选修2 专题3 题组训练大冲关

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高中数学选修2-3答案

高中数学选修2-3答案【篇一：高中数学选修2-3所有试卷含答案】每章分三个等级：[基础训练a组]， [综合训练b组]， [提高训练c 组] 建议分别适用于同步练习，单元自我检查和高考综合复习。

(数学选修2--3) 第一章计数原理[基础训练a组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）a．81 b．64c．12d．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）a．140种 b.84种 c.70种 d.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（） a．a3 b．4a3 c．a5?a3a3 d．a2a3?a2a3a3 4．a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）a.20 b．16 c．10 d．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（） a．男生2人，女生6人 b．男生3人，女生5人 c．男生5人，女生3人 d．男生6人，女生2人. ?x6．在??的展开式中的常数项是（） ?283352323113a.7 b．?7 c．28 d．?287．(1?2x)(2?x)的展开式中x3的项的系数是（） a.120 b．?120 c．100 d．?100 ?8．??2??2?展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（） x?n5a．180 b．90 c．45 d．360二、填空题1．从甲、乙，??，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x?的展开式中，x的系数是1062205．在(1?x)展开式中，如果第4r项和第r?2项的二项式系数相等，则r?，t4r?6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x. 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。

选修二第2节创新演练大冲关

一、选择题1．根据陶瓷的生产原理，可以得出硅酸盐工业的一般特点是()①以含硅物质作为原料②主要产物是硅酸盐③反应条件是高温④反应原理是复杂的物理变化和化学变化A．只有①③B．只有②③C．①②③④D．只有③④解析：陶瓷是利用黏土在高温条件下烧制得到的结构致密的多晶烧结体．其生产过程中发生复杂的化学变化和物理变化．故①②③④正确，应选C.答案：C2．(2011·聊城模拟)氧化还原反应广泛应用于金属的冶炼．下列说法不．正确的是() A．电解熔融氯化钠制取金属钠的反应中，钠离子被还原，氯离子被氧化B．湿法炼铜与火法炼铜的反应中，铜元素都发生还原反应C．用磁铁矿炼铁的反应中，1 mol Fe3O4被CO还原成Fe，转移9 mol e－D．铝热法还原铁的反应中，放出的热量能使铁熔化解析：由Fe3O4＋8e－―→3Fe＋4O2－，知1 mol Fe3O4(磁铁矿)被还原为Fe时应转移8 mol 电子．答案：C3．角膜接触镜俗称隐形眼镜，其性能要有良好的透气性和亲水性，目前大量使用的软性隐形眼镜常用材料是()A．聚乙烯B．聚氯乙烯解析：—OH是极性基团，具有亲水性．答案：C4．下列有关金属冶炼的说法不．正确的是()A．用电解熔融氯化钠的方法得到活泼金属钠B．在加热的情况下利用氢气还原三氧化二铝得到金属铝C．用铝热反应原理炼得熔点较高的金属铬D．热分解法直接加热HgO得到金属Hg解析：金属铝只能用电解法制备，不能用氢气还原．答案：B5．(2011·南京模拟)2007年12月22日，沉睡在海底800余年的南宋时古沉船“南海一号”被成功打捞，谱写了我国考古工作的新篇章．下列叙述中不．正确的是( ) A ．出水的大量瓷器为传统的硅酸盐产品B ．古船保存得较为完好的原因之一是沉没后很快为淤泥所覆盖C ．随船沉浸在海水中的铜、银等古钱币和铁制品，以铁制品被腐蚀得最厉害D ．据推测，为“南海一号”提供动力的物质是可燃冰解析：可燃冰是积沉海底深处的水合甲烷，目前我国尚未开采．答案：D二、非选择题6．(2011·三亚模拟)工业制备铝一般是从铝土矿(主要成分是Al 2O 3，含有Fe 2O 3杂质)中得到纯净的Al 2O 3，然后电解Al 2O 3得到铝．下图是从铝土矿中提纯Al 2O 3的简单示意图．