高二数学下册期中考试试题

合集下载

高二数学期中考试试卷

高二数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 3C. 2D. 13. 若方程x^2-6x+8=0的两个根为x1和x2，则x1+x2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 104. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2xB. y=2^(1/x)C. y=1/(2^x)D. y=2^(-x)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)的值为：A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x+1D. x^3-3x^2+17. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若直线l的方程为y=2x+1，则该直线的斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a3的值为：A. 6B. 18C. 54D. 162二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则a5的值为______。

12. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值为______。

13. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的叉积为______。

14. 函数y=x^2+2x+1的顶点坐标为______。

15. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，则a和b的关系为______。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)，并求出f'(x)=0的解。

2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-==>==x y x B x x y y ，则（）A ．B A ⊆ B ．A B A =⋃C ．φ=⋂B AD ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54. 若向量,a b 的夹角为32π，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π5. 已知0a >，0b >，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（）A ．9B ．12C ．18D ．246.已知21)4tan(=-πα，且0<<-απ，则αα2sin 22sin +等于（）A ．B ．25-C ．25D ．5127.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(log 5.0f a =,),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．]6,2[B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（） A ．4B ．5C ．7D ．911.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（）A ．)3(9)2(4f f <-B ． )3(9)2(4f f >-C ．)2(3)3(2->f fD ．)2(2)3(3-<-f f12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

高二数学下学期期中考试试卷含答案(word版)

第二学期期中考试高二级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，它的否定是（） A ．存在,sin 1x x ∈>R B ．任意,sin 1x x ∈≥R C ．存在,sin 1x x ∈≥R D ．任意,sin 1x x ∈>R2．已知复数z 满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z 的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（）A ．2-B ．12-C ． 12 D ．26．双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是（）A ． 2,y x e =±=B ． 1,2y x e =±=C ．1,2y x e =± D ．2,y x e =±=7．若函数()ln f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．()0,1 B ．()0,e C ．()0,+∞ D ．()1,+∞8．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个． A ．40 B ．36 C ．44 D ．52图1图2图39．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y bx a =+ 中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )． A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可能知道两人的成绩C ．乙、丁可以知道自己的成绩D ．乙、丁可以知道对方的成绩11．已知函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( )A ． ,0-∞B ．1(0,)2C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． ()0,112．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][4,)+∞B ．3][4,)+∞C ．(0,1][9,)+∞D ．3][9,)+∞第II 卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分． 13．设()11i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi += ．14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a = ．15．已知双曲线的顶点为椭圆2212y x +=长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是16．已知曲线ln y x x =+在点 ()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切，则a = ．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根。

高中数学-高二下期中数学试题

2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题命题学校：荆州中学命题人：高抒志审题人：张云辉荣培元马玮一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()4f x sinx x =+，则()f π'=（）A ．-1B ．5C ．4D ．32.若随机事件113()()()324P A P B P A B ==+=，，，则()P A B =（）A ．29B ．23C ．14D ．163.已知直线l 为曲线22y x lnx =-在点()12，处的切线，则点()32-，到直线l 的距离为（）AB．C．5D ．104.已知随机变量X 的分布列如右表，则X 的均值()E X 等于（）A ．23B ．32C ．1D ．25.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（）A ．57B ．67C ．2735D ．31356.设13a e =（e 是自然对数的底数），43b =，34c log =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>7.已知数列{}n a 为等差数列，其首项为1，公差为2，数列{}n b 为等比数列，其首项为1，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2023n T <时，n 的取值可以是下面选项中的（）A ．9B ．10C ．11D ．128.若存在正实数x ，使得不等式()1220ax lnx ln a a≥⋅>成立（e 是自然对数的底数），则a 的最大值为（）A ．2e ln B ．2ln eC ．12eln D ．22ln X 0123P82749m127二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ABCD ⊥底面，1PD =，1AD =，2CD =，则下列结论正确的有（）A ．四面体P ACD -是鳖臑B ．阳马P ABCD -的体积为23C ．若23BQ BP = ，则112333DQ DA DC DP=++ D ．D 到平面PAC 的距离为2310.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()01A ，，()31B ，，动点P 满足2PA PB =，记动点P的轨迹为曲线C ，直线:230()l kx y k k R -+-=∈，则下列结论中正确的是（）A ．曲线C 的方程为22(4)(1)4x y -+-=B ．直线l 与曲线C 的位置关系无法确定C ．若直线l 与曲线C 相交，其弦长为4，则2k =-D ．BP 的最大值为311.关于函数()2f x lnx x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 在()2+∞，上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12x x ，，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>12.已知抛物线2y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A B ，两点，B 在第一象限，过A B ，分别作抛物线的切线12l l ，，且12l l ，相交于点P ，若BP 交x 轴于点Q ，则下列说法正确的有（）A ．点P 在抛物线的准线上B ．3APB π∠=C ．FQ BQ⊥D ．若33k =，则AF FB 的值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等比数列{}n a 中，1357936a a a a +=+=，，则1a =______________.14.()()()()2361111x x x x ++++++++ 的展开式中2x 的系数是______（用数字作答）.15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为111101520，，.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为__________________.16.黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s s s s n s n ξ∞-===+++∑，我们经常从无穷级数的部分和1111123s s s s n ++++ 入手.请你回答以下问题（1）222211141123[]+++=_____；（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][[]3.54222e ⎡⎤-=-==⎣⎦，，）（2）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则122023111[S S S +++= _________.（参考数据：202244.967202344.978202444.9892 1.414≈≈≈≈，，，）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知函数()2xx mf x e +=（m R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若0m =，求()f x 的极值；（2）若()f x 在()34，上单调递增，求m 的取值范围.18.（12分）手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对A B ，两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：（1）某人分别为A B ，款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为X ，求X 的分布列和数学期望.（2）已知在该手机厂商在售出的A B ，两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求A 款手机的碎屏险费a 最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本）19.（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，119090AA B ABC ∠=︒∠=︒，，四边形11BCC B 是菱形.（1）求证：11B C ABC ⊥平面；（2）若11260AB BC B BC ==∠=︒，，，求二面角11B AC B --的正弦值.A B碎屏险费/元a50屏幕意外损坏概率p0.050.0820.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为11n S a =，，3(2)n n S n a =+.（1）求32a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ≤<.21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率2e =，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）M N A B ，，，为椭圆上异于椭圆右顶点P 的四个不同的点，直线MN 、直线AB 均不与坐标轴垂直，直线MN 过点()06，且与直线AB 垂直，2PA PB k k +=，证明：直线MN 和直线AB的交点在一个定圆上.22.（12分）已知函数()(1)bx f x alnx x e =--（a b ，是常数，e 是自然对数的底数）.（1）当10a b ==，时，求函数()f x 的最大值；（2）当1a e b >=，时①证明：函数()f x 存在唯一的极值点β.②若()0f α=，且αβ>，证明：()()()22131αβββ-+<-.。

