两个平面平行
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法面面平行是几何学中的一个重要概念，它指的是两个平面在空间中没有交点，且它们的法向量平行。
在实际问题中，我们常常需要证明两个平面是平行的，下面将介绍几种常用的方法来证明面面平行的情况。
首先，最直接的方法是利用平面的法向量来进行证明。
设有两个平面分别为平面α和平面β，它们的法向量分别为n1和n2。
要证明这两个平面平行，只需证明它们的法向量平行即可。
具体来说，如果n1与n2平行，则可以得出平面α和平面β是平行的。
因此，我们可以通过计算这两个法向量的夹角来判断它们是否平行。
若夹角为0度或180度，则说明这两个法向量平行，从而得出这两个平面是平行的。
其次，我们可以利用平面上的直线来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们在空间中的任意一条直线在这两个平面上的投影也是平行的。
因此，我们可以通过构造一条直线，然后在这两个平面上找到它们的投影，如果这两个投影是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
另外，我们还可以利用平行四边形的性质来证明平面的平行关系。
如果在空间中存在两个平行四边形，那么它们所在的平面也是平行的。
因此，我们可以通过构造平行四边形来证明两个平面的平行关系。
具体来说，我们可以在这两个平面上分别找到两个平行四边形，如果这两个平行四边形是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
最后，我们还可以利用向量的线性组合来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们上任意一点的法向量之间存在线性关系。
因此，我们可以通过选取这两个平面上的三个点，然后计算它们的法向量，如果这三个法向量之间存在线性关系，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
综上所述，我们可以利用平面的法向量、平面上的直线投影、平行四边形的性质以及向量的线性组合等方法来证明两个平面的平行关系。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，以便更加方便和准确地得出结论。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用平面的平行关系，为解决实际问题提供更多的思路和方法。
《两个平面平行》课件
平面平行的性质 定理：如果两个 平面平行，则它 们之间的直线也 是平行的。
03
平面平行的判定条件
判定条件一：若两平面内分别有两条相交直线，则两平面平行
• 定义：若两平面内分别有两条相交直线，则称这两平面为相交直线。 • 性质：若两平面为相交直线，则它们之间的距离为常数。 • 判定条件：若两平面内分别有两条相交直线，则这两平面平行。 • 证明：假设两平面分别为α和β，且它们内分别有两条相交直线a和b。由于a和b相交，它们确定一个平面γ。由于α和
• 应用：这个判定条件在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与平面几何相关的问题时。 以上内容仅供参考，具 体内容可以根据您的需求进行调整优化。
• 以上内容仅供参考，具体内容可以根据您的需求进行调整优化。
判定条件三：若两平面分别与第三个平面交于两条相交直线，则 两平面平行
定义：若两平面 分别与第三个平 面交于两条相交 直线，则称两平 面平行。
β都与γ相交，根据平面的性质，α和β必然平行。 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学 中有着广泛的应用。
• 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学中有着广泛的应用。
判定条件二：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则 两平面平行
• 定义：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则称两平面平行。
性质证明：根据平面几何的基本性质，两平面平行意味着它们之间 的距离保持不变，因此它们不会相交，也就没有公共点。
性质应用：在几何学中，这一性质被广泛应用于证明和推导定理。
性质的意义：这一性质是平面几何中的基本概念之一，对于理解平 面几何的性质和定理具有重要意义。
性质二：若两平面平行，则它们没有公共直线
两个平面平行的性质
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目 录
• 定义与性质 • 两个平面平行的性质定理 • 两个平面平行在几何中的应用 • 两个平面平行的判定方法 • 两个平面平行的实际应用
01
定义与性质
平面平行定义
平面平行定义
两个平面没有公共点，则这两个平面 平行。
平行平面的性质
如果两个平面平行，则它们没有公共 点，且它们之间的距离保持不变。
在机械零件设计中，平面之间的平行关系对 于确保零件的精确配合和功能至关重要。例 如，在齿轮的设计中，齿面的平行关系决定 了齿轮的传动效率和稳定性。
