2019高考数学二轮复习小题专项练习(二)平面向量、复数与框图(无答案)理
高考数学二轮复习小题专项练习(二)平面向量、复数与框图理
高考数学二轮复习 小题专项练习（二）平面向量、复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]若复数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，则|2a ＋b|＝( )A ．2B ．3C. 2D.33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]若复数z ＝i20201－i 2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( ) A ．1＋i B ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设复数z 满足z －i z ＝3＋i ，则z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z1z2＋|z2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的内部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，则△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13 C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：假如n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；假如n 是个偶数，则下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于不管你写出一个多么庞大的数字，最后必定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永久也跳不出那个圈子．下列程序框图确实是依照那个游戏而设计的，假如输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP→＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC→(m>0，n>0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3 B ．4宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
全国高考数学第二轮复习 专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理 理
专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( )．A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．阅读下面的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )．A ．i ＜3?B ．i ＜4?C ．i ＜5?D ．i ＜6?3．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( )．A ．－3B ．－10C ．0D ．84．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |＝( )． A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．255．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )．A ．1140B ．1105C ．160D ．1426．已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π6，=2+(R)OC OA OB λλ-∈，则λ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 7．两点等分单位圆时，有关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．8．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a ＝(6，－8)，a 在b 方向上的投影是－5，则a 与b 的夹角为__________．9．在四边形ABCD 中，()=1,1AB DC ＝，113···||||||BA BC BD BA BC BD +＝，则四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知函数()11335x x f x --＝，()11335x x g x -+＝.(1)证明f (x )是奇函数；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)，f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并证明．11．(本小题满分15分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．12．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)和b ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12. (1)求|a ＋b |的最大值；(2)若|a ＋b |＝4105，求sin 2θ的值．参考答案一、选择题1．D 解析：∵3＋i 1－i ＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝3＋3i ＋i ＋i22＝1＋2i ，∴选D.2．D 解析：i ＝1，s ＝2； s ＝2－1＝1，i ＝1＋2＝3； s ＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5； s ＝－2－5＝－7，i ＝5＋2＝7.因输出s 的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i ＜6？”，故选D. 3．D4．C 解析：∵|a －b |2＝(a －b )2＝20，∴|a|2＋|b|2－2a·b ＝20.(*)又a ＝(1,2)，a·b ＝5，∴(*)式可化为5＋|b |2－10＝20，∴|b |2＝25，∴|b |＝5.5．A 解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.6．B 解析：如图所示：∠AOC ＝5π6，根据三角函数的定义，可设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r .∵=2+OC OA OB λ-，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝(－2,0)＋(λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝λ－2，12r ＝3λ，解得λ＝12.二、填空题7．sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．8．120° 解析：由题意得，|a |·cos〈a ，b 〉＝－5，即cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9． 3 解析：由AB DC =＝(1,1)，可得|=||=2AB DC 且四边形ABCD 是平行四边形，再由113···||||||BA BC BD BA BC BD +=可知D 在∠ABC 的角平分线上，且以BA 及BC 上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长PB ＝3，因此∠ABC ＝π3，所以AB ＝BC ，S ▱ABCD ＝AB ·BC ·sin∠ABC ＝2×2sin π3＝ 3.三、解答题10．(1)证明：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，故f (x )是奇函数．(2)解：计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，于是猜测f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ∈R 且x ≠0)．证明：()()()2211113333332550555x x x x x x f x f x g x -----+-⨯⋅=－＝.11．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴|2a －b |2的最大值为16.∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |＜m 恒成立，∴m ＞4.12．解：(1)a ＋b ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |a ＋b |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12，∴7π6≤θ＋π4≤5π3， ∴－32≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤12. ∴|a ＋b |max ＝ 6.(2)由已知|a ＋b |＝4105，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，sin 2θ＝－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－2×925＝725.。
高考数学(理科)二轮专题：第一篇专题二第2练 平面向量、复数
