《数学分析》第四章 函数的连续性
函数的连续性(119)
利用连续性求解实际问题
总结词
在解决实际问题时，可以利用函数的连续性进行数学建模和求解。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等许多领域中，连续函数被用来描述实际问题。通过分析这些函数的连续性，可以更 好地理解问题的本质，并找到合适的数学模型进行求解。
利用连续性研究函数的性质
总结词
连续性是研究函数性质的重要工具。
函数的连续性
目录
• 连续性的定义 • 连续性的分类 • 连续性的应用 • 连续性的证明
01 连续性的定义
函数在某点的连续性
函数在某点的连续性是指，当自变量在该点的值变化无穷小 时，函数值的变化也无穷小。即，如果函数在某点的左右极 限相等，则该函数在该点连续。
具体来说，如果lim(x->x0) f(x) = f(x0)，则函数f在点x0处连续。
性质法
利用函数的基本性质，如极限的四则运算法则和复合函数的连续性，推导出函数在某点 的连续性。
证明函数在区间上的连续性
定义法
根据函数在区间上的连续性的定义，对 任意一点$x_0$属于该区间，证明函数在 $x_0$处的极限值等于函数在该点的函数 值，从而证明函数在该区间上的连续性 。
VS
性质法
利用函数的基本性质，如闭区间上连续函 数的性质和一致连续性定理，推导出函数 在区间上的连续性。
02 连续性的分类
处处连续与只在有限点间断
处处连续
如果函数在定义域内的每一个点都连 续，则称为处处连续。
只在有限点间断
如果函数在定义域内仅在有限个点上 不连续，则称为只在有限点间断。
可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点
可去间断点
函数在该点的左右极限相等，但该点的函数值 可能与其他点的函数值不同。
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性外文翻译
外文翻译：数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin译文正文：在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了.我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明.函数的极限4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ⊂，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或q x f p x =→)(lim （１）的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得ε<)),((q x f d Y （２）对于满足δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立．记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离．如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）．应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么q x f p x =→)(lim （４）当且仅当 q p f n n =∞→)(lim （５） 对于Ｅ中合于p p n ≠，p p n n =∞→lim （６） 的每个序列{}n p 成立．证 假定（４）成立，取Ｅ中满足（６）的{}n p ．给定了ε＞０，那么就有δ＞０，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有Ｎ使得当ｎ＞Ｎ时，δ<<),(0p x d X ．这样，对于ｎ＞Ｎ，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了（５）成立．反过来，假定（４）不成立．这时便有某一个ε＞０，使得对于每个δ＞０，都有点E x ∈（依赖于δ），对于这x 来说，ε≥)),((q x f d Y 但δ<<),(0p x d X ．取),3,2,1(,/1 ==n n n δ我们就在Ｅ中找到一个满足（６），但使（５）式不成立的序列． 推论 如果ｆ在ｐ有极限，那么这极限是惟一的．这可以由定理3.2（ｂ）及定理4.2推出来．4.3 定义 设有定义在Ｅ上的两个复函数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给Ｅ的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f /，约定商只定义在Ｅ的那些使.0)(上的点x x g ≠如果f 给Ｅ的每个点x 配置同一个数ｃ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥． 类似地，如果f 和g 把Ｅ映入kR 内，便用 )()())((),()())((x g x f x g f x g x f x g f ⋅=⋅+=+来定义g f +及fg ；再若是λ是实数，便定义)())((x f x f λλ=．4.4 定理 如果X E ⊂，Ｘ是度量空间，ｐ是Ｅ的极限点，f 与g 是Ｅ上的复函数，而且lim (),x p f x A →= lim ()x pg x B →=那么（ａ）lim()(),x px g x A B →+=+ （ｂ）lim()(),x pfg x AB →= （ｃ）lim(/)()/,0.x pf g x A B B →=≠假定 证 依照定义４.３，这些论断可以从序列的类似性质（定理３.３）直接退出来． 评注 如果f 与g 将Ｅ映入k R 内，那么（ａ）仍然成立，而（ｂ）就要变为（b '） （参看定理３.４）连续函数４.５ 定义 设Ｘ与Ｙ是度量空间，,,E X p E ⊂∈并且f 将Ｅ映入Ｙ内，如果对于每一个0,ε>总存在0,δ>对于一切满足(,)X d x p δ<的点x E ∈来说，((),()),Y d f x f p ε<就说f 在p 连续．如果f 在Ｅ的每一点都连续，就说f 在Ｅ上连续．应该注意，要使f 在点p 连续，f 必须在点p 有定义．（这一点请与定义４.１后面的说明对比一下）．如果p 是Ｅ的一个孤立点，那么由我们的定义推知，每一个以Ｅ为定义域的函数都在点p 连续．因为，不管取的哪个0,ε>总可以选一个0,δ>使得满足(,)X d x p δ<的点x E ∈只有x p =；于是((),())0.Y d f x f p ε=<４.６定理 在定义４.５里所假定的情况下，再假定p 是Ｅ的极限点．那么，f 在p 点连续当且仅当lim ()()x pf x f p →= 证 只要将定义４.１和４.５对比一下就清楚了．现在我们转到函数的复合．下面定理的一种简述是：连续函数的连续函数是连续的． ４.７ 定理 设Ｘ,Ｙ,Ｚ是度量空间，E X ⊂，f 将Ｅ映入Ｙ内，g 将f 的值域()f E 映入Ｚ内，而h 是由()(())h xg f x =()x E ∈．定义的Ｅ到Ｚ的映射．如果f p E ∈在点连续，并且g 在点()f p 连续，那么h 在点p 连续．