空间几何中的应用
空间定位
在空间几何中，平面之间的平行关系用于确定物体的位置和方向。例如，在导航中，地 球上的经纬线形成平行的平面，用于确定地理位置和方向。
平面平行性质
1 2
3
性质1
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面平行。
性质2
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面垂直。
性质3
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意点都与另一个 平面等距。
平面平行的判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
判定方法三
总结词
根据平面的性质，如果两个平面都垂 直于同一条直线，则这两个平面平行。
详细描述பைடு நூலகம்
如果两个平面都垂直于同一条直线， 那么这两个平面必然平行。这是因为 垂直于同一直线的两个平面必然是平 行的，因为它们都与这条直线形成相 同的角度。
05
两个平面平行的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，两个平面平行是常见的 几何关系。例如，在建筑物的立面设计 中，平行于地面的墙面和窗户常常用于 实现美观和功能性的设计。
证明两平面平行的判定定理
证明两平面平行的判定定理平面是我们日常生活中常见的几何概念之一，它是由无数个相互平行的直线组成的。
而判定两个平面是否平行，则是几何学中一个重要的问题。
在几何学中，有一个重要的定理可以帮助我们判定两个平面是否平行，即两平面平行的判定定理。
定理表述如下：如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
要理解这个定理，我们首先要明确什么是平行。
在几何学中，两条直线或两个平面平行，意味着它们的方向相同，永远不会相交。
也就是说，两个平面平行，其中任意一条直线都与另一个平面平行。
接下来，我们来证明这个定理。
证明：设有两个平面P和Q，它们都与一条直线L平行。
我们取平面P上的一条直线a，使其与直线L相交于点A。
然后，在平面Q上取一条与直线a平行的直线b，并使其与直线L 相交于点B。
由于直线a与直线L平行，所以直线a与直线b也平行。
现在，我们来证明平面P与平面Q平行。
假设平面P与平面Q不平行，那么它们一定会相交于一条直线。
设这条直线为m，它与平面P的交点为C，与平面Q的交点为D。
由于直线a和直线b都与直线L平行，所以它们与直线m也平行。
根据平面与直线的关系，直线a与平面P相交于点A，直线b与平面P相交于点B，直线a与直线m相交于点C，直线b与直线m 相交于点D。
根据平面与直线的性质，直线a与直线m相交于点C，那么点C必定在平面P上。
同理，点D也必定在平面Q上。
所以，点C既在平面P上，又在平面Q上，这与平面P与平面Q 不相交的条件矛盾。
因此，假设不成立，得出结论：平面P与平面Q平行。
如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
这个定理的证明使用了平面与直线的性质以及平行线的性质，通过构造相交的直线和平面，利用矛盾法得出结论。
这个定理为我们判定两个平面是否平行提供了一个有效的方法。
在实际应用中，我们可以利用这个定理来解决很多几何问题。
比如，在建筑设计中，我们可以通过判定两个墙面是否平行来确定房间的布局；在制图中，我们可以通过判定两条边是否平行来确定平行四边形的形状等等。
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
平面与平面平行的性质和判定
两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。
②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。
11两个平面平行
4.已 知 ： 如 图 ， // ， 点 P是 平 面 ， 外 一 点 ， 直 线 PAB, PCD分 别 与 ， 相 交 于 点 A,B和 C,D: 求 证 ： (1)AC//BD;
P (2) 已 知 PA=4,AB=5,PC=3, 求 PD的 长 。
C
A
D
B
n
//
三、两个平面平行的性质 :
性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
已知: ∥ , a , b . 求证: a ∥b
证明: 因为 ∥ ,
所以 与 没有公共点, 因而交线 a ,b也没有公共点, 又因为 a , b 都在平面 所以 a ∥ . b
平面//平面，直线a，b相交于点S，且直线a 分别交、于点A、B，直线b分别交、于点C、D, 已知AS=1，BS=2，CD=9，求线段CS的长。
S
A
C
[拓展提高]
b
D
S
a
B
C
A
b
D
a
B
巩固练习:
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (
AB A B ∥
A B∥ A B A A ∥B B
A′
B′
所 以 经 过 A A ， B B 能 确 定 一 个 平 面 ， 记 为 平 面 .
