线性代数目标测试题
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数单元测试卷(含答案)
线性代数单元测试卷(含答案)一、选择题(每题2分，共20分)1. 在线性代数中，什么是矩阵的秩？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵的非零行数D. 矩阵的最大线性无关行数正确答案：D2. 下列哪个不是矩阵的运算？A. 矩阵的加法B. 矩阵的减法C. 矩阵的除法D. 矩阵的乘法正确答案：C3. 矩阵的转置满足下列哪个性质？A. (A^T)^T = AB. (AB)^T = B^T * A^TC. (A + B)^T = A^T + B^TD. (AB)^T = A^T + B^T正确答案：B4. 什么是向量的线性组合？A. 向量相加B. 向量相减C. 向量乘以常数后相加D. 向量与常数相乘正确答案：C5. 下列哪组向量线性无关？A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (1, -1)正确答案：C二、填空题(每题3分，共30分)1. 给定矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的逆矩阵。
正确答案：[[-2, 1], [1.5, -0.5]]2. 给定矩阵B = [[2, 4], [1, 3]]，求B的特征值。
正确答案：[5, 0]3. 给定向量v = (1, 2, 3)，求v的范数。
正确答案：sqrt(14)4. 给定矩阵C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求C的秩。
正确答案：25. 给定矩阵D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，求D的转置矩阵。
正确答案：[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]三、解答题(每题10分，共40分)1. 什么是线性相关和线性无关？线性相关表示向量之间存在线性组合的系数不全为零的情况，即存在非零向量组合得到零向量。
线性无关表示向量之间不存在这样的关系，即只有全为零的线性组合才能得到零向量。
2. 什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个标量，它是一个方阵中各个元素按照一定规律相乘再求和的结果。
行列式可以用来判断方阵的逆是否存在，以及计算方阵的特征值等。
线性代数测试试卷及答案
线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数考试试题
线性代数考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]2. 向量空间V的一组基具有n个向量，那么V的维数是：A. 0B. nC. 1D. 不确定3. 如果A和B是两个n阶方阵，那么AB和BA的行列式的值：A. 总是相等B. 只有在A和B可交换时相等C. 只有在A和B都是对角矩阵时相等D. 无法确定是否相等4. 对于任意的n维向量x，下列哪个选项是正确的？A. x^T * x是一个标量B. x^T * x是一个矩阵C. x * x^T是一个矩阵D. x + x^T是一个向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得vA=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得A^2v=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量D. 以上都不是6. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 0; 0, -1]B. [0, 1; 1, 0]C. [1, 2; 2, 1]D. [2, 3; 3, 2]7. 对于矩阵A，其迹（trace）是：A. A的对角线元素之和B. A的行列式C. A的逆矩阵的对角线元素之和D. A的秩8. 如果矩阵A是正交矩阵，那么下列哪个陈述是正确的？A. A的行列式为1B. A的行列式为-1C. A的逆矩阵等于A的转置D. A的逆矩阵等于A本身9. 对于任意矩阵A，下列哪个选项是正确的？A. |A| 是 A 的行列式B. A^T 是 A 的转置C. A^-1 是 A 的逆矩阵D. A^* 是 A 的共轭转置10. 在线性代数中，线性无关的向量集合可以：A. 构成一个向量空间B. 构成一个基C. 确定一个唯一的解D. 以上都是二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵的秩是指__________________________。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数考试练习题带答案
线性代数试题集与答案解析一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设向量组α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。
(A) α 1 −α 2 ，α 2 −α 3 ，α 3 −α 1(B) α 1 ，α 2 ，α 3 + α 1(C) α 1 ，α 2 ，2 α 1 −3 α 2(D) α 2 ，α 3 ，2 α 2 + α 3正确答案：B解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。
2.(A) 必有一列元素全为0；(B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。
你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。
(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4你选择的答案：未选择[错误]正确答案：C解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为。
(A) 0(B) 0或-1(C) -1(D) -1或1正确答案：B解答参考：5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3，则 f的矩阵为。