这个函数h 叫做f 和g 的复合函数或者f 和g 合成．记号h gf = 在本书中经常用．证 设0ε>已经给定．因为g 在()f p 连续，便有0η>使得当(,())Y d y f p η<和()y f E ∈有((),(()))Z d g y g f p ε<．又因为f 在点p 连续，那么存在着0δ>，使得当(,)X d x p δ<和x E ∈有((),())Y d f x f p η<．由此知道：当(,)X d x p δ<和x E ∈有((),())((()),(()))Z Z d h x h p d g f x g f p ε=<．所以h 在点p 连续．４.８定理 将度量空间Ｘ映入度量空间Ｙ内的映射f 在Ｘ上连续，当且仅当对于Ｙ的每一个开集Ｖ来说，1()f V -是Ｘ中的开集．（逆像的定义已见于定义２.２）这是连续性的一个极有用的一个特征．证 设f 在Ｘ上连续而Ｖ是Ｙ中开集．我们必须证明，1()f V -的每个点都是1()f V -的内点．设p X ∈，且()f p V ∈．由于Ｖ是开集，必定存在着0ε>,使得当((),)Y d f p y ε<有y V ∈，而由于f 在点p 连续，就又存在0δ>，使当(,)X d x p δ<有((),())Y d f x f p ε<.所以，只要(,)X d x p δ<就保证了1()x f V -∈.反之，设对于Ｙ中的每个开集Ｖ来说，1()f V -是Ｘ中的开集．固定了p X ∈与0ε>，令Ｖ满足(,())Y d y f p ε<的一切y Y ∈所成的集，那么Ｖ是开集，因而1()f V -是开集，因而存在着0δ>使得当(,)X d p x δ<有1()x f V -∈．然而一旦1()x f V -∈，便将要()f x V ∈，所以((),())Y d f x f p ε<．这就完成了定理的证明．推论 将度量空间Ｘ映入度量空间Ｙ内的映射f 是连续的，当且仅当对于Ｙ中的每个闭集Ｃ，1()f C - 是闭集．这由本定理即可推知．因为一个集是闭集，当且仅当它的余集是开集．然而对每个E Y ⊂，11()()c c f E f E --⎡⎤=⎣⎦．现在我们转到复值和向量值函数，以及定义在k R 的子集上的函数．４．９ 定理 设f 与g 是度量空间Ｘ上的复连续函数，那么g f +，fg 与g f /在Ｘ上连续．在最后的情形中，当然必须假定对于一切.0)(,≠∈x g X x证 在Ｘ的孤立点无需证明．在极限点，论断是定理４．４与定理４．６的直接结果． ４．１０ 定理（ａ）设k f f ,,1 是度量空间Ｘ上的实函数，并且ｆ是由ｆ))(,),(()(1x f x f x k = )(X x ∈ （７）定义而将Ｘ映入k R 内的映射．那么，ｆ连续当且仅当k f f f ,,21 都连续．（ｂ）如果ｆ与ｇ是将Ｘ映入k R 内的连续映射，那么ｆ＋ｇ与ｆ·ｇ都在Ｘ上连续． 函数k f f ,,1 叫做ｆ的分量．注意，ｆ＋ｇ是把Ｘ映入k R 内的映射，而ｆ·ｇ则是Ｘ上的实函数．证 部分（ａ）能由不等式)()()()(y x y f x f j j ｆｆ-≤-＝2112)()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=k i i j y f x f 推出来的，其中k j ,,2,1 =．部分（ｂ）是（ａ）与定理４．９的直接结果．４．１１ 例 如果k x x ,,1 是点k R x ∈的坐标．由i i x x =Φ)( )(k R x ∈ （８）定义的函数i Φ必然在k R 上连续，这因为不等式y x y x i i -≤Φ-Φ)()( 表示，我们可以在定义４．５中取εδ=．这些函数i Φ有时称为坐标函数．重复应用定理４．９可以证明每个单项式k nk n n x x x 2121 （９） 在k R 上连续，其中k n n ,,1 是非负的整数．因为常数显然是连续的，所以（９）式用常数乘后还连续．由此推知，每个由k k n k n n n x x c x P 111)(∑= )(k R x ∈ （１０）给出的多项式Ｐ在k R 上连续．这里系数k n n c 1是复数，k n n ,,1 是非负的整数，并且（１０）中的和只有有限多项．更进一步，k x x ,,1 的每个有理函数，即形式如（１０）的两个多项式的商，只要它的分母不为零，便在k R 上连续．从三角形不等式容易看出y x y x -≤- k R y x ∈, （11）x→是k R上的连续函数.所以，映射xR内的连续映射，并且Φ在X上由现在，如果f是一个由度量空间X映入kpｆΦ定义，那么，用定理4.7可以推知，Φ是X上的连续实函数.=(p)()4.12 评注我们定义了一个度量空间X的某个子集E上定义的函数的连续概念.然而，E 在X中的余集在这个定义中不起任何作用（注意，这情况同函数的极限有些不同）．因此，去掉f的定义域的余集我们毫不介意.这就是说，我们可以只谈度量空间映入另一度量空间内的连续映射，而不谈子集的映射.这样可以简化某些定理的叙述和证明.我们已经在定理4.8到4.10中应用了这个原理，并且在下边关于紧性的一节中还要这样做.。
数学分析函数的极限与连续性
数学分析函数的极限与连续性数学分析：函数的极限与连续性在高等数学中，函数的极限与连续性是非常基本且重要的概念。
本文将从函数极限和函数连续性两个方面，简要介绍相关定义和判定方法。
一、函数的极限1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果对于任何给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，那么就称$f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记为$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
这个定义可以简单理解为：在 $f(x)$ 函数中，当 $x$ 趋近于$x_0$ 时，$f(x)$ 的取值越来越接近于 $A$。
2. 极限的性质(1) 极限唯一性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在，则极限唯一。
(2) 有界性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在，则$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有界。
(3) 夹逼定理：设 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，并且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这三个函数的极限都存在，且有$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)$。