A A B B 是 平 行 四 边 形 A A B B .
A1 B1C 1
设D 是 A1 C 1上的点，且 A1 B // 平 面 B1 C D ，求 A1 D : D C 1 的值.
两平面平行的判定定理符号表示
两平面平行的判定定理符号表示两平面平行的判定定理有以下符号表示：1. 共面定理：设平面α和平面β有公共点P，若P不是α和β的交线上的点，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
2. 平面法向量平行定理：设平面α和平面β有法向量分别为n1和n2，若n1 || n2，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
3. 平面方程定理：设平面α和平面β分别由平面方程Ax + By + Cz + D1 = 0和Ax + By + Cz + D2 = 0表示，若D1 ≠ D2，则α和β是平行的。
表示为α ∥ β。
4. 平面与直线平行定理：设平面α过点A，直线l在α上，若直线l // α，则l和α是平行的。
表示为l // α。
相关参考内容如下：1. 共面定理的应用：共面定理是判断两平面是否平行的常用方法之一，可以通过找到两平面的一个公共点，并验证该点不是两平面的交线上的点，从而确定两平面是否平行。
可以参考数学教材中的相关内容。
2. 平面法向量平行定理的应用：平面法向量平行定理是另一种判断两平面是否平行的方法，通过比较两平面的法向量，若两法向量平行，则两平面平行。
可以参考高等数学教材中的相关内容。
3. 平面方程定理的应用：平面方程定理可以通过比较两平面的方程中的常数项，若两常数项不相等，则两平面平行。
可以参考线性代数教材中的相关内容。
4. 平面与直线平行定理的应用：如果一条直线在平面上，且与平面平行，则该直线和平面是平行的。
这可以用来判断一个直线是否与一个平面平行。
可以参考解析几何教材中的相关内容。
以上是关于两平面平行的判定定理的符号表示及相关参考内容，希望能够对您有所帮助。
立体几何证明方法——证面面平行
立体几何证明方法——证面面平行立体几何中，证明面面平行是一个常见的问题，可以通过多种方法进行证明。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.使用直线面法相交性质证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条相交直线AE和BF，然后分别在这两条直线上选择两个点C和D。
根据直线面法相交性质，直线AE与平面ABCD相交于点E，直线AE与平面CDH相交于点C，同理，直线BF与平面ABCD相交于点F，直线BF与平面CDH相交于点D。
连接线段AD和BC，可以得到四边形ABCD。
然后，考察四边形ABCD，如果四边形ABCD是平行四边形，则线段AD与线段BC互相平行。
由直线平行与面平行的性质可知，平面ABCD与平面EFHG平行。
因此，我们只需要证明四边形ABCD为平行四边形即可。
接下来，通过证明线段AD与线段BC互相平行来证明四边形ABCD为平行四边形。
可采用向量法、等距向量法等方法进行证明，具体方法根据题目要求来选择。
2.使用距离法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，在平面ABCD上选择一点P，在平面EFGH上选择一点Q。
然后，构造线段PQ，并将其延长，过点P和Q分别作平行于平面ABCD和EFGH的直线。
两条直线与平面ABCD和EFGH的交点分别为A、B和E、F。
由于点P、Q到平面ABCD的距离相等，点A、B到平面EFGH的距离相等，利用距离的定义可以推出直线AE与直线BF互相平行。
同理可以证明直线BE与直线AF互相平行。
因此，根据平行四边形的性质可知线段AD与线段BC平行。
由于线段AD与线段BC平行，所以平面ABCD与平面EFGH平行。
3.使用垂线法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条垂线，可以是两个相交直线的垂线或两个平行直线的垂线。
然后，在平面EFGH中分别找到与这两条垂线相交的直线段，并将其延长。
【立体几何】两个平面平行
平面与平面平行1．两个平面的位置关系：2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.●点击双基1．下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有A.1种B.2种C.3种D.4种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.答案：C3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.答案：D4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点．(1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1 ∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ， CD 交α、β 于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBODCOOB AO = 即OD685=∴OD ＝548 ∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CDA 1ABC B 1 C EFM ND 1 DB Dβ αACO在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1 易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥a a ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ，∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝ADPA PA+AB＝37AB ，同理DE ＝74AC ．S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、βQFDECABα βP内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为＝＋＋＝2＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋ ∴ 、、共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．●闯关训练夯实基础B 1A 1C 1 βα BCAODEACBP1.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 答案：D2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68.