(A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )(B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )(C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )(D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )正确答案：C解答参考：6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ−3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则λ的取值为(A) 0(B) -1(C) 2(D) -3正确答案：C8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1正确答案：B解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。
数学线性代数测试题
数学线性代数测试题题目一：行列式计算1. 计算下列行列式的值：(a)$\begin{vmatrix}2 & -1 & 0 \\3 &4 & 2 \\-1 & 1 & 5\end{vmatrix}$(b)$\begin{vmatrix}1 &2 & 1 & 0 \\3 & 1 &4 & -1 \\-2 & 3 & 0 & 2 \\1 & -1 &2 & 1\end{vmatrix}$2. 判断下列矩阵是否为可逆矩阵，并给出其逆矩阵（若可逆）：(a)$\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 4\end{bmatrix}$(b)$\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 &3 & 1 \\3 & 2 & 1\end{bmatrix}$题目二：向量空间1. 在三维空间中，考虑向量组 $S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \}$，其中$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$(a) 判断向量组 $S$ 是否线性相关或线性无关。
(b) 若向量组 $S$ 线性相关，找出其中的一个线性相关关系。
(c) 若向量组 $S$ 线性无关，求出向量组 $S$ 的秩，并基于此指出$S$ 所张成的子空间的维度。
2. 给定向量空间 $V = \{ P(x) \mid P(x) = ax^2 + bx + c, a, b, c \in\mathbb{R} \}$，证明其为三维向量空间，并求出其一组基。
线性代数测试题及答案
补充练习三 矩阵一、选择题：（1）设A 和B 均为n 阶方阵，则必有（ ）。
（A ）|A+B|=|A|+|B|； （B ）AB=BA （C ）|AB|=|BA| （D ）（A+B ）-1=A -1+B -1 （2）设A 和B 均为n 阶方阵，且满足AB=0，则必有（ ）。
（A ）A=0或B=0 （B ）A+B=0 （C ）|A|=0或|B|=0 （D ）|A|+|B|=0 （3）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P ，则必有（ ）。
（A ）AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； （C ）P 1P 2A=B ； （D ）P 2P 1A=B （4）设n 维行向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0,,0,21α，矩阵ααT E A -=，ααTE B 2+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB=（ ）。
（A ）0； （B ）E ； （C ）-E （D ）ααTE + （5）设n 阶方阵A 非奇异（n ≥2），A *是A 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）(A *)*=|A|n-1A ； （B ）(A *)*=|A|n+1A ； （C ）(A *)*=|A|n-2A ； （D ）(A *)*=|A|n+2A（6）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）。
（A ）ACB=E ； （B ）CBA=E ； （C ）BAC=E ； （D ）BCA=E（7）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001010********1P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010010000012P ，其中A 可逆，则B -1等于（ ）。
线性代数测试题(第三章)
线性代数测试题（第三章）一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量()()12243221αβ==-，，则 2α－3β =__________。
2. 一个含有零向量的向量组必线性 。
3. 设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。
4. 设12303206A t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当t = 时，R (A ) = 2。
5. 已知A 是m × n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为12,,,s ηηηL 。
如R （A ）= k ，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。
二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:1. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（ ）。
A R (α1 , …, α6) = 4B R (α1 , …, α6) = 2C α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关D α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示2. 已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4322351521215133A 则R （A ）为 A 1 B 2 C 3 D 43. 设s ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且秩12(,,,),s R r ααα=L 则( )。
A 该向量组中任意r 个向量线性无关B 该向量组中任意 1+r 个向量线性相关C 该向量组存在唯一极大无关组D 该向量组有若干个极大无关组4. 若1234,,,X X X X 是方程组AX O =的基础解系，则1234X X X X +++ 是AX O =的（ ）。
