函数的极值与导数(hhm)定稿
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f （x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f （x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。
3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。
2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。
3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。
5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。
五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。
2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。
4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。
七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。
导数与函数的极值
导数与函数的极值函数的极值是指函数在某个区间上取得的最大值或最小值。
导数是函数变化率的度量，通过导数我们可以研究函数的极值情况。
在本文中，我们将讨论导数与函数的极值之间的关系以及如何运用导数来确定函数的极值。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化速率。
对于可导函数f(x)，其导数定义为：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx其中，Δx表示x的增量，Δx→0表示Δx趋近于0。
导数的值代表了函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义函数的极值包括最大值和最小值。
在某个区间上，如果函数在某一点的导数为0，那么该点可能是函数的极值点。
具体而言，若函数在该点的导数由正变负，这个点就是极大值点；若函数在该点的导数由负变正，这个点就是极小值点。
3. 导数与函数极值的关系函数的极值点必然是函数的驻点，即导数为0的点。
然而，只有导数为0的点不一定是极值点。
根据导数的定义，我们可以利用导数判断函数的极值点。
具体来说：- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后改变，那么该点就是函数的极值点。
- 如果函数在某一点的导数为0，并且导数的符号在此点前后不改变，那么该点可能是函数的驻点但不是极值点。
4. 导数的应用利用导数判断函数的极值点可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以通过求解某种产品的利润函数来确定最大化利润的产量。
通过求解利润函数的导数，我们可以找到使利润最大化的产量。
同样地，在物理学中，我们可以使用导数来分析物体的运动情况。
通过求解位置函数的导数，我们可以找到物体的最大速度和最大加速度的时刻。
此外，在数学建模和优化问题中，导数也是一种重要的工具。
通过确定函数的极值点，我们可以优化函数的性能，以满足特定需求。
5. 导数与极值的例子例如，我们考虑函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的极值问题。
首先，我们求解函数的导数f'(x) = 2x。
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值在微积分中，导数是描述函数局部变化率的工具，而函数的极值和最值则是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
导数与函数的极值与最值密切相关，通过导数的计算可以确定函数的极值和最值点的位置。
本文将探讨导数与函数的极值与最值之间的关系。
一、导数与函数的极值在微积分中，导数反映了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，若存在导数f'(a)，则在点a处函数f(x)在该点的变化速率为f'(a)。
导数的正负决定了函数的增减性，即导数大于0表示函数在该点上升，导数小于0表示函数在该点下降。
函数的极值点即为函数在区间内的最值点，包括极大值和极小值。
在导数的帮助下，我们可以通过求解导数为零的点来确定函数的极值点。
根据费马定理，对于可导的函数f(x)，如果函数在某一点x=a处取得极值，且f'(a)存在，则f'(a)=0或f'(a)不存在。
为了确定函数的极值点，我们需要进行以下步骤：1. 求函数的导数f'(x)；2. 找到导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 对求得的点进行二阶导数测试，判断其是极大值还是极小值。
二、导数与函数的最值除了极值点外，函数在特定区间内还可能有最大值和最小值。
与极值点不同，最值点可能出现在函数的端点或者函数在区间内的某个点上。
因此，函数的导数对于确定最值点的重要性较小。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，要确定函数的最大值和最小值，可以按照以下步骤进行：1. 求函数在区间[a, b]内的导数f'(x)；2. 找到区间内的所有导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 将导数为零或不存在的点与区间的端点进行比较，确定最大值和最小值。