第2练 平面向量、复数(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·兰州二诊)复数z ＝(1＋i)2，则|z |＝ A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由题得z ＝2i ，所以|z |＝2.故选C. 答案 C2．(2019·长春期末)(2＋2i)(1－2i)＝ A ．4－2iB ．－2iC ．4＋2iD.2i解析 由题意，根据复数的运算(2＋2i)(1－2i)＝2＋2－2i ＝4－2i.故选A. 答案 A3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝ A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i解析 z ＝i(2＋i)＝2i ＋i 2＝－1＋2i ，所以z －＝－1－2i.故选D. 答案 D4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析 设z ＝x ＋y i ，故而|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋（y －1）2＝1，化简得x 2＋(y －1)2＝1.故选C.答案 C5．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝ A. 2B ．2C ．5 2D ．50解析 由已知a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，所以|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A.答案 A6．(2019·昆明一检)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(－1，2)，若a ∥b ，则x ＝ A ．－32B ．－1C.23D.32解析 ∵a ∥b ，∴2(x －1)＋x ＝0，∴ x ＝23.故选C.答案 C7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 和b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝|a |·|b |cos θ－|b |2＝0，将|a |＝2|b |代入可得cosθ＝12，即夹角为π3.故选B.答案 B8．(2019·合肥质检)若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，则|b |＝ A.12B.72C ．1D ．2解析 因为|a －2b |2＝|a |2＋4|b |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 又〈a ，b 〉＝120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，所以7＝1＋4|b |2＋2|b |，解得|b |＝－32(舍去)或|b |＝1.故选C.答案 C9．(2019·烟台二模)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a－b |>1”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为|a －b |>1⇒(a －b )2>1⇒a 2－2a ·b ＋b 2>1⇒1－2×1×1cos θ＋1>1⇒cos θ<12⇒θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a －b |>1”的充分不必要条件．故选B. 答案 B10．(2019·晋城二模)已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，且a 在b 方向上的投影是255，则实数m ＝A ．士2B ．2C ．± 5D. 5解析 因为向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，所以a ＝⎝⎛⎭⎫0，m 2，a ·b ＝m 22，|b |(|a |cos θ)＝1＋m 2·255＝a ·b ＝m 22，所以5m 4－16m 2－16＝0，即(5m 2＋4)(m 2－4)＝0，解得m ＝±2.故选A.答案 A11．(2019·长春质监)已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 A ．1B ．2C. 5D ．3解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝（cos θ－2）2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4 ＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.故选A. 答案 A12．(2019·南昌二模)已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于A ．1B ．2C ．3D ．4解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得AB sin C ＝AC sin B ，即212＝AC22，解得AC＝22，因为AP →＝AB →＋AC →2，BC →＝AC →－AB →，所以AP →·BC →＝AB →＋AC →2·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(8－4)＝2.故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·宁德质检)复数z ＝1＋2i1－i的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i2＝－12＋32i ，则复数z 的实部为－12.答案 －1214．(2019·开封三模)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ∥b ，则x ＝________． 解析 由题得2x －(x ＋1)＝0，所以x ＝1. 答案 115．(2019·石家庄二模)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，若CE →＝ED →，DF →＝2FB →，则AE →·AF →＝________．解析 由题意，如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝1，|b |＝2，又由CE →＝ED →，DF →＝2FB →，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点， 则AE →＝b ＋12a ，AF →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b ，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ＝13a 2＋56a ·b ＋13b 2＝13×12＋56×1×2cos 60°＋13×22＝52. 答案 5216．(2019·泰安二模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为________．解析 因为△ABC 的面积为23， 所以12|AB ||AC |sin A ＝23，∴12|AB ||AC |sin π3＝23，|AB ||AC |＝8， 因此AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos π3＝4，因为AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，所以m ＋34＝1，m ＝14因此|AP →|2＝⎪⎪⎪⎪14AC →＋12AB →2＝116AC →2＋14AB →2＋14AC →·AB →＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋1≥2×14|AC →|·12|AB →|＋1＝3， 当且仅当2|AC →|＝|AB →|＝4时取等号 即|AP →|≥3，|AP →|的最小值为 3. 答案 3。
高考数学二轮复习小题专项练习(二)平面向量复数与框图理
高考数学二轮复习小题专项练习（二）平面向量复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]假定双数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]假定两个单位向量a ，b 的夹角为120°，那么|2a ＋b |＝( )A ．2B ．3C. 2D. 33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运转如下图的顺序框图，那么输入的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]假定双数z ＝i 20201－i2(i 为虚数单位)，那么z 的共轭双数z －＝( )A ．1＋iB ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设双数z 满足z －i z＝3＋i ，那么z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25i 6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]双数z 1，z 2在复平面内对应的点区分为(2，－1)，(0，－1)，那么z 1z 2＋|z 2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的顺序框图，那么输入K 的值为( )A ．99B ．98C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的外部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，那么△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，盛行一种游戏——角谷猜想，规那么如下：恣意写出一个自然数n ，依照以下的规律停止变换：假设n 是个奇数，那么下一步变成3n ＋1；假设n 是个偶数，那么下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后肯定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永远也跳不出这个圈子．以下顺序框图就是依据这个游戏而设计的，假设输入的i 值为6，那么输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线区分交于点M ，N ，假定AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，那么m ＋2n 的最小值为( )A ．3B ．4C.83D.10311．[2021·成都毕业班第三次诊断检测]P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|PC →|＝|PB →|＝|AB →|＝2，那么△PBC 的面积等于( ) A. 3 B ．2 3C ．3 3D ．4 312．[2021·山东日照高三校际结合考试]在△ABC 中，点D 是线段BC 上恣意一点，M是线段AD 的中点，假定存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →，那么λ＋μ＝( )A ．2B ．－2C.12 D ．－12二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2021·内蒙古北重三中第九次调研]双数z ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 10，那么双数z 在复平面内相应的点为________．14．[2021·江西赣州顺应性考试]|a |＝1，|b |＝2，a ·(b －a )＝0，那么向量a 与b 的夹角为________．15．[2021·哈尔滨三中模拟]我国现代数学著作«孙子算经»中有这样一道算术题：〝今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？〞人们把此类标题称为〝中国剩余定理〞．假定正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，那么记为N ≡n (mod m )，例如10≡2(mod4)．现将该效果以顺序框图给出，执行该顺序框图，那么输入的n 等于________．16．[2021·江苏东台中学质量监测]向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角的正切值为－12，b 与c 的夹角的正切值为－13，|b |＝1，那么a ·c 的值为________．。
2019年高考数学二轮复习专题一常考小题点1.4平面向量题专项练课件文
D 重合,
∴点 D 在 CB 的延长线上.故选 D.
