8-1 微分方程基本概念
微分方程数值解
一是大量用于设计工作的实验被数学 模型的研究逐步取代，如航天飞机设 计、反应堆设计、人工心瓣膜设计等； 二是能获取和存储大量的数据，并能 提取隐秘的信息，如计算机层析X射 线摄影，核磁共振等。
3．战略计算
“战略计算”一词首次 出现在1995年美国为了 确保核库存的性能、安 全性、可靠性和更新需 要而实施的“加速战略 计算创新（ASCI）计 划”。
绝对误差还不能完全表示近似值的好坏
Def 1.2 （相对误差/* relative error */ ）
e x x 近似值 的误差 与准确值 的比值：
e x x
x x 称为近似值 的相对误差，记作
x 注： 实际计算时，相对误差通常取
er
e x
因为 e x
e x
由于核武器研制需要，1950年全球只 有15台，到了1962年9月仅美国就有 16187台计算机。
60年代中期开始推出小型计算机，70 年代末推出个人计算机，80年代中期 又推出高性能的超级微机。而计算物 理发展所涉及的大规模科学计算和模 拟所需要的大型计算机却未得到发展。
1981年以哈佛大学普雷斯(W. H. Press) 为首的11位著名科学家联名上书，向 美国国家科学基金会(NSF)呈送“发 展计算物理的建议书”，大声疾呼计 算物理发展正处于一个危机阶段，是 NSF采取实质性行动的时候了。
１９９８年９月，美国ＤＯＥ在全国 范围内倡议实施“科学模拟计 划”(SSP)，提出要加速“燃烧系统” 与全球气候系统“这两大应用领域的 科学模拟研究。
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
第八章：常微分方程
第八章：常微分方程本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．§8.1 一阶微分方程本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．● 常考知识点精讲一、常微分方程的概念含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．若记自变量为x ，未知函数为()y y x =，则n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,)0n F x y y y '=若函数()f x 在I 上存在n 阶导数，且满足方程()(,(),(),,())0n F x f x f x f x '≡ ，()x I ∈则称()f x 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 在I 上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．二、一阶微分方程的类型及其解法1．变量可分离的一阶微分方程形如：()()dyf xg y dx=或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=的方程，称为变量可分离的微分方程． 解法：分离变量法． 2．一阶线性微分方程形如：()()y P x y Q x '+=的方程，叫一阶线性微分方程．解法：通解由公式()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰给出．3．全微分方程（数一） ⑴ 全微分方程及其解法如果一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=满足Q Px y∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 解法：通解由公式00(,)(,)xyx y P x y dx Q x y dy C +=⎰⎰给出．⑵ 积分因子如果条件Q Px y∂∂=∂∂不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)u x y ，使方程(,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy ⋅+⋅=成为全微分方程，则称(,)u x y 是微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子．⑶ 求积分因子 求积分因子，一般说来不是一件容易的事，通常只要求掌握用观察法求积分因子就行了． ① 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有xdx ydy +的项，而其它项中都含有因式22x y +，则方程可能有积分因子221x y +．② 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy +的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ③ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ④ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项都只是含x （或y ）的微分表达式，则方程可能有积分因子21x （或21y）． ⑤ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式22x y +（或22x y -），则方程可能有积分因子221x y +（或221x y -）．4．一阶齐次微分方程形如()yy f x'=的一阶微分方程，叫一阶齐次微分方程． 解法：设yu x=，将方程化为可分离变量方程． 5．贝努利方程（数一）形如()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠的方程叫贝努利方程． 解法：令1nz y-=，将方程化为z 的一阶线性方程．6．可化为一阶齐次的微分方程形如111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠的一阶微分方程叫可化为一阶齐次的微分方程． （当11220a b a b =时，读者自己考虑如何求解）[例1.1] 求下列方程的通解⑴ ()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= ⑵sin cos x y y x e -'+= 解：⑴ 方程变形为 (1)(1)0y x x y e e dx e e dy -++= 这是可分离变量的微分方程，分离变量得(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-上式两端求不定积分(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-⎰⎰所以 ln(1)ln(1)ln x y e e c +=--+ 故原方程通解为 (1)(1)xye e c +-=；⑵ 方程是一阶线性微分方程，其通解为cos cos sin ()xdx xdxx y e e e dx c --⎰⎰=+⎰sin sin sin sin ()()xx x x e e e dx c e x c ---=+=+⎰．●● 常考题型及其解法与技巧一、变量可分离的方程变量可分离的方程()()dyf xg y dx=求通解的思路：①变量分离，将原方程化为()()dy f x dx g y =；②两端积分()()dyf x dxg y =⎰⎰，可得． [例8.1.1] 求微分方程sin cos ln 0x xdx y ydy -=的通解 解：将方程分离变量，得ln sin cos dy dxy y x x=等式两端分别求不定积分ln sin cos dy dxy y x x=⎰⎰即有 2ln ln ln tan ln cos tan dxy x c x x ==+⋅⎰所以方程通解为 t a nc x y e =．[例8.1.2] 求方程221dyx y xy dx=-+-满足初始条件(0)1y =的特解． 解：方程变形为2(1)(1)dyx y dx=-+ 分离变量得2(1)1dyx dx y=-+ 等式两端分别求不定积分2(1)1dyx dx y =-+⎰⎰即有 21arctan 2y x x c =-+ 由(0)1y =，可得4c π=，所以方程的特解为21tan()24y x x π=-+． 二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程求通解的一般思路就是利用通解公式完成．[例8.1.3] 求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件()1y e =的特解． 解：将方程化为11ln dy y dx x x x+=，这是一阶线性微分方程，其通解为 112ln ln 111[](ln )ln 2dx dx x x x x y e e dx c x c x x -⎰⎰=+=+⎰ 由()1y e =可得12c =．所以方程的特解为 11ln 22ln y x x=+[例8.1.4] 求微分方程2412dy y dx y xy+=-的通解． 解：此微分方程既不是齐次微分方程也不是变量可分离的微分方程．若以y 为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x 为未知函数的微分方程，即4221dx y xy dy y -=+，也就是422211dx y y x dy y y+=++． 这是以x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得 22224511225[]15(1)yydydy y y y y cx ee dy c y y -++⎰⎰+=+=++⎰ 评注：在判定一个微分方程是否为一阶线性微分方程时，应注意适当选择变量作函数．三、通过变量代换求解的方程Ⅰ 齐次微分方程齐次微分方程()dy yf dx x=求通解的思路：①令y u x =，则原方程化为()xu f u u '=-（*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的u 用yx代换即得原方程的通解．[例8.1.5] 求微分方程22dy xy dx x y=-满足(0)1y =的特解． 解：方程是一阶齐次微分方程，令yu x=，则原方程变为 21du u u x dx u +=-，即321du u x dx u=-， （*） 求得方程（*）的通解为 212u cux e-=，即222x y cy e-=， 由于(0)1y =，所以，1c =，从而所求特解为222x y y e -=．Ⅱ 可化为齐次的微分方程 方程111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠求通解的思路：①解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩得x h y k =⎧⎨=⎩；②令x X h y Y k=+⎧⎨=+⎩，原方程变为1122()a X bY dY f dX a X b Y +=+ （*）；③求方程（*）的通解；④将上通解中的,X Y 分别用,x h y k --代换即得原方程的通解． [例8.1.6] 求微分方程13x y y x y ++'=--的通解．解：解方程组1030x y x y ++=⎧⎨--=⎩得1,2x y ==-令1,2x X y Y =+=-，则原方程变为dY X YdX X Y+=- （*） 令Y u X =，则dY duu X dX dX=+，方程（*）变为21111du u u X u dX u u++=-=-- （**） 可求得方程（**）的通解为21arctan ln(1)ln 2u u X c -+-= 所以方程（*）的通解为221arctan ln()2Y X Y c X -+= 因此原方程的通解为： 2221arctan ln(245)12y x y x y c x +-+-++=-． Ⅲ 贝努利方程贝努利方程()()(0,1)n y P x y Q x y n '+=≠求通解的思路：① 令1n z y -=，则原方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- （*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的z 用1ny -代换即得原方程的通解．[例8.1.7] 求微分方程43sec tan y y x y x '-=的通解． 解：令3z y -=，所给方程化为一阶线性方程为：sec tan dzz x x dx +=- 新方程的通解为 c o s 1s i n()1sin cos cos x x z x c x x x=--+++ 因此原方程的通解为 3c o s 1s i n ()1sin cos cos x x y x c x x x-=--+++． [例8.1.8] 求方程2223(23)0dy x x y xy y dx--+=的通解． 解：若将x 看成自变量，y 看成因变量，则是不为我们熟习的基本类型．此时交换自变量与因变量的位置得2223230x x y xy dxy dy--+=，即22332()dx x x dy y y y -=- 这是贝努利方程，令1z x=，则上方程变为32123dz z dy y y y+=- 上方程为一阶线性微分方程，通解为()()[()]p y dyp y dyz e Q y e dy c -⎰⎰=+⎰12[3ln ]y c y y=--+ 所以原方程通解为23ln y y c x y=--+． 评注：在判定一个方程是否为贝努利方程时，应注意适当选择变量作函数． Ⅳ 其它情形 [例8.1.9] 求微分方程2221dy x y dx y x -+=-+的通解． 分析：此微分方程的形式类似于[例8.1.6]，但21021-=-，不是可化为一阶齐次的情形．解：作代换2x y u -=，则2dy du dx dx =-，于是方程化为 221du u dx u +-=-，即31du u dx u =- 这是变量可分离的方程，容易求得其通解为 1ln 3u u x c -=+ 用2u x y =-回代，得原方程的通解为 ln 2y x x y c ++-=．[例8.1.10] 求微分方程22()()0y xy dx x x y dy ++-=的通解．分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的类型，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成(1)(1)dy y xy dx x xy +=- 发现方程右端的分子分母中都含有xy 的一次式，这就启示我们，可考虑尝试变量代换xy u =，此时21()dy du x u dx x dx=⋅-，原方程变为 221(1)()(1)du u u x u x dx x u +⋅-=-，即221du u x dx u =- 这是可分离变量的方程．易求得其通解为 21ln ln u cx u+=所以原方程的通解为 1xy xc e y=．[例8.1.11] 求微分方程(1)yx dye xe dx-+=的通解． 