A 解向量B 基础解系C 通解D A 的行向量5. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解的充分必要条件是（） A 04321=+++a a a a B 04321=---a a a a C 03214=-+-a a a a D 04321=--+a a a a 三、计算题（每小题8分，共64分）：1. 求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113420112404321αααα，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。
线性代数练习题答案
线性代数练习题答案一、选择题1. 设矩阵A的秩为2，矩阵B的秩为1，则矩阵AB的秩为：A. 1B. 2C. 0D. 32. 向量组a1, a2, a3线性无关的充分必要条件是：A. 它们互不相同B. 它们不共面C. 它们是单位向量D. 它们是正交向量3. 一个3阶方阵A的特征值之和等于：A. A的迹B. A的行列式C. A的秩D. A的逆矩阵的行列式4. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个矩阵也是可逆的：A. A的转置矩阵B. A的伴随矩阵C. A的逆矩阵D. A的行列式二、填空题1. 设矩阵A的行列式为-3，则矩阵A的伴随矩阵的行列式为______。
2. 若向量组{b1, b2, b3}能由向量组{a1, a2}线性表示，且a1=(1,2,-1)^T，a2=(0,1,3)^T，b1=(2,3,-1)^T，b2=(1,1,4)^T，则b3=(3,4,-2)^T可以表示为______。
三、简答题1. 简述矩阵的特征值和特征向量的概念，并说明它们在矩阵理论中的重要性。
2. 解释什么是矩阵的正交化和单位化，并说明它们在解决向量空间问题中的应用。
四、证明题1. 证明：若矩阵A是正定的，则其逆矩阵也是正定的。
2. 证明：若两个向量a和b是正交的，则它们对应的投影矩阵的乘积为零矩阵。
五、计算题1. 计算以下矩阵的行列式：\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \]2. 设矩阵B为：\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵B的特征值和特征向量。
3. 已知向量v=(1,1,1)^T，求在向量v方向上的投影矩阵P_v。
六、应用题1. 某公司需要解决一个线性方程组问题，方程组如下：\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 = 8 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \end{cases} \]请使用高斯消元法求解该方程组。
2022年线性代数试卷及答案6套
线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题1. 线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间、线性变换以及它们之间的关系。
以下哪个选项不是向量空间的基本性质？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元存在性答案：C2. 设A是一个3级方阵，且det(A) = 2，那么det(2A)等于多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C3. 在线性代数中，线性变换可以通过什么来表示？A. 矩阵B. 行列式C. 特征值D. 坐标答案：A4. 特征值和特征向量在描述线性变换时具有重要意义。
一个矩阵的特征值和特征向量分别表示什么？A. 变换后矩阵的行列式，变换前矩阵的行列式B. 变换后矩阵的行列式，变换前向量的方向C. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向D. 变换前矩阵的行列式，变换后向量的方向答案：B5. 线性代数中的欧几里得空间是一个完备的度量空间，它满足哪些性质？A. 可数性B. 完备性C. 可加性D. 所有上述性质答案：D二、填空题1. 在线性代数中，若一个向量空间的基包含n个向量，则该向空间的维数为______。
2. 设矩阵A = [a_ij]，其中i表示行索引，j表示列索引。
如果A的逆矩阵存在，则A的行列式det(A)不等于______。
3. 对于一个n级方阵A，若存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为一个标量，则称λ为A的______，v为对应于λ的______。
三、计算题1. 给定矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的秩。
2. 设线性方程组如下：a_1 + 2a_2 + 3a_3 = 64a_1 + 5a_2 + 6a_3 = 127a_1 + 8a_3 + 9a_3 = 18求该方程组的解。
3. 给定一个3级方阵C，其特征值为1，-2和3，求矩阵C。
四、论述题1. 讨论线性变换在几何上的意义，并给出一个具体的例子来说明其作用。
2. 解释何为线性空间，以及线性空间的同构关系是如何定义的。
线性代数试题
线性代数试题一、选择题1. 线性代数中的“线性”一词主要指的是：A. 向量线性组合的运算性质B. 矩阵的线性变换C. 线性方程组的解的性质D. 所有上述选项2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = 2A + I，其中I是3阶单位矩阵。
则A的行列式的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不能确定3. 若向量a和向量b不共线，则下列哪个选项是正确的？A. a与b的内积为0B. a与b的叉积为0C. a与b可以作为两个基向量D. a与b的模长之和为定值4. 在线性代数中，特征值和特征向量的定义是：A. 一个数λ和非零向量v，使得Av = λvB. 一个数λ和非零向量v，使得v^2 = λC. 一个数λ和非零向量v，使得v/λ = AD. 一个数λ和非零向量v，使得A/v = λ5. 线性变换可以通过哪种矩阵来表示？A. 行矩阵B. 列矩阵C. 方阵D. 任意形状的矩阵二、填空题1. 在二维空间中，两个向量正交当且仅当它们的________等于0。
2. 一个n阶方阵的迹是指它的对角线元素之________。
3. 矩阵的秩是指矩阵中线性________的行或列的最大数目。
4. 一个向量空间的基是一组________的向量集合，可以通过它们表示该空间中的任意向量。