C.2
D.54
解析 ∵a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,∴a·b=2m-2=0,∴m=1, ∴a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5. 又a+b=(3,1),a·(a+b)=1×3+2×1=5,
∴ |2������-������|
������·(������+������)
13.(2018全国Ⅲ,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若
1
c∥(2a+b),则λ=
2.
解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=
1 2
.
14.(2018北京,文9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则
∴由 p·a=12,得|p|×1×cosπ3 = 12,即|p|=1.
12.(2018 浙江,9)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a
与 e 的夹角为π3,向量 b 满足 b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( A )
A. 3-1
B. 3+1
C.2
D.2- 3
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第一篇第2练 复数与平面向量Word版含解析
第2练 复数与平面向量[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.考点一 复数的概念与四则运算要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.1.(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A.0B.12 C.1 D. 2答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.2.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2等于( ) A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i 答案 D解析 由已知得a ＝2，b ＝1，即a ＋b i ＝2＋i ， ∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.3.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ， 反过来(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ， 则a 2－b 2＝0，2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件，故选A.4.复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 的取值范围是__________. 答案 {m |m ≠6且m ≠－1}解析 根据题意知，m 2－5m －6≠0，即(m －6)(m ＋1)≠0，所以m ≠6且m ≠－1. 考点二 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.5.设a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R (i 是虚数单位)，则a 等于( ) A.3 B.－3 C.13 D.－13答案 B解析 (1＋3i)(1＋a i)＝1＋a i ＋3i －3a ， ∵(1＋3i)(1＋a i)∈R ，∴虚部为0，则a ＋3＝0，∴a ＝－3.6.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3) 答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.7.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝_______.答案 2解析 由题意知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ， ∴z 1＋z 2＝－2，∴|z 1＋z 2|＝2.8.已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0191＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于第______象限.答案 二解析 因为i 4n ＋k ＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 019＝i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1，所以z ＝－11＋i ＝－(1－i )(1＋i )(1－i )＝－12(1－i)＝－12＋12i ，对应的点为⎝⎛⎭⎫－12，12，在第二象限. 考点三 平面向量的线性运算方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.9.(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.10.如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C.1 D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.又B ，N ，P 三点共线，∴m ＋23＝1，∴m ＝13.11.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ等于( )A.2B.83C.65D.85答案 D解析 方法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，BN →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝⎛⎭⎫1，12＋μ⎝⎛⎭⎫－12，1＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.方法二 以AB →，AD →作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →， 又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.12.已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则|a －2b |＝________. 答案7解析 由a ⊥(a ＋2b )得a ·(a ＋2b )＝0，∴|a |2＋2a ·b ＝0，得2a ·b ＝－1，∴|a －2b |2＝(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝1＋2＋4＝7，∴|a －2b |＝7. 考点四 平面向量的数量积方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法. (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.13.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( ) A.－311 B.－113 C.12 D.35答案 A解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c ＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.14.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43 D.－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|， 问题转化为求|P A →||PD →|的最大值.又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.15.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 A解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32.又∵0°≤∠ABC ≤180°， ∴∠ABC ＝30°.16.(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 答案 12解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.∴a ·b 的最大值为12.1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R ).对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，即z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题.故选B. 2.在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是________.(填序号) ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形. 答案 ②③解析 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误.3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎫－53，0∪()0，＋∞ 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)，由a ·(a ＋λb )>0，可得λ>－53.又a 与a ＋λb 不共线，∴λ≠0. 故λ>－53且λ≠0.解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC 中，AB →和BC →的夹角为π－B ；向量a ，b 的夹角为锐角要和a ·b >0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i 等于( )A.－iB.－3iC.iD.3i 答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.故选C.2.(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位.若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 等于( ) A.1或－1 B.7或－7 C.－ 3 D. 3 答案 A解析 ∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2. ∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3＝2，∴a ＝±1. 故选A.3.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B 解析2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (i ＋1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知，－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.4.