分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的六种类型之一，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成1x y dyxe dx+=- 方程的右端含有x y +，可考虑尝试变量代换u x y =+，此时1dy du dx dx=-，于是方程化为u duxe dx= 这是变量可分离的方程，易求得其通解为 212ue x c --=+ 从而原方程的通解为 ()2102x y ex c -+++=． 四、全微分方程全微分方程求通解可以利用公式求，也可以将方程化为0du =，从而得到通解(,)u x y c =．[例8.1.12] 求微分方程2322(2sin 3)(cos )0x y x y dx x x y y dy ++++=的通解．解：令2322(,)2sin 3,(,)cos P x y x y x y Q x y x x y y =+=++，则它们在整个平面上都有连续一阶偏导数，且22cos 3P Q x y x y x∂∂=+=∂∂，故方程是全微分方程，它的通解为0(,0)(,)xy P x dx Q x y dy c +=⎰⎰，即3231sin 3x y x y y c ++=．[例8.1.13] 求微分方程224(144)0xdx y x y y dy +++=的通解． 解：这不是全微分方程．将其改写成3224()0xdx ydy y x y dy +++= 方程有积分因子221(,)u x y x y =+，用它乘方程的两端得32240xdx ydy y dy x y++=+即有 2241[ln()]02d x y y ++= 所以原方程通解为2241ln()2x y y c ++=． [例8.1.14] 设()f x 有一阶连续导数，(0)1f =，又设2()(()2)0y xy dx f x xy dy +++=是全微分方程，求()f x 及该全微分方程的通解． 解：由题设知2(()2)()f x xy y xy x y∂∂+=+∂∂ 即 ()f x x '=，所以21()2f x x c =+ 又(0)1f =，从而1c =，故21()12f x x =+．代入原方程，得221()(21)02y xy dx x xy dy ++++=从而可得 221()02d xy x y y ++=所以原方程的通解为 2212xy x y y c ++=．五、一阶微分方程综合题型Ⅰ 由自变量的改变量与函数改变量的关式式确定的方程此类题的解题思路：① 由导数的定义，通过所给关系式，建立微分方程；②求解微分方程．[例8.1.15] 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量()1yy x o x x∆=∆+∆+(0)x ∆→， (0)1y =，则(1)y =（A ）1- （B ） 0 （C ）1， （D ）2解：由于()1yy x o x x∆=∆+∆+，所以 ()1y y o x x x x∆∆=+∆+∆ 上是两端令0x ∆→可得1y y x'=+这是变量可分离的一阶微分方程，其通解为(1)y c x =+， 又因为(0)1y =，所以1c =，从而(1)2y =，故应选（D ）． [例8.1.16] 设()y y x =满足21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，且(0)0y =，则1()_____y x dx =⎰．解：由于21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，所以21()2y x o x x x x x∆-∆=+∆∆- 因此上式中令0x ∆→可得212x y x x-'=-，于是 22y x x C =-+又(0)0y =，从而0c =， 所以22y x x =-．故11122000()21(1)y x dx x x dx x dx =-=--⎰⎰⎰1sin 02202cos cos cos 4x tt tdt udu πππ-=-===⎰⎰．Ⅱ 积分方程求解积分方程的一般思路：①积分方程两端求导数，去掉方程中的积分号，然后化成微分方程；②对微分方程求解（一般情况下是求特解）． [例8.1.17] 已知()f x 满足0()()xf x x f x t dt =+-⎰，则()______f x =．解：由于0()()xf x x f x t dt =+-⎰，令x t u -=可得()()x f x x f u du =-⎰上式两端对x 求导得()1()f x f x '=+这是一阶线性微分方程，求得其通解为()1xf x ce =-， 由积分方程可得(0)0f =，从而1c =，故()f x =1xe -．[例8.1.18] 设()f t 连续，且2222()()[1]Df x y f t x dxdy x y +=++⎰⎰，其中 222:,0,0.(0)D x y t x y t +≤≥≥>，求()f x ．解：由于22222200()()()[1]cos [1]t Df x y f r f t x dxdy d r rdr x y r πθθ+=+=++⎰⎰⎰⎰ 2220cos ()cos ttd r dr d f r dr ππθθθθ=+⎰⎰⎰⎰3()3t t f r dr =+⎰ 所以 3()()3t t f t f r dr =+⎰上式两端求导可得：2()()f t t f t '=+，且(0)0f = 微分方程是一阶线性微分方程，可求得其通解为2()(22)t t t t f t e t e te e c ---=---+，由(0)0f =可得2c =，所以2()(222)x x x x f x e x e xe e ---=---+．Ⅲ 含分段函数的微分方程含分段函数的微分方程解题思路：①在分段函数定义域内的不同段上分别求微分方程的通解；②利用方程通解的连续性，确定不同段上对应的通解中的任意常数之间的关系；③写出微分方程的通解．[例8.1.19] 设有微分方程2()y p x y x '+=，其中1,1()1,1x p x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使其满足所给的微分方程，且满足条件(0)2y =．解：当1x ≤时，微分方程为2y y x '+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为2211()[(22)]dx dx x xy e x e dx c e x x e c --⎰⎰=+=-++⎰当1x >时，微分方程为21y y x x'+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 11241211()()4dx dx xx y ex e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰ 由于方程的解在点1x =处连续，所以2111lim [(22)]lim x xx x e x x e c -+-→→-++=4211()4x c x + 从而12134c c e -=+所以原方程通解为23122,1113(),144x x x ce x y x ce x x --⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩ 由于(0)2y =，所以0c =，所以满足条件的函数为2322,113,144x x x y x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩． Ⅳ 已知函数在一点可导，求函数表达式此类题解题思路：①利用导数的定义，建立所求函数的微分方程；②求解该微分方程． [例8.1.20] 已知()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且对任意,x y 满足()()()y x f x y e f x e f y +=+又()f x 在0x =可导，(0)f e '=，求函数()f x ． 解：由()()()y x f x y e f x e f y +=+，可得(0)0f =()()()limx f x x f x f x x→+-'=0()()()l i m x x x e f x e f x f x x →+-=0(1)()[()(0)]l i mx x x e f x e f x f x→-+-=1()(0)()xx f x e f f x e +'=+=+所以建立函数的微分方程为1()()x f x f x e+'=+，且(0)0f =这是一阶线性微分方程，可求得其通解为 1()x x f x xece +=+由(0)0f =，可得0c =，所以1()x f x xe +=．§8.2 可降阶的高阶微分方程 本节重点是三种特殊类型的高阶微分方程的解法．● 常考知识点精讲一、形如()()n y f x =的可降解这类微分方程用降阶法只要积分n 次就得到方程的通解． [例2.1] 求微分方程x y xe '''=的通解．解： 1x x xy xe dx xe e c ''==-+⎰112()2x x x xy xe e c dx xe e c x c '=-+=-++⎰2121231(2)32x x x xy xe e c x c dx xe e c x c x c =-++=-+++⎰故微分方程的通解为2123132xxy xe e c x c x c =-+++． 二、不显含函数y 的二阶可降阶的方程 (,)y f x y '''=这类方程特点是不显含y ，若令y p '=，则dpy p dx'''==，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解．三、不显含自变量x 的二阶可降阶的方程 (,)y f y y '''=这类方程特点是不显含x ，若令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy''=⨯=，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解． [例2.2] 求微分方程21yy y '''+=的通解． 解：设y p '=，则dp dy dpy p dy dx dy''=⨯=，原方程化为 21dp ypp dy +=，即21pdp dy p y=- ⑴ 当1y p '=>时，211ln(1)ln ln 2p y c -=+，即2211()p c y -= 所以 211()dyc y dx=±+ ① 1y '>时 ，211()dy c y dx =+， 即211()dy dx c y =+21112ln(1())c y c y c x c ++=+所以 1212()12c x c c x c e e c y +-+-=②1y '<-时，211()dy c y dx =-+， 即211()dy dx c y =-+21112ln(1())c y c y c x c ++=-+所以 1212()12c x c c x c e e c y -+--+-=⑵ 当1y p '=<时，21pdp dy p y -=-，即221(1)21d p dyp y -=- 211ln(1)ln 2p c y -=，即2211()p c y -= 211()dyc y dx=±- ① 当01y <<时，211()dy c y dx =-，即211()dy dx c y =-所以 112sin()c y c x c =+ ② 当10y -<<时，211()dy c y dx =--，即211()dydx c y =--所以 112sin()c y c x c =-+．●● 常考题型及其解法与技巧一、方程()()n y f x =此类微分方程求通解一般思路：方程两端分别积分n 次，即得通解，注意每积分一次要加上一个任意常数． [例8.2.1] 求微分方程211y x'''=+的通解． 解：方程两边积分可得 12arctan 1dxy x c x ''==++⎰再积分得1arctan y xdx c x '=+⎰12arctan 1xx x dx c x x =-++⎰ 2121arctan ln(1)2x x x c x c =-+++继续积分一次，得方程通解为 2121(arctan ln(1))2y x x x c x c dx =-+++⎰222221222111arctan ln(1)221212c x x x x dx x x dx x c x x x =--++++++⎰⎰ 222123111arctan ln(1)(arctan )2222c x x x x x x x c x c =-++-+++． 二、方程(,)y f x y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)p f x p '= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F x C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.2] 求方程ln()y xy y x''''=的通解 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为 ln pxp p x'= （*） 方程（*）是齐次方程，令pu x=，则方程（*）变为 ln duu x u u dx+= （**） 方程（**）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 1ln 1u c x =+ 从而 11c xy xe +'=于是原方程的通解为111112211(1)c xc x y xedx c x e c c ++==-+⎰． [例8.2.3] 求微分方程22()0y x y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==-的特解． 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为220p xp '+= （*）方程（*）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 211p x c =-由1(0)2y '=-，得12c =，即有 212y x '=- 所以 2212ln 2222dx x y c x x -==+-+⎰由(0)1y =可得21c =，故原方程的特解为 12ln1222x y x -=++．[例8.2.4] 0x →时，方程2(32)6x y xy '''+=与1xe -等价无穷小的解是____．解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为2(32)6x p xp '+=， （*） 方程（*）是变量可分离的一阶微分方程，可求得通解为21(32)p c x =+，即21(32)y c x '=+ 所以原方程通解为 31122y c x c x c =++．又由33211211211000221lim lim lim(32)1x x x x c x c x c c x c x c c x c e x →→→++++===+-，可得 2110,2c c ==，故所求特解为312y x x =+． 