5. 对于一个给定的线性方程组，若其系数矩阵是对称正定的，则该方程组有唯一解当且仅当该矩阵是________的。
三、简答题1. 请解释何为线性相关和线性无关，并给出两个例子进行说明。
2. 描述矩阵的转置操作，并解释它对矩阵性质的影响。
3. 什么是线性方程组的基本解？请给出一个具体的例子来说明。
4. 解释何为特征值和特征向量，并说明它们在实际问题中的应用。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
2. 设向量a = [1; 2; 3]，向量b = [4; 5; 6]，求a和b的夹角。
3. 给定一个线性方程组如下：x + 2y - z = 32x - y + 3z = 13x + y + 2z = 4求该方程组的解。
线性代数试题
线性代数试题1. 以下是一些线性代数的试题，供您参考：1.1. 选择题1) 在三维空间中，如果一个平面通过原点，那么它的维数是几？A. 0B. 1C. 2D. 32) 设 A 是一个 3x3 的方阵，满足 A^T = -A，则 A 是什么类型的矩阵？A. 对称矩阵B. 反对称矩阵C. 正交矩阵D. 对角矩阵3) 对于一个 n x n 的方阵，如果它的特征值都是实数，那么它一定是什么类型的矩阵？A. 对称矩阵B. 反对称矩阵C. 正交矩阵D. 对角矩阵1.2. 简答题1) 请解释什么是矩阵的秩（rank）？2) 请解释什么是向量的线性无关？3) 请解释什么是特征值和特征向量？1.3. 计算题1) 已知矩阵 A = [1, 2; -1, 3]，求 A 的逆矩阵。
2) 已知向量 v1 = [1, 2, 3] 和向量 v2 = [2, 4, 6]，判断它们是否线性相关，并解释理由。
2. 答案解析2.1. 选择题1) 答案：C。
平面通过原点的维数是 2。
2) 答案：B。
满足 A^T = -A 的矩阵是反对称矩阵。
3) 答案：A。
特征值都是实数的方阵一定是对称矩阵。
2.2. 简答题1) 矩阵的秩是指矩阵列向量组（或行向量组）中线性无关的向量的最大个数。
2) 向量 v1, v2, ..., vn 线性无关是指不能有不全为 0 的实数 c1, c2, ..., cn，使得 c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0。
3) 特征值和特征向量是矩阵运算中的重要概念。
对于一个 n x n 的方阵 A，如果存在实数λ 和非零向量 v，使得Av = λv，则λ 称为 A 的特征值，v 称为对应于特征值λ 的特征向量。
2.3. 计算题1) A 的逆矩阵为 A^-1 = [3/5, -2/5; 1/5, 1/5]。
2) v1 = 2v2，它们线性相关，因为存在不全为 0 的实数 c1 = 2，c2 = -1，使得 c1v1 + c2v2 = 0。
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线性代数目标测试题第1章 行列式一、选择题1.四阶行列式中含有因子32a 的项，共有（ ）个.（A ）4； (B)2； (C)6； (D)8.2.设111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =,1,1,11,11,1111,111nn n n n n n n n n n n a a a a a a D a a a ------=，则有（ ）.（A ）1D D =； (B)1D D =-； (C)(1)21(1)n n D D -=-； (D)1(1)n D D =-.3.设,a b 为实数，000101ab ba-=--，则（ ）（A ）0,1a b ==-； (B)0,0a b ==； (C)1,0a b ==； (D)1,1a b ==-.4.设1234234134124123D =，4i A 是D 中元素4(1,2,3,4)i a i =的代数余子式，则14243444234A A A A +++=( )（A ）－1； (B)1； (C)D 1； (D)0.5.四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） （A ）12341234a a a a b b b b -； (B) 12341234a a a a b b b b +； (C) 12123434()()a a bb a a b b --； (D) 23231414()()a a b b a a bb --． 二、填空题1.设3101121a bc=，则333524_______111a b c ---=.2.设n 阶行列式D a =，且D 的每行元素之和为(0)b b ≠，则行列式D 的第1列元素的代数余子式之和等于_____.3.四阶行列式11101101_____10110111=. 4.设行列式3040222207005322D =--，则D 的第4行元素余子式之和等于_____. 5.五阶行列式10001100___________________01100011011aaa a a aa a a---=------.三、计算题1.计算四阶行列式1111111111111111x x x x ---+---+--.2.计算十阶行列式101010000011000xx x x---.3.计算行列式1231231231231111n n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++.4.计算行列式=n D 111112001030100n5.计算三对角行列式5300025300025000005300025n D =.6.计算行列式n x a a aa xa a D a axa a a a x-=----- .四、证明题1.证明：将n 阶行列式D 的每个元素ij a 乘以(0)i j b b -≠后得到的行列式仍然等于D .2.设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明：存在(0,1) ξ∈，使得()0f ξ'=. 3.设n 阶行列式det()ij D a =的元素满足(,1,2,,)ij ji a a i j n =-= ，试证明：当n 为奇数时，0D =.线性代数目标测试题第2章 矩阵一、选择题1. 已知A B C ，，均为n 阶方阵，且满足ABC E =，则（ ）() ()() () .A ACB E B CBA E C BAC E D BCA E ====，，，2. 1a b c d -⎛⎫⎪⎝⎭＝（ ）（a d b c ≠）A ．d c b a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B.d b c a -⎛⎫⎪-⎝⎭ C.1d b c a ad bc -⎛⎫ ⎪--⎝⎭ D.1d c b a ad bc -⎛⎫ ⎪--⎝⎭3. 