2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。

湖北省部分学校2023-2024年度高二下学期期中考试数学试题

湖北省部分学校2023-2024年度下学期期中考试高二数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章第2节。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.书架上放有2本不同的科学类图书，3本不同的文学类图书和5本不同的历史类图书，小李从中任选1本阅读，不同的选法共有A.9种B.10种C.30种D.45 种2.已知函数 f(x)的导函数为 f1(x),若 f1(2)=1,则lim∆x→0ff (2−xx)−ff(2)xx=A.1B.2C. -1D.-23.已知数列{a n}是递增数列，则其通项公式可以是AA.aa nn=nn²−nn BB.aa nn=3ⁿ−9nnCC.aa nn=�nn2,nn奇数2nn+1,n为偶数DD.aa nn=3ⁿ⁻¹−2ⁿ4.若函数ff(xx)=2xx³−3(aa+1)xx²+6aaxx的极小值点为1，则A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤15.“数列{aa nn}是等比数列”是“数列.{aa nn aa nn+1}是等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,f'(x)为 f(x)的导函数,则AA.ff(1)−ff(0)>ff′(1)>ff′(0)BB.ff′(1)>ff′(0)>ff(1)−ff(0)CC.ff′(0)>ff(1)−ff(0)>ff′(1)DD.ff′(1)>ff(1)−ff(0)>ff′(0)7.银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和(简称本利和)，这是整取.已知一年期的年利率为 1.35%，规定每次存入的钱不计复利.若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利A.48027元B.48351元C.48574元D.48744元8.已知函数f(x)=xlnx-e mx对定义域内任意xx₁<xx₂,都有ff(xx1)−ff(xx2)xx1−xx2<1,则正实数m的取值范围为A.(0, 16]B.(0,e] CC.�1ee,+∞�D.[e,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数求导正确的有AA.(xxxxxx nn xx)/=xxxx nn xx−xxxxxxxxxx BB.�ππ+√2�/=0CC.[ln(xx2+1)]/=2xx xx2+1DD.�xx2+1xx�/=1+1xx210.在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛(获奖名次不重复).甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三名，丙的成绩不是第五名.”根据这个回答，下列结论正确的有A.五人名次排列的所有情况共有36种B.甲、乙的排名不相邻的所有情况共有 24种C.甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种D.丙的排名高于甲的排名的所有情况共有 24种11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且aa nn+1=aa nn2−aa nn+1,则A.{a n}是递增数列B.使Sn≤2024n的值为5CC.SS nn+SS nn+1=SS nn2+nn+2D.若数列�1aa nn�的前n项和为T n，则12≤TT nn<1三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.12.已知函数ff(xx)=xx³+2ff′(1)xx²+3,则f(2)= ▲ .13.在数列{an}中,aa₁=2,aa₂=5,且aa nn+2=|aa nn+1−aa nn|，则aa₂₀₂₄−aa₂₀₂₃=▲14.提供6 种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F 六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有▲ 种.CADFBE四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在公差不为0的等差数列{aa nn}中,aa₁=23,aa₁₀是a6与a8的等比中项.(1)求{aa nn}的通项公式；(2)记{aa nn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值.16.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax-2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.17.(15分)如图，在一个3×3 的网格中填齐1至 9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5.(1)求满足第二横排、第二竖排的3个数字之和均为 15的不同的数字填写方案种数；(2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数.18.(17分)已知数列{aa nn}满足aa1+2aa2+3aa3+⋯+nnaa nn=nn.(1)求{aa nn}的通项公式；(2)设bb nn=[−ll xx ll₂aa],数列{bb nn}的前n项和为Sn，求SS2nn−1,(其中[x]表示不超过x的最大整数)19.(17分)已知函数ff(xx)=eeˣ+xxll nn xx.(1)求曲线yy=ff(xx)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若aa>0,bb>0,且aa²+bb²=1,证明：ff(aa)+ff(bb)<ee+1.。

河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（）A. 4B. 6C. 12D. 162. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 3. 4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（）A. 240B. 360C. 480D. 7204. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（）A B. C. 0 D. 15. 在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（）A. 7B. 8C. 9D. 106. 从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（）A. 12B. 18C. 30D. 607. 已知函数，则（）A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形，边长为2，点，分别在线段，上，，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，则五棱锥体积的最大值为（）.ππ(sin )cos 33'=(2)2ln 2x x '=1[ln()]x x '-=-(cos )sin x x'=()sin ln(1)f x a x x =++(0,0)21y x =-=a 2-1-()1n x +n =22()e (2)1x f x f x -'=++(3)f '=e 2-e 2+e 5+e 10+ABCD E F AB BC //EF AC BEF △EF B P PEF ⊥ADCFE P ADCFE -A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知为函数导数，的图象如图所示，则（）A. 是的极大值点B. 当时，取得最小值C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增10. 已知，是正整数，且，则下列等式正确的是（）A. B. C D. 11. 已知函数有两个极值点，，且，则（）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知为函数的导数，则______.13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有__________种.14. 展开式中的的系数为__________.的.的()f x '()f x ()y f x ='0x =()f x 1x =()f x ()f x ()0,1()f x ()1,∞+m n m n ≤461010A A =3441C C C n n n ++=()111A A m m n n n +++=123C C C C 2n n n n n n ++++= ()32f x x kx =-+a b a b <0k ≥0a b +=()2f a >()2f b <()f x '21()f x x x=+()1f '=A B C A ()52x y y -+25x y四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.（1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？16. 已知曲线上一点.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.17. 已知函数.（1）求极值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的值.18. 已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.19. 已知，为的导数.（1）证明：当时，；（2）讨论在上的零点个数，并证明的()31f x x mx =--()()1,1P f 2m =()y f x =P ()f x P m ()2e xf x x =()f x ()()f x a a =∈R a ()()523456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++5a 0246a a a a +++12345623456a a a a a a +++++()2cos e x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()1f x '≤()f x R ()f x <唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】48【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）120（2）14【16题答案】【答案】（1）；（2）或.【17题答案】【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2）【18题答案】【答案】（1）3（2）16 （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2）有2个零点，证明略30-3y x =-527224e 24e a =。

高二下学期期中考试数学试题(解析版)