三、方程(,)y f y y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)dppf y p dy= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F y C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.5] 设函数()y x 在区间[0,)+∞上有连续导数，并且满足关系式 0()12()()()xy x x x t y t y t dt '=-++-⎰求()y x ．解：对所给方程变形()12()()2()()xxy x x x y t y t dt ty t y t dt ''=-++-⎰⎰方程两端对x 求导得()12()()xy x y t y t dt ''=+⎰继续求导得()2()()y x y x y x '''=，(0)1,(0)1y y '=-= 微分方程不显含自变量x ，令p y '=，方程可化为 2dpppy dy= 这是变量可分离的微分方程，求得通解为21p y c =+，即21y y c '=+ 由(0)1,(0)1y y '=-=可得，10c =，从而2y y '=，所以21y x c =-+． 再由(0)1y =-，得21c =，故函数11y x =-+为所求特解．§8.3 高阶线性微分方程本节重点是高阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程．● 常考知识点精讲一、线性微分方程的概念形如()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的微分方程称为n 阶线性微分方程．当()(1,2,3,)i p x i n = 都是常数时，又称方程为n 阶线性常系数微分方程．若方程右端的函数()f x 恒为零，则方程称为n 阶线性齐次微分方程，否则称为n 阶线性非齐次微分方程．二、线性微分方程解的结构定理1：设12,y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的两个解，则1122y c y c y =+也是该方程的解，这里12,c c 是任意常数． 定理2：设12,,,n y y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的n 个线性无关的解，则1122n n y c y c y c y =+++ 是该方程的通解，这里12,,n c c c 是任意常数．定理3：如果1y 是方程()(1)(2)121()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，2y 是方程()(1)(2)122()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，则12y y +是方程 ()(1)(2)1212()()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x f x --++++=+ 的解．定理4：设*y 是非齐次线性方程()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的一个特解，1122n n c y c y c y +++ 是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，则该非齐次方程的通解为*1122n n y c y c y c y y =++++[例3.1] 设1()y x ，2()y x 为二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则由1()y x ，2()y x 能构成该方程的通解，其充分条件是（A ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-= （B ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠ （C ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+= （D ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+≠ 解：1()y x ，2()y x 能构成线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=通解的条件是二者线性无关，即12()()y x k y x ≠（常数），所以12()[]0()y x y x '≠，即1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠，故应选（B ）． 三、常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为：0y py qy '''++=，其中,p q 为常数，其特征方程为 20p q λλ++=方程通解为：⑴ 特征方程有两个相异的实根12,λλ时，通解形式为1212()xxy x C e C eλλ=+⑵ 特征方程有两个相同的实根12λλ=时，通解形式为 212()()xy x C C x eλ=+⑶ 特征方程有一对共轭复根i αβ±时，通解形式为 12()(cos sin )x y x e C x C x αββ=+ 2．n 阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为：()(1)(2)120n n n n y p y p y p y --++++= ，其中(1,2,)i p i n = 为常数，相应的特征方程为：1110n n n n p p p λλλ--+++= 特征根与通解的关系为：⑴ 若12,,n λλλ 是n 个互异实根，则方程通解为 1212()n x xxn y x C e C eC e λλλ=+++⑵ 若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程通解中含有： 0112()xk k C C x C x eλ-+++⑶ 若i αβ±为特征方程的k 重共轭复根，则方程通解中含有111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++四、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性线性方程一般形式为()y py qy f x '''++=其中,p q 是常数根据线性微分方程解的结构，该方程的通解为对应齐次方程的通解加上自身的一个特解．其对应齐次方程的通解上面已讨论过了，现在只要求出该方程的一个特解问题就解决了． 下面介绍求特解*y 的待定系数法：⑴ 若()()x m f x P x e α=其中()m P x 为x 的m 次多项式，则待定特解*y 形式为 *()kxm y x Q x eα=其中()m Q x 是与()m P x 同次的多项式，调节系数0,12k ααα⎧⎪=⎨⎪⎩当不是特征方程的特征根，当是特征方程的单特征根，当是特征方程的二重特征根将*()k x m y x Q x e α=代入方程()y py qy f x '''++=，就可以求出()m Q x ．⑵ ()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中()n P x ，()m Q x 分别为x 的n 次，m 次多项式，则有*[()cos ()sin ]k x l l y x e M x x N x x αββ=+其中{}max ,l m n =，()l M x ，()l N x 是两个待定的l 次多项式，调节系数 0,1i k i αβαβ+⎧=⎨+⎩当不是特征方程特征根时，当是特征方程特征根时[例3.2] 求下列方程的一个特解⑴x e x y x y x y 3)(9)(6)(-=+'+'' ⑵sin x y y e x ''+= 解：⑴ 特征方程为2690λλ++=，特征根为123λλ==-．由于方程的非齐次项形如()()x m f x P x e α=，设待定特解为*23xy Ax e-=，代入原方程得332xx Ae e --=，从而12A =． 故方程的一个特解为2312x y x e -=⑵ 特征方程为210λ+=，特征根为12i λ=±．由于方程的非齐次项形如()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中1,1αβ==，0m n ==，因此1i i αβ±=±不是特征根，所以原方程有形*()(sin cos )xy x B x A x e =+形式的特解，代入原方程得[(2)cos (2)sin ]sin xxxe B A x B A x e e x ++-=所以 22052115A B A B A B ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故原方程的一个特解为*12()(sin cos )55x y x x x e =-． 五、欧拉方程（仅适用数一）形如()1(1)2(2)121()n n n n n n n n x y p x y p x y p xy p y f x -----'+++++= 的方程为欧拉方程．这个方程可以通过变换tx e =化为以t 为自变量的常系数线性方程，求出后代回原来的变量即得欧拉方程的解．●● 常考题型及其解法与技巧一、线性微分方程解的结构定理[例8.3.1] 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 都是二阶线性非齐次方程()y p x y '''++()()q x y f x =的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为（A ）11223c y c y y ++ （B ） 112212()c y c y c c y +-+ （C ）1122123(1)c y c y c c y +--- （D ） 1122123(1)c y c y c c y ++-- 解：（A ）中因为12,y y 不是该二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的解，所以（A ）被排除； （B ）中1122123113223()()()cy c y c c y c y y c y y +-+=-+-它仅是对应齐次方程的通解，故（B ）被排除；（C ）中11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y +---=+++-的3y -不是该非齐次方程的特解，113223()()c y y c y y +++也不是对应的齐次方程的通解，故仍排除，由排除法可得应选（D ）．事实上，11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y ++--=-+-+，由解的结构定理可知，它是该非齐次方程的特解．[例8.3.2] 已知221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则该方程的通解为______ 解：根据解的结构定理方程的通解为121232112()()3x y C y y C y y y C x C e =-+-+=++．[例8.3.3] 已知微分方程(21)"(42)'80x y x y y ++--=有多项式形式的特解和形如mxe (m为常数)的特解，求该方程通解． 解：设mxy e=是方程的解，代入原方程得：2[(21)(42)8]0mx m x x m e ++--=所以22240280m m m m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，从而2m =-，因此2x y e -=是方程的一个解；又设2012(),(0)n n n P x a a x a x a x a =+++≠ 是方程的解，代入原方程得223(21)(232(1))n x a a x n n x -++⨯+-+112(42)(2)n n x a a x na x --++ 20128()0n n a a x a x a x -+++=所以(48)0n n a -=，由于0n a ≠，从而2n =．设2012()Q x a a x a x =++是方程的解，代入原方程可得2212012(21)2(42)(2)8()0x a x a a x a a x a x ++-+-++=所以10a =，204a a =，因此可取2()41Q x x =+为方程的一个解． 根据解的解构定理，原方程的通解为2212(14)x y C e C x -=++． [例8.3.4] 设二阶常系数线性微分方程"'x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1),x x y e x e =++试确定,,αβγ并求通解． 解：由于2(1),xx y e x e =++是方程"'x y y y e αβγ++=的一个解，将其代入原方程可得222(43)(22)()xx x x x xx xx xee x e e e x e e e x e eαβγ++++++++=所以 4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩321αβγ=-⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩．原方程变为"3'21xy y y e -+=-，所以通解为 212xx y c e c e=++2(1)x x e x e ++．二、高阶常系数线性齐次方程[例8.3.5] 求微分方程20y ky y '''++=的通解，其中k 为实常数． 解：所给微分方程的特征方程2210k λλ++=的两个特征根为221,224412k k k k λ-±-==-±-当1k >时，方程通解为22(1)(1)12k k xk k xy c ec e -+----=+；当1k =时，方程通解为12()kx y c c x e -=+； 当1k <时，方程通解为2212(cos 1sin 1)kxy ec k x c k x -=-+-．[例8.3.6] 设函数()y y x =满足440,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===，则()_____y x dx +∞=⎰．解：特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，所以方程的通解为 212()x y c c x e -=+设()y x 是方程440y y y '''++=解，显然有lim ()0,lim ()0x x y x y x →+∞→+∞'==所以()4()4()0y x dx y x dx y x dx +∞+∞+∞'''++=⎰⎰⎰，即(0)4(0)4()0y y y x dx +∞'--+=⎰，故1()4y x dx +∞=⎰． [例8.3.7] 求微分方程(4)340y y y ''--=的通解．