设111213212223212223111213313233311132123313 a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，， 12010100100 010001101P P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则必有（ ） 12211221() () () ().A APP B B AP P B C PP A B D P PA B ====，，， 4.已知A B ，均为n 阶矩阵，且A O AB O ≠=，，下列结论必然正确的是（ ）()()()()()()()()22222222-.A B O B A B A B C A B A BA B D A B A B A B =+=++=-++=- ， ，，5.设n 阶方阵A B ，等价，则（ ）() () () 00 () .A AB B A BC A BD A B =≠≠≠=-，，若，则必有，二、填空题1. 设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=-______________2. 当λ=_______________时，矩阵11312050λ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为奇异矩阵.3. 对于方阵A B 、，若AXB C =，则X ＝______________________4.已知AB B A -=，其中120210002B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A ＝_________________.5.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则 1(*)A -＝________________．6．设A 是4⨯3矩阵，()2R A =，而102020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R B = ．三、计算题1. 设矩阵A B ，满足关系式2()AB A B =+，其中301 110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .2. 设1000000200000010000000000021000053A n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，求1A -.3. 已知2AX E A X ++＝，其中101020101A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝，求X .4. 已知11111111 11111111A ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求n A （n 为正整数）. 5. 设AP P =Λ，1214P ⎛⎫⎛⎫=Λ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10，=02，求()()82A A A A ϕ=-.6．设三阶矩阵a b b A b a b b b a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭问,a b 满足什么条件时，A 的伴随矩阵*A 的秩等于1．四、证明题1．设A B ，为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称矩阵.2．设A 为n 阶非零矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且*TA A =，证明 0A ≠.线性代数目标测试题第3章 向量与向量空间一、选择题 1．若向量组12,,,m ααα 线性无关，则向量组12,,,m βββ 线性无关的充分必要条件是（ ）．（A ）向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示； （B ）向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示； （C ）向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价； （D ）向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 的秩相等．2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）． （A ）；122331,,αααααα++-；（B ）1223123,,2ααααααα++++；（C ）1223312,23,3αααααα+++；（D ）123123123,2322,355ααααααααα++-++-． 3．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而2β不能由123,,ααα线性表示，则对任意常数k ，必有（ ）． （A ）12312,,,k αααββ+线性无关；（B ）12312,,,k αααββ+线性相关； （C ）12312,,,k αααββ+线性无关；（C ）12312,,,k αααββ+线性相关． 4．设12(1,0,0),(0,0,1)TT αα==，则β＝（ ）时，β可由12,αα线性表示．（A ）(2，0，0) （B ）（-3，0，4） （C ）（1，1，0） （D ）（0，-1，0） 5．设123(1,2,1),(0,5,3),(2,14,8)TTTααα===，则向量组123,,ααα的秩是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）36．设,,n R αβγ∈，在下列表达式中（ ）没有意义．（A ）[,]αβγ （B ）[,]αβγ+ （C ）([,]0)[,]λαβαβ≠ （D ）[,]αβγ+二、填空题1． 设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)T T T a c b c a b ααα===线性无关，则,,a b c 必满足关系式 ．2．设三阶矩阵122212304A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维向量11a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若向量A α与α线性相关，则a = ．3．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ ．4．从2R 的基12(1,0),(1,1)T T αα==-到基12(1,1),(1,2)T T ββ==的过渡矩阵为 ．