二、函数的连续性1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$，那么就称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性第四章函数的连续性§1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)则称f 在点x0 连续.例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为又如,函数limx →2f ( x) = limx →2( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .f ( x) =x sin1x, x ≠ 0 ,0 , x = 0在点x = 0 连续, 因为lim x →0 f ( x) = limx →0x sin1x= 0 = f ( 0) .为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于lim Δy = 0 .Δx →070第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的 , 因而也可直接用ε- δ方式来叙述 , 即 : 若对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,( 2)则称函数 f 在点 x 0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其极限值应等于 f 在 x 0 的函数值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限时 , 我们假定 f 在点 x 0 的某空心邻域U °( x 0 ) 内有定义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包括点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成立的 , 所以在极限定义中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为lim x → xf ( x) = f lim x ,x → x可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算lim x → x与对应法则 f 的可交换性 .例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续 , 其中 D ( x ) 为狄利克雷函数 .证由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ≤ 1 , 对任给的ε> 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取δ= ε, 即可按ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续. □相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若lim x → x +f ( x) = f ( x 0 ) lim -x → xf ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充要条件是 : f 在点 x 0 既是右连续 , 又是左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解因为f ( x ) =x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0lim x → 0 +lim x → 0 -f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -( x + 2 ) = 2 ,( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续 , 但不左连续 , 从而它在 x = 0 不连续 ( 见●§1 连续性概念 71图 4 - 1 ) .□二间断点及其分类定义 3 设函数 f 在某U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有定义而不连续 , 则称点 x 0 为函数 f 的间断点或不连续点 .按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:图 4 - 1( i ) f 在点 x 0 无定义或极限l im x → xf ( x ) 不存在 ; 0 ( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限lim x → xf ( x ) 存在① , 但lim x → xf ( x) ≠ f ( x 0 ) .据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点若lim x → xf ( x ) = A ,而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而lim x → 0f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的可去间断点 . 又如函数 g ( x ) =sin x, 由于 xlim x → 0g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且lim x → xf ( x ) = A .我们按如下方法定义一个 0函数 f ^: 当x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易见 , 对于函数f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x , 我们定义x则 g^在 x = 0 连续 .g ^( x ) = sin x x, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,2. 跳跃间断点若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但lim x → x +f ( x) ≠ lim x → x -f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有①这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .72第四章函数的连续性lim x → n -[ x] = n - 1 , lim x → n +[ x] = n , 所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相等 , 从而整数点都是函数 f ( x ) = [ x ] 的跳跃间断点 .又如符号函数 s gn x 在点 x = 0 处的左、右极限分别为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点 ( 图 1 - 3) .可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 .