，12S S >；①当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A ．23πB ．12πC ．1116πD ．2132π 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题17．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y x x k =++与x 轴只有一个交点，则k =_______．18．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；①0a b c -+=；①y 的最大值为3；①方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．19．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．20．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________．21．（2021·安徽）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．22．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则b a的值是____． 23．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图（1），在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x AD =，y AE CD =+，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点()0,2，则图象最低点的横坐标是__________．24．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论：①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-；①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >． 其中正确的是__________（填写序号）．三、解答题25．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．26．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228=-++与x轴交于点A、B（其中Ay x x在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC'△与POB相似且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于x的一元二次方程20+-=．x x m（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）二次函数2y x x m =+-的部分图象如图所示，求一元二次方程20x x m +-=的解．28．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；①将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值． 29．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围． 30．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）b =________，c =________；（2）若点D 在该二次函数的图像上，且2ABD ABC S S =，求点D 的坐标；（3）若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且APC APB SS =，直接写出点P 的坐标． 31．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，二次函数()()1y x x a =--（a 为常数）的图象的对称轴为直线2x =．（1）求a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．32．（2021·浙江金华市·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．33．（2021·浙江温州市·中考真题）已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围， 34．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元． （1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）35．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二次函数265=-+-．y x x（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当14≤≤时，函数的最大值和最小值分别为多少？x（3）当3≤≤时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．t x t+36．（2021·浙江中考真题）如图，已知经过原点的抛物线2=+与x轴交于另y x mx2一点A(2，0)．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．37．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？38．（2021·山东临沂市·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？。
2021年河南省中考数学复习题及答案 (31)
2021年中考数学复习题
14．（4分）如果4x2m+2y n﹣1与﹣3x3m+1y3n﹣5是同类项，则m﹣n的值为﹣1．【解答】解：单项式4x2m+2y n﹣1与﹣3x3m+1y3n﹣5是同类项，
∴2m+2＝3m+1，n﹣1＝3n﹣5，
解得：m＝1，n＝2．
∴m﹣n＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图，AB＝10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线段CD长5cm．
【解答】解：∵C为AO的中点，D为OB的中点，
∴CO=1
2AO，OD=
1
2OB
∴CD＝CO+OD=1
2•AO+
1
2•OB=
1
2（AO+OB）=
1
2•AB=
1
2•10＝5cm．
故答案为：5cm．
16．（4分）已知x＝2是关于x的一元一次方程mx﹣2＝0的解，则m的值为1．【解答】解：将x＝2代入mx﹣2＝0
2m﹣2＝0
m＝1
故答案为：1
17．（4分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是365．
【解答】解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32＝9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52＝25，其中黑色的有13块，
…
第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2+1]， 当n ＝14时，黑色地砖的块数有12[（2×14﹣1）2+1]=12×730＝365． 故答案为：365．。
2021年中考数学专题复习：四边形 试题精选汇编(含答案解析)
2021年中考数学专题复习：四边形试题精选汇编一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010 7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5 9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm 10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE 15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50 17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5 19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4 20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6 22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1 27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96 28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 29．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个30．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°二．填空题（共4小题）31．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．32．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为．33．（2020•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．34．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE ∥AB，则OE的长是．三．解答题（共16小题）35．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．36．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．37．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．38．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH 中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．39．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．40．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．41．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．42．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．43．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．44．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．45．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．46．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．47．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．48．（2020•湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．49．（2020•宜昌）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k•DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．50．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【答案】B【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【答案】A【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】B【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010【答案】B【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝1×1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝2×1＝1，同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④【答案】A【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【答案】A【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选：A．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【答案】D【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，AD＝＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【答案】D【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【答案】D【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，。
2021年中考数学专题复习：全等三角形(含答案)
2020-2021中考专题复习：全等三角形一、选择题1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是()A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′2. 如图所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE4. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.56. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.10. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.12. 如图，已知CD＝CA，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是__________(只需写出一个条件)．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．14. 如图，AB∥CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则∠BPD的度数为________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题17. 如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)求证:BE=DE.18. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.(1)求证:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数.19. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？20. 观察与类比(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；(2)如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．21. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.22. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2020-2021中考专题复习：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】D[解析] 与已知三角形全等的三角形有△DCB，△BAD，△DCE，△CDA.3. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.4. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5.∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.6. 【答案】C7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.10. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.11. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．12. 【答案】答案不唯一，如CE＝CB[解析] 由∠1＝∠2，可得∠DCE＝∠ACB，又∵CD＝CA，∴添加CE＝CB，可根据“SAS”判定两个三角形全等．13. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)14. 【答案】90°[解析] ∵点P到AB，BD，CD的距离相等，∴BP，DP分别平分∠ABD，∠BDC.∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.∴∠PBD＋∠PDB＝90°.故∠BPD＝90°.15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】32°[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC 于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.∴∠PCF＝12∠ACF，∠PBF＝12∠ABC.∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝12(∠ACF－∠ABC)＝12∠BAC＝32°.三、解答题17. 【答案】证明:(1)在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)知∠BAE=∠DAE. 在△BAE 与△DAE 中，∴△BAE ≌△DAE (SAS)， ∴BE=DE.18. 【答案】解:(1)证明:∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠DBE ， 在△ABE 和△DBE 中，∴△ABE ≌△DBE (SAS). (2)∵∠A=100°，∠C=50°， ∴∠ABC=30°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠DBE=∠ABC=15°，在△ABE 中，∠AEB=180°-∠A -∠ABE=180°-100°-15°=65°.19. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．20. 【答案】解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°， ∴∠AED ＝∠AEF ＝∠ACB ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL)．∴CF ＝EF. 在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AC ，∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)． ∴DE ＝BC. ∵DF ＝DE ＋EF ， ∴DF ＝BC ＋CF. (2)BC ＝CF ＋DF. 证明：如图，连接AF.在Rt △ABC 和Rt △ADE 中， ⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AE ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL)． ∴BC ＝DE.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°＝∠AED. 在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌△AEF(HL)． ∴CF ＝EF.∵DE ＝EF ＋DF ，∴BC ＝CF ＋DF.21. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.22. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.。
2021年九年级中考数学复习：四边形专练
11．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BO的长为（ ）