解：所给微分方程的特征方程为42340λλ--= 特征根1,22λ=±，3,4i λ=±，故方程的通解为221234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++三、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程求通解的一般方法：①先求出对应齐次方程的通解Y ；②求出方程的一个特解*y ，则通解*y Y y =+． [例8.3.8] 求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解解：相应的齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，特征根为121,2λλ==，故对应齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+设*()x y x ax b e =+是原方程的一个特解，代入原方程得 (22)x x ax a b e xe -+-=于是21,20a a b -=-=，即12a =-，1b =-，故*1(1)2xy x x e =-+． 所以原方程的通解为 2121(1)2x x xy c e c e x x e =+-+．[例8.3.9] 求微分方程44ax y y y e '''++=的通解，其中a 为实数．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，故对应齐次方程的通解为212()x Y c c x e -=+当2a ≠-时，设*ax y Ae =是原方程的一个特解，代入原方程得 2(44)ax ax A a a e e ++= 于是21(2)A a =+，故*21(2)ax y e a =+，所以原方程的通解为 21221()(2)xaxy c c x e e a -=+++ 当2a =-时，设*22xy Bx e -=是原方程的一个特解，代入原方程得222xx Be e --=于是12B =，故*2212x y x e -=，所以原方程的通解为 222121()2xx y c c x e x e --=++[例8.3.10] 求方程2sin y a y x ''+=的通解，其中常数0a >．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为220a λ+=，特征根为1,2ai λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c ax c ax =+当1a ≠时，设*sin cos y A x B x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 22(1)sin (1)cos sin A a x B a x x -+-=于是211A a =-，0B =，故*21sin 1y x a =-，所以原方程的通解为 1221cos sin sin 1y c ax c ax x a =++- 当1a =时，设*sin cos y Ax x Bx x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 2cos 2sin sin A x B x x -=于是10,2A B ==-，故*1cos 2y x x =-，所以原方程的通解为 121cos sin cos 2y c ax c ax x x =+-．[例8.3.11] 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解分析：右端的函数是两项的和，因此方程特解是y y x ''+=和cos y y x ''+=相应特解的和． 解：相应的齐次方程的特征方程为210λ+=，特征根为1,2i λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+设方程y y x ''+=的特解为*1y ax b =+，代入方程得ax b x +=于是1,0a b ==，故*1y x =；设方程cos y y x ''+=的特解为*2sin cos y mx x nx x =+，代入方程得2cos 2sin cos m x n x x -=于是1,02m n ==，故*21sin 2y x x =． 綜上可得***121sin 2y y y x x x =+=+是原方程的一个特解，所以原方程通解为121cos sin sin 2y c x c x x x x =+++．四、欧拉方程欧拉方程求通解的思路：①令tx e =将自变量由x 换成t ，得到一个关于y 与t 的微分方程，新的微分方程为常系数线性方程；②求新方程的通解；③上通解中将t 用ln x 代回，得原方程的通解．[例8.3.12] 设0x >，微分方程2222x y xy y x '''-+=+的通解为____．解：这是欧拉方程．设tx e =，记dD dt=，则2,(1)xy Dy x y D D y ''==-，从而原方程变为2322t D y Dy y e -+=+ （*）它对应的特征方程为2320r r -+=，特征根为121,2r r ==，于是方程（*）对应的齐次方程的通解为212t t Y c e c e =+设*t y Ate B =+是方程（*）的特解，代入（*）得 22ttAe B e -+=+于是1,1A B =-=，故*1t y te =-+，所以方程（*）的通解为2121t t t y c e c e te =+-+故原方程的通解为 212ln 1y c x c x x x =+-+．五、常系数线性微分方程反问题Ⅰ 已知常系数齐次线性微分方程特解，求微分方程解此类题一般思路：①由给出的特解确定出特征根；②由特征根导出特征方程；③由特征方程导出常系数线性齐次方程[例8.3.13] 设12(sin cos )x y e c x c x =+（12,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次方程的通解，则该方程为______．解：由已知条件可得，函数sin xe x ，cos xe x 是所求二阶常系数线性齐次方程的特解，从而1i ±是方程对应的特征方程的特征根，因此方程的特征方程为2(1)10λ-+=． 故所求二阶常系数线性齐次方程为 220y y y '''-+=．[例8.3.14] 以四个函数1()x y x e =，2()2x y x xe =，3()3cos3y x x =，4()4sin3y x x =为解的四阶常系数线性齐次方程是_____．解：由于所给四个函数线性无关且明显分为两组1()xy x e =、2()2x y x xe =；3()3cos3y x x =、4()4sin3y x x =．于是所求微分方程的特征方程的特征根为1,21λ=，3,43i λ=±，从而方程的特征方程为22(1)(9)0λλ-+=，即4322101890λλλλ-+-+=．故所求四阶常系数线性齐次方程是(4)(3)2101890y y y y y '''-+-+=． Ⅱ 已知线性方程的通解，求微分方程[例8.3.15] 以2212()x y C C x x e -=++（其中12,C C 为任意常数）为通解的二阶线性微分方程为____． 解：建立方程组22122212222122()(2222)(444482)x xx y C C x x e y C C x x C x ey C C x x C x e ---⎧=++⎪'=---++⎨⎪''=++--+⎩，由此可得 222(2)x y y C x e -'+=+ （1） 224(482)x y y C x e -''-=--+ （2）所以4(1)(2)+得2442x y y y e -'''++=这就是所求的二阶线性微分方程．六、高阶线性微分方程综合题[例8.3.16] 设()f u 有连续的二阶导数，且(sin )xz f e y =满足方程22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ．解：令 sin xu e y =，则()sin (),cos ()x x zzf u e y uf u e yf u x y∂∂'''===∂∂； 222()()z f u u f u u x ∂'''=+∂， 2222()()cos x z uf u f u e y y∂'''=-+∂． 所以：22222()xz z f u e x y∂∂''+=∂∂，由已知条件得：22()()x x f u e f u e ''=，即()()f u f u ''=，从而12()uuf u c e c e-=+．[例8.3.17] 作变换tan t x =把微分方程2422cos 2cos (1sin cos )tan d y dyx x x x y x dx dx+-+=变换成y 关于t 的微分方程，并求原微分方程的通解．解：2(sec )dy dy dt dy x dx dt dx dt =⨯=，2224222sec tan sec d y dy d y x x x dx dt dt=+ 所以原方程变为222d y dyy t dt dt++=．解之得12()2t y c c t e t -=++- 故原方程的通解为tan 12(tan )tan 2x y c c x e x -=++-． [例8.3.18] 设连续函数()f x 满足关系式0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x ．解：这是含“变上限定积分”的方程，首先去掉被积函数中的参变量得 0()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰ （1）（1）式两端对x 求导得 0()cos ()xf x x f t dt '=-⎰（2）（2）式两端对x 求导得()sin ()f x x f x ''=-- （3） 由（1）、（2）可得(0)0,(0)1f f '==可求得方程（3）的通解为12()cos sin cos 2xf x C x C x x =++ 由(0)0,(0)1f f '==可得1210,2C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+．[例8.3.19] 设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解． 解：微分方程是全微分方程的充要条件是2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂， 即2()()f x f x x ''+=， 求得其通解212()cos sin 2f x c x c x x =++-． 再由初始条件(0)0,(0)1f f '==定得2()2cos sin 2f x x x x =++-．于是原方程成为22[(2cos sin )2](2sin cos 2)0xy x x y y dx x x x x y dy -+++-+++=可求得此方程的通解为2212(2sin cos )2x y xy x x y c ++-+=．§8.4 微分方程的应用● 常考知识点精讲一、微分方程的应用1．几何上的应用在一定的已知条件下求曲线的微分方程．而这些已知条件往往涉及到与导数密切相关的曲线切线、法线、曲率、弧长及曲线所围面积等概念与性质． 2．力学上应用主要利用牛顿第二定律建立微分方程来求质点的运动规律或运动速度． 3．其它应用利用一些基本定理或由变化率问题引出的微分方程．二、用微分方程解决实际问题的步骤一是根据相关条件，建立微分方程，与此同时，一般还要找出相应的初始条件；二是判定微分方程的类型，求解微分方程．●● 常考题型及其解法与技巧一、几何上的应用Ⅰ 导数几何意义的应用[例8.4.1] 若一条曲线上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2()xyx y +，且过点1(,1)2，求此曲线方程．又当x 取何值时 ，切线的斜率为14． 解：所求曲线方程为下列定解问题的解21,()1()2dy xy y dx x y ==+ 令xv y=，方程可化为 21dv v ydy v+= （*） 可求得方程（*）的通解为2121v yv c e +=从而原方程的通解为2432xyy xy Ce+=，由1()12y =，得2c e =，故所求曲线方程为24322xy y xy e e+=。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
(整理)微分方程的例题分析及解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。
三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
8-一阶电路
t RC
t 0
u R uc U 0 e
t RC
t 0
15
整个电路可解
主讲 罗明
武汉工程大学
2．时间常数 零输入响应的衰减变化取决于 电路时间常数τ的大小。
RC S
uc U 0 e
t
图8－4所示曲线为电容电压随 u c 变化曲线 图8－4 时间变化的曲线。 说明：（1）τ的大小反映了一阶电路过渡过程的进展快慢； τ越大，响应衰减越慢。 （2）经过一个时间常数τ后，响应 u c衰减为原来的36.8％ ; （3）工程一般认为经过 3 ~ 4 的时间，过渡过程即告结束。
q(0 ) q(0 )
u c (0 ) u c (0 )
（8-9） （8-10）
在换路前后，电容的电荷和电压均不发生跃变，具有连续 性和记忆性。
u c (0 ) 为 t 0 时电容的初始条件。
主讲 罗明
8
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在任意时刻，线性电感元件的磁通链与电压的关系为：
1 t (t ) (t0 ) uL ( )d , i L (t ) i L (t 0 ) t u L ( )d t L 0 0 令 t0 0 , t 0 可得 (0 ) (0 ) uL ( )d （8-11）
则所求响应为
uc 5 5e
主讲 罗明
5(1 e )V t 0
25
t 3
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8.3.2 RL电路的零状态响应
图8-10所示的电路t=0时换路， i L (0 ) 0 ,开关S断开， 恒定直流电压 u S 接入电路。讨论RL电路的零状态响应的变 化规律。 电路的微分方程为
第八章 常微分方程
=C1(y1″+py1′+qy1)+C2(y2″+py2′+qy2)，
由y1，y2是方程(8-19)的两个解，有 y1″+py1′+qy1=0，y2″+py2′+qy2=0，
所以 C1y1″+C2y2″+C1py1′+C2py2′+C1qy1+C2qy2=0，
(Y″+y*″)+p(Y′+y*′)+q(Y+y*)
=(Y″+pY′+qY)+(y*″+py*′+qy*)
=0+f(x)=f(x), 所以,y=Y+y*是方程(8 18)的解.