(1)(2)如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.答案：68或3683.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：11甲乙①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图乙时，EF ·BF 是定值. 其中正确命题的序号是_____________.解析：对于命题①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC 为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.答案：①③④4.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.（1）求证：MN ∥α；（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ′⊥α，垂足为B ′，连结CB ′、DB ′，设E 为B ′D 的中点， 连结NE 、CE ，则NE ∥BB ′且NE =21BB ′，又AC =BB ′， ∴MCNE ，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.∴MN ∥CE .又CE ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ′=a =CD ，B ′D =22B B BD '-=22b c -， ∴CE =)(41222b c a --=2224141c b a -+， 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 5.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .A1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB . 同理，AB 1∥平面C 1DB . 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1. 同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1. ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .培养能力6.如下图，直线a ∥直线b ，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a 与b 所确定的平面不与γ垂直.如果a 、b 不是γ的垂线，则必有α∥β.证明：令α∩γ=直线a ′，β∩γ=直线b ′.分别过a 、b 上任一点在α内、β内作a ′、b ′的垂线m 、n .根据两平面垂直的性质定理，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n . ∵a 不垂直于γ，m ⊥γ，且a 、m 在α内，∴a 与m 必是相交直线.又b 与n 在β内，且有a ∥b ，m ∥n ，∴a ∥β，m ∥β.∴α∥β. 点评：根据a ∥b ，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F ∈γ， AC ∩β=B ，DF ∩β=E .（1）求证：BC AB =EFDE； （2）设AF 交β于M ，AC DF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当hh '的值是多少时，△BEM 的面积最大?（1）证明：连结BM 、EM 、BE .∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，∴BM ∥CF .∴BC AB =MF AM. 同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EFDE.（2）解：由（1）知BM ∥CF ，∴CF BM =AC AB =h h '.同理，AD ME =hh h '-.∴S BEM ∆=21CF ·AD h h '（1－hh '）sin ∠BME .据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，sin ∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即hh '= 21时，y =－x 2+x 有最大值. ∴当hh '= 21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ∆最大. 8.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，AB =a .A1（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ； （2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.（1）证明：∵MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB . 又AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .而MN ∩AM =M ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .（2）解：∵BE ⊂平面EFDB ，MN ⊂平面AMN ，且平面AMN ∥平面EFDB ， ∴BE 与MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A 1ACC 1的交线AP 、OQ ，作OH ⊥AP 于H . ∵DB ⊥平面A 1ACC 1，∴DB ⊥OH .而MN ∥DB ，∴OH ⊥MN . 则OH ⊥平面AMN . ∵A 1P =42a ，AP =423 a ， 设∠A 1AP =θ，则cos θ=a a 423=322， ∴OH =AO ·sin θ=22a ·322 a =32a . ∴异面直线BE 与MN 的距离是32a .探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m ，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE 是高度为h 的树，斜坡AD 朝正南方向，AB 为东西方向，BC 为南北方向.∠CBD =α，∠ACB =β，∠EAC =γ，∠AED =90°－γ，影长AD =x 为未知量.