需要注意的是，求得的极值和最值点可能存在于导数为0或不存在的点上，也可能出现在区间的端点上。
因此，在寻找最值点时，需要综合考虑这些情况。
数学导数与函数极值的关系知识点
数学导数与函数极值的关系知识点在咱们学习数学的漫漫长路中，导数与函数极值的关系这个知识点，那可真是让人又爱又恨。
今天，我就来跟您好好唠唠这个看似神秘，实则有趣的家伙。
先来说说啥是导数。
这导数啊，就像是函数的“侦察兵”，能告诉咱们函数在某一点的变化快慢。
想象一下，函数图像就像是一条弯弯曲曲的道路，而导数呢，就是在每个点上告诉你这条路是在上坡、下坡还是走平路。
那函数极值又是啥呢？简单说，就是函数在某个区间内达到的最大值或者最小值。
比如说，您开着车在山路上行驶，总有那么几个点是最高的山峰或者最低的山谷，这就是极值点。
这导数和函数极值到底有啥关系呢？这关系可大着呢！咱们先假设一个函数 f(x) ，然后对它求导，得到 f'（x) 。
当 f'（x)＝ 0 的时候，这一点就有可能是极值点。
但要注意哦，只是有可能，不是一定！这就好比您在路上看到一个牌子写着“可能有宝藏”，但到底有没有，还得进一步考察。
我给您举个特别通俗的例子。
比如说有个函数 f(x) ＝ x² 4x ＋ 3 ，咱们来求它的极值。
先求导，f'（x) ＝ 2x 4 。
让 f'（x) ＝ 0 ，也就是 2x 4 ＝ 0 ，解出来 x ＝ 2 。
那 x ＝ 2 这个点是不是极值点呢？这时候还不能确定，咱们得再看看它两边的情况。
当 x ＜ 2 的时候，比如说 x ＝ 1 ，f'（1) ＝ 2×1 4 ＝－2 ，这说明函数在 x ＝ 1 这点是在下降的。
当 x ＞ 2 的时候，比如说 x ＝ 3 ，f'（3) ＝ 2×3 4 ＝ 2 ，这说明函数在 x ＝ 3 这点是在上升的。
您瞧，从下降变成上升，中间经过的 x ＝ 2 这个点，不就是极小值点嘛！把 x＝ 2 代入原函数 f(2) ＝ 2² 4×2 ＋ 3 ＝－1 ，所以极小值就是－1 。
再比如说，有个函数 f(x) ＝ x³＋ 3x²，还是先求导，f'（x) ＝－3x²＋ 6x 。
导数与函数的函数极值定理详解
导数与函数的函数极值定理详解函数的极值是函数在某个区间上最大或最小的值。
函数的极值点则是函数取得极值的点。
函数的极值点与导数息息相关，导数可以帮助我们确定函数的极值点所在位置。
在本文中，我们将详细讨论导数与函数的函数极值定理，揭示其中的原理和应用。
一、导数的定义和性质在我们深入探讨导数与函数的函数极值定理之前，我们先来回顾一下导数的定义和性质。
1. 导数的定义给定函数$f(x)$，若极限$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 存在，则称该极限为函数$f(x)$在$x$处的导数，记作$f'(x)$。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。
通过导数的概念，我们可以研究函数的变化趋势和曲线的形状。
3. 导数的性质（1）常数的导数为零：$\frac{d}{dx}c=0$，其中$c$为常数。
（2）幂函数的导数：$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，其中$n$为实数。
（3）指数函数的导数：$\frac{d}{dx}a^x=\ln a\cdot a^x$，其中$a>0$，$a\neq 1$。
（4）对数函数的导数：$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$。
二、函数的极值定理函数的极值定理是导数与函数极值之间的重要联系。
它指出，若函数在某个区间内可导，且导数在该区间内既大于零又小于零，那么函数在该区间内必然存在极值点。
具体而言，如果函数在某个区间上连续，且在该区间某一点$x_0$处导数大于零，在该点左侧导数小于零，在该点右侧导数又大于零，那么函数在点$x_0$处必然存在极小值。
同理，如果函数在某个区间上连续，且在该区间某一点$x_0$处导数小于零，在该点左侧导数大于零，在该点右侧导数又小于零，那么函数在点$x_0$处必然存在极大值。
三、导数的应用导数不仅用于求函数的极值，还可以应用于解决其他数学问题。
下面介绍几个常见的导数应用。
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是高中数学中的重要知识点，也是数学分析中的基础内容。
导数可以帮助我们分析函数的变化趋势，而极值与最值则能帮助我们找到函数的局部极大值和最大值。
本文将对导数与函数的极值与最值进行总结和介绍。
一、导数的定义与求法1.导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，可以理解为函数图像在该点的斜率。
若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数表示为f'(x)，可以用极限的形式来定义，即：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h2.导数的求法常见函数的导数求法有以下几种方法：（1）利用导数定义进行求解，使用极限的性质来计算；（2）使用基本导数公式，如常数函数导数为0，幂函数导数为幂次减1等；（3）使用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等；（4）利用复合函数、反函数和参数方程的求导法则；（5）利用隐函数求导法则，将函数的表达式转化为关于x和y的方程，然后进行求导等。