又由Y中含有两个独立的任意常数,从而y中含有两 个独立的任意常数,即y=Y+y*是方程(8-18)的通解. 显然,求非齐次方程(8-18)的通解的关键是先求出对应的齐 次方程的通解,再求它本身的一个特解. 为了便于求非齐次方程(8-18)的特解，给出如下定理：
定理4 (线性非齐次方程解的叠加性)设二阶常系数非齐次 线性方程(8-18)的右端f(x)是几个函数之和，如 y″+py′+qy=f1(x)+f2(x)，(8-20) 而y1*(x)与y2*(x)分别是 方程
y″+py′+qy=f1(x)(8-21) 与y″+py′+qy=f2(x)(8-22)
的特解，则y*(x)=y1*(x)+y2*(x)是微分方程(8-20)的特解.
第8章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限： （1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。
第8章弯曲刚度(完整版)
因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
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1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
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2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
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（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
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3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
流体力学教案第8章边界层理 论
一、边界层动量积分方程 由卡门在1921年提出。 推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界层微分方程的数
量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速 υ。
w d p
dx x
A C B D
x y y dy 图 8-6 边界层微元控制体
取控制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC，AB、CD为两通直 线，且垂直壁面的两者相距dx，BD为壁面，并且也为x轴。AC为边界层 的外边界线(并非流线)。垂直纸面(黑板面)方向的尺寸为1，则单位时间 内：
再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层 中的速度分布规律为：
再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得： (3)
再将上式代入(1)式求积分，则得到： (4) (5)
将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：
，积分得：
确定积分常数C，x=0，=0，C=0，于是得： ， 它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精 确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越 好。 由上式可看出：x—>；V—>。 将表达式，代入(c)式，得切向应力： 从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x， 速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。 总摩擦阻力为：
边界条件中，y=0，u=υ=0；y=δ，u=u(x)，对沿平壁面而 言y=δ，u=1。 上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在 1904年提出。
从(3)还可以得到一个重要结论，在边界层内，即边界层横截面上应 点压力相等，即p=f(x)，而边界层外界上及边界层以外，由势流伯努利 方程： 求导，则：
高数下课件 ch8_1
y→0
y→0
x=0
当 P( x, y) 沿x轴趋于 (0,0) 时，
lim f ( x, y) = lim f ( x,0) = lim 0 = 0
( x, y )→(0,0)
x→0
x→0
y=0
当 P( x, y) 沿直线 y = kx 趋于 (0,0) 时，
lim f ( x, y) = lim f ( x,kx)
(1) D 内每一点均为连续点，称 z = f ( x, y) 在 D 内连续.
(2) ε − δ 语言：
z f ( x, y) 在点 P0 处连续 ⇔
∀ ε > 0，∃ δ > 0，使得当 PP0 < δ 时， 恒有 f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) < ε .
(3) 若 f ( x, y) 在点 P0 处不连续，则称 P0 为 f ( x, y) 的间断点或者不连续点.
z = f ( x, y) 在空间直角坐标系中的图形一般为曲面.
对于定义域 D 中任一点 P( x, y)， 由 z = f ( x, y) 就有 空间中的一个点 M 与之对应，M 的坐标为 ( x, y, f ( x, y)).
当 P 取遍 D 中一切点，点 M 的轨迹表示一张曲面.
二元函数的图形通常是一张曲面.
二重极限
x2 y
例8
f
( x,
y)
=
x2
+
y2
0
( x, y) ≠ (0,0) ( x, y) = (0,0)
证明: lim f ( x, y) = 0. ( x, y )→(0,0)
证明 ∀ ε > 0，
f (x, y) − 0
第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题
221第八章 微 分 方 程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方程的解法．第一节 微分方程的基本概念例1 自由落体运动 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛顿第二定律：ma F =，它的运动路程)(t s s =大小的变化规律可表示为：m g dtsd m =22． 且还满足0)0(,0)0(='=s s ，即⎪⎩⎪⎨⎧='==(2) 0)0(,0)0((1) 22s s g dt sd对（1）两边积分，得 1C gt dtds+=， （３） 对（３）两边积分，得21221C t C gt s ++=， （４） 这里21,C C 都是任意常数．将（2）代入（４），得0,012==C C ． 故自由落体运动路程的规律为221gt s =． （５） 这是微分方程应用的最早一个例子．例２ Malthus 人口模型 英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．设时刻t 的人口为)(t x ，净相对增长率为r ，我们将)(t x 当作连续变量考虑，开始时（0=t ）的人口数量为0x ，即0)0(x x =．按照Malthus 理论，于是)(t x 满足如下方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==(7).)0((6), 0x x rx dt dx其中r 为常数．（6）称为Malthus 人口模型． 对（6）整理，得r d t xdx=． （8） 对（8）两边积分，得rt Ce t x =)(， （9）222将（7）代入（9），得0x C =，故人口增长规律为rt e x t x 0)(=． （10）如果0>r ，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当∞→t 时，+∞→)(t x ，这似乎不可能． 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，误差较大．例３ Logistic 模型 荷兰生物数学家V erhulst 引入常数m x 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口，并假定净相对增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m x t x r )(1，即净相对增长率随着)(t x 增加而减少．因为随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．这正是对Malthus 人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus 人口模型（6）变为：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=(12). )0((11), )()(10x x t x x t x r dt dx m该模型的解为()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110， （13）易看出，当+∞→t 时，m x t x →)(．这个模型称为Logistic 模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应用．例４ 广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少．设)(t s 为t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的上限；0>λ为衰减因子常数，即广告作用随时间增加，而自然衰减的速度；)(t A 为t 时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=(15) )0((14) )()(1)(0s s t s M t s t A p dtds λ 其中p 为响应函数，即)(t A 对)(t s 的影响力，p 为常数．223由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：⎩⎨⎧>≤≤=ττt t A t A 00)(， 其中A 为常数．在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则τaA =，代入（14），有ττλa p s a M p dt ds ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++， 令τλa M p b ⋅+=； τpac =． 则有c bs dtds=+． （16） 解（16），得bcke t s bt+=-)( ， （17） 其中k 为任意常数．将（15）代入（17），得()bt bt e s e bct s --+-=01)(， （18） 当τ>t 时，由)(t A 的表达式，则（14）为s dtdsλ-=． （19） 其解为()t e t s t s -=τλ)()(． （20） 这样，联合（18）与（20），得到()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---τττττλt e s t e s e bct s btbt )(01)(0． （21）其图形如图8-1．224图8-1上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程． 一般地，n 阶微分方程的形式是,,(y x F )(,,n y y ')=0 (22)其中2+n F 是个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，)(n y 必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现．例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现．如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y (23)以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，0)](,),(),(,[)(≡'x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（22）在区间I 的解．由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．一般地，设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是,00y y x x ==时，或写成 00y yx x ==．225其中0x 、0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：,00y y x x ==时，0y y '='， 或写成 00y yx x ==,0y y x x '='=． 其中00,y x 和0y '都是给定的值． 由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解． 微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．第二节 变量分离方程从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．形如)()(y x f dxdyϕ= （1） 的方程，称为变量分离方程．其中)(x f 和)(y ϕ分别是x 和y 的连续函数．下面说明方程（１）的求解方法．如果0)(≠y ϕ，我们可将方程（１）改写成dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解C dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ （2） 这里我们把积分常数C 明确写出来，而把)(y dy ϕ⎰，dx x f )(⎰分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数． 如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入方程（1），可知0y y =也是（1）的解．如果它不包含在方程的通解（2）中．必须予以补上．例1 求微分方程xy dxdy2= (3) 的通解．226解 方程（3)是变量分离方程，变量分离后得xdx ydy2=， 两端积分⎰⎰=xdx y dy2，得 12ln C x y +=， 从而 2112x C C x e e e y ±=±=+，因1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，得到2x Ce y =． （4）此外，0=y 显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许0=C ，则0=y 也就包含在（4）中，因此，（3）的通解便是方程（4），其中C 是任意常数．例２ 解方程0)1(=++dy x xydx ． （5） 解 变量分离，得 dx x xy dy 1+-=， 两边积分，得dx x xy dy 1+-=⎰⎰， ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+-=dx x dx x x y 111111ln ， 1ln 1ln ln C x x y +-=+-， 1ln 1lnC x x y+-=+， x Ce x y-=+1（1C C ±=）， 故所求方程的通解为x e x C y -+=)1(． （6）此外，0=y 显然也是方程（５）的解，而0=y 包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的通解，其中C 是任意常数．例３ 解Malthus 人口模型：227rx dtdx=， 0)0(x x =． 解 变量分离，得rdt xdx=， 两边积分，得C rt x ln ln +=，rt Ce t x =)(，因初始条件()00x x =，所以0x c =，故满足初始条件的解为rt e x t x 0)(= ．第三节 齐次方程形如)(xydx dy ϕ= （１） 的方程，称为齐次方程．这里)(u ϕ是u 的连续函数．例如：0)2()(22=---dy xy x dx y xy ，是齐次方程，因为)(21)(2222xy x yxy xyx y xy dx dy --=--=． 下面说明方程（１）的求解方法． 作变量变换，令xyu =， （２） 即ux y =，于是dxdu x u dx dy +=， （３） 将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为)(u dxduxu ϕ=+， 即 u u dxdux -=)(ϕ． 变量分离，得xdxu u du =-)(ϕ，两边积分，得228⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ．求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解． 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22． 