第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在 .3. 函数的所有其他形式的间断点 , 即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点 , 称为第二类间断点 .例如 , 函数 y = 1 当x → 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y =1的第二类x x 间断点 .函数 s in 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 s in 1的第二类x x间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D( x ) , 其定义域 R 上每一点 x 都是第二类间断点 .三区间上的连续函数若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 则称 f 为 I 上的连续函数 .对于闭区间或半开半闭区间的端点, 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上的连续函数 .又如函数 y =1 - x 2在 ( - 1 , 1 ) 每一点处都连续 , 在 x = 1 为左连续 , 在 x = - 1 为右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .若函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有有限个第一类间断点 , 则称 f 在[ a, b] 上分段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .在§3 中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数 .同时 , 也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .例 3 证明 : 黎曼函数R ( x) =1 , 当 x = p q qp 、q 为正整数 , p 6q / 为既约真分数 , 0 , 当 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 内无理数在 (0 , 1 ) 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .证设ξ∈ ( 0 , 1) 为无理数 .任给ε> 0 不妨设ε< 12, 满足1 ≥ε的正整q数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使R( x ) ≥ε的有理数x ∈(0 , 1 ) 只有有限个至少有一个 , 如 12, 设为 x 1 , , x n .取δ = min | x 1 - ξ| , , | x n - ξ| ,ξ, 1 - ξ ,3 §1 连续性概念73则对任何x ∈ U(ξ;δ) ( ì ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有R( x ) < ε, 当 x 为无理数时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何x ∈ U(ξ;δ) , 总有R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε .这就证明了 R ( x ) 在无理点ξ处连续 .现设 p 为 (0 , 1 ) 内任一有理数 .取ε0 =1 , 对任何正数δ( 无论多么小 ) , 在 q2 q Up q;δ 内总可取到无理数x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R pq = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .□习题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 :( 1) f ( x ) = 1; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 :( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x;x | x |( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ;( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x , x 为有理数 ,( 6) f ( x ) =( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1x + 7, - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1( x - 1 )sin 1, 1 < x < + ∞ .x - 13. 延拓下列函数 , 使其在 R 上连续 :( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x;x - 2 x 2( 3) f ( x ) = x cos 1.x2 24. 证明: 若 f 在点 x 0 连续 , 则 | f | 与 f 也在点 x 0 连续 .又问 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必连续 ?在 I 上连续 , 5. 设当x ≠0 时f ( x) ≡ g( x ) , 而f ( 0) ≠ g (0 ) .证明 : f 与 g 两者中至多有一个在 x = 0 连续 .6. 设 f 为区间 I 上的单调函数 .证明: 若x 0 ∈ I 为 f 的间断点 , 则x 0 必是 f 的第一类间断点 .n n - 174第四章函数的连续性7. 设函数 f 只有可去间断点 , 定义g( x ) = lim y → xf ( y) .证明 g 为连续函数 .8. 设 f 为 R 上的单调函数 , 定义g( x) = f ( x + 0 ) .证明 g 在 R 上每一点都右连续 .9. 举出定义在 [0 , 1 ]上分别符合下述要求的函数 :( 1) 只在 1 , 1 和 1三点不连续的函数 ;2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1三点连续的函数 ;2 3 4 ( 3) 只在 1( n = 1 , 2 , 3 , )上间断的函数 ;n( 4) 只在 x = 0 右连续 , 而在其他点都不连续的函数 .§2 连续函数的性质一连续函数的局部性质若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在点 x 0 有极限 , 且极限值等于函数值 f ( x 0 ) . 从而 , 根据函数极限的性质能推断出函数 f 在 U ( x 0 ) 的性态 .