(2018·安庆模拟)在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点， M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( ) A.12 B.－12 C.2 D.－2 答案 B解析 因为点D 在边BC 上，所以存在t ∈R ， 使得BD →＝tBC →＝t (AC →－AB →).因为M 是线段AD 的中点，所以BM →＝12(BA →＋BD →)＝12(－AB →＋tAC →－tAB →)＝－12(t ＋1)AB →＋12tAC →.又BM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－12(t ＋1)，μ＝12t ，所以λ＋μ＝－12.5.“复数z ＝3＋a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 由题意得z ＝a －3i ，若z 在复平面内对应的点在第三象限，则a <0，故选D.6.(2018·通州期末)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( ) A.32 B.3 C.3 D.2 3 答案 C解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形， 又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°， ∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3.7.已知a >0，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( )A.2B. 3C. 2D.1 答案 B解析 ⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝⎪⎪⎪⎪－a i ＋11＝(－a )2＋1＝2，即a 2＝3.又∵a >0，∴a ＝ 3.8.(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2 D.2－ 3答案 A解析 ∵b 2－4e ·b ＋3＝0， ∴(b －2e )2＝1， ∴|b －2e |＝1.如图所示，把a ，b ，e 的起点作为公共点O ，以O 为坐标原点，向量e 所在直线为x 轴，则b 的终点在以点M (2，0)为圆心，1为半径的圆上，|a －b |就是线段AB 的长度.要求|AB |的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M 到直线OA 的距离减去圆的半径长，因此|a －b |的最小值为3－1. 故选A.9.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝______.答案 4解析 由题意得x 2(1＋i)＋y 5(1＋2i)＝510(1＋3i)，∴(5x ＋2y )＋(5x ＋4y )i ＝5＋15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 10.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________. 答案 35解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.故C ，M ，D 三点共线，如图所示，MD →＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积之比为35. 11.(2018·德阳诊断)已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(x ＋2i)i ＝y －i ，则|x －y i|＝______. 答案 5解析 ∵(x ＋2i)i ＝y －i ，∴－2＋x i ＝y －i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 则|x －y i|＝|－1＋2i|＝ 5.12.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________.答案 13解析 以点A 为坐标原点，AB →，AC →所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)， ∴点P (1，4)，则PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13， 当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取“＝”， ∴PB →·PC →的最大值为13.。
2019高考数学二轮复习 第一部分 送分专题 第2讲 平面向量练习 理
第2讲 平面向量一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即ka ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0，又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0， ∴k ＝－1，此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d .故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为( )A ．1B ．－1 C.13D ．－13解析：由题意知a ＋λb ＝－k (b －3a )＝－kb ＋3ka ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝1，λ＝－k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：D3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b解析：设c ＝xa ＋yb ，则(－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1)＝(x ＋y ，x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，则c ＝12a －32b .答案：B4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及所在平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在边AB 上D ．P 在边AC 上解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，得2 PA →＋PC →＝0， ∴CP →＝2 PA →，即CP →∥PA →，∴C 、P 、A 三点共线． 答案：D5．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：设a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μa ，则a －c ＝λc －μa ， 所以(1＋μ)a ＝(1＋λ)c ， 因为a ，c 不共线， 所以μ＝λ＝－1， 所以a ＋b ＋c ＝0.故选D. 答案：D6．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7解析：|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4＝3，∴|a ＋2b |＝ 3. 答案：B7．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝10. 答案：B8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos π6，则3＋3m ＝2·9＋m 2·32，(3＋m )2＝9＋m 2，解得m ＝ 3.答案：B9．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA →|＝|AB →|，且2 OA →＋AB →＋AC →＝0，则CA →·CB →等于( ) A. 3 B ．2 3 C.32D ．3解析：因为2 OA →＋AB →＋AC →＝0，所以(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝0，即OB →＋OC →＝0，所以O 为BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，又|OA |＝|AB |，则△OAB 为正三角形，|AC →|＝3，|AB →|＝1，CA →与CB →的夹角为30°，由数量积公式可知CA →·CB →＝3×2cos 30°＝3×2×32＝3.选D. 答案：D10．在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2 AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的( ) A ．垂心 B ．内心 C ．外心D ．重心解析：设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2 AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2 AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C. 答案：C11．若OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ>0)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：AB→|AB →|，AC→|AC →|分别表示与AB →，AC →方向相同的单位向量，记为AE →，AF →.以AE →，AF →为邻边作▱AEDF ，则▱AEDF 为菱形． ∴AD 平分∠BAC 且AB →|AB →|＋AC→|AC →|＝AD →.∴OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝OA →＋λ AD →.∴AP →＝λ AD →.∵λ>0，∴点P 的轨迹为射线AD (不包括端点A )． ∴点P 的轨迹经过△ ABC 的内心． 答案：D12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎪⎫π3，23π解析：设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b >0， ∴a ·b <a 24， 又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |<a 24a 22＝12，即cos θ<12，又∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故选C. 答案：C 二、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝__________. 解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝－22＋－62＝210，则a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210·10·12＝10.答案：1014．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于__________．解析：根据三角形三边关系：AC →＝14AB →，OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.答案：34OA →＋14OB →15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若a GA →＋b GB →＋33c GC →＝0，则A ＝__________.解析：由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c GA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6.答案：π616．已知正方形ABCD 的边长为2，点E 在边DC 上，且DE →＝2 EC →，DF →＝12(DC →＋DB →)，则BE →·DF→＝__________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，D (2,2)．由DF →＝12(DC →＋DB →)，知F 为BC 的中点，则F (1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，DF →＝(－1，－2)， ∴BE →·DF →＝－2－43＝－103.10答案：－3。