莆田华侨中学2022-2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A.B.()121x x-'=11ln 222x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. D. ()cos sin x x '=()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【解析】【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】因为，，，， ()121x x -'=-11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()cos sin x x '=-()1ln 1x x x '+=+所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确，故选：D.2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（）OABC G BC OA a = OB b = OC c == AGA.B.C.D.1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． AB ACAG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．3. 函数的单调递增区间是（）()2ln f x x x =-A. 和B.C. D.(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得， ()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作K 1A 2A K 1A 2A 时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的K 1A 2A 0.90.70.7概率为（）A. B. C. D.0.8640.1560.1810.819【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，()20.9110.70.819⎡⎤⨯--=⎣⎦因此，该系统不能正常工作的概率为.10.8190.181-=故选：C.5. 向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（） (1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b cx A. B. 1C. 2D. 01-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共面关系，建立等式即可得解.a mb nc =+ 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，(1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b c ，，，，，，，，∴a mb nc =+0m ≠0n ≠(1∴x 2)(n =m 2)m ，解得，． ∴122nx m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1x m ==1x ∴=故选：B ．6. “”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（）5a >()3f x x ax =-A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】若在区间（1，2）上单调递减，()3f x x ax =-所以在区间（1，2）上恒成立， 2()30f x x a '=-≤所以在区间（1，2）上恒成立， 23x a ≤所以，()2max3xa ≤所以，23212a ≥⨯=所以“”是“”的必要不充分条件，5a >12a ≥所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，5a >()3f x x ax =-故选：C .7. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，ABCD M N 2NB AN = 2CMMD =，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）2AB =3BC =AM CNA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用圆柱的性质、异面直线所成的角即可求解.【详解】方法一如图（1），在上取点，使，连接，，，，． AB E 2AE EB=NE AN NB BE EA 易知四边形为矩形，则，且． ANBE NB AE ∥NB AE =连接，．因为，且，MN CM MN BC ∥MN BC =所以四边形为平行四边形，所以，且． MNBC CM NB ∥CM NB =连接，则，且，CE AE CM ∥AECM =所以四边形为平行四边形，则， AECM AM CE ∥所以或其补角是异面直线与所成的角． NCE ∠AM CN 在中，，，所以．Rt BNC △3CB=BN =CN ==在中，，，所以，Rt BCE 3CB =1BE =CE==2NE AB==所以．cos NCE ∠==故选：D ．方法二如图（2），在上取点，使，连接，，，． AB E 2AE EB=AN NB BE EA 易知四边形为矩形，，．ANBE 1AN =NB =MN 由已知条件，得为圆柱的一条母线．MN 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系N NB NA NM x y z ，Nxyz则，，，，()0,0,0N ()0,1,0A ()0,0,3M)C所以，，则， ()0,1,3AM =-)NC =cos ,AM NC ==所以异面直线与． AM CN 故选：D ．8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()f x '0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）()()sin cosf x x f x x '<A.B. 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C.D.64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性处理即可. 【详解】设则，因为对于任意的，都有()(),sin f x g x x=()()()2sin cos sin f x x f x x g x x'-'=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，所以在上单调递减，所以()()sin cos f x x f x x '<()0g x '<()g x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即，所以，所以643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭643sin sin sin643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>64312f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭>>又故无法比,64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 1sin1,33f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭较与，故B ，C ，D 错误. 3f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次A =B =的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（） C =D =A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 A B A D C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立B D AC 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.【详解】对于A ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互A B 独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A 正确；A B 对于B ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独A D 立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B 正确； A D A D 对于C ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； B D 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互B D B D 斥，故C 错误；对于D ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相A C 互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即A C A 与不互斥，故D 正确. C 故选：ABD.10. 以下命题正确的是（）．A. 直线l 的方向向量，直线m 的方向向量，则 ()112a ,,=-()1,2,1b = l m ⊥B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则或()0,1,1a =- α()1,1,1n =--l α∥l ⊂αC. 两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-αβ⊥D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α，1u =0=t 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B ，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；对于C ，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D ，根据法向量得到方程组，求出和的关系即可求解.u t 【详解】对于A ，因为直线的方向向量，直线的方向向量，l ()1,1,2a =- m ()1,2,1b =所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A 错误；()11122110a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=≠ a bl m 对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--所以，所以，故或，故B 正确；()()()0111110a n =⨯+⨯-+-+-=⋅ a n ⊥//l αl ⊂α对于C ，因为两个不同平面的法向量分别为，,αβ()()122,1,0,4,2,0n n =-=-所以，即，所以，故C 错误；212n n =- 12//n n//αβ对于D ，因为，所以, ()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --()()1,1,1,1,1,0AB BC =-=-又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D 正确. ()1,,=r n u t α00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1,0u t ==故选：BD.11. 如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧ABCD AB 90︒G CEH 上的动点，则（） DFA. 存在点，使得 H //EH BDB. 存在点，使得 H EH BG ⊥C. 存在点，使得平面H //EH BDG D. 存在点，使得直线与平面的夹角为 H EH BDG 45︒【答案】BC 【解析】【分析】先将图形补全为一个正方体，对四个选项一一验证： ADMF BCNE -对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. ,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： ADMF BCNE -对于A ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故A 错误； //BD EFMN H DF//EH BD 对于B ：因为正方体中，面，ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.EF BG ⊥所以当重合时，有.故B 正确；,F H EH BG ⊥对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-=(),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H DF对于D ：由B 的分析可知：当重合时，直线与平面的夹角最大.,F H EH BDG 此时.()0,0,2EH =-所以与平面所成的角的正弦值为EH BDG cos ,e EH e EH e EH⋅==<⨯ 所以与平面所成的角的最大值小于45°.故D 错误. EH BDG 故选： BC12. 若两曲线与存在公切线，则正实数a 的取值可以是（） 21y x =-ln 1y a x =-A. 1 B. e C. e 2 D. 3e【答案】AB 【解析】【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得()11,A x y ()22,B x y ，令，利用导数求出，可得的取值范围，从()2224ln 1a x x =-⋅-22()44ln (0)g x x x x x =->max ()g x a 而得答案.【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，， 21y x =-ln 1y a x =-()11,A x y ()22,B x y 由可得；由可得， 21y x =-2y x '=ln 1y a x =-a y x'=则过两切点的切线方程分别为，， 2111(1)2()y x x x x --=-()()222ln 1ay a x x x x --=-化简得，． 21121y x x x =--22ln 1ay x a x a x =+--因为两条切线为同一条，所以，122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得．()2224ln 1a x x =-⋅-令，，22()44ln (0)g x x x x x =->()4(12ln )g x x x =-'令，得，()0g x '=x =当时，；当；0x <<()0g x '>x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()gx )+∞则， max ()2e g x g ==所以． (0,2]a ∈e 故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1 【解析】【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得 ()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意， ()1011f a ='-=1a =故答案为：114. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______．【答案】67【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A 表示“2名中至少有1名男生”，B 表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， ()(|)()P AB P B A P A =而，，故. 112325C C 3()C 5P AB ==2325C 7()1C 10P A =-=6(|)7P B A =故答案为：6715. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为-P ABC PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒8CA =6PA =D AB 中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹E PAC △PC DE ⊥E AC AE =E 的长度为________.【答案】 ①. ②.4125【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为E AC PC DE ⊥AE E 内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到PAC △AC F F FG PC ⊥PC ⊥DFG 的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．E E 【详解】因为平面，平面，所以，又，所PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC ,PA AC PA BC ⊥⊥90ACB ∠=︒以，ACBC ⊥又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC BC ⊥PAC //Ax BC 系，则，设，所以，则()()()0,0,0,0,8,0,0,0,6A C P BC a =(),8,0B a ,4,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭①当在上时，设，因为，所以E AC ()0,,0E c PC DE ⊥，故，则()0,8,6,4,00832002a PC DE c c ⎛⎫⋅=-⋅--=+-+= ⎪⎝⎭ 4c =()0,4,0E 所以；4AE=②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为E PAC △ACF F FG PC ⊥G由①可得，又，平面，所以平面，因为PC DF ⊥FG PC ⊥,,DF FG F DF FG ⋂=⊂DFG PC ⊥DFG 平面，所以FG ⊂PAC PC FG ⊥即在线段上运动时，， E FG PC DE ⊥点的轨迹为线段．∴E FG 则． 12sin 425PA FG FC PCA PC =⋅∠=⨯==故答案为：；. 412516. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩()f x k 【答案】 ()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交ln x k x =0x >21x k x-=0x <y k =点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案. 【详解】当时，令，则， 0x >()ln 0f x x kx =-=ln xk x=令，，， ()ln x h x x=0x >()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==令，即，解得，此时单调递增， ()0h x '>1ln 0x ->0e x <<()h x 令，即，解得，此时单调递减， ()0h x '<1ln 0x -<e x >()h x 故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷， ()h x e x =()1e eh =x ()h x 当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，x ()h x 当时，，当时，，故此时不是零点，所以，0x ≤()21f x kx x =-+0x =()01f =0x ≠令，，()201f x kx x =-+=22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭令，， ()211x x xϕ=-0x <根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0， x ()x ϕ当趋近于0时，趋近于负无穷， x ()x ϕ在同一坐标系中作出与如下图所示，()h x ()x ϕ题目转化为与函数与在图像上有两交点，y k =()h x ()x ϕ故由图得.()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为：.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，．()1,3,4A ()1,5,4B -()1,2,1C -（1）求；,AB BC（2）求在上的投影向量．AC BC【答案】（1）2π3（2） ()0,2,2--【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量的同方向单位向量,计算即可得到BC投影向量. 【小问1详解】解：因为，，()2,2,0AB =- ()0,3,3BC =--所以，，，6AB BC⋅=-AB =BC = 所以． 1cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===-⋅因为，0,πAB BC ≤≤所以．2π,3AB BC = 【小问2详解】因为，， ()2,1,3AC =--- ()0,3,3BC =--所以．cos ,AC BC ==因为， 0,BC BC ⎛= ⎝所以在上的投影向量为AC BC．()cos ,0=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛= ⎝⋅--18. 如图，四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，，，M 为BC P ABCD -2PD DC ==AD =的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值. 【答案】（1 （2 【解析】【分析】（1）根据点面距离的法向量求法即可求解；（2）根据面面夹角的法向量求法即可求解. 【小问1详解】因为四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，P ABCD -所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又，，M 为BC 的中点， 2PD DC ==AD =所以，，，，(0,0,0)DA 2,0)M (0,0,2)P 所以，，2)PA =-2,2)PM =-DA = 设平面的法向量为，PAM (,,)n x y z =所以， ()()()),,220,,2,2220nPA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩取，解得，， 1x=z=y =所以，n =所以D 到平面APM.==【小问2详解】易知，平面ABCD 的一个法向量为，(0,0,2)DP =. ()0,0,2·cos ,m n ⎛===平面ABCD 与平面APM . 19. 已知函数，.()sin cos f x x x x =+()0,2πx ∈（1）求函数在处的切线方程； ()f x πx =（2）求函数的极值. ()f x 【答案】（1）2ππ10x y +-+=（2）的极大值为;的极小值为. ()f x π2()f x 3π2-【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=所以， (π)πcos ππf '==-而，()ππsin πcos π1f =+=-所以函数f （x ）在处的切线方程为：， πx =(1)π(π)y x --=--即， 2ππ10x y +-+=【小问2详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=令， ()cos 0f x x x '==解得或， 0x =ππ,2x k k =+∈Z 又因为， ()0,2πx ∈所以或，1π2x =3π2x =x 10,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12π 13π,π22⎛⎫ ⎪⎝⎭3π23π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x ↗极大值 ↘极小值↗函数的极大值为;()f x 1πππππsin cos 22222f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭函数的极小值为.()f x 33π3π3π3ππsin cos 22222f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭20. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）27（2）37【解析】【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概=i A i 1,2i =()1P A ()21P A A 率的概率公式计算可得；（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全i B =i 1,2i =()1P B ()21P B B ()21P B A 概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．=i A i 1,2i =∵，，()14117C 4C 7P A ==()132116C 1C 2P A A ==∴， ()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．1227【小问2详解】设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．i B =i 1,2i =∵，，，()13117C 3C 7P B ==()122116C 1C 3P B B ==()132116C 1C 2P B A ==∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为2()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯ 31417372=⨯+⨯． 37=21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，111ABC A B C -11A B BA ⊥ABC 11A B BA 1π3ABB ∠=，，E 是的中点.1A B AC ⊥2AB AC ==AC（1）求证：平面；1A B ⊥1AB C （2）点P 在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.1A E 1A E AP 1A BE π41EP EA 【答案】（1）证明见解析（2）125EP EA =【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明； (2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解. 【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，11A B BA 11A B AB ⊥又因为，，平面，， 1A B AC ⊥1AB AC ⊂1AB C 1AB AC A = 所以平面. 1A B ⊥1AB C 【小问2详解】取的中点O ，连接，四边形为菱形，且， AB 1B O 11A B BA 1π3ABB ∠=所以.1B O AB ⊥因为平面平面，平面平面，11A B BA ⊥ABC 11A B BA ⋂ABC AB =平面，1B O ⊂11A B BA 所以平面，所以，又因为，与相交， 1B O ⊥ABC 1B O AC ⊥1A B AC ⊥1B O 1A B 所以平面.取中点D ，连结， AC ⊥11A B BA BC OD 以O 为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.OB OD 1OB则，，，，()1,0,0B ()1,0,0A-(1A -()1,1,0E -所以，.(1BA =-()2,1,0BE =- 设平面的一个法向量为，1A BE (),,n x y z =所以，令，则，，13020n BA x n BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x=z =2y =所以.(1,n =设，可得点，. 1EP EA λ=()1,1P λλ---(),1AP λλ=-- 由题意πsin cos ,4AP n AP n AP n ⋅===解得或（舍），即. 2=5λ0λ=125EP EA =22. 已知函数，.()ln 1f x x mx =-+()()e 2xg x x =-（1）若的最大值是1，求的值；()f x m （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. x ()()f x g x ≤m 【答案】（1） 1em =（2） [)1,+∞【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，0m ≤0m >0m >1x m=取得最大值，列出方程，求出的值；()f x m （2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用1ln 2e x x m x +-≥-()0,∞+()1ln e xx x xϕ+=-隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，0020e n 0l x x x +=01e x x =()x ϕ0x x =列出不等式，求出的取值范围. m 【小问1详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()11mx f x m x x-'=-=若，，在定义域内单调递增，无最大值；0m ≤()0f x ¢>()f x若，令,解得：，令，解得：， 0m >()0f x ¢>10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故时，单调递增，时，单调递减. 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，也是最大值，故，1x m∴=()f x 11ln 1f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭；1em ∴=【小问2详解】原式恒成立，即在上恒成立，()ln 1e 2xx mx x -+≤-()0,∞+即在上恒成立. 1ln 2e xx m x+-≥-()0,∞+设，则. ()1ln e x x x x ϕ+=-()22e ln x x xx xϕ+'=-设，则， ()2e ln xh x x x =+()()212e 0xh x x x x'=++>在上单调递增，且，.()h x ∴()0,∞+112e e 211e 1e 10e eh -⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭()1e 0h =>有唯一零点，且，()h x ∴01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭020e n 0l xx x +=即. 000ln ex x x x -=两边同时取对数，得，易知是增函数，()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-ln y x x =+，即. 00ln x x ∴=-01ex x =因为，所以当时，， ()()2h x x x ϕ'=-()00,x x ∈()()20h x x xϕ'=->当时，， ()0,x x ∈+∞()()20h x x xϕ'=-<故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，()x ϕ()00,x ()0,x +∞()x ϕ0x x =， ()()0000000e 11ln 11x x x x x x x x ϕϕ+-∴≤=-=-=-， 21m ∴-≥-，1m ∴≥故的取值范围是.m [)1,+∞【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。