定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在某 U( x 0 ) 内有界 . 定理 4 .3 ( 局部保号性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 且 f ( x 0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 则对任何正数 r < f ( x 0 ) ( 或 r < - f ( x 0 ) ) , 存在某U ( x 0 ) , 使得对一切x ∈ U( x 0 ) 有f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) .注在具体应用局部保号性时 , 常取 r = 12f ( x 0 ) , 则 ( 当 f ( x 0 ) > 0 时 ) 存在某 U( x 0 ) , 使在其内有 f ( x) > 12f ( x 0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x 0 连续 , 则f ± g , f ·g,6f g( x 0 ) ≠ 0) 也都在点 x 0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g /( 这里对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数P( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每一点都是连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每0 §2 连续函数的性质75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函数 f 在点 x 0 连续 , g 在点 u 0 连续 , u 0 = f ( x 0 ) , 则复合函数 g f 在点 x 0 连续 .证由于 g 在 u 0 连续 , 对任给的ε> 0, 存在δ1 > 0 , 使得当| u - u 0 | < δ1 时有| g( u) - g( u 0 ) | < ε . ( 1) 又由 u 0 = f ( x 0 ) 及 u = f ( x ) 在点x 0 连续 , 故对上述δ1 > 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有 | u - u 0 | = | f ( x ) - f ( x 0 ) | < δ1 .联系 ( 1 ) 得 : 对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 当 | x - x 0 | < δ时有| g ( f ( x ) ) - g( f ( x 0 ) ) | < ε . 这就证明了 g f 在点 x 0 连续 .□ 注根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为lim x → xg( f ( x) ) = g lim x → xf ( x ) = g( f ( x 0 ) ) .( 2)例 1 求lim sin (1 - x 2) .解 sin ( 1 - x 2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x 2的复合 .由 ( 2) 式得lim sin ( 1 - x 2 ) = sin lim(1 - x 2) = sin 0 = 0 .□x → 1x → 1注若复合函数 g f 的内函数 f 当x → x 0 时极限为 a , 而a ≠ f ( x 0 ) 或 f 在 x 0 无定义 ( 即 x 0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在u = a 连续 , 则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限 , 即有lim x → xg( f ( x ) ) = g lim x → xf ( x) .( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式不仅对于x → x 0 这种类型的极限成立 , 而且对于x → + ∞ , x → - ∞或x → x ±等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 :(1 ) lim2 - sin x; (2 ) lim2 - sin x .x → 0解 (1 ) limx → 0 x 2 - sin x x x → ∞= 2 - lim x → 0 xsin x = 2 - 1 = 1; x(2 ) lim 2 -= 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □x → ∞ x x → ∞ x二闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 [ a , b] 上的连续函数 , 本段中我们讨论 f 在 [ a , b] 上的整体性质 .。
函数的连续性与间断点的分类
函数的连续性与间断点的分类函数是数学中一个十分重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在数学分析中，我们常常关注函数的连续性和间断点，它们对于理解函数的性质和行为具有重要的作用。
本文将介绍函数的连续性和间断点的分类，以及它们在数学和实际问题中的应用。
正文：一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的每个点上都存在极限，并且该极限等于该点处的函数值。
简单来说，函数在其定义域内没有断裂或跳跃的情况，具有连续性。
1.1 间断点的定义函数的间断点是指函数在某个点上不满足连续性的点。
根据间断点的不同性质，可以将其分类为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1.2 可去间断点可去间断点是指函数在某一点上不连续，但通过修正或填补可以使其变成一个连续点。
具体来说，如果函数在某一点的左右极限存在且相等，但与该点的函数值不同，则该点为可去间断点。
1.3 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某一点的左右极限存在，但不相等。
换句话说，函数在该点处存在一个有限的跳跃。
跳跃间断点可以通过一个间断点的加法或减法变得连续。
1.4 无穷间断点无穷间断点是指函数在某一点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。
无穷间断点可以分为两类：无穷增长和无穷衰减。
无穷增长的间断点是指函数在某一点的右极限为无穷大，而左极限不存在或为有限。
无穷衰减的间断点则相反，函数在某一点的左极限为无穷小，而右极限不存在或为有限。
二、间断点的应用间断点的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