2019年最新高考数学二轮复习 专题能力训练3 平面向量与复数 理(考试专用)
专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.(2018全国Ⅲ,理2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.(2018浙江,4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .13.已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,+λ,则实数λ=()A.-B.-C.D.16.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .20.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.专题能力训练3平面向量与复数一、能力突破训练1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b 时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.B解析=1+i,∴复数的共轭复数为1-i.7.D解析如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=11解析=2,)=又=,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,=3×2=3,()=-4, 即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=12.-1解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2ab i=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.14解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=二、思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则因为+,所以=由△ADE∽△ABC,得,所以,故λ=16.A解析以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),=(1,0),=(0,1),=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x 的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=令y=,则y2=10+2[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是219.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以①同理由①+②得,2+()+()=, 所以).所以λ=,μ=所以λ+μ=1.20.-2解析i为实数,∴-=0,即a=-2.。
(通用版)2019版高考数学二轮复习 专题检测(二)平面向量 理(普通生,含解析)
专题检测（二）平面向量一、选择题1．设a＝(1,2)，b＝（1,1），c＝a＋k b。
若b⊥c,则实数k的值等于（）A．－错误!B．－错误!C.错误! D。
错误!解析:选A 因为c＝a＋k b＝（1＋k，2＋k),又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－错误!.2．已知向量a＝（1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角的余弦值为（)A。
错误! B．－错误!C.错误! D．－错误!解析:选C 因为向量a＝（1，1），2a＋b＝(4，2），所以b＝（2,0），则向量a，b的夹角的余弦值为错误!＝错误!。
3．已知在平面直角坐标系中，点A（0,1），向量错误!＝（－4，－3），错误!＝（－7，－4）,则点C的坐标为（)A．（11,8) B．(3，2）C．（－11，－6) D．(－3，0)解析:选C 设C（x,y），∵在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量错误!＝(－4，－3)，错误!＝(－7，－4），∴错误!＝错误!＋错误!＝（－11,－7)，∴错误!解得x＝－11，y＝－6，故C(－11,－6)．4．在等腰梯形ABCD中，错误!＝－2错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）A。
12错误!＋错误!错误! B.错误!错误!＋错误!错误!C。
错误!错误!＋错误!错误! D.错误!错误!＋错误!错误!解析：选B 因为错误!＝－2错误!，所以错误!＝2错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!（错误!＋错误!＋错误!)＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!。
5．(2019届高三·武汉调研）设非零向量a，b满足|2a＋b｜＝｜2a－b｜,则( ）A．a⊥b B．|2a|＝|b｜C．a∥b D．｜a|<｜b｜解析：选A 法一:∵｜2a＋b｜＝|2a－b｜，∴（2a＋b）2＝（2a－b)2，化简得a·b＝0，∴a⊥b，故选A.法二:记c＝2a，则由｜2a＋b|＝｜2a－b|得|c＋b｜＝|c－b|，由平行四边形法则知，以向量c，b为邻边的平行四边形的对角线相等，∴该四边形为矩形，故c⊥b，即a⊥b,故选A.6．已知错误!＝(2,1）,点C（－1,0），D(4,5）,则向量错误!在错误!方向上的投影为（) A．－错误! B．－3错误!C.错误! D．3错误!解析：选C 因为点C(－1,0），D(4,5），所以错误!＝(5,5)，又错误!＝(2，1），所以向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|cos〈错误!,错误!>＝错误!＝错误!＝错误!。
专题10 平面向量与复数(二)-高考数学(文)二轮复习单元过关测试
2019高考数学（文）二轮单元复习过关测试单元测试10 平面向量与复数（二）(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限． 故选C ．2．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb 【答案】D【解析】因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确． 3．复数1＋2i 2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i 【答案】A【解析】 法一：1＋2i2－i＝1＋2i 2＋i 2－i2＋i ＝5i5＝i.法二：1＋2i 2－i ＝i 1＋2i i 2－i ＝i 1＋2i2i ＋1＝i.4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2【答案】B【解析】因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2.展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0，即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.5．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】 AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→， ∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1．故选A ．6．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35iD ．45－35i 【答案】D【解析】 ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 8．已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i 的虚部为 ( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25【答案】D【解析】复数z ＝i2＋i＝i 2－i 2＋i 2－i ＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D ．9．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)，所以|OA →＋OC →|＝3＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.10．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0【答案】A11已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【答案】D 【解析】由1－i2z＝1＋i ，得z ＝1－i21＋i＝－2i 1＋i ＝－2i 1－i1＋i 1－i＝－1－i ，故选D ． 12．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )A ．－4B ．3C ．－11D ．10【答案】C【解析】a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【答案】2【解析】 由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．14．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. 【答案】－25【解析】由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．【答案】9【解析】由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.16．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 【答案】2【解析】∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴a b＝2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分) 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；学_科网(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 【答案】（1）|OP →|＝22；（2）1令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分18．