高二数学下学期期中检测卷(解析版)

高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。

第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。

从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。

1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。

A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。

A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。

A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。

A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。

A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。

A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析

高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上第Ⅰ卷用黑色钢笔签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题每小题5分共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性一元二次不等式的解法结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部以及对应的点所在象限一一判断各选项即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 建立空间直角坐标系写出点的坐标设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组求出答案.【详解】方法一：如图由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥．又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=．因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直面面垂直转化的过程中要从线面垂直得到面面垂直需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内垂直于交线” 在答题过程中要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线从而即可顺利得解.二多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数方差百分位数众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙故A 正确选项B 由A 知两组数据平均数均约为7.8且纵向看甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同其余数据相同又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差且差距较大故与平均数比较甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差故B 错误选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据即：7.8 故C 正确选项D 评委对乙评分中最多的数据即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件【答案】AC【分析】对于A 利用象限角求得角α的范围可判定充分性取π3α= 验证必要性即可对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围可判定必要性不成立对于C 根据集合M N 的关系即可判定对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角当k 为奇数时 α为第三象限角所以充分性成立当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角即必要性不成立故A 正确对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件故D 错误故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左右焦点点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得对B 选项：结合导数讨论单调性即可得对C 选项：结合()f x 单调性可转化为当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立求出()1ln x x +最小值即可得对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减在()1,∞+上单调递增即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增故()n x 无最小值即()121ln x x t +⋅无最小值故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题其中D 选项中涉及到多变量问题的求解求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系将多变量转化为单变量的问题从而将其转化为函数最值问题的求解. 三填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．【答案】2020【分析】根据题意得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列求得其通项公式结合累加法得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为．【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等此时,,A M N 共面时设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四解答题（共70分）17．（本题10分）如图在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值．【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动现从中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图根据图形请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛请根据图中信息估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可（2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人）成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人）则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标表示出面积后结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出即需把M x N y 算出设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程在求解直线与椭圆的位置关系问题时常用方法是设而不求借助韦达定理等手段将多变量问题转变为单变量问题再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--．【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出（3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可．【详解】（1）由题可知当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->．当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增．当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减．（3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--．要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-．不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭．即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立．令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'．从而()f x 在(1,)+∞上单调递减故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12，故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−；易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−，所以OM ON ⋅∈[]3,21−．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+，可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++；所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=，因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+，二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②，由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=，配方得2271()416x y +−=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =，所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=，所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=，所以1232x x b +=−，()212314b x x −=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−，联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=，因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=，则2203563614242532244b b b b b b ++  −++=  − + +−× ，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=，所以1322D b b=+，1322E b b =−，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ，对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++；由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=，化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+，的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−，又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−；（2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+，整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===，设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

高二数学第二学期期中考试试卷含答案

高二年级第二学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分命题人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}{}1,31,2,5A B ==,，则A B =（） A ．{}1,3 B ．{}3 C ．{}1 D ．{}2,3,4,52．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）A ．椭圆B ．矩形C ．三角形D ．圆3．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ． y x =B ．1y x= C ． 2y x = D ．2y x =- 4．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（）A ．18B ．14C ．38D ．125．已知角α的终边经过点()4,3-，则sin α=（）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（） A ．042=++y x B ．042=-+y x C ．082=--y x D ．082=+-y x 7．已知0.62a =，20.6b =，0.6log 2c =则（）．A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 8．若函数{12)42(1)(>+-≤=x x a x a x f x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．（0,1）B ．)1,21[ C ．]54,21( D ．)1,54[二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若10)(=a f ，则a 的值可能是（） A. 3- B. 3 C. 10log 2 D. 510．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法正确的是（） A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°11．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（）A ．5cos 5α= B ．25sin 5α= C ．2tan -=αD ．5sin cos αα+=12.已知圆9)2()1(:22=-+-y x C ，过点)3,1(-M 的直线被圆C 截得的弦长可能是（）A. 22B. 23C. 24D.25三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算12216log 4+的结果是__________.14.已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P (4，2)的圆的切线方程是________.15．已知tan 2θ=-，则2sin sin cos θθθ-=________．16.若方程02||=--m x 有实数解，则实数m 的取值范围是______________.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18至22题每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知{|3}A x a x a =≤≤+，2{|450}B x x x =-++<.（Ⅰ）若2a =-，求A B ；（Ⅱ）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x x cos sin ⋅的值；（Ⅱ）求x x cos sin -的值19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若直线PB 与面PAC 的夹角为30，求三棱锥D AEC -的体积.20.(本小题满分12分)近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： (I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；(II)在(I)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．21.(本小题满分12分)圆P 的圆心坐标为P ()0,2-，且过点()4,1A（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）设直线290x y ++=与圆P 相交于M,N 两点．求△PMN 的面积。