A．5B．8C．10D．11
12．如图，在 中， ，点 是斜边 的中点，分别以点 ， 为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ， ， 得到四边形 ，依次连接四边形 四条边中点得到四边形 ，若 ，那么四边形 的周长为（）
A． B． C． D．
13．如图，菱形 的边长为 ，对角线 ， 交于点 ， ，则菱形 的面积为（）
A． B． C．2D．4
14．如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 、 的中点， 于点P，则 的度数是（）．
A．50°B．45°C．40°D．30°
15．如图，在矩形 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，若 ， ，则 等于（）
A．5B．6C．7D．8
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（ ）
A． B． +1C． D．
17．如图，边长为 的正方形 的对角线 与 交于点 ，将正方形 沿直线 折叠，点 落在对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ，则 长是（）．
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A，D在反比例函数 的图象上，对角线 平行x轴，点O在 上，且 ，连接 ， ，若 ，则k的值为（）
A．25B． C．45D．
24．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 在y轴的正半轴上，反比例函数 的图像分别交 于中点D，交 于点E，且 ，连接 ，若 ，则k的值为（）
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为（ ）
2021年九年级中考数学复习 专题汇编：与圆有关的位置关系(含答案)
2021中考数学专题汇编：与圆有关的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°5. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤298. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为()A. 12B.22C.32D.339. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm10. (2019•仙桃)如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD∥OC，直线⊥；CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是O的切线；②CO DB⋅=⋅．其中正确结论的个数有③EDA EBD△∽△；④ED BC BO BEA．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.12. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．13. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A上，点________在⊙A 外．14. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE 是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．18. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题） 19. 2018·邵阳 如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线．20. 2019·天津如图，已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C为⊙O 上一点．(1)如图①，求∠ACB 的大小；(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D.若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．21. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).22. 2018·北京 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d (M ，N )．已知点A (－2，6)，B (－2，－2)，C (6，－2)． (1)求d (点O ，△ABC )；(2)记函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象为图形G .若d (G ，△ABC )＝1，直接写出k 的取值范围；(3)⊙T 的圆心为T (t ，0)，半径为1.若d (⊙T ，△ABC )＝1，直接写出t 的取值范围．2021中考数学 专题汇编：与圆有关的位置关系-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】A[解析]连接DO ，∵AD ∥OC ，∴∠DAO=∠COB ，∠ADO=∠DOC ，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝180°－50°2＝65°.解图5. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA ＝12＋22＝ 5.因为OE ＝2＜OA ，所以点E 在⊙O 内； OF ＝2＜OA ，所以点F 在⊙O 内； OG ＝1＜OA ，所以点G 在⊙O 内； OH ＝22＋22＝2 2＞OA ， 所以点H 在⊙O 外． 故选A.6. 【答案】C [解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】B[解析] 如图，∵AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ，∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．8. 【答案】A【解析】如解图，连接OC ，∵EC 切⊙O 于C ，∴∠OCE ＝90°，∵OA ＝OC ，解图∴∠ACO ＝∠A ＝30°，∴∠COE ＝∠ACO ＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E ＝180°－∠OCE －∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt △COE 中，sin ∠E ＝sin30°＝12.9. 【答案】B [解析] 如图，连接OC ，并过点O 作OF ⊥CE 于点F . ∵△ABC 为等边三角形，边长为4 cm ， ∴△ABC 的高为2 3 cm ，∴OC ＝ 3 cm. 又∵⊙O 与BC 相切于点C ，∠ACB ＝60°，∴∠OCF ＝30°.在Rt △OFC 中，可得FC＝32 cm ， ∴CE ＝2FC ＝3 cm.10. 【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒， ∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确， ∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒， ∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△，∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A，PB是☉O的切线，∴P A=PB.∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°.∵∠DAB+∠C=180°，∴∠P AD+∠C=∠P AB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】1613. 【答案】O B，D C[解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO ＝DO.设AO＝BO＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x＝22(负值已舍去)，∴AO＝22＜1，AC＝2＞1，∴点O在⊙A内，点B，D在⊙A上，点C在⊙A外．14. 【答案】BD＝CD或AB＝AC(答案不唯一)[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．15. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.17. 【答案】0<DO<33或2 33<DO<3[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝1，AD＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO<33时，⊙O与△ABC的BC边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO＝33时，⊙O与△ABC的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.18. 【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：连接OC.∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．20. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB ＝12∠AOB ＝50°.(2)如图②，连接CE .∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ACE ＝90°.∵∠ACB ＝50°，∴∠BCE ＝90°－50°＝40°，∴∠BAE ＝∠BCE ＝40°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝70°，∴∠EAC ＝∠ADB －∠ACB ＝20°.21. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.22. 【答案】解：(1)如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，∴d (点O ，△ABC )＝2.(2)如图，函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段． 当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(1，－1)时，k ＝－1，此时d (G ，△ABC )＝1；当函数y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k ＝1，此时d (G ，△ABC )＝1.∴－1≤k≤1.又∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如图，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4.②当⊙T在△ABC的内部时，当点T与原点重合时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝0；当点T位于T3位置时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T3M＝2.∵AB＝BC＝8，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠T3DM＝45°，则T3D＝2 2，∴t＝4－2 2.故此时0≤t≤4－2 2.③当⊙T在△ABC的右侧时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T4N＝2.∵∠T4DC＝∠C＝45°，∴T4D＝2 2，∴t＝4＋2 2.综上，t＝－4或0≤t≤4－2 2或t＝4＋2 2.。
专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。
它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。
常以压轴题身份出现。
本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。
一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（ ）A．B．C．D．思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．解：令3x＝x+2，解得x＝1，直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；当x＞1时，3x＞x+2，故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．故选：C．总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．解：∵a●b＝a，a□b＝b，∴（2020□2021）●（2021□2020）＝2021●2020＝2021．故答案为：2021．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF 的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为 ．思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∴∠FEM＝45°，∴∠DEF＝∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝67.5°，∵∠BFE＝∠FEM+∠M，∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，∴∠M＝22.5°．故答案为：22.5°．总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算A n m＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝ ．思路引领：将n＝4，m＝2代入公式求解可得．解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．5．（2022春•塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＞0的解集为 ．思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得．解：不等式x⊕4＞0化为：2x+12＞0，2x＞﹣12，x＞﹣6，故答案为：x＞﹣6．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11―x称为x的差倒数，如2的差倒数是11―2=―1，﹣1的差倒数为11―(―1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为 ．思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．解：∵x1=1 3，∴x2=11―13=32，x3=11―32=―2，x4=11―(―2)=13，……，∴每3次运算结果循环出现一次，∵2022÷3＝674，∴x2022＝x3＝﹣2，∴x2022的值为﹣2，故答案为：﹣2．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．三．解答题7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出两个“极数” ， ；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 ．思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；（2）由“极数”的定义可得出n＝99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论．解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，故答案为1287，2376；（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为ab(9―a)(9―b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数），则ab(9―a)(9―b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1），∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数，∴10a+b+1是整数，∴任意一个“极数”都是99的倍数．（3）设四位数m为xy(9―x)(9―y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），∵四位数m为“极数”，D（m）=m 33，∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）．∵D（m）是完全平方数，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，∴m可以为1188或2673或4752或7425．总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值．8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为 ．思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；（2）根据“纯数”的定义求解；（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数．解：（1）∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，∴2022是“纯数”；（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，故答案为：13．总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．思路引领：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解．解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，故答案为25；（2）①当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：AD ＝2，BC ＝4；②当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC 、“半高”CD 为腰上的高，如图2，当△ABC 为锐角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，在Rt △ADC 中，AD =AC 2―CD 2=23，在Rt △BCD 中，BC =BD 2+CD 2=(4―23)2+22=26―22；如图3，当△ABC 为钝角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，同理可得：BC ＝26+22；故答案为：4或26+22或26―22；（3）将抛物线的表达式y ＝x 2与直线方程y ＝x +2联立并解得：x ＝﹣1或2，即：点R 、S 的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS ＝32，则RS 边上的高为：12×32=322，则点Q 在于RS 平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS 与y 轴交于点N ，故点N 作NQ ⊥TQ 于点Q ，则NQ =322，则QT =QH sin45°=3，点T （0，5），则点M （0，5），点M 于点T 重合，则点Q 的直线方程为：y ＝x +5，当该直线在直线RS 的下方时，y ＝x ﹣1，故点Q 所在的直线方程为：y ＝x +5或y ＝x ﹣1；如图4，当点P 介于点R 与点S 之间时，设与RS 平行且与抛物线只有一个交点P ′的直线方程为：y ＝x +d ，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x 2﹣x ﹣d ＝0，△＝1+4d ＝0，解得：d =―14，此时，x 2﹣x +14=0，解得：x =12，点P ′（12，14），此时，P （P ′）Q 取得最小值．总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解．