2.1 极限的计算在求解函数的极限时，间断点的分析和处理是十分重要的。
根据间断点的类型，我们可以使用不同的方法来计算函数的极限值。
对于可去间断点，通过修正或填补可以消除其影响，从而得到准确的极限值。
而对于跳跃间断点和无穷间断点，我们可以使用极限的性质和定理来计算。
2.2 曲线的绘制在绘制函数的曲线图时，间断点的位置对于曲线的形状和走势有着很大的影响。
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
数学分析第四章函数的连续性总结
数学分析第四章函数的连续性总结第四章《函数的连续性》是数学分析课程中的重要章节，主要介绍了函数的连续性概念、连续函数的性质和连续函数运算的有关定理。
在学习这一章节时，我们掌握了连续性的定义和性质，以及学会了判断函数的连续性和运用连续函数的性质进行数学推导和问题求解。
下面是对这一章节的总结。
1.连续性的定义：连续性是函数分析的基本概念之一、对于实数集上的函数f(x)，当x 趋于其中一点c时，如果f(x)也趋于其中一点f(c)，则称函数f(x)在点c处连续。
常用的连续性定义有：-ε-δ定义：对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当，x-c，<δ时，有，f(x)-f(c)，<ε；-极限定义：f(x)在c点连续的充要条件是当x→c时，有f(x)→f(c)。
2.连续函数的性质：(1)连续函数在其定义域上具有以下性质：-连续函数的和、差、积仍然是连续函数；-连续函数的复合仍然是连续函数；-有界闭区间上的连续函数取得最大值和最小值。
(2)零点定理和介值定理：-零点定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)分别为正数和负数，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0；-介值定理：如果函数在区间[a,b]上连续，并且k介于f(a)和f(b)之间，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=k。
(3)连续函数的保号性和单调性：-保号性：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)不等于0，则在开区间(a,b)内，函数f(x)的符号不变；-单调性：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上严格单调增加或减少，那么函数的值域也是一个区间。
3.连续函数运算的有关定理：(1)介值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则它在该区间上取得介于f(a)和f(b)之间的任意值。
(2)零点定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则它在该区间内至少有一个零点。
分析方法 第四章 函数的连续性
定理4.3局部保号性 若函数f ( x)在点x0连续, 且f ( x0 ) 0 0, 则存在x0的某
若函数f ( x), g ( x)在点连续, 则f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), 定理4.4四则运算法则
即 lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ), lim f ( x) g ( x) f ( x0 ) g ( x0 ),
例如, 函数sin x在0,2 上的最大值为 1, 最小之为1.
y
1
1
而函数f ( x) x在0,1上没有最大值与最小值 .
0
y
2
x
y 1 x
1 x 0,1, 函数g ( x) x 在0,1上也没有最大与最小值 . 2 x 0与1. 若函数f ( x)在闭区间 定理4.6最大、与最小值定理
注 若f (u )在u0连续 , u g ( x), u0 lim g ( x), 则 lim f g ( x) f lim g ( x). x x0 x x0 x x0
例1 求 lim sin 1 x 2 .
x 1
解 sin 1 x 2 为连续函数sin u与u 1 x 2的复合函数 , 于是
x 0 x 0
x x0 例2 讨论f ( x) x 0 x 0 , 在点x 0的连续性. x x 0
于是f ( x)在x 0既左连续 , 又右连续 , 从而连续
x 2 x 0 例3 讨论函数f ( x) , 在点x 0的连续性. x 2 x 0
f (u) f (u0 )
再由g( x)在x0的连续性 , 及u0 g( x0 ),对以上 0, 0, x x0 时, 有
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性函数的连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。
在本章中，我们将讨论函数的连续性及其性质，并介绍一些与连续性相关的重要定理。
在数学分析中，函数的连续性可以用一种直观的方式来理解。
如果在一个区间内，函数的图像是连续的、没有断点的，那么我们就可以说这个函数在这个区间内是连续的。
如果函数在其中一点处发生突变或跳跃，那么我们就认为函数在该点处不连续。
首先，我们来定义函数在其中一点处的连续性。
设函数f(x)在点a 处有定义，则我们说f(x)在点a处连续，如果满足以下三个条件：1.f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在点a 处的取值。
根据这个定义，我们可以得出一些常见函数的连续性。
例如，多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。
此外，利用连续函数的相加、相乘、相除和复合运算，我们可以得到更多的连续函数。
接下来，我们来讨论一些与连续性相关的重要定理。
首先是介值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值有一正一负，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
该定理的应用非常广泛，例如在实际问题中解方程、求极值等情况下都可以通过介值定理来找到解。
其次是零点定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，并且函数在这个区间两个端点处的值异号，那么在这个区间之内，函数必然存在一个零点。
零点定理是介值定理的特殊情况，它对于函数的零点存在性给出了一个更加明确的条件。
另一个重要的定理是最值定理。
该定理指出，如果一个函数在一个闭区间内连续，那么在这个区间之内，函数必然存在最大值和最小值。
最值定理告诉我们，在一定范围内，连续函数的值是有上下界的。
最后，我们介绍一个重要的定理，即连续函数的保号性定理。
2013B班 数学分析(1) 第四章 函数的连续性 习题课
5、间断点及其分类
第 一 类 ：f ( x0
0)全都存
在{可 跳去 跃： ：ff
( (
x0 x0
0) 0)
f ( x0 f ( x0
0); 0).