2023-2024学年天津市武清区高二下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年天津市武清区高二下册期中数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A ．()33ln xx x'=B ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()21log ln 2x x '=D ．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算逐个计算即可．【详解】对于A 选项，()33ln 3x x '=，故A 选项错误；对于B 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 选项错误；对于C 选项，()21log ln 2x x '=，故C 选项正确；对于D 选项，2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故D 选项错误；故选：C2．已知函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】构造新函数3()31h x x x =-+并利用导数求得其极值，再利用函数()f x 的零点即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像的交点横坐标，进而求得实数m 的取值范围.【详解】令3()31h x x x =-+，则2()33h x x '=-，由()0h x '>得，1x >或1x <-；由()0h x '<得，11x -<<，则当1x >或1x <-时3()31h x x x =-+单调递增；当11x -<<时3()31h x x x =-+单调递减.则=1x -时()h x 取得极大值(1)3h -=；1x =时()h x 取得极小值(1)1h =-.函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像有3个不同的交点，则实数m 的取值范围是(1,3)-故选：A3．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在区间()1,1-上单调递增B ．()f x 在区间()2,0-上单调递增C ．1-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【正确答案】D【分析】由图象可确定()f x '在不同区间内的正负，由此可得()f x 单调性，结合极值点定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，()0f x '<，()f x \在()2,0-上单调递减，B 错误；对于C ，()f x 在()2,0-上单调递减，1x ∴=-不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，()0f x '<；()f x \在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，2x ∴=是()f x 的极大值点，D 正确.故选：D.4．若函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．[2,)-+∞【正确答案】D【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】()2ln 1a f x x x =+-，则2222()a x a f x x x x +'=+=由函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，可得2222()0a x a f x x x x +'=+=≥在区间(1,)+∞上恒成立，即2a x ≥-在区间(1,)+∞上恒成立，又由(1,)x ∈+∞，可得2(,2)x -∈-∞-，则2a ≥-故选：D5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，且(1)0f =则()0f x >的解集为（）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)-⋃+∞【正确答案】D【分析】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，根据()f x 的奇偶性得出()g x 为偶函数和(0)0g =，根据(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<得出()g x 在定义域内的单调性，由(1)0f =得出(1)g 和(1)g -的值，画出简图，分类讨论即可得出()0f x >的解集．【详解】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，则()()()g x f x xf x +''=，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()g x x f x xf x g x -=-⋅-==，且(0)0f =，所以()g x 是R 上的偶函数，(0)0(0)0g f =⨯=，因为当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<，所以()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为(1)0f =，所以(1)0f -=，所以(1)1(1)0g f =⨯=，(1)1(1)0g f -=-⨯-=，画出()g x 的简图，如图所示，当0x >，()0f x >时，()()0g x xf x =>，则1x >，当0x <，()0f x >时，()()0g x xf x =<，则10x -<<，当0x =，()0f x =，不合题意，综上所述，()0f x >时，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故选：D6．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=.当01x <<时，0'<y ，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0'>y ，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞ ，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如果自然数n 是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n 叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（）A ．20B ．21C ．25D ．26【正确答案】B【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可．【详解】当十位是0时，百位可选1，个位可选0和1，共2个，当十位是1时，百位可选1和2，个位可选0，1和2，共236⨯=个，当十位是2时，百位可选1，2和3，个位可选1，2和3，共339⨯=个，当十位是3时，百位可选2和3，个位可选2和3，共224⨯=个，综上所述，共269421+++=个，故选：B ．8．已知函数211,0()e ,0xx x f x x -⎧+≥=⎨<⎩，点M 、N 是函数()y f x =图像上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan MON ∠的取值范围是（）A ．22e 20,2e 1⎛⎫+ -⎝⎭B ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥-⎝⎦C ．22e 20,2e 1⎛⎫+ +⎝⎭D ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥+⎝⎦【正确答案】B【分析】作出函数()f x 的图形，求出过原点且与函数()f x 的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，数形结合可得出tan MON ∠的取值范围．【详解】当0x <时，1()x f x e -=，则1()0x f x e -'=-<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()(0)f x f e >=，当0x ≥时，2()1f x x =+，作出函数()f x 的图像，如图所示，设过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为1y k x =，设切点为211(,1)x x +，斜率111()2k f x x '==，所以切线方程为：2111(1)2()y x x x x -+=-，将原点坐标代入切线方程可得，2111(1)2()x x x -+=-，即211x =，解得11x =，所以过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为2y x =，设过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2y k x =，设切点为()212,e xx -，斜率212x k e -=-，所以切线方程为：22112()x x y ee x x ---=--，将原点坐标代入切线方程可得，22112()x x ee x ---=--，即21x =-，所以过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2e y x =-，设直线2y x =与2e y x =-的夹角为θ，设直线2y x =的倾斜角为α，直线2e y x =-的倾斜角为β，则()2222tan tan e 2e 2tan tan 1tan tan 1(e )22e 1βαθβαβα---+=-===++-⨯-，结合图形可知，22e 20tan 2e 1MON ∠+<≤-，故选：B ．二、填空题9．设a 为实数，函数32()(3)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，若()f x '是偶函数，则=a ___________．【正确答案】3【分析】求出()f x '，根据()f x '是偶函数即可得出a 的值．【详解】因为32()(3)f x x a x x α=+-+，所以2()32(3)f x x a x a '=+-+，又因为()f x '是偶函数，所以()f x '是关于y 轴对称的二次函数，所以2(3)06a --=，解得3a =，故3．10．若函数2()ln 2x f x x =-在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】1(,1)2【分析】首先求出()f x 的定义域和极值点，由题意得极值点在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎝⎭内，且0m >，得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，所以0112m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得112m <<，故1(,1)2．11．若函数()ln f x x x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为M ，最小值为N ，则实数M N -=__________．【正确答案】2ln 21-【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()ln f x x x x =-，所以()ln f x x '=，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0f x '<，(]1,2x ∈时()0f x '>，所以()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增，所以函数在1x =处取得极小值，又111111ln 2222222f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()22ln 22f =-，()11f =-，因为()311115312ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2ln 32ln e2222222⎛⎫----=-++=-=-> ⎝⎭，所以()max 2ln 22f x =-，()()min 11f x f ==-，所以2ln 22M =-，1N =-，则2ln 2212ln 21M N -+=-=-.故2ln 21-12．若函数()ln 2f x x x =--在区间()()*,1N k k k +∈上有零点，则实数k =__________．【正确答案】3【分析】先利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数()f x 的零点所在区间，进而确定k 的值.【详解】由()()ln 20f x x x x =-->，得()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，则1x >；令()0f x '<，则01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，而函数()f x 的极小值为()110f =-<，又22110e ef ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,1上存在唯一零点1x ，此时0k =（舍去）；因为()31ln 30f =-<，()42ln 40f =->，所以函数()f x 在()3,4上存在唯一零点2x ，此时3k =.综上所述，3k =.故3.13．已知函数e ()xf x a x=-，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为____________．【正确答案】(,1]-∞【分析】由当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，得出()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，则()0g x '≥，其中,()0x ∈+∞，由e x a ≥即可得出实数a 的取值范围．【详解】因为当210x x >>时，()()12210f x f x x x -<恒成立，两边同乘以12x x ，得()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()x g x e a '=-，其中,()0x ∈+∞，所以()0g x '≥，即e x a ≥，因为,()0x ∈+∞时，e (1,)x ∈+∞，所以1a ≤，故(,1]-∞．14．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【正确答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案3343C A 24⋅=（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案1424C A 48⋅=（种），则不同的种植方案共有244872+=（种）.故72三、解答题15．