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy y dx dy ， 因此是齐次方程．令,u xy=则 dxdu x u dx dy ux y +==,， 于是原方程变为12-=+u u dx du x u ，即 1-=u u dx du x ． 变量分离，得xdx du u =-)11(，两端积分，得x C u u ln ln =+-，或写为 C u xu +=ln ． 以xy代入上式中的u ，便得所给方程的通解为 C xyy +=ln ． 例2 求解方程y xy dxdyx=+2 )0(<x ． 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2 )0(<x ，这是齐次方程． 以u xy =及u dx duu dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdux 2=， （4） 分离变量，得到xdxudu =2，229两边积分，得到（4）的通解C x u +-=)l n (，即()[]2ln C x u +-=． )0)(l n (>+-C x 这里C 是任意常数． （5）此外，方程（4）还有解 0=u ，注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解[]2)l n (C x x y +-= )0)(l n (>+-C x 及解0=y ．第四节 一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy=+ （1） 的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程．如果0)(≡x Q 则方程（1）称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的．当0)(≡x Q 时，（１）可写成0)(=+y x P dxdy（2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得dx x P ydy)(-=， 两边积分，得⎰+-=1ln )(ln C dx x P y ，由此得)(,1)(C C Ce y dxx P ±=⎰=- （３）式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C 是任意常数．下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C 恒保持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数C 换成x 的待定函数)(x u ，使它满足方程（１），从而求出)(x u ．该方法称为常数变易法．为此，令⎰=-dx x P ue y )( ， （４） 于是 ⎰-⎰'=--dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()(． （５）将（４）和（５）代入方程（1）得230)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，即 )()(x Q e u dx x P =⎰'-，⎰='dxx P e x Q u )()(． 两边积分，得 ⎰+⎰=C dx e x Q u dxx P )()(．把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()(． （６）将（６）式改写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(． 上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．例 1 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解．解 这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．012=+-y x dx dy ， 变量分离，得12+=x dxy dy ， 两边积分，得 1ln 1ln 2ln C x y ++=，即 2)1(+=x C y （1C C ±=）．用常数变易法，把()x u C 换成，即令2)1(+=x u y ， （7）那么 )1(2)1(2+++'=x u x u dxdy， 代入所给非齐次方程，得21)1(+='x u ．两边积分，得 C x u ++=231(32）． 在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232)1(32)1(．231例2 求方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 的通解，这里n 为常数． 解： 将方程改写为 n x x e y x ndx dy )1(1+=+-， （8）首先，求齐线性方程 01=+-y x ndx dy 的通解，从dx x n y dy 1+=得到齐线性方程的通解为 n x C y )1(+=．其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把C 看成为x 的待定函数)(x u ，即n x x u y )1)((+=， （9）微分之，得到)()1()1()(1x u n n x dxx du dx dy n n -+++=． （10） 以（9）及（10）代入（8），得到x e dx x du =)(， 积分之，求得 C e x u x ~)(+=，因此，以所求的)(x C 代入（9），即得原方程的通解)~()1(C e x y x n ++=． 这里C ~是任意常数 二 、 伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ )1,0(≠n （11） 的方程叫做伯努利方程．当0=n 或1=n 时，这是线性微分方程．当1,0≠≠n n 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以n y 除方程（10）的两边，得)()(1x Q y x P dxdyyn n=+--． （12） 容易看出，上式左端第一项与)(1ny dxd -只差一个常数因子n -1，因此，我们令 n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n --=)1(． 用)1(n -乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+．232求出这方程的通解后，以z y n 代-1，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当0>n 时，方程还有解0=y ．例3 求方程2)(ln y x a xydx dy =+， 的通解．解 以2y 除方程的两边，得x a y xdx dy y ln 112=+--． 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---．令1-=y z ，则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-， 这是一个线性方程，它的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)(ln 2x a C x z ．以1-y 代z ，故得所求方程的通解为1)(ln 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C yx ．此外，方程还有解0=y ．在上节中，对于齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛='x y y ϕ，我们通过变量变换xu y =，把它化为变量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程)()(x Q y x P y =+'，我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换⎰=-dxx P ue y )(，利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程n y x Q y x P y )()(=+'，我们通过变量变换z yn=-1，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．233第五节 可降阶的高阶微分方程从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：二阶微分方程的一般形式为0),,,(='''y y y x F或者),,(y y x f y '=''一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法． 一、()x f y =''型的微分方程形如)(x f y ='' （１）的方程，右端仅含有自变量x ．两端同时积分一次，就化为一阶方程1)(C dx x f y +='⎰再积分一次，得到通解21])([C dx C dx x f y ++=⎰⎰一般地对())(x f y n =求解，只需对方程两端积分n 次． 例1 求解方程x e x y -+=''2s i n ．解 对所给的方程连续积分两次，得12cos 21C e x y x +--='-， 212sin 41C x C e x y x +++-=-所求的通解为212s i n 41C x C e x y x +++-=-． 例2 求微分方程x ey xc o s 2-='''．的通解．解 对所给方程连续积分三次，得C x e y x+-=''sin 212， 22cos 41C Cx x e y x+++='，23432212sin 81C x C x C x e y x ++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21C C ．所求的通解为32212sin 81C x C x C x e y x ++++=．二、),(y x f y '=''型的微分方程形如),(y x f y '='' （２）的方程，右端不显含未知函数y ．这时，只要令,p y ='那么p dxdpy '=='' 而方程（２）就化为),(p x f p ='．这是一个关于变量p x 、的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为),(1C x p ϕ=．但是dxdyp =，因此又得到一个一阶微分方程 ),(1C x dxdyϕ=． 对它进行积分，便得方程（２）的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ．例3 求微分方程y x y x '=''+2)1(2，满足初始条件,10==x y 30='=x y的特解．解 所给方程是),(y x f y '=''型的．令,p y ='代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得C x p ++=)1ln(ln 2,235即 )1(21x C y p +='=． ()C e C ±=1 由条件30='=x y ，得31=C ，所以 )1(32x y +='． 两边再积分得 233C x x y ++=． 又由条件,10==x y 得12=C ，于是所求的特解为133++=x x y ．三、),(y y f y '=''型的微分方程形如),(y y f y '='' (３)的方程，其中不明显地含自变量x ．这时，只要令p y ='，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dydppdx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样方程(３)就成为),(p y f dydpp=． 这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 ),(1C y p y ϕ=='， 分离变量并积分，便得方程（３）的通解为⎰+=21),(C x C y dyϕ．例4 求微分方程02='-''y y y的通解．解 所给方程是),(y y f y '=''型的．令 p y ='，则236dydp p y =''， 代入原方程，得02=-p dydpyp． 在0≠y 、0≠p 时，约去p 并分离变量，得ydyp dp =． 两边积分，得C y p +=ln ln ，即 y C p 1=，或y C y 1'= )(1C e C ±=． 再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为2'1ln C x C y +=，或 ｘＣ１e C y 2= )２＇＝（２C e C ±．第六节 二阶线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程的形式为0)()(=+'+''y x Q y x P y ． （1）如果)()(x Q x P y y 、的系数、'均为常数，则（1）式为0=+'+''qy y p y ， （2）其中q p 、是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果q p 、不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理： 定理1 （解的叠加定理）如果21y y 、是方程（２）的两个解，那么2211y C y C y +=也是（2）的解，其中21,C C 是任意常数．237定理2 如果21y y 、是方程（２）的两个不成比例的特解（即常数≡/21y y ），则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解，其中21,C C 是任意常数．在这里我们之所以要求21,y y 不成比例，是因为如果有21Cy y =，那么就可推出()2212211y C C C y C y C y +=+=，即通解2211y C y C y +=中的两个任意常数变成一个．根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解21,y y ，且常数≡/21y y ，则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解．仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测方程（2）的解是指数函数．取rx e y =（r 为常数），选取适当的r ，使它满足方程（２），则rx e y =就是方程（2）的解． 将rx e y =代入方程（2），得到0)(2=++rx e q pr r ．由于0≠rxe，所以02=++q pr r ． （3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数rx e y =就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r r 、2的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y y '''、及y 的系数．特征方程（3）的两个根21r r 、可以用公式2422,1qp p r -±-=求出．它们有三种不同的形式：（i ）当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根：2421q p p r -+-=，2422q p p r ---=（ii ）当042=-q p 时，21,r r 是两个相等的实根：221pr r -==238（iii ）当042<-q p 时，21,r r 是一对共轭复根：,1βαi r += ,2βαi r -=其中 ,2p-=α 242p q -=β． 相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下： （ⅰ）特征方程有两个不相等的实根：21r r ≠． 微分方程（2）有两个解x r x r e y e y 2121==、，并且12y y 不是常数，因此微分方程（2）的通解为 x r x r e C e C y 2121+=．（ⅱ）特征方程有两个相等的实根：21r r =． 这时，微分方程（2）有一个解.11x r e y =下面求出微分方程（2）的另一个解2y ，并且要求12y y 不是常数． 设)(12x u y y =，)(12x u e y x r =即，代入微分方程（2），可得 0)(=''x u因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x u =，由此得到微分方程（2）的另一个解.21x r xe y =从而微分方程（2）的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 ()xr e x C C y 121+=（ⅲ） 特征方程有一对共轭复根：)0(,21≠-=+=ββαβαi r i r ． 这时，微分方程（2）有两个解()()x i xi e y ey βαβα-+==21, ，并且12y y 不是常数．但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式θθθsin cos i ei +=，21,y y 把改写为()),sin (cos 1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+ ())sin (cos 2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--．