(12分) 设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 【答案】 （1）x ＝π6；（2）f (x )的最大值为32.【解析】(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. 5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分19．(12分) 复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 【答案】a ＝3．20．(12分) 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】 （1）f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )；（2）b ＝3，c ＝2.【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，2分令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1. 7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7. ①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ， ② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分21．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m∥n .(1)求角A 的大小．(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）A ＝π3；（2）△ABC 面积的最大值为4 3.【解析】 (1)因为m∥n ， 所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值．(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|M A →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1， 得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S四边形OAPB＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.。
(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练3 平面向量与复数 理
专题能力训练3 平面向量与复数一、能力突破训练1.设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3.(2018全国Ⅲ,理2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i4.在复平面内,若复数z的对应点与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.(2018浙江,4)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-9.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .11.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2=λ(λ∈R),且=-4,则λ的值为.12.设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .13.已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,|AD|=|AB|,|BE|=|BC|.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.二、思维提升训练15.在△ABC中,已知D是AB边上一点,+λ,则实数λ=()A.-B.-C.D.16.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且||·||+=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .20.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.专题能力训练3平面向量与复数一、能力突破训练1.B解析p1:设z=a+b i(a,b∈R),则R,所以b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:因为i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b 时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.4.D解析=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.6.B解析=1+i,∴复数的共轭复数为1-i.7.D解析如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(t m+n),所以n·(t m+n)=n·t m+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<AC<OC,OB<BD<OD,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I2=>0,I1=<0,I3=<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=11解析=2,)=又=,∠A=60°,AB=3,AC=2,=-4,=3×2=3,()=-4, 即=-4,4-9+3=-4,即-5=-4,解得λ=12.-1解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i∈R,∴a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2ab i=3+4i,则解得则a2+b2=5,ab=2.14解析由题意)=-,故λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=二、思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC于点F,则因为+,所以=由△ADE∽△ABC,得,所以,故λ=16.A解析以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B,C(0,t),=(1,0),=(0,1),=(1,0)+4(0,1)=(1,4),∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以=(6,0),||=6,=(x+3,y),=(x-3,y).由||·||+=0,得6+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x 的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min=3.18.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=令y=,则y2=10+2[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是219.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以=0,=0.又因为=0,所以①同理由①+②得,2+()+()=, 所以).所以λ=,μ=所以λ+μ=1.20.-2解析i为实数,∴-=0,即a=-2.。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：自测过关卷(二)平面向量、复数、算法、推理与证明理
自测过关卷(二) 平面向量、复数、算法、推理与证明组——高考题点全面练A (对应配套卷P 163)1．(2019届高三·惠州调研)若＝2－i (i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应z1＋i的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由题意知z ＝(1＋i )(2－i )＝3＋i ，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限．2．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( )A ．(－3,4) B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝(－6,8)＝(－3,4)．123．(2018·开封模拟)复数z ＝，则( )2－1＋iA ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的虚部为－1解析：选D 因为z ＝＝＝－1－i ，所以复数z 的实部和2－1＋i 2 －1－i－1＋i －1－i虚部均为－1，＝－1＋i ，|z |＝，故选D.z 24.(2018·石家庄质检)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．9B ．15C ．31D ．63解析：选C 由程序框图可知，k ＝1，S ＝1，S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋22＝7，k ＝3；S ＝7＋23＝15，k ＝4；S ＝15＋24＝31，k ＝5，退出循环，输出的S 的值为31，故选C.5．已知在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，AB ―→ BC ―→则点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析：选C 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，AB ―→ BC ―→∴＝＋＝(－11，－7)，AC ―→ AB ―→ BC ―→∴Error!解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．6.(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48解析：选D 执行程序框图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2≥0，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1≥0，v ＝5×3＋1＝16，i ＝0≥0，v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1<0，退出循环，输出v 的值为48.7.(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框1213141991100图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：选B 由题意可将S 变形为S ＝－，则由S ＝N －T ，得N ＝1＋(1＋＋…＋)(＋＋…＋)＋…＋，T ＝＋＋…＋.据此，结合N ＝N ＋，T ＝T ＋易知在空白框中应填入i ＝i 13199121411001i 1i ＋1＋2.故选B.8．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则＝( )EB ―→A.－B.－34AB ―→ 14AC ―→14AB ―→ 34AC ―→C.