编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上．(1)每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？(2)每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？(3)每位座位恰好坐一位同学，求编号1,2的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？【正确答案】(1)6(2)9(3)12【分析】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余2人不一致，即可得答案；（2）考虑第一位同学先选，再分类考虑余下同学的选法，由分类和分步计数原理可求得答案;（3）考虑编号1,2的两位同学先选座位，再考虑其余两人选座位，由分步计数原理可得答案.【详解】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余两人的不一致，只有一种坐法，故坐法种数为24C 16⨯=；（2）不妨第一位同学先选座位，有3种选法，如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位同学编号相同的座位，则其余两人只有1种坐法；如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编号的座位，有2种选法，其余2人只有1种坐法，故共有的坐法种数为3(12)9⨯+=；（3）编号1,2的两位同学必须相邻，可以坐编号为1,2或2,3或3,4的座位，两人内部全排列，其余两人在余下的位置上随便选座位，有22A 2=种坐法，故共有的坐法种数为22223A A 12=.16．已知函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈．(1)若曲线在点(0,(0))f 处切线与直线0x y +=平行，求a 的值；(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =；(2)10ea <<【分析】（1）先求得函数()f x 的导数，列出关于a 的方程，解之即可求得a 的值；（2）先将函数()f x 有两个零点转化为方程e x xa =有二根，再构造函数()xx h x e =，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a 的取值范围．【详解】（1）由()e ,R x f x x a a =-⋅∈，可得()1e x f x a '=-⋅，则(0)1f a '=-，则11a -=-，解之得2a =.（2）由函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈有两个零点，可得方程e xxa =有二根，令()x x h x e=，则()21()x x xx e xe x h x e e --'==由()0h x '>，可得1x <；由()0h x '<，可得1x >，则当1x <时()h x 单调递增；当1x >时()h x 单调递减，则当1x =时()h x 时，()h x 取得极大值1(1)eh =，又(0)0h =，且当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远大于y x =趋向于正无穷的速率，所以()xxh x e =趋向于0，则由方程e xxa =有二根，可得10e a <<17．已知函数()ln (1),R f x x a x a =+-∈．(1)当12a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当1x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)3ln 202x y -+-=(2)[0,)+∞【分析】（1）利用导数运算法则求出()f x '，进而求出(2)f '和(2)f ，再利用导数的几何意义即可求出切线方程；（2）方法一：由当1x >时，()0f x >得出当1x >时，ln 1x a x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，判断出()0g x '<，再根据当x →+∞，()0g x →，即可得出实数a 的取值范围；方法二：先求出()f x '，再分别讨论0a =，0a >和a<0时()f x 的情况，即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）当12a =时，1()ln (1)2f x x x =+-，则11()2f x x '=+，1(2)ln 22f =+，所以11(2)122f '=+=，所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为：1(ln 2)22y x -+=-，即3ln 202x y -+-=．（2）方法一：参数分离因为当1x >时，()0f x >，所以ln (1)0x a x +->，即1x >时，ln 1xa x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，则2211(1)ln 1ln (1))(1()x x xx x g x x x ----=--'=，设1()1ln h x x x=--，(1,)x ∈+∞，因为当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以1()1ln h x x x=--在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，因为当x →+∞，ln 1)0(xx x g →-=，所以0a -≤，即0a ≥，所以当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．方法二：分类讨论11()ax f x a x x+'=+=，①当0a =时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；②当0a >时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当11a-≤，即1a ≤-时，()0f x '<，即()f x 在(1,)+∞单调递减，所以()(1)0f x f <=，不符合题意，当11a->，即10a -<<时，在1(1,)x a ∈-时，()0f x '>，则()f x 在1(1,)a-单调递增，在1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，则()f x 在1(,)a -+∞单调递减，所以1()()ln()1f x f a a a≤-=----，设()ln()1m a a a =----，(1,0)a ∈-，所以当(1,0)a ∈-时，()0m a '>，则()m a 在(1,0)-上单调递增，所以()(1)0m a m >-=，所以()0f x ≤，不合题意，综上所述，当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．18．已知函数2()1,R ex ax f x a =-∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 的极大值为5，求a 的值．【正确答案】(1)答案见解析(2)2e -【分析】（1）求出导数得()()2e xax x f x -'=，分0a >、a<0、0a =讨论得出单调性.（2）结合（1）中结论得到函数的极大值点，再代入计算可得.【详解】（1）因为2()1ex ax f x =-，x ∈R ，且()()()2222e e e e x x x x ax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②当a<0时，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．③当0a =时()0f x '=，()f x 为常数函数，不具有单调性；综上所述：当0a >时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当a<0时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增；当0a =时，()f x 为常数函数，不具有单调性.（2）由（1）可得当0a >时()f x 在0x =处取得极大值，但()01f =，不符合题意；当a<0时()f x 在2x =处取得极大值，所以()222215ea f ⨯=-=，解得2e a =-，符合题意，综上可得2e a =-.19．已知函数()()222e (1)x f x x a x =-++.(1)若0a =，（i ）求()f x 的极值.（ii ）设()()()f m f n m n =≠，证明.3m n +<(2)证明：当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且()02332e ef x -<<-.【正确答案】(1)（i ）()f x 的极小值为()31e ,2f x -无极大值；（ii ）证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求导，结合函数的单调性求得极值；（ii ）由题分析得33,222m n <<<，设()()()33,,22g x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，结合()g x 的单调性可得()0g x >，进而得()0g n >即()()3f m f n >-，利用()f x 单调性即可证得结论；（2）利用导数可得()f x '在R 单调递增，()2140,15e 02e f a f -'⎛⎫-=-+>-=-< ⎪⎝⎭'，则011,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，从而当()()0,,0x x f x '∈-∞<，()()0,,0x x f x ∈+∞>'，可证得当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；由()00f x '=得()()020023e 12x x a x -+=-，从而得()02200031e 22x f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()2231e 22t t t t ϕ⎛⎫=--+ ⎝⎭，利用()t ϕ单调性可证得()02332e ef x -<<-.【详解】（1）（i ）若()()20,2e x a f x x ==-，则()()223e x f x x -'=，由()0f x '=，得32x =.当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>.()f x \的单调递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为()331e ,22f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭无极大值.（ii ）由（i ）可知，()f x 的极值点为()3,2f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当32x <时，()0f x <，又()20f =，不妨设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则33,222m n <<<，设()()()()()262332e 1e ,,22x xg x f x f x x x x -⎛⎫=--=---∈ ⎪⎝⎭，则()()()26223e e x x g x x -=--'.设()2623e e ,,22x xh x x -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()302h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.32,2302x x <<∴-> ，则()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()302g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，32,()02n g n <<∴> 即()()()()()()330,3f m f n f n f n f m f n --=-->∴>-.33,2,31,22n n ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又()3,,2m f x ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，3m n ∴<-，即3m n +<.（2）()()()223e 21x f x x a x =-++'，记()()p x f x '=，()()244e 2xp x x a =-+'，记()()()()2,421e xx p x q x q x '=-'=，当12x =时，()0q x '=，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈-∞< ⎝'⎪⎭在1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 单调递减，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈+∞> ⎝'⎪⎭在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()1e,22e 02a p x p a ⎛≥''⎫≥∴=-≥ ⎪⎝⎭，()p x ∴在R 单调递增，即()f x '在R 单调递增，()12144e 0,15e 02e f a a f --⎛⎫-=-+=-+>-=-''< ⎪⎝⎭，011,2x ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，当()()()0,,0,x x f x f x ∈-∞<'在()0,x x ∈-∞单调递减，当()()()0,,0,x x f x f x ∞'∈+>在()0,x x ∈+∞单调递增，所以当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()()()()0202000023e 23e21012xx x f x x a x a x -=-++=∴+=-' ()()()00222200000312e 1e 22x x f x x a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ 令()()222231115e ,1,,2e 222416t t t t t t t t ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+∈--∴=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦' ，()11,,02t t ϕ⎛⎫∈--∴< '⎪⎝⎭ ()t ϕ∴在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()()231312e 2e t ϕϕϕ⎛⎫∴-=-<<-=- ⎪⎝⎭即()02332e e f x -<<-.方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．。