10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a +c 3，y =b +d 3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A ＝（﹣1，8），B ＝（4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =―1+43=1，y =8+(―2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l ：y ＝2x +3上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；（2）①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；②图中，当∠TDH＝90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可．解：（1）∵A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13×（5+7）＝4，∴点C是点A、B的融合点；（2）①∵点T（x，y）是点D，E的融合点，∴x=13（3+t），y=13（0+2t+3），∴y＝2x﹣1；②如图，当∠TDH＝90°时，∴点T、D横坐标相同，x T＝x D＝3，∴y T＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），∵点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴3=13（3+t），∴t＝6，∴点E（6，15），设直线ET的解析式为：y＝kx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k+b=153k+b=5，解得：k=103b=―5，∴直线ET的解析式为：y=103x﹣5．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．思路引领：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m=5―132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），∴当5―132≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB 与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC=BDCE=59，∵QB＝6，∴NC=54 5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108 5，∴AB＝AC=108 5．总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．思路引领：（1）证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再证明△CDE是等边三角形即可．（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，满足条件．（3）①分两种情形：如图3中，当∠CDB＝90°时，如图4中，当∠CBD＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴△CDE是等边三角形，∴四边形ADEC为理想四边形；（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，当点C 在BCD 上时，∠DCB =12∠DOB ＝60°，故四边形ABCD 为理想四边形．（3）①当∠CDB ＝90°时，如图3中，∵∠CDB ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝3，∴BD ＝BC •sin60=332，∠CBD ＝30°，∵△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD =332，∠ABD ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∴AC =AB 2+BC 2=(332)2+32=372；当∠CBD ＝90°时，如图4中，同法可得AC =AD 2+CD 2=(33)2+62=37；综上所述，AC 的值为372或37．②如图5中，结论：x 2+xy +y 2＝z 2．理由如下：以CD 为边作等边△ECD ，连接BE ，作EF ⊥BC 交BC 的延长线于F ．∵∠EDC ＝∠ADB ＝60°，∴∠EDB ＝∠CDA ，∵ED ＝CD ，BD ＝AD ，∴△EDB ≌△CDA （SAS ），∴AC ＝BE ＝z ，∵∠ECD ＝∠DCB ＝60°，CD ＝CE ＝x ，∴∠ECF ＝60°，∠CEF ＝30°，∴CF=12EC=12x．EF=3CF=32x．在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（32x）2+（y+12x）2，整理得：x2+xy+y2＝z2．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是 ．思路引领：（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=OP2―PH2=22―12=3，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜―3．（3）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（33，1），∴CH=33，OH＝1，∴tan∠COH=CHOH=33，∴∠COH＝30°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝60°，∴OB=PBcos60°=433，此时t=433―2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A 经过原点时，A （2，0），此时t ＝2，观察图形可知，满足条件的t 的值为：433―2＜t ≤2，综上所述，满足条件t 的值为﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433故答案为：﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M ，N 可以重合）使得AM ＝2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系．（1）如图1，点C （3，0），D （0，﹣1），E （0，1），点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接OP ，DP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ；线段DP 的取值范围是 ；②在点O ，点D 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且FG ∥EC ，若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）⊙O 的半径为r （r ＞0），点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，DP 的最大值，最小值即可解决问题；②根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k 相等计算设FG 的解析式为：y =―33x +b ，得G （0，b ），F （3b ，0），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．解：（1）①如图1中，∵点C（3，0），E（0，1），∴OE＝1，OC=3，∴EC＝2，∠ECO＝30°，当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°=DP DE，∴DP2=32，∴DP=3，当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，∴线段DP的取值范围是：3≤DP≤2；故答案为：32，3，3≤DP≤2；②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM＝2DN，如图3，故点D与线段DE满足限距关系；故答案为：O和D；（2）∵点C（3，0），E（0，1），∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，+m=01，解得：k=―33m=1，∴直线CE的解析式为：y=―33x+1，∵FG∥EC，∴设FG的解析式为：y=―33x+b，∴G（0，b），F（3b，0），∴OG＝b，OF=3b，当0＜3b＜1时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1―3b，最大距离为1+3b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+3b≥2（1―3b），解得3b≥1 3，∴b的取值范围为13≤3b＜1；当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴3b+1≥2（3b﹣1），而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，∴3b＞6时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b≥1 3；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r ﹣4，最大值为2r +4，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r +4≥2（2r ﹣4），解得r ≤6，故r 的取值范围为0＜r ≤6．总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．16．（2022•西城区校级模拟）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x 1≠x 2．若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k （P ，Q ）．由定义可知，k （P ，Q ）＝k （Q ，P ）．例：若P （1，0），Q （3，12），有|0―12|=14|1﹣3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A （1，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （2，12）．（1）在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；（3）⊙O 半径为3，点M 为⊙O 上一点，满足MT ＝1的所有点T ，都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k （T ，C ）≥1，直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E （x ，y ），由题意可得|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，求解方程即可求点E 的坐标；（3）由题意可知C 点在直线y ＝﹣x 上，T 点在以M 为圆心1为半径的圆上，M 点在以O 为圆心3为半径的圆上，则T 点在以O 为圆心2为半径的圆上或以O 为圆心4为半径的圆上，当T 点在直线y ＝﹣x 上时，k ＝1，再由k （T ，C ）≥1，可知T 点在直线y ＝﹣x 的上方，T 点在直线y ＝﹣x 的上方，直线y ＝x ﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部．解：（1）A （1，0），C （2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，∴A 、C 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A （1，0），D （2，12），有|0―12|=12|1﹣2|，∴A 、D 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；故答案为：A 、C 或A 、D ，2或12；（2）设E （x ，y ），∴|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，∴|x ﹣1|＝|x ﹣2|，解得x =32，∴y ＝±12，∴E （32，12）或（32，―12）；（3）∵C （2，﹣2），∴C 点在直线y ＝﹣x 上，∵MT ＝1，∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线y＝﹣x上时，设T（m，﹣m），∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，∴k＝1，∵k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，∴―322≤x M≤4．总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关键．17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有 D2 ；（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b （k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．思路引领：（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，求出△PAB的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，设当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y＝x+1．故答案为D2．（2）如图2中，设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，∴1+b＝2，∴b＝1，∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+1，∴A（1，0），当△BPA的面积＝6时，12•AB•2＝6，∴AB＝6，∴B（﹣5，0）或（7，0），当y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（﹣5，0）时，―k+b′=2―5k+b′=0解得k=1 2，当直线y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（7，0）时，―k+b′=27k+b′=0，解得k=―1 4，观察图形可知满足条件的k的值为―14≤k≤12且k≠0．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，连接TM，在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，∴MT＝MC＝1，∴TC=2TM=2，∴OT＝2―2，此时t＝2―2．当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，同理可得OT′＝2+2，此时t＝2+2，结合图象可知满足条件的t的值为：2―2≤t≤2+2．总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=―x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质： ；②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x―1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；（3）根据图象求整点坐标即可．解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，解得b=―6 c=9，∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；（2）如图所示：①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；（3）如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）．总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．19．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．思路引领：（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问。
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：线段垂直平分线性质的应用(附答案)
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：线段垂直平分线性质的应用（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．9C．10D．112．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°3．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC 于点E，则△BEC的周长为（）A．13B．14C．15D．166．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°7．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点．A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝（）A．80°B．60°C．50°D．40°9．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm10．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC 于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．11．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．12．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝．13．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝°．15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．16．如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE ＝50°，则∠BAC＝度，若△ADE的周长为19cm，则BC＝cm．17．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠P AQ的度数是．18．在△ABC中MP，NO分别垂直平分AB，AC．若∠BAC＝106°，则∠P AO的度数是．19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为．20．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于．21．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为．22．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B ＝40°，则∠A＝度．23．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于E、F，垂足分别为点M、N，若∠BAC+∠EAF＝144°，则∠BAC的度数为．24．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为．25．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于．26．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．若△AEF的周长为10cm，则BC的长为cm．27．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．29．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．30．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．31．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．32．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD 于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．33．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．34．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC 于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．