第二类：f ( x0 0)之一不存在(无穷大间断、振动间断、 ）
例2 （1）讨论函数
y
y 1 x
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim(1 x) 2
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 1为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,
则可使其变为连续点.（连续延拓）
令fˆ
(1)
2，则
fˆ
(
x)
2
x,
0 x 1, 在x 1处连续.
令
min
1im,ri
{|
x0
ri
x0
|} 0,
若x为无理数，则R( x) 0;
当0 | x x0 | 时，
（x ri )
若x为有理数，则其分母必大于k，于是
R( x)= 1 1 ,
qk
(欲使 | R( x) | ,只需取k [ 1] 1 1 )
总之，有 | R( x) 0 | , lim R( x) 0. x x0
证
x0 （0,1）, 0,
取k [ 1] 1,
要证:x0
（0,1）,
有 lim xx0
R( x)
0.
0, 0,当 x x0 时,
有 R(x) 0 R(x)
因为分母不超过k的有理点的个数是有限的，设只有m个
函数的连续性(课件
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
函数的连续与可导性质的证明
函数的连续与可导性质的证明在数学分析中，函数的连续性和可导性质是非常重要的概念。
本文将通过严谨的证明，讨论函数在某一点处连续和可导的定义以及性质。
1. 连续性的证明：首先，我们定义函数在某一点处连续的条件：若在点a处函数f(x)存在极限值，并且极限值等于f(a)，则称函数在点a处连续。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内可导。
现在要证明在区间[a,b]上必定存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。
而由题设知道f(x)在区间[a,b]上连续，f'(ξ)在区间(a,b)存在，所以ξ点存在。
证毕。
2. 可导性的证明：接下来，我们定义函数在某一点处可导的条件：设函数f(x)在x=a的某一邻域内有定义，若极限值lim[x→a] (f(x)-f(a))/(x-a)存在，则称函数在点a处可导。
若函数f(x)在点a处可导，则f(x)在点a处连续。
证明如下：因为f(x)在点a处可导，所以极限值lim[x→a] (f(x)-f(a))/(x-a)存在，即极限值等于f'(a)。
另一方面，函数在点a处连续，即lim[x→a] f(x)=f(a)。
所以有lim[x→a] f(x)=f(a)=lim[x→a] f'(a)(x-a)，因此函数在点a处连续。
综上所述，函数的连续性和可导性质是密切相关的，且具有紧密的内在联系。
通过以上的证明，我们更加深入地理解了函数在某一点处连续和可导的定义与性质。
函数的连续性和可导性质在实际问题求解中具有重要的作用，有助于我们更好地理解和应用数学分析中的相关知识。
持续学习：数学分析之函数的连续性
持续学习：数学分析之函数的连续性在上一篇文中，学习了函数与函数极限，其中有讲到函数的四种特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性。
今天来学习函数的另一个重要概念--连续性。
直观的表现是其函数图像在某点的邻域有定义，图像不断开。
我们之前学的基本初等函数都是连续函数。
第1节，讲的连续的概念，和连续函数的概念：•函数的点x0连续的定义：lim f(x)=f(x0） x->x0 ，这是使用了函数极限来描述函数的点连续，这也是安排本节在函数极限之后的原因。
当然，也可以改为使用增量配合ε-σ的描述法：Δy = f(x)-f(x0）;lim Δy= 0 Δx->0•函数的点连续分为左连续与右连续•当连续点组成连续区间时，函数就存在区间连续，函数区间连续细分为开区间连续，闭区间连续，半开半闭区间连续根据矛盾成对出现原则，有连续就会有间断第2节，讲的就是函数间断的概念：•函数的间断点：就是函数不连续的点，可以分为：•第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点，这类间断点特征是函数在该点的左右极限都存在•第二类间断点：在间断点x0中，lim f(x) x->x0- 与lim f(x) x->x0+ 至少有一个不存在，即点的左极限与右极限至少有一个不存在•间断点定理：若f(x)在去区间（a,b)内单调，且x0∈(a,b)是f(x)的间断点，则x0必是跳跃间断点第3节，讲连续函数的局部性质：从函数极限的性质可以推出连续函数的局部性质•局部有界性•保不等式性•局部保号性•满足四则运算条件的四则运算法则（加减乘除）•复合函数的极限定理：limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0)=f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0•复合函数的连续性，既然复合函数存在极限定理，同理也就可以利用复合函数的极限来描述复合函数的连续性。
特别地，谈谈基本初等函数的连续性：之所以称他们为基本初等函数，是因为他们都具有多数的函数的典型特性•反函数连续定理：若函数在闭区间严格单调且连续，则其反函数在其定义域上连续•定理：所有基本初等函数都在其定义域内连续•定理：一切初等函数都在其定义区间上连续函数的连续性很重要，因为可以用来求极限，还与后续的微分关系很大第4节，讲函数的整体性质：•有界性定理：函数在闭区间连续，则在此区间有界。
《数学分析》第四章函数的连续性
《数学分析》第四章函数的连续性《数学分析》第四章主要讨论函数的连续性。
连续性是一个基本概念，它是描述函数在其中一点附近的性质的重要工具。
本章内容将从函数的连续性定义开始，通过研究连续函数的运算性质，以及间断点的分类和性质，深入探讨函数的连续性的各种特点和性质。
首先，我们来回顾函数的定义。
设有函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε，那么我们称函数f在点x0处连续。
这个定义非常重要，它不仅是刻画函数连续性的数学工具，也是我们研究函数性质的基础。
其次，我们探讨连续函数的运算性质。
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等一些基本函数都是连续函数。
利用这些基本函数的连续性，可以通过运算和复合等方法构造出更多的连续函数。
比如，两个连续函数之和、差、积和商仍然是连续函数，连续函数的复合函数也是连续函数。
这些运算性质是我们运用函数的连续性进行问题求解的重要工具。
然后，我们研究连续函数的间断点。
函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
对于可去间断点，函数在该点的极限存在且有限，可以通过改变函数在该点的定义来使函数在该点连续。
跳跃间断点指的是函数在该点的左右极限存在但不相等，这种间断可以看作是函数的一个突变点。
无穷间断点则是函数在该点的极限为正无穷大或负无穷大，函数在该点附近发散。
研究间断点有助于我们了解函数的局部性质，并在问题求解中进行函数的优化和极限的计算。
最后，我们来讨论函数连续性的性质。
将函数的定义和运算性质与间断点的分类和性质综合起来，我们可以得到一些重要的性质。
首先是介值性定理，它指出连续函数在区间上将取到任意两个值之间的所有值。
然后是最值定理，它指出连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，并且能够取到这些值。