高二下学期期中考试数学试卷含答案

高二下学期期中考试数学试卷含答案下学期期中考试数学试题一、选择题1.已知i是虚数单位，z是z的共轭复数，若z(1+i)=3+2i，则z的虚部为（）。

A。

-1B。

iC。

-iD。

12.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（）。

A。

2B。

3C。

4D。

53.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是（）。

A。

2x-y+1=0B。

x-y+1=0C。

x-y-1=0D。

x-2y+2=04.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是（）。

A。

(0,1/e)B。

(1/e,0)C。

(e,+∞)D。

(-∞,0)5.二项式1+x+x2(1-x)展开式中x4的系数为（）。

A。

120B。

135C。

140D。

1006.设随机变量的分布列为P(X=k)=C(6,k)/2^6，则P(X≥3)的值为（）。

A。

1B。

7/8C。

5/8D。

3/87.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）种。

A。

10B。

12C。

9D。

88.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图像可能是（）。

A.B.C.D.9.若z∈C且z+2-2i=1，则z-1-2i的最小值是（）。

A。

3B。

2C。

4D。

510.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品任取3件，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率是（）。

A。

37/120B。

3/10C。

4/9D。

1/211.已知(1-x)^10=a+a1x+a2x^2+。

+a10x^10，则a8的值为（）。

A。

-180B。

45C。

180D。

-4812.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为（）。

A。

(0,+∞)B。

高二数学期中考试试题

高二数学期中考试试题一、选择题：（每题5分共60分）1.已知a，b，c是△abc三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角c的大小为()a．60°b．90°c．120°d．150°2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()a.12b.22c.2d.323.在△abc中，已知sinacosb＝sinc，那么△abc一定是()a．直角三角形b．等腰三角形c．等腰直角三角形d．正三角形4.如果,那么下列不等式成立的是（）a．b．c．d．5.目标函数，变量满足，则有（）a．b．无最小值c．无最大值d．既无最大值，也无最小值6.下列有关命题的说法正确的是a．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；b．命题“使得”的否定是：“均有”；c．在中，“”是“”的充要条件；d．“或”是“”的非充分非必要条件.7..设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈n*)，则f(n)等于（）a.27(8n－1)b.27(8n＋1－1)c.27(8n＋3－1)d.27(8n＋4－1)8.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）a．b．c．d．10.若点o和点f分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点p 为椭圆上的任意一点，则op→fp→的最大值为()a．2b．3c．6d．8二.填空题（每题5分共20分）13.不等式的解集是，则a＋b的值是14.已知数列满足，，则的最小值为____.15.已知椭圆的焦点是,Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项.若点p在第三象限，且∠＝120°，则.16.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为f1(－c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点p使asin∠pf1f2＝csin∠pf2f1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．三、解答题(每题12分)17.命题p：关于x的不等式对于一切恒成立，命题q：若为真，为假，求实数a的取值范围。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

晋江一中2009-2010学年度高二下学期期中考试
数学（理科）
考试时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +-1
D ．i --1
2．若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p 等于（） A ．1.5 B ．2 C ．4 D ．8
3．一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为ａ，第二道工序的次品率为ｂ，则产品的正品率为：
A ．1-ａ-ｂ
B ．1-ａ·ｂ
C ．（1-ａ）·（1-ｂ）
D ．1-（1-ａ）·（1-ｂ） 4．某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5
,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）B
A ．
16625 B ．96625 C ．192625 D ．256
625
5．曲线1+=-x e y 在点()2,0处的切线方程是（）
A ．02=+-y x
B ．012=+-y x
C 02=-+y x
D ．022=+-y x
6．某公共汽车站上有5名乘客，沿途有10个车站，乘客下车的可能方式有（）
A ．510
种
B ．105
种
C ．50 种
D ．
A
5
10
种
7．从不同的4部电视机和5部收录机种选取3台，要求电视机和收录机都有，则不同的选法的种数是（）
A ．74
B ．84
C ．70
D ．35 8．已知直线m,平面α和β,下列结论中正确的是（）
A ．m ∥α,α∥β=>m ∥β
B ．m ⊥α,α∥β=>m ⊥β
C ．m ∥α,α⊥β=>m ⊥β
D ．m ⊥α,α⊥β=>m ∥β
9．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，
若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+
B ．13-
C ．
2
1
3+
D ．13+
10．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,
共有1m n C +种取法。

在这1m
n C +种取法中，
可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的1m -个白球和1个黑球，共有011
01111m m m
n n
n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅，即有等式：
11m m m
n n n C C C -++=成立。

试根据上述思想化简下列式子：
1122m m m k m
k n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=
（）。

(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈
A ．k
n C 1+ B ．m
k n C +
C ．k
m n C +
D ．m
n C 1
+
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共5题，每小题4分，共20分）
11．
⎰
=2
cos π
xdx。

12．若随机变量),2(~2σN X ，且2.0)5(=≥ξP ，则=-≤)1(ξP 。

13．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有种。

14．过椭圆14
52
2=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________ ____
15．若数列{}n a +(0,)n a n >∈N 是等比数列，且m a a =，n a b =(,,)m n m n +≠∈N 则
n m n a +=
{}n b 为等差数列，且m b a =，n b b =(m n ≠，,)m n +∈N ，类比上述结论你可得到的正确的命题是。

晋江一中2009-2010学年高二下学期期中考试
数学（理科）
11．_____________ ． 12．_____________ 13．____________ ．
14．_____________ ． 15．___________ ．
三、解答题（本大题共6题，16、17、18、19题满分各13分，20、21题满分各14分，共80分）
16．在二项式2
)n x
-的展开式中，各项的二项式系数之和与各项系数和之比为64
（n N +∈）
（1）求n 值？
（2）求展开式中常数项？
17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12+=+n a S n n ，（1）求321,,a a a ，并猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论
18．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（1）求证：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的大小；
（3）求点C到平面A1BD的距离
19．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4．73万元，则三等品率最多是多少？
20．已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围
21．已知双曲线2222x y -=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，动点
P 满足12||||4PF PF +=．
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设过点2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，试问在y 轴上是否
存在一点D 使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D 的
活动范围；若不存在，试说明理由．。