35．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．参考答案1．解：设AB的中垂线与AB交于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．故选：C．2．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝24°，∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，故选：A．3．解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，故选：A．4．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，故选：B．5．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，∵腰长AB＝8，∴AC＝AB＝8，∴△BEC周长＝8+5＝13．故选：A．6．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：B．7．解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：B．8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝40°，故选：D．9．解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，∵△ADC的周长为9cm，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．故选：C．10．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案为：10．11．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，故答案为：13．12．解：连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝6，AC＝3，∴BE＝1.5．故答案为：1.5．13．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，故答案为：15．14．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠AED＝90°，∴∠A＝∠ABD，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，故答案为：15．15．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19．16．解：①∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC（等边对等角），∵∠BAC＝∠DAE+∠BAD+∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE+∠B+∠C；又∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠DAE＝50°，∴∠BAC＝115°；②∵△ADE的周长为19cm，∴AD+AE+DE＝19cm，由①知，AD＝BD，AE＝EC，∴BD+DE+EC＝19，即BC＝19cm．故答案为：115，19．17．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴P A＝PB，QA＝QC，∴∠P AB＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠P AB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣（∠P AB+∠QAC）＝40°，故答案为：40°．18．解：∵∠BAC＝106°，∴∠B+∠C＝180°﹣106°＝74°，∵MP是线段AB的垂直平分线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠B，同理，∠OAC＝∠C，∴∠P AO＝∠BAC﹣（∠P AB+∠OAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝32°，故答案为：32°．19．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48°，∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案为：48°20．解：①如图，当∠BAC为锐角时，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA＝DB，EC＝EA，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，解得∠BAC＝75°．②当∠BAC为钝角时，∵DF是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，同理∠C＝∠EAC，∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，故答案为：75°或105°．21．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠C＝25°，∴∠DAC＝25°，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，故答案为：70°．22．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE＝40°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，故答案为：60．23．解：∵AE＝BE，AF＝CF，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF．设∠BAC＝x，∴∠B+∠C＝180°﹣x，∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝180°﹣x，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝x﹣（180°﹣x）＝2x﹣180°．∵∠BAC+∠EAF＝144°，∴x+（2x﹣180°）＝144°，解得x＝108°，即∠BAC＝108°．故答案为：108°24．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为19cm．25．解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B＝＝＝70°；②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC＝140°，∴∠B＝∠C＝＝20°．故答案为：70°或20°．26．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，∴AE＝BE，AF＝CF，∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝10cm．故答案为：10．27．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．28．证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）．29．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．30．解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．31．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．32．证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．33．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．34．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．35．（1）证明：连接AC，∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°，∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝20°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．。
2021年中考数学考点复习专题-【一元二次方程】专项提升训练
2021中考数学复习专题【一元二次方程】专项提升训练一．选择题1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4、5、81B．4、﹣5、81C．4、﹣5、﹣81D．﹣4、﹣5、﹣812．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A．6人B．7人C．8人D．9人3．关于x的方程3x2﹣2mx＝15，有一个根为3，则m的值等于（）A．2B．﹣C．﹣2D．4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣925．对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根6．一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣且k≠0B．k≥﹣1C．k≤﹣1且k≠0D．k≥﹣1或k≠07．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，则另一根和k的值分别为（）A．x＝﹣3，k＝﹣3B．x＝3，k＝﹣3C．x＝3，k＝3D．x＝﹣3，k＝38．已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．B．4C．D．9．已知关于x的方程x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，则k的值为（）A．3B．6C．﹣6D．±610．如果x＝4是关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的一个根，则另一个根是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝1D．与p有关，不能确定二．填空题11．方程（2x﹣3）x＝3（2x﹣3）的根是．12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是．13．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1，x2满足，则m＝．15．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为．三．解答题16．按照要求解方程（1）x2+2x﹣2＝0（公式法）；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0（因式分解法）．17．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围：（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．18．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留2米宽的小门EF（不用篱笆），设AD长为x米，AB长为y米．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．19．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？20．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝﹣2．”（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝5x+81，整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．故选：C．2．解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝42，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．故选：B．3．解：∵关于x的方程3x2﹣2mx＝15的一个根是3，∴3×32﹣6m＝15，解得m＝2．故选：A．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．6．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝4+8k≥0，k≠0，解得：k≥﹣且k≠0，故选：A．7．解：当x＝1时，1+k﹣1﹣3＝0，解得：k＝3，则x2+2x﹣3＝0，设方程x2+2x﹣3＝0的解为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣2，∵x1＝1，∴x2＝﹣3．∴另一根和k的值分别为x＝﹣3，k＝3．故选：D．8．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤，∴m+n的最大值为，9．解：∵（x﹣m）2＝0，∴x2﹣2mx+m2＝0，∵x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，∴m2＝9，则m＝±3，∴k＝2m＝±6，故选：D．10．解：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，x2﹣5x+6﹣p2＝0，设方程的另一个解为x＝t，根据题意得4+t＝5，解得t＝1，∴另一个根是x＝1．故选：C．二．填空题11．解：移项得，（2x﹣3）x﹣3（2x﹣3）＝0，分解因式得：（2x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝，x2＝3．故答案为：x1＝，x2＝3．12．解：设该店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．故答案是：20%．13．解：∵y2﹣y﹣＝0，∴y2﹣y+＝1，∴（y﹣）2＝1，故答案为（y﹣）2＝1．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），∵x12+x22＝14，∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∴p＝﹣3，q＝8，则p+q＝﹣3+8＝5，故答案为：5．三．解答题16．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝＝﹣1，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1＝，x2＝8．17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，∴k的取值范围为k≤8；（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣2，∴＝x1x2﹣2，∴＝k+1﹣2，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，∴k1＝11，k2＝﹣11，∵k≤8，∴k＝﹣11．18．解：（1）∵AD＝BC＝x米，AB+AD+BC＝34+2＝36（米），∴AB＝（36﹣2x）米．∵，∴9≤x≤17．（2）依题意，得：x（36﹣2x）＝160，整理，得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．19．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2＝256，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低y元，则每天可售出（200+45y）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣y）（200+45y）＝2125，整理，得：9y2﹣50y+25＝0，解得：y1＝5，y2＝．∵要尽量减少库存，∴y＝5．答：售价应降低5元．20．解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：∵x2+2x﹣8＝0，∴x2+2x＝8，∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，则x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x1＝2，x2＝﹣4；（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，∴x2+2nx＝8n2，∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，∴（x+n）2＝9n2，∴x+n＝±3n，∴x1＝2n x2＝﹣4n．。
2021年河南省中考数学真题 (word版,含答案)
2021年河南省中考数学试题(满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1. -2的绝对值是（）A. 2B. -2C.12D. −122. 河南省人民济困最“给力”据报道，2020河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元.数据“2.94亿”用科学记数法表示为（）A. 2.94×107B. 2.94×108C.0.294×108D.0.294×1093. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A． B.C. D.4.下列运算正确的是（）A.(−a)2=a2B. 2a2−a2=2C. a2•a=a3D. (a−1)2=a2−15. 如图，a∕∕b=60°，∠1=600,则∠2的度数为（）A.90°B.100°C.110°D.120°6. 关于菱形的性质，以下说法不正确．．．的是（）A.四条边相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是轴对称图形7. 若方程x2−2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）A. -1B. 0C. 1D. √38. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）A. 16B.18C.110D.1129. 如图，平行四边形OABC的顶点0(0，0), A(1，2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D。