＋D.＋34AB ―→ 14AC ―→14AB ―→ 34AC ―→解析：选A 法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB ―→ ED ―→ DB ―→ 12AD ―→ 12CB―→＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.1212AB ―→ AC ―→ 12AB ―→ AC ―→ 34AB ―→ 14AC ―→法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，且∠A ＝，AB ＝AC ＝1.建立π2如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D ，E .故＝(1,0)，＝(0,1)，(12，12)(14，14)AB ―→ AC ―→＝(1,0)－＝，EB ―→(14，14)(34，－14)即＝－.EB ―→ 34AB ―→ 14AC ―→9．(2018·茂名一模)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是( )A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了解析：选C 假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选C.10．在△ABC 中，|＋|＝|－|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→则·＝( )AE ―→ AF ―→A. B.89109C. D.259269解析：选B 由|＋|＝|－|知⊥，以A 为坐标原点，，AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC―→的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,1)，不妨设E ，F ，则·＝·＝＋＝.(43，13)(23，23)AE ―→ AF ―→ (43，13)(23，23)892910911．(2018·昆明适应性检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.B ．6π16π3C ．8πD ．16π解析：选C 由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝×4×4×π＝8π，故旋12转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·南昌调研)已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，若点M的坐标是(1,1)，则| ＋＋|的最大值为( )MA ―→ MB ―→ MC ―→A ．3B ．4C ．3－1D ．3＋122解析：选D 法一：∵A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，∴设A (cos θ，sin θ)，B (－cos θ，－sin θ)，C (cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，∵M (1,1)，∴＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)MA ―→ MB ―→ MC ―→＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，∴|＋＋|＝MA ―→ MB ―→ MC ―→cos α－3 2＋ sin α－3 2＝cos 2α－6cos α＋9＋sin 2α－6sin α＋9＝ ，19－62sin (α＋π4)当且仅当sin ＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3(α＋π4)MA ―→ MB ―→ MC ―→ 19＋62＋1.2法二：连接AB ，∵AC ⊥BC ，∴AB 为圆O 的直径，∴＋＝2，MA ―→ MB ―→ MO ―→∴|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，MA ―→ MB ―→ MC ―→ MO ―→ MC ―→ MO ―→ MC ―→ 2MC ―→ 易知点M 与圆上动点C ＋1，2∴||≤＋1，∴|＋＋|≤3＋1，故选 D.MC ―→ 2MA ―→ MB ―→ MC ―→213．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴Error!⇒Error!⇒Error!∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2.答案：5 214．(2018·潍坊统一考试)已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝，若向量a ＝e 1－2e 2，π3则|a|＝________.解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝，所以|a|2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1|·|e 2|cos π3＋4＝1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝.π3123答案：315．(2018·南昌模拟)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，(62)(122)(202)若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝________.解析：13＋23＝2＝2，(62)(2×32)13＋23＋33＝2＝2，(122)(3×42)13＋23＋33＋43＝2＝2，(202)(4×52)…由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝2，[n n ＋1 2]因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，所以2＝3 025，[n n ＋1 2]即n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，解得n ＝10.答案：1016．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足| |＝||，则·的最小值为________．DP ―→ BQ ―→ PA ―→ PQ ―→解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x,1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.∵||＝||，∴|x |＝|y |，∴x ＝－y .DP ―→ BQ ―→∵＝(－x ，－1)，＝(2－x ，y －1)，PA ―→ PQ ―→∴·＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝2＋，PA ―→ PQ ―→ (x －12)34∴当x ＝时，·取得最小值，为.12PA ―→ PQ ―→34答案：34组——高考达标提速练B (对应配套卷P164)1．(2018·福州模拟)若复数的模为，则实数a ＝( )a1＋i22A ．1B ．－1C ．±1D ．±2解析：选C 法一：＝＝－i ，a1＋ia 1－i 1＋i 1－i a 2a2∵＝，a1＋i22∴＝，(a 2)2＋(－a 2)222解得a ＝±1.故选C .法二：∵＝，∴＝，∴|a|＝1，|a1＋i |22|a |222解得a ＝±1.故选C .2．已知a ∈R ，复数z ＝，若＝z ，则a ＝( )a －i 1＋iiz A ．1 B ．－1C ．2D ．－2解析：选B ∵z ＝＝＝＋a －1＝(a －1)－(a ＋a －i 1＋i i a ＋1＋ a －1 i i a ＋1i1)i ，∴＝(a －1)＋(a ＋1)i.z 又∵＝z ，∴a ＋1＝0，得a ＝－1.z 3．已知向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则t ＝( )A ．0 B ．－3C ．3D ．－1解析：选B 法一：由(m ＋n)⊥(m －n)可得(m ＋n)·(m －n)＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n)⊥(m －n)，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.4．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2＝，则·AD ―→ DC ―→ BA ―→ BD―→的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 法一：由题意得，·＝0，·＝·(－)＝|BA ―→ BC ―→ BA ―→ CA ―→ BA ―→ BA ―→ BC ―→|2＝36，∴·＝·(＋)＝·＝0＋×36＝24. BA ―→ BA ―→ BD ―→ BA ―→ BC ―→ CD ―→ BA ―→(＋23)23法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2＝，得D (4,2)．AD ―→ DC ―→∴·＝(6,0)·(4,2)＝24.BA ―→ BD ―→5．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1z p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2；z p 4：若复数z ∈R ，则∈R.z 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵＝＝∈R ，1z1a ＋b i a －b i a 2＋b 2∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠2，z ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴＝a －b i ＝a ∈R ，z ∴p 4是真命题．6.(2018·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56)解析：选A k ＝1，S ＝2，k ＝2；S ＝2＋4＝6，k ＝3；S ＝6＋6＝12，k ＝4；S ＝12＋8＝20，k ＝5；S ＝20＋10＝30，k ＝6；S ＝30＋12＝42，k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.7.(2018·开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i <7？，s ＝s －，i ＝2i1iB ．i ≤7？，s ＝s －，i ＝2i1iC ．i <7？，s ＝，i ＝i ＋1s2D ．i ≤7？，s ＝，i ＝i ＋1s2解析：选D 由题意及程序框图可知第一次剩下，第二次剩下，…，由此得出第712122次剩下，可得①为i ≤7？，②s ＝，③i ＝i ＋1.故选D.127s28．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，＋＋＝0，·OA ―→ OB ―→ OC ―→ AB ―→ ＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )AC ―→A. B.333C.D.3223解析：选A ∵＋＋＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝S △ABC .∵·OA ―→ OB ―→ OC ―→ 13AB ―→＝2，∴||·||·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60°，∴||·||＝4.