二、函数的极值与最值1.极值的定义函数f(x)在点x=a处的极值，指的是函数在该点的函数值最大或最小。
如果存在f(a) > f(x)（或f(a) < f(x)）对于x在a的某个邻域内成立，则称f(a)是函数的极大值（或极小值）。
2.函数极值的判定条件对于函数f(x)，有以下判定条件可以帮助我们确定其极值：（1）一阶导数的零点：若f'(x) = 0，则该点可能为函数的极值点；（2）二阶导数的符号：若f''(x) > 0，则该点为函数的极小值点；若f''(x) < 0，则该点为函数的极大值点；（3）导数的单调性：若f'(x)在某个区间上始终保持正（或负）号，则该区间上的极值点为极小值（或极大值）点；（4）端点：函数在区间的端点上也可能存在极值。
3.最值的定义与求法函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值称为最值。
导数与函数极值
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得。
函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1)
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
【函数的极值与导数的关系】
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f (x3)
f (x4 )
f ()
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况;
极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是
极大值 C.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
【求函数极值的步骤】
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函 数的极值点与极值.
作业：P99 A 5（2）（4） 预习：函数与最值
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
函数极值与导数的关系
函数极值与导数的关系
函数极值与导数的关系在高等教育中起着重要的作用。
函数极值可以用来反映
函数在其区间上的最大值或最小值，是复习数学分析的重要一环，而数学分析也是大学数学课程的常见内容。
导数可以定义为函数的变化率，它能反映函数在每点的斜率，它的定义也是基础数学学科的核心内容。
因此，函数极值与导数的关系不可忽视，它也是其他学科如物理等的基础内容。
函数极值与导数的关系可以被简单地表述为：函数极值是函数弯曲变化的条件，而导数是求函数极值的重要方法。
因此，如果我们希望求函数的极值，则必须首先找出函数的导数，然后根据导数判断函数弯曲变化的情况，最后再求出函数极值的值和位置。
同样，我们也可以通过对导数的研究，将函数极值的值和位置反推到导数的表达式中，从而解决更多复杂的问题。
总而言之，函数极值与导数的关系在高等教育中起着至关重要的作用。
任何涉
及函数分析的研究，都必须把握好函数极值与导数的相互关系，以保证我们的研究在分析的准确性。
函数极值与导数的关系也定义了许多数学规律，从来无止境地活跃着，鼓舞着数学研究的发展。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f （x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
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单调递增
f ( x0 ) 0
单调递减
f ( x0 ) 0
求解函数极值的一般步骤： （1）求函数的导函数并确定函数的定义域
（2）求方程 f ( x) 0的根
（3）用方程 f ( x) 0的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格 （4）由f ( x)在方程 f ( x) 0的根左右的符号，来判 断在这个根处取极值的情况 若 f ( x0 )左正右负，则 f ( x0 )为极大值； 若 f ( x0 )左负右正，则 f ( x0 )为极小值。
-8 -7 -6
-1.3
o
2
5.5
12
15
x
函数的极大值一定大于极小值吗？
y
y f ( x)
ab c
d
o
e
f
g h
x
练习：求函数 的极值.
1 3 f ( x) x 4 x 4 3
1 3 练习：求函数 f ( x) x 4 x 4 的极值. 3 2 解: f ( x) x 4 ，定义域为R 令 f ( x) 0, 解得 x 2, 或 x 2.
3
2
y
y x3
可知f ( x) 3x , 从而f (0) 0
但x=0不是函数的极值点
o x
只有 f ( x0 ) 0且x0两侧单调性不 x0 才是极值点. 同，
强调：
可导函数在某点 x0 处取得极值的充要条件 ：
f ( x0 ) 0且在点 x0的左右附近的导数值符号要相反
练习：求函数 f ( x) ln x x 的极值
1 1 x f ( x) 1 ( x 0) 解： x x
解 f ( x) 0 得 x 1， 列表，得
(0, 1) 1
x f ( x) f (x )
(1,+
)
+
0 -1
-
所以, 当 x = 1 时, f (x)有极大值 -1 .