将 △ODA绕点0顺时针旋转得到△OD’A’，当点D的对应点D’落在OA上时，D’A’的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A.(2√30)B. (2√5，0)C.(2√3 + 1，0)D. (2√5 + 1，0)10. 如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA−PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（每小题3分，共15分）有意义，则实数x的取值范围是_____________.11. 若代数式1x−112. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式_________________.13. 某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，他们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 (填“甲”或“乙”）.14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD̂上，∠BAC=22.50，则BĈ的长为 .00步， 在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A ′处，如图2;第二步，将纸片沿CA ′折叠，点D 落在D’处，如图3.当点D’恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A’D’的长为 .三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.(10 分）（1)计算：3−1−√19+(3−√3)0 ； （2)化简：(1−1x )÷2x−2x 217.(9分）2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.平均每天睡眠时间x (时）分为5组：①5≤x <6;②6≤x <7;③7≤x <8;④8≤x <9;⑤9≤x < 10.根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 (填序号）组，达到9小时的学生人数占被 调查人数的百分比为 ；(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议. 18. (9分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点0重合，边分别与坐标轴平行，反比例 函数y = kx 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积. 调查问卷1.近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时.如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题2.影响你睡眠时间的主要原因是 (单选）.A.校内课业负担重B.校外学习任务重C.学习效率低D.其他20. (9分）在古代，智慧的劳动人民己经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A,B分别在射线0M，0N上滑动，0M丄0N.当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证：∠PAO=2∠PBO;，求BP的长.⑵若⨀O的半径为5,AP=20321. (9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A, B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：A款玩偶B款玩偶类别价格进货价（元/个）40 30销售价（元/个）56 45(1)第一次小李用1100元购进了 A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个.(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了（2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？×100%)(注:利润率=利润成本22.(10分）如图，抛物线y=x2 +mx与直线y =−x +b把交于点A(2，0)和点B(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2 +mx >−x +b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标x M的取值范围.23. (10分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.小明：如图1，（1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合）；（2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2,交点为P，垂足分别为点G，H；（3)作射线OP,射线即为∠AOB的平分线.简述理由如下：由作图知，∠PGO=∠PHO=900,OG=OH,OP=OP,所以 Rt△PGO≅ Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2,（1)分别在射线0A，0B上截取0C=0D，0E=0F (点C，E不重合）（2)连接DE，CF，交点为P;(3)作射线0P.射线0P即为∠AOB的平分线.……任务：(1) 小明得出Rt△PGO≅ Rt△PHO的依据是(填序号）.①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL(2)小军作图得到的射线0P是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由.(3) 如图3，己知∠AOB=600，点E，F分别在射线0A，0B上，且0E=0F=√3 + 1.点C，D分别为射线0A，0B上的动点，且0C=0D，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE =30°时，直接写出线段OC的长.2021年河南省中考数学试卷【参考答案】―、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11. x≠112. y=x (答案不唯一）13. 甲14.5π415. 1或 2-√32三、解答题16. (1) 1;(2) x217. (1)③，17%;(2)答案不唯一，言之有理即可.例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业.;18. (1)反比例函数的解析式为y = 2x(2)图中阴影部分的面积为8.19. 佛像的高度约为17.4 m20. (1)证明略；(2) BP=3√10 .21. (1) A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；(2) 按照购进A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；(3) 从利润率的角度分析，对于小李来说第二次的进货方案更合算.22. (1) m=2, b=2；(2) B(-1，3)，不等式x2+mx>−x + b的解集为x<−1 或 x>2;(3) -1≤x M<2 或x M=3.23. (1)⑤；(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：（方法不唯一）连接EF∵OC=OD，OE=OF∴∠OEF=∠OFE，OE−OC=OF−OD,即CE=DF又∵EF=FE∴. △CEF≅ △DFE (SAS)∴∠CFE=∠DEF∴PE=PF∴OP是EF的垂直平分线∴OP⊥EF又∵OE=OF(3) 0C=2 或 OC=2+√3.。
2021年中考数学真题 二次函数解答压轴题(共32题)-(原卷版)
14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =． （1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM MP PB++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a=++≠与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021.四川广元市.中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x (1)- 0 1 2 3 …y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求++的最小值；AQ QP PC（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF x⊥轴，垂足为F，ABD△的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1=-+与x轴、y轴分别交于A、By x两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC∠为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE t=．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN 5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（4n ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx=+-与x轴相交于(1,0)A-，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点(,0)N n是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n<，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD BC⊥于点D，当n为何值时，PDG BNG≌；（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB．①1tan BOB∠=______；①当点N关于直线1OB的对称点1N落在抛物线上时，求点N的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求PAD△面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)=+-≠沿射线AD平移42y ax bx a得到新的抛物线1y，点E为点P的对应点，点F为1y的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B （－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1x=-，直线y＝－2x ＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与①AOD相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bx c 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22yx bx c 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；（3）请判断：PQQB 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和①PDE周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c=++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M 是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值； （3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．2021中考真题 21 32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)
专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】(2020•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
2021年九年级数学中考复习：实数及其运算练习卷(word版含答案解析)
2021届中考实数及其运算练习卷一、选择题1.下列选项中，比小的数是A. B. 0 C. D.2.数1，，0，中最小的是（）A. 1B. 0C.D. —23.下列各数中，比小的数是A. —3B. —1C. 0D. 24.下列各数中最大的负数是A. B. C. —1 D. —35.下列各组数比较大小，判断正确的是A. B. C. D.6.某市有一天的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高A. B. C. D.7.计算的结果是A. B. C. 1 D. 58.的值是A. B. 1 C. 5 D.9.下列各对数中，数值相等的是A. 与B. 与C. 与D. 与10.的倒数是A. B. C. 2021 D.11.下列各式中结果为负数的是A. B. C. D.12.下列算式中，运算结果为负数．．的是A. B. C.—（—3）D.13.九章算术中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为A. B. C. D.14.数轴上到点的距离为5的点表示的数为A. B. C. 3或 D. 5或15.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是A. B.C. D.16.若a与5互为相反数，则等于A. 0B. 5C. 10D.17.的相反数是A. 0B.C.D. 2018.的倒数等于A. 2020B.—2020C.D.19.已知实数x，y满足，则代数式的值为A. 1B. —1C. 2021D. —202120.在中，已知、都是锐角，，那么的度数为A. B. C. D.21.若将“收入100元”记作“元”，则“支出50元”应记作（）A. 元B. 元C. 元D. 元22.的相反数为A. B. 3 C. 0 D. 不能确定23.下列四个数中最大的数是A. 0B.C.D.24.下列数中，是无理数的是A. B. 0 C. D.25.的相反数是A. 2020B.C.D.26.计算，结果正确的是A. —4B. —3C. —2D. —127.在，，，0，，中，负数的个数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个28.若实数a、b在数轴上对应的点如图，下列结论正确的共有（），，，，；A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个29.在有理数、、、中负数有A. 4B. 3C. 2D. 130.数a，b在数轴上的位置如图所示，下列式子中错误的是（）A. B. C. D.31.的平方根是A. 4B.C.D.32.下列说法正确的是A. 是25的算术平方根B. 是64的立方根C. 是的立方根D. 的平方根是33.的平方根是A. B. C. D.二、填空题34.截至2020年11月17日凌晨，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器已在轨飞行116天，距离地球约63800000千米，请将63800000用科学记数法表示________．35.月球的半径约为1738000m，把1738000这个数用科学记数法表示为．36.5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为______．37.科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为．38.截止2020年，世界总人口已接近于76亿人，用科学记数法可表示为．39.实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为，数字用科学记数法表示为______．40.是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为________．41.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，这个数据用科学记数法表示是________．三、解答题42.计算：．43.计算：．44.计算：．45.计算：；46.计算：．47.计算：48.计算：．49.计算：．50.计算：．51. 计算：(π－3.14)0+(12)－1－|－2|－(－1)2020．52. 计算：|－3|+(－1) 2020×(π－3.14) 0－(−13)−2+tan45°．53.计算: |3－2|+(π－2021)0－(13)－1+3tan30°．54. 计算：2cos45°+(－12)－2+(2020－2)0+|2－2|．55.计算: │－3│+(－tan45°)3×(π－3.14)0－(－12)－3－(3＋2)(3－2)56.计算：|－2|+π0－16+327÷3＋2cos45°．答案和解析1.【答案】D【解析】先比较数的大小，再得出选项即可．能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键．解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．2.【答案】D【解析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．解：，所以最小的数是．故选D．3.【答案】A【解析】有理数的大小比较．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小，根据有理数大小比较法则解答即可．【解答】解：，比小的数是，故选A．4.【答案】A【解析】根据有理数的大小比较即可求出．解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，本题属于基础题型．特别记住：两个负数，绝对值大的其值反而小．解：因为，所以最大的负数是，故选：A．5.【答案】D【解析】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D符合题意．故选：D．有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．6.【答案】A【解析】有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：．故选：A．7.【答案】D【解析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．解：．故选：D．8.【答案】A【解析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．解：．故选：A．9.【答案】C【解析】分别求出选项中的每一项，，，，，，，，即可求解．牢固掌握有理数的乘方和乘法运算法则是解题的关键．解：，，不正确；，，不正确；，，C正确；，，不正确；故选：C．10.【答案】B【解析】求一个数的倒数，掌握求一个整数的倒数就是写成这个整数分之一是解题的关键．解：的倒数是，故选：B．11.【答案】D【解析】根据相反数、有理数的乘方、绝对值，解析化简即可解答．解决本题的关键是明确正数和负数的概念．解：A、，是正数，故错误；B、，是正数，故错误；C 、，是正数，故错误；D 、，是负数，正确．故选：D．12.【答案】B【解析】本题考查了正数和负数，涉及的知识点有绝对值的性质、有理数的乘方、相反数，属于基础题，难度较易．将每一项的式子进行化简，然后根据负数的定义进行判断即可．【解答】解：A、，是正数；B、，是负数；C、，是正数；D、，是正数，故选B．13.【答案】A【解析】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是理解正负数的意义．根据相反意义的量可以用正负数来表示，高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为米．【解答】解：如果高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为米．故选：A．14.【答案】C【解析】设未知数，根据数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，列方程求解即可．数形结合是常用的方法．解：设这个数为x，由题意得，，或，解得，或．故选：C．15.【答案】C【解析】由数轴知，再根据有理数的加法法则和乘法法则计算可得．解题的关键是掌握数轴上右边的数总是大于左边的数及有理数的加法法则和乘法法则．由数轴知，则A选项错误．B.，此选项错误；C.，此选项正确；D.，此选项错误；故选：C．16.【答案】C【解析】根据a与5互为相反数，可得：，据此求出等于多少即可．解：与5互为相反数，，故选：C．17.【答案】B【解析】直接利用零指数幂的性质以及相反数的定义分析得出答案．正确把握相关定义是解题关键．解：，则1的相反数是．故选：B．18.【答案】C【解析】根据绝对值性质和倒数的概念求解可得．解题的关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．解：，即2020的倒数等于，故选：C．19.【答案】A【解析】直接利用非负数的性质进而得出x，y的值，即可得出答案．正确得出x，y的值是解题关键．解：，，，解得：，，则．故选：B．20.【答案】C【解析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，进而得出，，即可得出答案．正确得出，是解题关键．解：，，，，，，，的度数为：．故选：C．21.【答案】B【解析】解：如果将“收入100元”记作“元”，那么“支出50元”应记作“元”，故选：B．22.【答案】B【解析】解：的相反数是3，故选：B．根据相反数的定义进行解答即可．23.【答案】A 【解析】解：根据题意得：，则最大的数是0，故选：A ．24.【答案】D 【解析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：带有根号且开方开不尽的数，无限不循环小数，某些含有兀的数．【解答】解：，0，31是有理数，是无理数．故选D ． 25.【答案】A 【解析】解：的相反数是2020，故选：A ．26.【答案】C 【解析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得，再根据有理数的减法法则进行计算．解：原式．故选：C ．27.【答案】C 【解析】先根据有理数的乘方、绝对值、相反数化简，再根据负数的定义即可．解决本题的关键是先根据有理数的乘方、绝对值、相反数化简．解：，，，，负数有：，，，，负数的个数有4个，故选：C ．28.【答案】B 【解析】根据各点在数轴上位置即可得，且，再根据有理数的四则运算法则判断即可． 解：由题意可知，且， ，故正确；，故错误； ，故错误；，故错误； ，故正确；，故正确．正确的有共3个． 故选：B ．29.【答案】B 【解析】先化简题目中的数字即可解答本题． 解：， ， ， ，有理数、、、中负数有3个，故选：B ．30.【答案】B 【解析】本题考查了数轴，数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．根据数轴表示数的方法得到，数a表示的点比数b表示点离原点远，则；；，．【解答】解：根据题意得，，；；，数a表示的点比数b表示点离原点远，，选项ACD正确，选项B不正确．故选B．31.