但x 难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC =θ为辅助未知量，以揭示x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在△ADE 中，)sin(θγ-h =)90sin(γ-x，即γcos x =)sin(θγ-h .①在△ACD 中，CD =x sin θ，AC =x cos θ. 在△ABC 中，BC =AC cos β=x cos θcos β. 在△BCD 中，tan α=BC CD =βθcos tan . ②由①推得x =)sin(cos θγγ-h .③由②推得tan θ=tan αcos β， 即θ=arctan （tan αcos β）.代入③，即得树在坡面上的影长. ●思悟小结证明两平面平行的方法： （1）利用定义证； （2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交. 拓展题例【例1】 下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D 错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β=l .答案：D【例2】 在四棱锥P —ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面P AD ；（2）当MN ⊥平面PCD 时，求二面角P —CD —B 的大小. （1）证明：取CD 的中点E ，连结ME 、NE . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .于是NE ∥平面P AD ， ME ∥平面P AD .∴平面MNE ∥平面P AD ，MN ⊂平面MNE . ∴MN ∥平面P AD .（2）解：设MA =MB =a ，BC =b ，则MC =22b a +. ∵N 是PC 的中点，MN ⊥平面PCD ， ∴MN ⊥PC .于是MP =MC =22b a +. ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AM ，P A =22AM PM -=b .于是PD =2 b ，EN 是△PDC 的中位线，EN =21PD =22b .∵ME ⊥CD ，MN ⊥平面PCD ，∴EN ⊥CD ，∠MEN 即为二面角P —CD —B 的平面角. 设为α，于是cos α=EMEN =22，α=45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°.。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面是一个基本的几何概念，而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。
本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系，包括平行、交叉、相交和重合。
一、平行关系两个平面如果永远不相交，它们被称为平行的。
平行关系是最简单的一种平面位置关系。
例如，在一个立方体中，底面和顶面是平行的，它们永远不会相交。
二、交叉关系两个平面如果有交点，但交点不在任何一个平面上，它们被称为交叉的。
交叉关系可以分为两种情况：交叉于一点和交叉于一线。
1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时，它们被称为交叉于一点的。
例如，一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。
2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时，它们被称为交叉于一线的。
例如，两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。
三、相交关系两个平面如果有公共部分，它们被称为相交的。
相交关系可以分为两种情况：相交于一点和相交于一线。
1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时，并且交点同时存在于两个平面上，它们被称为相交于一点的。
例如，两个平面的法向量相互垂直，它们相交于一点。
2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时，并且交线不在任何一个平面上，它们被称为相交于一线的。
例如，两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。
四、重合关系如果两个平面重合，它们被称为重合的。
两个重合的平面完全相同，它们所有的点都重合在一起。
例如，两张完全相同的平桌面重合在一起。
总结：空间几何中，平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系：平行、交叉、相交和重合。
平行的平面永远不会相交，交叉的平面有交点但不共面，相交的平面有公共部分且可能共面，而重合的平面完全相同。
通过研究平面与平面之间的位置关系，我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念，例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。
掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。
空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识，对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
两平面平行的判定
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
行的平面．×
( 6 )一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行 则两个平面平行。
例.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： 平证明面：A∵BA1BDCD1－//平A1B面1C1DC1为1B正D方体，
所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
一定平行吗？
（不一定）
模型１
α// β?
a
α α
α
β
2、平面β内有两条直线与平面α平行，平面α，β 一定平行吗？
模型２
a // β α
a
b// β a // b b
β
探索新知
判定方法2：平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行 .
符号表示：
ba
求证：平面PQR∥平面C1BD.