239由于复值函数21y y 与之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数,cos )(21211x e y y y x βα=+=x e y y i y x βαsin )(21212=-=还是微分方程（2）的解，且x xe xe y y x x βββααcot sin cos 21==不是常数，所以微分方程（2）的通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ， 的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程02=++q pr r ． 第二步 求出特征方程（3）的两个根21,r r ．第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程032=-'-''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0322=--r r ，其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为x x e C e C y 321+=-．例2 求方程0222=++s dt dsdts d 满足初始条件2400-='===t t s s 、的特解．解 所给微分方程的特征方程为2400122=++r r ，其根121-==r r 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为t e t C C s -+=)(21，将初始条件2400-='===t t s s、代入通解，得41=C ，22=C于是所求特解为t e t s -+=)24(．例３ 求微分方程052=+'-''y y y 的通解． 解 所给方程的特征方程为,0522=+-r r其根i r 212,1±=为一对共轭复根．因此所求通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=．二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是),(x f qy y p y =+'+'' （4） 其中q p 、是常数，0)(≠x f ．当0)(=x f 时，（4）可写为0=+'+''qy y p y ． （5）叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：定理3 如果*y 是方程（4）的一个特解，Y 是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）的通解为*+=y Y y ．由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解*y 的方法．本节介绍当方程（4）中的()x f 取两种常见形式时求*y 的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出*y 来，这种方法叫做待定系数法．)(x f 的两种形式是241（1）x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(．（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中ωλ、是常数，)()(x P x P n l 、分别是x 的l 次、n 次多项式，其中有一个可为零．下面分别介绍)(x f 为上述两种形式时*y 的求法．1．)()(x P e x f m x λ=型我们知道，方程（4）的特解*y 是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？因为（4）式右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型，因此，我们推测x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把"'***y y y 及、代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式)(x Q ，使x e x Q y λ)(=*满足方程（4）．为此将,)(x e x Q y λ=*[])()(x Q x Q e yx '+='*λλ， [])()(2)(2x Q x Q x Q e yx ''+'+="*λλλ 代入方程（4）并消去x e λ，得 )()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ． （6）推导可知如下结论：如果x m e x P x f λ)()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如x m k e x Q x y λ)(=* （7）的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次m (次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为10、或2． 上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取为0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）．例1 求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解．解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数)(x f 是x m e x P λ)(型（其中0,13)(=+=λx x P m ）．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为032=-'-''y y y ,242它的特征方程为0322=--r r ．有两个实根3,121=-=r r ，由于这里0=λ不是特征方程的根，所以应设特解为10b x b y +=*．把它代入原方程，得13323100+=---x b b x b ,比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 由此求得31,110=-=b b ．于是求得一个特解为 31+-=*x y ． 例2 求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且型是x m e x P x f λ)()(（其中）2,)(==λx x P m ． 与所给原方程对应的齐次线性微分方程为065=+'-''y y y ，它的特征方程为0652=+-r r ，有两个实根3,221==r r ，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为x x e C e C Y 3221+=．由于2=λ是特征方程的单根，所以应设*y 为x e b x b x y 210)(+=*，把它代入所给原方程，得x b b x b =-+-10022，比较等式两端同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ， 解得1,2110-=-=b b ．因此求得一个特解为243x e x x y 2)121(--=*． 从而所求的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=． 2．[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型 应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为]s i n c o s )([)2()1(x R x x R e x y m m x k ωωλ+=* （8）其中)(),()2()1(x R x R m m 是m 次多项式，},max{n l m =，而ωλi k +按（或ωλi -）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为10或．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的k 是特征方程中含根ωλi +（或ωλi -）的重复次数．例3 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型（其中0)(,)(,2,0====x P x x P n l ωλ）．与所给方程对应的齐次方程为0=+''y y ，它的特征方程为012=+r ，有两个复根i r i r -==21,，由于这里i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以应设特解为x d cx x b ax y 2sin )(2cos )(+++=*．把它代入所给方程，得x x x a d cx x c b ax 2cos 2sin )433(2cos )433=++-+--（．比较两端同类项的系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=+-=-0430304313a d c c b a ， 由此解得 94,0,0,31===-=d c b a ． 于是求得原方程的一个特解为244 x x x y 2sin 942cos 31+-=*． 以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．。
水力学 第八章 边界层理论基础与绕流运动
2、边界层的厚度（Boundary Layer Thickness）
（1）边界层名义厚度
自固体边界表面沿其外法线到纵向流速 ux 达到主流速U0的99%处的距离。 边界层的厚度顺流增大，所以δ 是 x 的函数，即：δ （x）。
8-1 边界层的基本概念
4
（2）边界层位移厚度d（流量亏损厚度、排挤厚度）
第八章
§8 — 1 §8 — 2 §8 — 3 §8 — 4 §8 — 5 §8 — 6 §8 — 7
第八章
边界层理论基础和绕流运动
边界层的基本概念 边界层微分方程•普朗特边界层方程 边界层的动量积分方程 平板上的层流边界层 平板上的湍流边界层 边界层的分离现象和卡门涡街 绕流运动
1
边界层理论基础和绕流运动
3 10 Re xcr
5
教材中取： （2）边界层厚度
Re xcr 5.0 10
U 0xcr 3 106 v
5
1）层流边界层： 5 x Re 1x/ 2
8-1 边界层的基本概念
10
0.381x 2）紊流边界层： /5 Re1 x
2、管流或明渠流的边界层
进口处没有特别干扰的光 滑圆管流，进口段或起始段 长度为
8-1 边界层的基本概念
7
3、层流边界层与紊流边界层
当边界层厚度较小时，流速梯度很大，粘滞应力也很大，边界层内 的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层（Laminar Boundary Layer）。 当雷诺数达到一定数值时，边界层内的流动经过一过渡段后转变为湍 流，成为湍流边界层（Turbulence Boundary Layer） 。
如图所示，可知： ρU δ δd 也可表示为：
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
(整理)第八章常微分方程数值解
第八章 常微分方程数值解由常微分方程理论可知，我们只能求一些特殊类型的常微分方程。
而实际上许多常微分方程求解非常困难。
本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==0,y a y y x f dx dybx a ≤≤ （8－1）从理论上讲只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使()()2121,,y y L y x f y x f -≤-则常微分方程存在唯一解)(x y y =。
微分方程数值解：就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点bx x x x a n n =<<<<=-110处的近似值iy （i=1，2，…，n ） ii ix x h -=+1称为由ix 到1+i x 的步长，通常取为常数h 。
求数值解，首先将微分方程离散化，常用方法有： （1） 用差商代替微商若用向前差商代替微商，即()()()()()i i i i i x y x f x y hx y x y ,1='≈-+ （i=1，2，…，n ）则得()1+i x y ()()()iiix y x hf x y ,+≈ 即()iiii y x hf y y ,1+=+（2） 数值积分法利用数值积分法左矩形公式()()i i x y x y -+1=()()()i i x x y x hf dx x y x f i i,,1≈⎰+可得同样算法()i i i i y x hf y y,1+=+ （3）用泰勒（Taylor ）公式()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+=得离散化计算公式()iiii y x hf y y ,1+=+§1 欧拉（Euler ）方法1.1欧拉方法对一阶微分方程（8—1），等分区间[]b a ,为n 份，b x x x x a nn =<<<<=-11，则iha x i +=na b h -=ni ,2,1=由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式()iiii y x hf y y ,1+=+代入初值则得到数值算法：()()⎩⎨⎧=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, （i=1，2，…，n －1） （8－2）称其为欧拉方法。
常微分方程小节练习
第十二章 常微分方程一、主要内容及要求：1．了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念，对于一阶、二阶常系数线性方程，会用已知的特解表示方程的通解；会验证至多二阶方程的解2．掌握可分离变量微分方程的求解，会解简单的、多项式最多二次的齐次方程 3．掌握一阶线性微分方程的求解方法——常数变异法；能够判别伯努利方程并知道相应的非线性代换ny z -=1，能够写出通过代换所得到的一阶线性非齐次微分方程，会判别全微分方程，对于简单的全微分方程能够求其通解，了解积分因子概念，掌握0=-xdy ydx 的几个简单的积分因子 4．掌握)()(x f y n =型微分方程的求解，了解),(y x f y '=''型、),(y y f y '=''型的求解方法5．理解二阶线性微分方程解的结构，会判别函数组的线性相关性6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，能够熟练地通过特征方程求特征根，写出三种相应的通解，并能求满足初始条件的特解8．会求自由项为)(x P e n x λ型的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，一般情况下)(x P n 不超过一次多项式，λ至多为特征方程的单根；会写)sin cos (x B x A exββλ+型的二阶常系数非齐次线性方程的特解二、具体的内容分配如下：习题8－1：微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程 习题8－2：齐次方程，一阶线性齐次微分方程习题8－3：一阶线性非齐次微分方程，伯努利方程 习题8－4：全微分方程，可降阶的高阶微分方程习题8－5：二阶线性微分方程解的结构，常系数齐次线性微分方程(主要是二阶)的通解习题8－6：常系数非齐次线性微分方程(主要是二阶)的通解 总习题八： 三．习题内容：习题8—1 A 题一、填空题1．凡表示未知函数、未知函数的 与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；未知函数是一元函数的，叫做 微分方程。
2．微分方程0324=+'+'''y y y x 的阶数为 。
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则称Φ ( x, y ) = 0为F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0的隐式解
解和隐式解统称为微分方程的解
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§1 微分方程基本概念
一, 问题的提出 二, 微分方程基本概念
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函数反映了客观世界运动过程中各种变 量之间的函数关系, 量之间的函数关系,是研究现实世界运动规 律的重要工具, 律的重要工具,但在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的运动过程时, 稍为复杂的运动过程时,要直接写出反映运 动规律的量与量之间的函数关系往往是不可 能的, 能的,但常可建立含有要找的函数及其导数 的关系式,这种关系式称为微分方程 微分方程, 的关系式,这种关系式称为微分方程,对微 分方程进行分析,找出未知函数来, 分方程进行分析,找出未知函数来,这就是 解微分方程. 解微分方程.