∴S △ABC ＝AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→||·||sin ∠BAC ＝，∴△OBC 的面积为.12AB ―→AC ―→3339．(2019届高三·广元调研)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，应43用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4解析：选A 对于二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr .三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，′＝43(43πr 3)4πr 2.四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，∵(2πr 4)′＝8πr 3，∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4.10.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，＝，＝， ＝λAE ―→ 25AB ―→ AF ―→ 12AD ―→ AK ―→ AC―→，则λ的值为( )A. B.2927C. D.2523解析：选A 因为＝，＝，AE ―→ 25AB ―→ AF ―→ 12AD ―→则＝，＝2，AB ―→ 52AE ―→AD ―→ AF ―→由向量加法的平行四边形法则可知＝＋，AC ―→ AB ―→ AD ―→所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E ，F ，K 三点共AK ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ (52＋2)52AE ―→ AF ―→线可得λ＋2λ＝1，52所以λ＝.2912．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝·，I 2＝·，I 3＝·，则( )OA ―→OB ―→ OB ―→ OC ―→ OC ―→ OD ―→A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 法一：如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝·－·＝·(－)＝·＝|OA ―→ OB ―→ OB ―→ OC ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ CA ―→ OB―→|·||cos ∠AOB <0，CA ―→∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴||·||<||·||，OA ―→ OB ―→ OC ―→ OD ―→ 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴·>·，即I 1>I 3，OA ―→ OB ―→ OC ―→ OD ―→∴I 3<I 1<I 2.法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (0,2)，C (2，0)．设D (m ，n )，由AD ＝2和CD ＝3，得Error!从而有n －m ＝>0，∴n >m .54从而∠DBC >45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角．从而∠AOB 为钝角．故I 1<0，I 3<0，I 2>0.又OA <OC ，OB <OD ，故可设＝－λ1 (λ1>1)，＝－λ2 (λ2>1)，OD ―→ OB ―→ OC ―→ OA ―→从而I 3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I 1，OC ―→ OD ―→ OA ―→ OB ―→又λ1λ2>1，I 1<0，I 3<0，∴I 3<I 1，∴I 3<I 1<I 2.13．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋＝3＋i ，由a 2＋b 2复数相等可得Error!解得Error!故z ＝＋i.43答案：＋i4314.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为________．解析：模拟程序的运行，可得n ＝1，S ＝k ，满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －＝；k 2k 2满足条件n <4，执行循环体，n ＝3，S ＝－＝；k 2k23k3满足条件n <4，执行循环体，n ＝4，S ＝－＝，k 3k34k4此时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为，k4由题意可得＝1.5，解得k ＝6.k4答案：615．(2018·长春质检)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日16．(2018·郑州质检)已知△ABC 中，点D 满足2＋＝0，过D 的直线l 与直线AB ，ACBD ―→ CD ―→分别交于点E ，F ，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为AE ―→ AB ―→ AF ―→ AC ―→________．解析：因为2＋＝0，所以＝，所以＝＋＝＋＝BD ―→ CD ―→ BD ―→ 13BC ―→ AD ―→ AB ―→ BD ―→ AB ―→ 13BC ―→＋(－)＝＋.因为D ，E ，F 三点共线，所以可设＝x ＋(1－x )AB ―→ 13AC ―→ AB ―→ 23AB ―→ 13AC ―→ AD ―→ AE ―→＝xλ＋(1－x )μ，所以xλ＋(1－x )μ＝＋，根据平面向AF ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 23AB ―→ 13AC ―→量基本定理，得xλ＝，(1－x )μ＝，所以x ＝，1－x ＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝231323λ13μ23λ13μ(λ＋μ)＝3＋＋≥，当且仅当λ＝μ＝时等号成立．故λ＋13(2λ＋1μ)132μλλμ3＋22322＋23μ的最小值为.3＋223答案：.3＋223。
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小题专项练习(二) 平面向量、复数与框图
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·成都第三次诊断性检测]若复数z ＝a ＋i
1－i
(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a
的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
2．[2018·银川一中第二次模拟考试]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，则|2a ＋b |＝( )
A ．2
B ．3 C. 2 D. 3
3．[2018·合肥市高三第三次教学质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于( )
A ．－10
B ．－3
C ．3
D ．1
4．[2018·山东沂水期中]若复数z ＝i
2018
－
2
(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －
＝
( )
A ．1＋i
B ．i
C ．－12i D.12
i
5．[2018·百校联盟四月联考]设复数z 满足
z －i z
＝3＋i ，则z －
＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25i C.15－25i D ．－15－25
i 6．[2018·河南新乡第三次模拟测试]已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z 1z 2
＋|z 2|＝( )
A ．2＋2i
B ．2－2i
C ．－2＋i
D ．－2－i
7．[2018·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )
A ．99
B ．98
C ．100
D ．101
8．[2018·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的内部，且有AD →＝32
(OB →＋OC →
)，则△
ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )
A ．3 B.1
3
C ．2 D.1
2
9．[2018·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成n
2
，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的
数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永远也跳不出这个圈子．下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )
A ．5
B ．16
C ．5或32
D ．4或5或32
10．[2018·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →
，过点P 的直线与AB ，
AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →
(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( )
A ．3
B ．4 C.83 D.103
11．[2018·成都毕业班第三次诊断检测]已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →
＝0，|PC →|＝|PB →|＝|AB →
|＝2，则△PBC 的面积等于( )
A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3
12．[2018·山东日照高三校际联合考试]在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M
是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ＝( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．[2018·内蒙古北重三中第九次调研]已知复数z ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 10
，则复数z 在复平面内相应的点为________．
14．[2018·江西赣州适应性考试]已知|a |＝1，|b |＝2，a ·(b －a )＝0，则向量a 与b 的夹角为________．
15．[2018·哈尔滨三中模拟]我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如10≡2(mod4)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于________．
16．[2018·江苏东台中学质量监测]已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的
夹角的正切值为－12，b 与c 的夹角的正切值为－1
3
，|b |＝1，则a ·c 的值为________．。