5．已知向量(1,1,2)Tα=-与向量(2,2,)Tx β=-正交，则x ＝ ． 三、计算题 1．设(2,1,2),(4,2,3),T TTαβγ=-=-=-，求数k 使得2k αβγ+=．2．设向量组123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)T T T a a b a b ααα==+-=---+与向量(1,3,3)Tβ=-，问,a b 为何值时（1）β不能由123,,ααα线性表示；（2）β能由123,,ααα唯一地线性表示，并写出表示式；（3）β能由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并写出两个表示式．3．确定a 取何值时，向量组123(1,0,2),(1,1,3),(1,1,2)TT T a ααα===-+与向量组123(1,2,3),(2,1,6),(2,1,4)TT T a a a βββ=+=+=+有下列关系？（1）123,,ααα可由123,,βββ线性表示，但123,,βββ不能由123,,ααα线性表示；（2）123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，但123,,βββ能由123,,ααα线性表示；（3）123,,ααα与123,,βββ等价；（4）123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，123,,βββ也不能由123,,ααα线性表示．4．设123,,ααα线性无关，问当,h k 满足什么条件时，213213,,h k αααααα---也线性无关．5．设123,,t t t 为互不相等的常数，讨论向量组222111222333(1,,),(1,,),(1,,)T TTt t tt t t ααα===的线性相关性. 四、证明题1．证明，对任意实数a ，向量组123(,,,),(,1,2,3),(,2,3,4)T T T a a a a a a a a a a a a ααα==+++=线性相关．2．设n 维向量组12,,,n ααα 线性无关，若11122n n n k k k αααα+=+++且0(1,2,,)i k i n ≠= ，则121,,,,n n αααα+ 中任意n 个向量都线性无关．线性代数目标测试题第4章 线性方程组一、选择题1．n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ ） （A ）若0Ax =有唯一解，则Ax b =也有唯一解， （B ）若Ax b =有无穷多解，则0Ax =也有无穷多解， （C ）若0Ax =有无穷多解，则Ax b =只有零解， （D ）若0Ax =有唯一解，则Ax b =无解.2．要使12100 121ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，都是线性方程组0Ax =的解，只要系数矩阵A 为（ ） （A ）()211- （B ）201011-⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （D ）011422011-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭3．设A 为m n ⨯矩阵，且()1r A n =-，12,αα是0Ax =的两个不同的解向量，k 为任意的常数，则0Ax =的通解为（ ）（A ） 1k α （B ） 2k α (C) 12()k αα- (D) 12()k αα+4．线性方程组123232321,32, (3)(4)(2).x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）（A ） 1 (B) 2 （C ） 3 （D ） 45．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（ ）（A ）不存在, (B) 仅含一个非零解向量, （C ）含有两个线性无关的解向量, （D ）含有三个线性无关的解向量． 二、填空题1． 设线性方程组 1231231232202020.x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，，的系数矩阵为A ，且存在三阶矩阵0B ≠，使得0AB =，则λ=_________________，2．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组0Ax =的 通解为__________________，3．设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解解，则a =_______________，4．设12,,s ηηη 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++ 也是方 程组Ax b =的解，则12s k k k ，，，应满足条件__________________________，5.设A 为4阶方阵，且()2r A =，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组*0A x =的基础解系所含解向量个数为_____________________.三、计算题1．求齐次线性方程组1234123412341234502303803970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩，，， 的基础解系．2．求非齐次线性方程组1234512451235123453247 26525 411853 32 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++=⎩，，， 的通解．3．设A 是3m ⨯矩阵，且()1r A =，如果非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量123,,ηηη满足1223311012 1, 0311ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，求非齐次线性方程组Ax b =的通解．4．确定常数a ，使向量组12311 1 111a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可由向量组 1231221 4a a a a βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，线性表示，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示.5．