【答案】D【解析】根据平方根的定义，即一个数的平方等于a，则这个数叫a的平方根．注意：一个正数的平方根有两个，并且它们互为相反数．解：，的平方根为，则的平方根是．故选：D．32.【答案】C【解析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义解答即可．解题的关键是明确它们各自的计算方法．解：A、是25的平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；B、4是64的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；C、是的立方根，原说法正确，故此选项符合题意；D、，16的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：C．33.【答案】D【解析】首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义求2的平方根．注意此题求的是的平方根，而不是4的平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．解：，2的平方根为的平方根为．故选：D．34.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【解答】解：将将63800000用科学记数法表示为，故答案为．35.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【解答】解：．故答案为．36.【答案】【解析】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：．故答案为：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．37.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同解答即可．【解答】解：，故答案为：．38.【答案】【解析】此题考查科学记数法、绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．可得出答案．【解答】解：76亿，故答案是：．39.【答案】【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．故答案为：．40.【答案】【解析】解：，故答案为：．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．41.【答案】【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．答案:．42.【答案】解：原式．【解析】本题考查的知识点比较多：绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算的有关内容，熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．43.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查的是实数的运算，涉及有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的有关知识，先将给出的式子进行变形，然后再计算即可．44.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查了实数的运算，根据题意先运用法则计算零指数幂和负整数指数幂及利用特殊角三角函数值计算最后一项，然后合并即可．45.【答案】解：原式【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算，最后计算加减即可得到结果．46.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查实数的运算，零指数幂与负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握法则是解题的关键.第一项根据负整数指数幂的法则计算，第二项根据零指数幂的法则计算，第三项根据特殊角的三角函数值计算，第四项根据二次根式的性质化简，然后算乘法，最后算加减即可．47.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查了带特殊角三角函数的实数运算，考查了负整数指数幂，零指数幂、绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键.直接根据特殊角三角函数、绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂的性质化简式子，然后计算可得答案．48.【答案】解：原式．【解析】本题考查代数式的值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂及特殊角的三角函数值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．解答此题可先求出负整指数幂，零整指数幂的值，写出角的正弦值，并化简绝对值，然后再加减即可．49.【答案】解：原式．【解析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．50.【答案】解：【解析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．51.原式==1+2-2-1=0．52.原式=3+1×1-9+1=3+1-9+1=4-9+1=-4．53.原式＝2－3+1－3+3=0．54.原式＝2－2+1+2－2＝1．55.原式＝3-1×1+8－(9－2)=3-1+8－7=3．56.计算：|－2|+π0－16+327÷3＋2cos45°．56.原式=2+1—4+1+1=1.。
专题33 尺规作图练习(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题33 尺规作图练习（基础）1．已知四点A，B，C，D．根据下列语句，画出图形．（1）画直线AB；（2）连接AC，BD，相交于点O；（3）画射线AD，射线BC相交于点P．【分析】（1）画直线AB即可；（2）连接AC，BD，相交于点O即可；（3）画射线AD，射线BC相交于点P即可．【解答】解：（1）如图所示，直线AB即为所求；（2）如图所示，AC，BD即为所求；（3）如图所示，射线AD，射线BC即为所求．【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．2．如图，已知A，B两点．（1）画线段AB；（2）延长线段AB到点C，使BC＝AB；（3）反向延长线段AB到点D，使DA＝AB；（4）点A，B分别是哪条线段的中点？若AB＝3cm，请求出线段CD的长．【分析】（1）、（2）、（3）根据线段的定义和几何语言画出对应的几何图形；（4）根据线段的中点的定义可判断点A是线段BD的中点；点B是线段AC的中点；然后利用CD＝3AB 求解．【解答】解：（1）如图，线段AB为所作；（2）如图，点C为所作；（3）如图，点D为所作；（4）点A是线段BD的中点；点B是线段AC的中点；由题意可知：DA＝AB＝BC＝3，所以CD＝DA+AB+BC＝3×3＝9（cm）．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：①画直线BC；②画射线AD交直线BC于点E；③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF＝BD；④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．【友情提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图要下结论】【分析】根据题中的几何语言画出对应的几何图形．【解答】解：①如图，直线BC为所作；②如图，射线AD和点E为所作；③如图，BD和DF为所作；④如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4．下面是小明某次作图的过程．已知：如图，线段a，b．作法：①画射线AP；②用圆规在射线AP上截取一点B，使线段AB＝a；③用圆规在射线AP上截取一点C，使线段BC＝b．根据小明的作图过程．（1）补全所有符合小明作图过程的图形：（保留作图痕迹）（2）线段AC＝a+b或a﹣b．（用含a，b的式子表示）【分析】（1）根据已知作法画图即可；（2）根据（1）所画图形即可得结论．【解答】解：（1）如图所示：线段AB和BC即为所求作的图形．（2）线段AC＝a+b或a﹣b．故答案为：a+b或a﹣b．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是准确画图．5．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．【解答】解：如图，四边形ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．6．如图，在△ABC中．（1）画出BC边上的高AD和中线AE；（2）若∠B＝30°，∠BAC＝20°，求∠CAD的度数．【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义画图；（2）先根据高的定义得到∠ADB＝90°，再根据三角形外角性质计算出∠ACD＝50°，然后利用互余计算∠CAD的度数．【解答】解：（1）如图，AD、AE为所作；（2）∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝30°+20°＝50°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．如图，∠AOB内有一点P．（1）过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；（2）图中不添加其它的字母，写出所有与∠O相等的角．【分析】（1）利用题中几何语言画出对应的几何图形；（2）利用平行线的性质求解．【解答】解：（1）如图，PC、PD为所作；（2）∵PC∥OB，∴∠O＝∠PCA，∵PD∥OA，∴∠O＝∠PDB，∠PCA＝∠P，∴与∠O相等的角有∠P，∠PCA，∠PDB．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分线交BC于点D；②作边AC的中点E，连接DE；（2）在（1）所作的图中，若AD＝12，则DE的长为 6.5．【分析】（1）①利用基本作图作∠BAC的平分线；②作AC的垂直平分线得到AC的中点E；（2）根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，再利用勾股定理计算出AC＝13，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．【解答】解：（1）①如图，AD为所作；②如图，DE为所作；（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝5，在Rt△ACD中，AC=√CD2+AD2=√52+122=13，∵E点为AC的中点，∴DE=12AC＝6.5．故答案为6.5．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．9．在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B＝30°，∠C＝52°．（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE；（2）求∠DAE的大小．【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；（2）先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝98°，再利用角平分线的定义得到∠EAC＝49°，接着计算出∠DAC，然后计算∠EAC﹣∠DAC即可．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）∵∠B＝30°，∠C＝52°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝98°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC＝49°，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝38°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝49°﹣38°＝11°．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形内角和定理．10．如图，在7×5的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（2，3）、B（2，﹣1）、C（5，3）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）①画△ABC的角平分线AE；②画△ABC的中线AD；（2）画△ABC的角平分线CF；（3）画到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P，并写出点P坐标（3，2）和（﹣1，0）．【分析】（1）①利用网格特点作∠BAC的平分线得到AE；②利用网格特点确定BC的中点D，从而得到中线AD；（2）以C为顶点作腰为5的等腰三角形，通过作出底边上的中线得到角平分线CF；（3）CF和AE的交点为P点或射线CF与∠BAC的邻补角的平分线的交点为P点．【解答】解：（1）①如图，AE为所求；②如图，AD为所求；（2）如图，CF为所求；（3）如图，到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P有两个，是P1 和P2，其坐标分别是P1 （3，2）和P2 （﹣1，0）．故答案为（3，2）和（﹣1，0）．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．11．如图，已知四边形ABCD．（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．【分析】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用P A＝P A′，则P A+PD＝DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．【解答】解：（1）如图①，点P为所作；（2）①如图①，点M为所作；②如图②，点N为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题．12．尺规作图：已知∠AOB和C，D两点，请在图中用尺规作图找出一点E，使得点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两条线相交于点E即可．【解答】解：如图，点E即为所求．因为点E到OA，OB的距离相等，而且E点到C，D的距离也相等，所以作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线，两条线相交于点E．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．13．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图①，点A在以BC为直径的半圆外，AB、AC分别与半圆交于点D、E．求证BD＝EC；（2）如图②，点A在以BC为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点D，使得△DBC是等腰直角三角形（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）连接BE、CD，如图①，利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠CEB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCD＝∠CBE，从而得到结论；（2）如图②，分别延长BA、CA交圆于E、C，延长BF和CE，它们相交于P点，连接P A交圆于D点，则D点满足条件．【解答】（1）证明：连接BE、CD，如图①，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠BCD＝∠CBE，̂=CÊ，∴BD∴BD＝CE；（2）解：如图②，点D为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．14．已知：如图，某区政府为了方便居民的生活，在S区域计划修建一个购物中心P，要求到住宅小区A、B的距离必须相等，到两条公路m和n的距离也必须相等．请标出购物中心P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】直接利用角平分线的性质与作法和线段垂直平分线的性质与作法进而得出答案．【解答】解：如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．15．如图，已知：射线AM是△ABC的外角∠NAC的平分线．（1）作BC的垂直平分线PF，交射线AM于点P，交边BC于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）过点P作PD⊥BA，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，请补全图形并证明BD＝CE．【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；（2）先根据几何语言画出对应几何图形，再连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据角平分线的性质得PD＝PE，则可判断Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得到BD＝CE．【解答】（1）解：如图，PF为所作；（2）证明：如图，连接PB、PC，如图，∵PF垂直平分BC，∴PB＝PC，∵AM是△ABC的外角∠NAC的平分线，PD⊥BA，PE⊥AC，∴PD＝PE，在Rt△BDP和Rt△CEP中，{PB=PCPD=PE，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线和角平分线的性质．。
2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)