由 f ( x ) <0,得-2<x<1,
所以f(x)的单调减区间为(-2,1).
在x= a附近的左侧 f ( x) >0 ，函数单调递增 ;
在x= a附近的右侧 f ( x) <0 ，函数单调 递减 .
我们把点 a 叫做函数y=f(x)的 极大值点， f( a)叫做函数y=f(x)的 极大值 .
对于点 b
函数 y f ( x)在点 b 的函数值比在其附近其他点
的函数值都 小 ，且 f (b) =0
。
在x= b附近的左侧 f ( x) <0 ，函数单调 递减 ;
在x= b 附近的右侧 f ( x) >0 ，函数单调 递增 .
我们把点 b 叫做函数y=f(x)的极小值点， f(b)叫做函数y=f(x)的 极小值 .
观察下面函数图象,指出函数的极 值点和极值:
y
11 9 7 5 4
y f ( x)
列表，得:
f ( x)
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2) – 单调递减
8 (x)有极大值 3 ;
4 3
2 0
4 3
( 2, +∞)
+
0
8 3
+
单调递增
f ( x) 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f 当 x = 2 时, f
(x)有极小值
.
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
例如f ( x) x
f (1)
0； f (3) 0；
0；
(2)
(3) x (4,2),
f ( x) 是否有最值，如果有，是多少？
x (2,6), f ( x) 是否有最值，如果有，是多少？ (4) x R, f ( x)是否有最值，如果有，是多少？
观察
1 3 பைடு நூலகம் f ( x) x x 3 x 3
函数极值的定义 函 数 极 值
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点 x0 称为极值点.
函数极值的求法
求极值的步骤:1.求导，2.求极点，3.列表，4.求极值
作业：P96练习1、（3）（4）练习2 P 习题3.3A组：4题，5题
98
例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1 处取得极值： (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间. 解：(1) f ( x )=3ax2+2bx-2 因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以 f (2) 0, f (1) 0
5 A(1, ) 3
A(-1,5/3)
3
图象
y
2
2
10
-8
8
-6
6
-4
4
-2
2
a -1 0
1 1 2 3 4
2 3
3
b
4
4
6
6
8
8
10
10
12
x
14
5
6
7
8
9
B(3,9)
B(3,-9)
对于点 a
函数 y f ( x)在点 a的函数值比在其附近其他点
的函数值都 大 ，且 f (a) =0
。
1 1 2 3 4
3
b
4
4
6
6
8
8
10
10
12
x
14
5
6
7
8
9
B(3,9)
B(3,-9)
3
A(-1,5/3)
2
1
10
-8
8
-6
6
-4
4
-2 -1
2
1
0
2 3 4
2
3
4
6
6
8
8
10
10
12
14
2
3
4
5
6
7
8
9
B(3,-9)
问题：(1)
x (,1), f ( x) 0；x (1,3), f ( x) x (3,), f ( x) 0.
12a 4b 2 0 即 3a 2b 2 0
1 3 1 2 所以f ( x) x x 2 x 3 2
1 a 解得 3 1 b 2
(2)
f ( x )=x2+x-2
由 f ( x ) >0,得x<-2或x>1, 所以f(x)的单调区间为(-∞,-2) ,(1,+∞)
张家口市宣化一中
陈志江
1、函数的单调性与导数的关 系是怎样的？ 2、求函数 区间。
1 3 2 f ( x) x x 3 x 3
的单调
观察
1 3 2 f ( x) x x 3 x 3
5 A(1, ) 3
A(-1,5/3)
3
图象
y
2 3
2
2
10
-8
8
-6
6
-4
4
-2
2
a -1 0
求导—求极点—列表—求极值
练习 、判断下面4个命题，其中是真命题的 序号为 。
①若 f ( x0 ) 0,则 f ( x0 ) 必为极值；
② f ( x) x 5 1 在 x 0 处取极大值0；
③图象连续函数相邻的两个极值，极小值一 定小于极大值； ④对于任意一个函数，它的极小值（或极大 值）至少有一个.