对于线性方程组12341234123402203(2)(4)4 1.x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩，，已知()1111T--是该方程组的一个解.试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足23x x =的全部解. 四、证明题1．设A 为m n ⨯矩阵，1η，2η为非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，ξ为对应的齐次线性方程组0Ax =的一个非零解，证明：（1）向量组1η，12ηη-线性无关；（2）若()1r A n =-，则向量组ξ，1η，2η线性相关. 2．已知平面上三条不同的直线的方程分别为123:230,:230,:230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 0a b c ++=.线性代数目标测试题第5章 矩阵的特征值与特征向量一、选择题1．矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的非零特征值为（ ）. （A ）1； (B)2； (C)3； (D)4.2．设A 为n 阶实对称矩阵，α是A 的属于特征值λ的特征向量，P 为n 阶可逆矩阵，则矩阵1TP A P -的属于特征值λ的特征向量是（ ）.（A ）1P α-； (B)TP α； (C)P α； (D)1()T P α-.3．设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于（ ）.（A ）43； (B)34； (C)12； (D)14. 4．已知12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）.（A ）10λ≠； (B)20λ≠； (C)10λ=； (D)20λ=. 5．设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（ ）.(A)E A E B λλ-=-； (B)A 与B 有相同的特征值和特征向量； (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵； (D)对任意常数t ，tE A -与tE B -相似.6．设矩阵001010100B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.已知矩阵A 与B 相似，则秩(2)E A -与秩()E A -之和等于（ ）.（A ）2； (B)3； (C)4； (D)5. 二、填空题1.设560100121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征值为_____.2.设A 为n 阶矩阵，若方程0Ax =有非零解，则A 必有一个特征值为_______. 3．设A 为n 阶可逆矩阵，若λ为A 的一个特征值，则E A +2*)(必有特征值_______. 4.若4阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1_____B E --=. 5．设A 为3阶实对称矩阵矩阵，0λ为A 的二重特征值，则秩0()E A λ-等于_______. 三、计算题1．设122212221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．（1）试求矩阵A 的特征值；（2）利用（1）小题的结果，求矩阵1E A -+的特征值．2．设矩阵21112111A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，向量11b α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是A 的伴随矩阵A *的一个特征向量，λ是α对应的特征值，试求,a b 和λ的值．3．设向量1212(,,),(,,)T T n n a a a b b b αβ== 都是非零向量，而且0Tαβ=．记n 阶矩阵TA αβ=．求：（1）2A ；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．4．已知111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量． （1）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）问A 能否相似于对角阵？说明理由．5．设矩阵A 与B 相似，其中20010022,02031100A x B y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求x 和y 的值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．6．设矩阵1114335A xy -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，已知A 有三个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值．试求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角形矩阵．7．设矩阵3221423A kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭．问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵？并求出P 和相应的对角矩阵．8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为1111p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A .9．设n 阶矩阵111b b b b A b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，其中0b ≠． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵． 四、证明题1．设A 是奇数阶正交矩阵，且1A =，证明1λ=是A 的特征值.2．已知A 是n 阶矩阵，设存在正整数k ，使kA O =（称这样的矩阵为幂零矩阵）．证明：（1）1A E +=；（2）A 能相似对角化的充分必要条件是A O =.3．设n 阶实对称矩阵,A B 的特征值相同，证明：存在n 阶矩阵P 和正交矩阵Q ，使得,A PQ B QP ==．线性代数目标测试题第6章 二次型一、选择题1．对于二次型()T f x x Ax =，其中A 为n 阶实对称矩阵，下列各结论中正确的是（ ）。