D
C
A
B
P
D1
R
A1
Q
C1 B1
练习:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若 M、 N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， C1D1 ， B1C1的中点，求证：平面AMN//平面EFBD。
线面平行 线线平行
面面平行
D1
N
A1
M
E
B1
C1
F
D A
C B
思考.在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、 △PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面 平行的方法呢? （1）定义法；
两平面平行的判定定理
两平面平行的判定定理
被称为平面平行定理的几何定理，它指出：
如果一条直线与两个平面相交，那么这两个平面一定是平行的。
这个定理的证明是这样的：
假设有两个平面P和Q，一条直线l介于它们之间。
如果P和Q不是平行的，那么它们有一个交点P_0，其中P_0是l和它们的共同点。
但是，如果P和Q是平行的，那么l和这两个平面将不具有共同点，而且l就不能相交于（P,Q），因此这个定理得到证明。
所以，总结出来的定理就是：如果一条直线与两个平面相交，那么这两个平面一定是平行的。
两平面平行
射线 射线
半平面
半平面
２、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图 形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起， 得到的空间图形称为二面角
３、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出 发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种 定义方式，二面角的定义如何？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角
D1 C1
A1
B1
D A B
C
四、平面的相交
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡，常用石 块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当 的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必 须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学 的观点认识这种现象？
公路
（一）：二面角的有关概念
１、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫做半平面
探究：
2.若a b P时，则与平行吗？
b
P
a
三、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与 另一个平面平行，则这两个平面平行．
P
符号语言：
b a b P // a // b //
a
例、在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ， 求证：平面 A1 BD // 平 面B1 D1C
注意两平面平行的画法
不应该这么画
2、判定：
探究：
（ 1 ）若内有一条直线 a与平行， 则与平行吗？
a
a
（两平面平行） （两平面相交）
探究：
（2）若内有两条直线 a、b分别与平行, 则与平行吗？ 1.若a // b时，则与平行吗？
两个平面平行系数关系
两个平面平行系数关系
在两个平面平行的情况下，它们的方程中的系数之间可能存在以下关系：
一般情况下，两个平面的方程可以表示为$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$和$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$，其中$A_1$、$B_1$、$C_1$和$A_2$、$B_2$、$C_2$是平面的系数。
如果两个平面平行，那么它们的系数之间的比例关系为$A_1\div A_2=B_1\div B_2=C_1\div C_2$。
特殊情况下，如果两个平面的方程中某个系数相等，那么它们的对应系数也相等，例如$A_1=A_2$、$B_1=B_2$、$C_1=C_2$，但$D_1$和$D_2$不一定相等。
需要注意的是，以上只是两个平面平行时方程系数之间的一些可能的关系，具体情况可能会更加复杂。
如果需要判断两个平面是否平行，建议使用其他方法，如通过计算两个平面的法向量是否平行来确定。
平行于同一平面的两个平面平行证明
平行于同一平面的两个平面平行证明
平行于同一平面的两个平面平行的证明可以通过几何学的角度
和向量的角度来进行说明。
从几何学的角度来看，我们可以利用平行线的性质来证明平行
于同一平面的两个平面是平行的。
首先，我们知道如果两条直线分
别与一条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
同样的道理，如
果两个平面分别与一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。
这
是因为如果两个平面不平行，它们将会相交，而根据几何学的基本
原理，平行于同一平面的两个平面不可能相交。
因此，我们可以通
过这一性质来证明平行于同一平面的两个平面是平行的。
另外，我们还可以从向量的角度来证明。
向量的平行性质也可
以用来证明平行于同一平面的两个平面是平行的。
假设两个平面分
别由法向量a和b来表示，如果这两个法向量平行，那么这两个平
面是平行的。
这是因为向量的平行性质表示它们的方向相同或相反，而平行于同一平面的两个平面的法向量方向相同，因此这两个平面
是平行的。
综上所述，我们可以通过几何学的角度和向量的角度来证明平
行于同一平面的两个平面是平行的。
这种多角度的证明可以更加全面地说明这一结论的正确性。
证明平面与平面平行的方法
证明平面与平面平行的方法一、引言在几何学中，平面是一个基本的概念，它可以用来描述许多物理现象。