说明3 通解和特解只是方程的两类解, 说明3:通解和特解只是方程的两类解, 一阶方程的解要么是通解,要么是特解. 一阶方程的解要么是通解,要么是特解.
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微分方程求特解的方法和步骤: 微分方程求特解的方法和步骤: 通解; Step1: Step1:首先求出 F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0 的通解; Step2:然后在根据实际情况找出能求出通解中n Step2:然后在根据实际情况找出能求出通解中n 个常数的条件——定解条件; 定解条件; 个常数的条件 定解条件 Step3:根据定解条件求出满足条件的特解; Step3:根据定解条件求出满足条件的特解; 特解 由定解条件求特解的问题, 由定解条件求特解的问题,称为微分方程的 定解问题. 定解问题.
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分类3: 分类 :解与隐式解 y = ( x)代入方程F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0后 ( 1) 若 能使得它变为恒等式 则称y = ( x)为F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0的解 (2)若 关系式Φ( x, y ) = 0 所确定的隐函数 y = ( x) 是方程F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0的解 容易验证: 容易验证:
即 y = x + C, 将(2)代入(3)求得 C = 1, )代入( ) 所求曲线方程为 y = x 2 + 1 .
2
y = ∫ 2 xdx
(3) )
(4) )
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一个质量 质量为 质点开始 开始位于 并以初速度 例 2 一个质量为 m 的质点开始位于 s0 ,并以初速度 v0 做垂直上抛运动,设只考虑重力作用,求质点的 垂直上抛运动, 只考虑重力作用, 质点的 上抛运动 重力作用 运动方程 方程. 运动方程. 解 设所求质点的运动方程为s = s (t ), d 2s s'' (t) = 2 = g (5) ) dt 其中s (t ) |t =0 = s0,s′(t ) = v(t ) |t =0 = v0 (6) )
函数 y = 3e 是微分方程 y ′′ 4 y = 0
2x
的什么解? 的什么解
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思考题解答
Q y ′ = 6e 2 x , y′′ = 12e 2 x ,
y′′ 4 y = 12e 2 x 4 3e 2 x = 0,
Q y = 3e 2 x 中不含任意常数 中不含任意常数,
1 ′(t ) = v(t ) = gt + C1,s (t ) = gt 2 + C1t + C2 (7) s ) 2
对(5)两边积分可得: )两边积分可得:
将(6)代入(7)可得: )代入( )可得: 1 2 s = s (t ) = gt + v0t + s0 2
(8) )
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II,在一阶方程中, 和 的关系是等价的 的关系是等价的, II,在一阶方程中,x和y的关系是等价的,因此 有时可以将x看成函数, 看成变量; 有时可以将x看成函数,y看成变量; 本章我们主要研究的是常微分方程. 本章我们主要研究的是常微分方程. 一般地, 阶常微分方程记为 一般地,n阶常微分方程记为
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微分方程的解的分类: 微分方程的解的分类:
对于n阶微分方程F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0 (1)通解:若上式的解中含有n个独立的任意常数, (1) :若上式的解中含有n个独立的任意常数, 即 y = ( x, C1 , C2 ,L , Cn ) 通解 y = Ce x ; 例 y′ = y , y′′ + y = 0, 通解 y = C1 sin x + C 2 cos x; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. (2) :确定了通解中任意常数以后的解.
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在上述两个引例中未知函数都是一元的, 在上述两个引例中未知函数都是一元的,我们 称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程 常微分方程. 称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程. 和例2 例1和例2中的微分方程分别为一阶常微分方程 和二阶常微分方程; 和二阶常微分方程; 另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程 另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程 说明2 说明2
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常见的定解条件
′( x0 ) = y1 ,L , y ( n 1) ( x0 ) = yn 1 y ( x0 ) = y0 , y 又称为初始条件 初始条件; 又称为初始条件;其中 y0 , y1 ,L , yn 1 为给定常数
相应的定解问题又称为初值问题, 相应的定解问题又称为初值问题,即 初值问题
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k (C1 cos kt + C 2 sin kt ) + k (C1 cos kt + C 2 sin kt ) ≡ 0
2 2
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 . dx Q x t = 0 = A, = 0, ∴ C1 = A, C 2 = 0. dt t = 0
二,微分方程的基本概念
分类1: 分类 :微分方程与偏微分方程 在例1和例2中的( 在例1和例2中的(1)和(5)式中都含有未知 函数的导数,我们有: 函数的导数,我们有:凡含有未知函数的导数或微 微分方程. 分的方程叫微分方程 分的方程叫微分方程.并称方程中最高阶导数的阶 数为微分方程的阶数 阶数. 数为微分方程的阶数. 实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式. 导数(或微分)之间的关系式. 说明1 说明1 一个微分方程中自变量, (1)一个微分方程中自变量,自变量的未知函数未 必都出现; 中两者都出现, 中自变量未必现; 必都出现;例1中两者都出现,例2中自变量未必现; 和例2中的微分方程分别为一阶, (2)例1和例2中的微分方程分别为一阶,二阶微分 方程; 方程;
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一,问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程 求这曲线的方程. 求这曲线的方程 解 设所求曲线为 y = y( x ) dy (1) ) = 2x dx ) 其中 x = 1时, y = 2,记成y |x =1 = 2 (2)
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验证:函数 例 3 验证 函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
d2x 2 的解. 方程 2 + k x = 0的解 并求满足初始条件 dt dx x t = 0 = A, = 0的特解 的特解. dt t = 0 dx Q = kC1 sin kt + kC 2 cos kt , 解 dt 2 d x = k 2C1 cos kt k 2C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
′ , L , y ( n ) ) = 0, F ( x, y, y
其中x为自变量, 为未知函数 这里y 为未知函数, 其中 为自变量,y为未知函数,这里 (n)一定 为自变量 要出现,其它的可以出现也可以不出现. 要出现,其它的可以出现也可以不出现.
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F ( x, y ′, y ′′,L , y ( n ) ) = 0 ( n 1) ( x0 ) = yn 1 y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y1 ,L , y
定解条件(或初值); 如引例中, 如引例中,y |x =1 = 3 定解条件(或初值);
dy = 2x 为定解问题(或初值问题) 定解问题( 初值问题) dx y |x =1 = 3
分类2: 分类 :线性与非线性微分方程 F ( x, y′, y′′,L , y ( n ) ) = 0 可以表示称如下形式 若
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y ( n ) + a1 ( x) y ( n 1) + L + an 1 ( x) y′ + an ( x) y = f ( x) 则称之为n阶线性常微分方程, 则称之为n阶线性常微分方程, 其中a1 ( x), a2 ( x),L , an ( x), f ( x)均为自变量x的已知函数. 均为自变量x 反之,不能写成上面形式的微分方程称为非线性 反之,不能写成上面形式的微分方程称为非线性 微分方程. 微分方程. 如引例中的1 都是线性的微分方程, 如引例中的1,2都是线性的微分方程,分别 为一阶和二阶线性微分方程; 为一阶和二阶线性微分方程;而 2 dy d y g 2 = ay ay 和 2 + sin y = 0 dx dx t 都是一阶和二阶非线性微分方程. 都是一阶和二阶非线性微分方程.