专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC 90BAC ∠=︒E F 分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向AB AC H EF E F AH A 旋转得到，连接，．90︒AG GC HB（1）证明：；AHB AGC A A ≌（2）如图2，连接，，交于点．GF HC AF AF Q ①证明：在点的运动过程中，总有；H 90HFG ∠=︒②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4AB AC ==EH AQG A 2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BC AC =EC DC =E ABC A AD BE F AF BF CF 在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，D F AF BF 之间的数量关系；CF （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．D F 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒BC kAC =EC kDC =k 常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，E ABC A AD BEF AF BF CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E 在上，．求证：平分AD ABC A 60ADC ∠=︒AB AE AC =DE ．ADB ∠（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点G ．若，，AB FC AD FB FC =2DG =，求的长．3CD =BD （拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E 在上，ABCD AC ,2BAD BCA DCA ∠∠=∠AC．若，求的长．EDC ABC ∠=∠5,2BC CD AD AE ===AC 4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E ，满足ABCD O A BD A AD ，连结并延长交的延长线于点F ，与交于点G ．A A AE CD =BE CD BE AD（1）若，请用含的代数式表列．DBC α∠=αAGB ∠（2）如图2，连结．求证；．,CE CE BG =EF DG =（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．CG 2AD =①若，求的周长．tan ADB ∠=FGD A ②求的最小值．CG 5．（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P 在OA 上，连结PB ，将沿PB 折叠AOB 6OA =OBP A 得到．O BP 'A （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B ．75O ∠=︒BO 'A AB ①求的度数．APO ∠'②求AP 的长．（2）如图2，与相交于点D ，若点D 为的中点，且，求的长．BO 'A AB A AB //PD OB AAB 6．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结ACD △РCD B AD ,BC AP ．（1）如图1，若，求的长．90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：D //DE AC AP E 60,CAD BD AC ∠︒==．2BC AP =（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出45CAD ∠=︒m BD mAC =2BC AP =的值；若不存在，请说明理由．m 7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，，点E 在边BC 上，且ABC BCD ∠=∠，，作交线段AE 于点F ，连接BF ．//AE CD //DE AB CF //AD （1）求证：；ABF EAD △≌△（2）如图2，若，，，求BE 的长；9AB =5CD =ECF AED ∠=∠（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求的值．BEEC 8．（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连ABC A AB AC =D BC B C 结．AD（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则60C ∠=°D AB E AE DE BDE ∠=________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．60C ∠=°AD A 60︒AE BE ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；CD BE （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证AB AD kBC DE ==ADE C ∠=∠BE BD AC 明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且．连接并A A BD CD =AC 延长，与的延长线相交于点E ．BD （1）求证：；CD ED =（2）与，分别交于点F ，H ．AD OC BC ①若，如图2，求证：；CF CH =CF AF FO AH ⋅=⋅②若圆的半径为2，，如图3，求的值．1BD =AC10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形ABC A AC 1AE BE ，如图1，求的长；BEF CF（2）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，ABC A AC BE BEF 如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形ABC A CD BM BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E 是边上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以ABCD CB B 为顶点作正方形，其中点F 、G 都在直线上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与BFGH AE 点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则 度．EAF ∠=操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则 ∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证：．ANP FNE △≌△（2）若，则线段AP 的长为 ．AB =12．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，N 是边上的一点，D 为的中点，过ABC A AB AC =BC AN 点A 作的平行线交的延长线于T ，且，连接．BC CD AT BN =BT（1）求证：；BN CN =（2）在如图中上取一点O ，使，作N 关于边的对称点M ，连接、、、AN AO OC =AC MT MO OC 、得如图．OT CM ①求证：；TOM AOC A A ∽②设与相交于点P ，求证：．TM AC 1//,2PD CM PD CM =13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧的中点．A BD ①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．ABD ①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15︒︒︒操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．ABCD AD BC EF 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段A EF B BM BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．MN BC P BMP A 拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符AB a BC b ==，a b ，ABCD （1）中的等边三角形？BMP 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E 是边上一点，且点E 不与点重ABCD BC B C ≌合，点F 是的延长线上一点，且．BA AF CE =（1）求证：；DCE DAF A A ≌（2）如图2，连接，交于点K ，过点D 作，垂足为H ，延长交于点G ，连接EF AD DH EF ⊥DH BF ．,HB HC ①求证：；HD HB =②若，求的长．DK HC ⋅=HE 16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，ABCD ,E F ,AB BC 于点．,DE AF DE AF =⊥G（1）求证：四边形是正方形；ABCD （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．CB H BH AE =AHF △类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，ABCD ,E F ,AB BC DE AF G ，求的长．,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==DE 17．（2021·四川中考真题）如图1，在中，，，点D 是边上一点（含ABC A 90ACB ∠=︒AC BC =AB 端点A 、B ），过点B 作垂直于射线，垂足为E ，点F 在射线上，且，连接、BE CD CD EF BE =AF ．BF（1）求证：；ABF CBE A A ∽（2）如图2，连接，点P 、M 、N 分别为线段、、的中点，连接、、．求AE AC AE EF PM MN PN 的度数及的值；PMN ∠MNPM（3）在（2）的条件下，若面积的最大值．BC =PMN A 18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关ABCD A BE AD ⊥E F CD EF BF EF BF系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如ABCD A BF F CD 图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证C 'C 'DC AB G AG BG 明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，ABCD A B 'A 使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N 的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思ABCD A 5AB=BC =BHNM考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线ABCD A 8AB =5AD =DAB ∠ABC ∠AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：．2EF =探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．8AB =①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相8AB =5AD =等时，求的值．ADAB20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形ABCD A ()090αα︒<≤︒'''AB C D [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC 的长．90α=︒'C DB 1AB =[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明'AC 'D '//'D M AC BD M 'D M DM 理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的DB 'AD 'AC P N MN PN 数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E 是边上的动点，将射线绕ABCD ABC ∠BC AE 点A 按逆时针方向旋转，交直线于点F ．CD （1）当时，AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð①求证：；AE AF =②连结，若，求的值；BD EF ，25EF BD =ABCD A ＡＥＦ菱形ＳＳ（2）当时，延长交射线于点M ，延长交射线于点N ，连结12EAF BAD ∠=∠BC AF DC AE AC MN，，若，则当为何值时，是等腰三角形．42AB AC ==，CE AMN A 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．//（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，，是边上的一个动点，将ABCD 6AB =AD =P BC 矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．ABCD A P D G EF （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；P C EB =EF =（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点P B C EF O PO GF ，连接，，．M PF ME MA ①求证：四边形是平行四边形：MEPF②当时，求四边形的面积．1tan 3MAD ∠=MEPF 24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝ADE A 12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ．线段BE 与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形CAG A 全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知内接于，点D 是上一点．ABC A ,,42O AB AC BAC =∠=︒A O A（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；BD O A CD DBC ∠ACD ∠（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D 作的切线，与的延长线交于点E ，求的大CD BA AD O A OC E ∠小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交ABC O A BAC ∠AG O A G 边于点，连接．BC F BG(1)求证：．ABG A AFC ∽△(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．AB a =AC AF b ==FG a b (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），E AF A F D AE A E ，求证：．ABD CBE ∠=∠2BG GE GD =⋅27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC（1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．A ,ABC AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；AC DE A AB ,D AC E ,AD CD ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．D DA AAB F ,F A ,,DF BD BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．,BC BF 29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下xOy O A A BC 定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是BC A O A B C '',B C '',B C BC 的以点为中心的“关联线段”．O A A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A A 为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线ABC A ()0,A t 0t ≠BC O A A 段”，求的值；t （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值ABC A 1,2AB AC ==BC O A A OA 和最大值，以及相应的长．BC 30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．E OE O A DC H EO F EF DC G（1）求证：是的切线；BC O A （2）若是的中点，，．G OF 2OG =1DG =①求的长；AHE ②求的长．AD 31．（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，O A AB CD AB ⊥H E A BC 为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若F DC FE AB G AE CD P ．FE FP =（1）求证：是的切线；FE O A （2）若的半径为8，，求的长．O A 3sin 5F =BG 32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ¼BND ①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．33．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆ABC A AB AC =D BC AD AD A 时针旋转至的位置，使得．AE 180DAE BAC ∠+∠=︒（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的190BAC ∠=︒BE AC F BE ABC ∠2BD =AF 长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜2BE BE G AG AG CD 想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，3DG CE 120BAC ∠=︒BD CD >150AEC ∠=︒时，请直接写出的值．BD DGCE -34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．AE CD ⊥（1）求证：；DAE DAC ∠=∠（2）求证：；DF AC AD DC ⋅=⋅（3）若，，求EF 的长．1sin 4C ∠=AD =35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B 作ABC AB AC =于D ，延长交的外接圆于点E ，过点A 作于F ，的延长线交于BD AC ⊥BD ABC A AF CE ⊥,AE BC 点G ．（1）判断是否平分，并说明理由；EA DEF ∠（2）求证：①；②．BD CF =22BD DE AE EG =+⋅36．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，E F 、Rt ABC A BC 且．45,EAF CD BC ∠=︒⊥CD BE =（1）求证：；ABE ACD △≌△（2）求证：；222EF BE CF =+（3）如图②，作，垂足为H ，设，不妨设，请利用AH BC ⊥,EAH FAH αβ∠=∠=AB =（2）的结论证明：当时，成立．45αβ+=︒tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，ABCD A ECH 的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．90,,ECH CE CH HE ∠=︒=CD F D B H 、、（1）求证：；CDE CBH A A ≌（2）当时，求的值；15HB HD =FD FC（3）当时，求的值．3,4HB HG ==sin CFE ∠38．（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C 为上一点，连接，D 为延长线AB O A O A ,AC BC AB 上一点，连接，且．CD BCD A ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O A（2）若，的面积为的长；O A ABC A CD （3）在（2）的条件下，E 为上一点，连接交线段于点F ，若，求的长．O A CE OA 12EF CF =BF 39．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折Rt ABC △P BC ABP △AP 叠，使得点的对应点为，连接，，，．B B 'AB 'CB 'BB 'PB '（1）如图①，若，证明：．PB AC '⊥PB AB ''=（2）如图②，若，，求的值．AB AC =3BP PC =cos B AC '∠（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存30ACB ∠=︒P AB CB '=PCBC 在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：．BCE CDG △△≌（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若，，求线段DE 的长．45HD HF =9CE =（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，，求的值（用含k 的代数式表示）．45HD HF =DE EC 41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求的值；CFBG(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合ABCD 2AB =4=AD F AC A C 的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．F FE AD ⊥E AEF A EF GEF △G AD CG （1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．A G AD 90FGC ∠=︒GF AB H CH①求证：；CDG GAH △∽△②求．tan GHC ∠（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，A G AD 90GCF ∠=︒GCF A AEF A 并说明理由．。
2021年中考数学真题 函数与几何综合问题(解答题)-(原卷版)