最后是连续函数的保号性质，它指出如果连续函数在其中一点取正（或负）值，那么在该点附近的函数值也将一直保持正（或负）值。
数学分析第四章：函数的连续型
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算等性质.
数学分析
定理4.1.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续，则f 在某邻域U (x0 )上有界.
定义1
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域内有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
a
O
x
数学分析
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 lim sgn x 不存在. x0
lim f (x) f (x ),
x x0
0
由极限的定义,定义1可以叙述为: 对于任意正数 ,
存在d > 0, 当 0 | x x0 | d 时, 有
第四单元 函数的连续性 4.1.1 函数在一点的连续性
数学分析
连续函数的概念
回顾函数极限 lim f ( x) A 的定义, x x0
只假设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内有定义.
即使
f
(x)
在点
x0
有定义，lim x x0
f ( x)也未必等于f
(x0 )，
例如
函数 f y
(x)
f (x)
《数学分析》第四章函数的连续性
第四章 函数的连续性（计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义： 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义.定义 （用).()(lim 00x f x f x x =→) 定义 （“δε-”定义.)定义 （用0lim 0=∆→∆y x ） 先定义x ∆和.y ∆ 例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x x x x f 在点00=x 连续。
例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续。
注： 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→，又因00lim x x x x =→,从而)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序。
3。
单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性。
二.间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类。
跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点， 其他情况 (即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点。
例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xx x f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型. 例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性。
三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex ［1]P 73 1—5。
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第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i m x x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解. Th1 (单、双侧连续的关系)例4 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0 ,,0 ,2)(x x x A xx x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点.例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续.例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注: Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1 求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2 求极限:⑴ ;s i n 2l i m 0x x x -→ ⑵ .s i n 2l i m xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→ (x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6 考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,120≤<x x 就有 . 2211 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ.本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6 考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义. 例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .1212111 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上, 21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+ 同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使 =-221)()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x)却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有 , )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立 .121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1 求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续).二. 利用函数的连续性求极限:例2 .cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4 ().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解 I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5 ().sin 1sinlim x x x -++∞→解 =-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。