平面可以与另一个平面平行，这种关系在几何学中也非常重要。
本文将介绍证明平面与平面平行的方法。
二、定义在几何学中，两个平面如果没有交点，则称它们是平行的。
这里需要注意的是，两个不同的平面可以相互垂直。
三、证明方法1. 通过等角条件证明首先，我们需要了解等角条件。
若两个角度相等，则称这两个角度为等角。
现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。
我们需要证明P和Q是平行的。
我们可以从P中选择一条直线l，并且从Q中选择一条与l相交的直线m。
然后我们需要找到P和Q上每个点对应的角度。
我们可以从l上选择一个点A，并且从m上选择一个点B。
然后我们分别以A和B为顶点，在P和Q上画出与l和m相交的直线C和D。
根据等角条件可知，∠ACB=∠BDC。
因此，如果我们能够证明∠ACB=∠BAD，则说明P与Q是平行的。
2. 通过距离条件证明其次，我们需要了解距离条件。
如果两个平面上的任意一点到另一个平面的距离相等，则称这两个平面是平行的。
现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。
我们需要证明P和Q是平行的。
我们可以从P中选择一条直线l，并且从Q中选择一条与l相交的直线m。
然后我们需要找到P和Q上每个点到另一个平面的距离。
我们可以从l上选择一个点A，并且从m上选择一个点B。
然后我们分别以A和B为顶点，在P和Q上画出与l和m垂直的直线C和D。
因为C垂直于l，所以AC是P上任意一点到Q的距离。
同样地，因为D垂直于m，所以BD是Q上任意一点到P的距离。
如果能够证明AC=BD，则说明P与Q是平行的。
3. 通过向量条件证明最后，我们需要了解向量条件。
如果两个平面所在空间中存在两个向量，它们分别垂直于这两个平面，则这两个平面是平行的。
现在假设我们有两个不同的平面P和Q，并且它们不相交。
我们需要证明P和Q是平行的。
我们可以从P中选择一个法向量a，并且从Q中选择一个法向量b。
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1、若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数多条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
2、设a，b是两条互不垂直的异面直线，过a，b分别作平面α，β对于下面4种情况①b∥α，
②b⊥α，③α∥β，④α⊥β可能的情况有()
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
3、a、b是异面直线，α、β表示平面，aα，bβ，甲：a∥β，b∥α乙：α∥β则甲是乙的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.不充分不必要条件
4、设a、b是异面直线，给出下列命题：
(1)经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b。
(2)经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b。
(3)存在分别经过直线a和b的两个平行平面。
(4)存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面。
其中错误的命题为()
A.(1)与(2)
B.(2)与(3)
C.(3)与(4)
D.仅(2)
5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
(1)AP⊥MN。
(2)平面MNP∥平面A1BD。
6、a和b是两条异面直线。
(1)求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β。
(2)求证：a，b间的距离等于平面α与β的距离。
7、如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间。
点A 、D ∈α，C 、F ∈γ，AC ∩β=B ，DF ∩β=E 。
(1)求证：EF DE BC AB =(2)设AF 交β于M ，AC ∥CF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当h h '
的值是多少时，S ∆BEM 的面积最大?
8、下列命题中，错误的是()
A.三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面。
B.平面α∥平面β，a α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a 。
C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d 。
D.一条直线与两个平面成等角的这两个平面平行的充要条件。
9、已知α、β表示不同的平面，m 、n 表示不同的直线，则α∥β的一个充分条件是()
A.m ⊂α，n ⊂β，且m ∥n
B.m ⊂α，n ⊂β，且m ∥β，n ∥α
C.m ∥α，n ∥β，且m ∥n
D.m ⊥α，n ⊥β，且m ∥n 10、设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=。
11、已知AB 、CD 是夹在两平行平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，AB=2，AB 与平面α成30°角。
则线段CD 的范围是()A.(32,332)
B.［332，+∞)
C.(1，33
2) D.［1，+∞］
12、如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A、A1B1，A1D1与CB，CC1，CD的中点。
求证：平面EFG∥平面MNQ。
13、如图，已知平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于M、N，线段AD分别交α、β于C、D；线段BF分别交α、β于F、E。
若AM=m，BN=n，MN=p，△FMC的面积为(m+p)(n+p)，
求证：△END的面积为
2) (p
m
m
n。