34函数与几何综合问题（解答题）一、解答题1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．①若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于()2,0A ，()0,8B ，连结AB ．直线CM 分别交M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点()17,0C ，连结AE ．（1）求M的半径和直线CM的函数表达式．（2）求点D，E的坐标．（3）点P在线段AC上，连结PE．当AEP∠与OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数y kx b=+的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数4yx=的图像交于,P D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BOD的面积与AOB的面积之比为1:4．（1）求一次函数y kx b=+的表达式：（2）求点P的坐标及CPD△外接圆半径的长．4．（2021·江苏中考真题）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ，①当13m =时，求线段CF 的长； ①在PQE 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值； （2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上． （1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）；①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______；（2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围；（3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:42l y x =+分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，点(),P x y 为直线l 在第二象限的点（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围； （3）作PAO 的外接圆C ，延长PC 交C 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C 的半径．7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （0，3），顶点为C ．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D （3，﹣1）为原抛物线上点A 的对应点，新抛物线顶点为E ，它与y 轴交于点G ，连接CG ，EG ，CE ．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F ，使以点C ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K 是y 轴上的一个动点，且在点B 的上方，过点K 作CE 的平行线，分别交两条抛物线于点M ，N ，且点M ，N 分别在y 轴的两侧，当MN ＝CE 时，请直接写出点K 的坐标．8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数33y x 42=+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象相交于点(),3A a ，与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当ABD △是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标． 9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0k y k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值．10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0k y x x =>的图像经过点B ，求k 的值．11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1k y x=（0x >）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，点P 的坐标为______． 12．（2021·广西中考真题）如图①，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，14BC =，8AD =，6BD =点E 是AD 上一动点（不与点A ，D 重合），在ADC 内作矩形EFGH，点F 在DC 上，点G ，H 在AC 上，设DE x =，连接BE ．（1）当矩形EFGH 是正方形时，直接写出EF 的长；（2）设ABE △的面积为1S ，矩形EFGH 的面积为2S ，令12Sy S =，求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）如图①，点(,)P a b 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P 的直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由．13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．（理解）（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；①比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；①通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数m y x=的图象经过点(2,3)A ．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数m y x=的图象上点A 的右侧取点C ，作CH ①x 轴于H ，过点A 作y 轴的垂线AG 交直线CH 于点D ．①过点A ，点C 分别作x 轴，y 轴的垂线，交于B ，垂足分别为为F 、E ，连结OB ，BD ，求证：O ，B ，D 三点共线；①若2AC OA =，求证：2AOD DOH ∠=∠．15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 的两边,AB BC 的长分别为3，8，C ，D 在y 轴上，E 是AD 的中点，反比例函数()0k y k x=≠的图象经过点E ，与BC 交于点F ，且1CF BE -=．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使得23CEP ABCD S S =矩形，求此时点P 的坐标．16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖北中考真题）抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标； ①如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标； （2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值．18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2bc ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1b c x a -+=． ①求证：AOC DOB ≅；①连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1c x 的值．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标：①若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值； （3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等．①证明上述结论并求出点F 的坐标；①过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值； （3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()()14y x x n =-+-与x 轴交于点A 和点()(),04B n n ≥-，顶点坐标记为()11,h k ．抛物线()222229y x n n n =-+-++的顶点坐标记为()22,h k ．（1）写出A 点坐标；（2）求1k ，2k 的值（用含n 的代数式表示）；（3）当44n -≤≤时，探究1k 与2k 的大小关系；（4）经过点()229,5M n n +-和点()22,95N n n -的直线与抛物线()()14y x x n =-+-，()222229y x n n n =-+-++的公共点恰好为3个不同点时，求n 的值．25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式； （2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ．①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；①求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()()0,2,4,0A B -两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为,G DG 分别交直线,BC AB 于点,E F ．（1）求抛物线212y x bx c =++的表达式； （2）当12GF =，连接BD ，求BDF 的面积；（3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标； ①在①的条件下，第一象限有一动点P ，满足2PH PC =+，求PHB △周长的最小值．30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ．①求抛物线1C 的解析式．①设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）；（2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线()2=2+0y ax x c a -≠与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；（3）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与①BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y m x x -++⋅=->与x 轴交于()()1,0,,0A B m -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标；（3）设直线12y x b =+与抛物线交于,B G 两点，问是否存在点E （在抛物线上）．点F （在抛物线的对称轴上），使得以,,,B G E F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F 的坐标；若不存在，说明理由．34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP∠=∠，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，90ABC∠=︒，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当0t<时，点C的横坐标的取值范围．35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知45RPQ∠=︒，ABC中90ACB∠=︒，动点P从点A出发，以的速度在线段AC上向点C运动，,PQ PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE AB⊥，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为s x，RPQ∠与ABC的重叠部分面积为2cmy，y与x的函数关系由15 (0)C x<≤和2() 5C x n<≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5sx=时，EF=______cm；①sin A=______；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当236cmy≥时，请直接写出．．．．x的取值范围．36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c=++的图象经过点(2,3)C-且与x轴交于原点及点(8,0)B．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O 的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值． 37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，OA AB =，且线段OA 的长是方程2450x x --=的根，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，4tan 3BAE ∠=，动点M 以每秒1个单位长度的速度，从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，到达点B 停止．过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，以MD 为边作正方形MDCF ，点C 在线段OA 上，设正方形MDCF 与AOB ∆重叠部分的面积为S ，点M 的运动时间为()0t t >秒．（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M A O P、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线3=-+与y xx轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数2=++的图象过B、C两点，且y ax2x c与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y 轴交BC于点F，交二次函数2=++的图象于点E．y ax2x c（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．。
第33课 统计与概率 (原卷版)-2021年中考数学学霸必刷测评卷(专题+综合)
2021年中考数学学霸必刷测评卷（专题+综合）第八单元统计与概率第33课：统计与概率一．选择题（共7小题）1．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是( )A．12B．24C．1188D．11762．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）．下列说法不正确的是()A．这次被调查的学生人数为400人B．E对应扇形的圆心角为80C．喜欢选修课F的人数为72人D．喜欢选修课A的人数最少3．小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为()A．3种B．4种C．8种D．9种4．社会主义核心价值观知识竞赛成绩结果统计如下表：成绩在91~100分的为优胜者，则优胜者的频率是( )A．35%B．30%C．20%D．10%5．国际上通常用恩格尔系数（记作)n来衡量一个国家和地区人民的生活水平的状况，它的计算公式：n x y x：家庭食品支出总额；:y家庭消费支出总额）．各种家庭类型的n如下表：/(已知王先生居住地2008年比2003年食品价格上升了25%，该家庭在2008年购买食品和2003年完全相同的情况下多支出2000元，并且23600y x（单位：元），则该家庭2003年属于()A．贫困B．温饱C．小康D．富裕6．某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：根据以上信息，下列推断合理的是()A．改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化B．改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍C．改进生产工艺后，C级产品的数量减少D．改进生产工艺后，D级产品的数量减少7．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是()A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7，8月份C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次D．2017年至2019年，各年下半年(7月至12月）的月接待旅游量相对于上半年(1月至6月）波动性更小，变化比较平稳二．填空题（共5小题）8．为了了解我县6999名九年级学生的视力情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④分析数据；⑤整理数据．则正确的排序为．（填序号）9．某自然保护区的工作人员，欲估算该自然保护区栖息的某种鸟类的数量．他们首先随机捕捉了500只这种鸟，做了标记之后将其放回，经过一段时间之后，他们又从该保护区随机捕捉该种鸟300只，发现其中20只有之前做的标记，则该保护区有这种鸟类大约只．10．小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有20根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件．则小明第一次应该取走火柴棒的根数是．11．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点分在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB CD，CD MN，小明随意向水平放置的该圆形区域内抛一个小球，则小球停在该图中阴影部分区域的概率为．12．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片()a b，其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是．三．解答题（共3小题）13．老王的鱼塘里年初养了某种鱼2000条，到年底捕捞出售，为了估计鱼的总产量，从鱼塘里捕捞了三次，得到如下表的数据：若老王放养这种鱼的成活率是95%，则：（1）鱼塘里这种鱼平均每条重约多少千克；（2）鱼塘里这种鱼的总产量多少千克？14．某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2，请结合图中相关数据回答下列问题：（1）则样本容量是，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．n36n69n912n12151518n15．诗词是我国古代文化中的瑰宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对诗词的学习情况，举办了一次“中华诗词”背诵大赛，随机抽取了部分同学的成绩(x为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计图表．x6070x7080x8090x100根据以上信息解答下列问题：（1）统计表中a，b，c；（2）扇形统计图中，m的值为，“E”所对应的圆心角的度数是（度)；（3）若参加本次大赛的同学共有4000人，请你估计成绩在80分及以上的学生大约有多少人？。
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2021年中考数学复习题
9．（3分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A．B．C．D．
【分析】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD ⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．由AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，可得72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，推出AD=4，由•BC•AD=（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4，
∵•BC•AD=（AB+BC+AC）•r，
×5×4=×20×r，
∴r=，
故选C
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个
数最多为（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；【解答】解：如图：
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．。