其中涉及的一个反应是：2Na[Al(OH)4]＋CO 2===Na 2CO 3＋2Al(OH)3↓＋H 2O(1)图示(1)的实验操作是________；图示中②加入的试剂是______________．(2)试推断物质：B_________，C________，H_________，F________.(填化学式)(3)写出化学方程式：①________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________. ③________________________________________________________________________. ④________________________________________________________________________. 解析：溶液B 中通入CO 2产生沉淀，说明B 溶液为Na[Al(OH)4]溶液，则向铝土矿中加入的试剂①是NaOH 溶液，操作(1)是过滤；则D 为Na 2CO 3溶液，反应②为：Ca(OH)2＋Na 2CO 3===CaCO 3↓＋2NaOH.答案：(1)过滤 Ca(OH)2(2)Na[Al(OH)4] Fe 2O 3 CaCO 3 Al 2O 3(3)①Al 2O 3＋2NaOH ＋3H 2O===2Na[Al(OH)4]②Na 2CO 3＋Ca(OH)2===CaCO 3↓＋2NaOH③2Al(OH)3=====△Al 2O 3＋3H 2O ④2Al 2O 3(熔融)=====电解 4Al ＋3O 2↑7．(2011·福州模拟)如何防止铁的锈蚀是工业上研究的重点内容．为研究铁锈蚀的影响因素，某同学做了如下探究实验：回答以下问题：(1)上述实验中发生了电化学腐蚀的是(填实验序号)____________，在电化学腐蚀中，负极反应是______________，正极反应是__________________；(2)由该实验可知，可以影响铁锈蚀速率的因素是____________________________________________；(3)为防止铁的锈蚀，工业上普遍采用的方法是______________________________________________________________________________________________(答两种方法)．解析：(1)注意`联系金属的化学腐蚀与电化学腐蚀的区别，不纯的金属与电解质溶液接触，因发生原电池反应，较活泼的金属失电子而被氧化，分析题中实验可知，实验3、4、5、6发生了电化学腐蚀，其中负极反应是Fe―→Fe2＋＋2e－，正极反应是O2＋2H2O＋4e －―→4OH－.(2)对比实验1和3可得出湿度增大，可使铁锈蚀速率加快；对比实验3、4可知增大O2浓度可加快铁锈蚀的速率；对比实验4、5可知升高温度可加快铁锈蚀的速率；对比实验5、6可知电解质的存在会使铁锈蚀的速率加快．(3)为防止铁的锈蚀，根据铁锈蚀的类型，可采用牺牲阳极的阴极保护法、外加电流的阴极保护法，还可把铁制成不锈钢(合金)、亦可采用喷油漆、涂油脂、电镀、表面钝化等方法使铁与空气、水等物质隔离，以防止金属腐蚀．答案：(1)3、4、5、6Fe―→Fe2＋＋2e－2H2O＋O2＋4e－―→4OH－(2)湿度、温度、O2的浓度、电解质的存在(3)电镀、发蓝等表面覆盖保护层，牺牲阳极的阴极保护法等(任答两种，合理即可)8．(2011·厦门质检)某金属冶炼厂的管道烟泥中含有某些金属，随机取样对烟泥进行分析．由下表可知，在烟泥中含有相当量的铜、锌以及能够造成污染的硫．因此从效益和环境保护角度出发，应该考虑把铜、锌回收利用，并对硫进行适当处理．烟泥样品部分元素质量分数表某同学设计了如下方案：试回答下列问题：(1)写出步骤①②中含铜元素的物质发生反应的化学方程式：①________________________________________________________________________. ②________________________________________________________________________.(2)写出本方案中可用于处理废气的方法(用化学方程式表示)：____________________ ____________________________________________________.(3)步骤⑤中所用的操作方法是______________________________________________．(4)在步骤④中，可以选用________试剂从混合液A 中得到铜．解析：烟泥在空气中加热时会发生如下反应：2Cu ＋O 2=====△ 2CuO 、2Zn ＋O 2=====△2ZnO 和S ＋O 2=====△SO 2，所以得到的废气中含SO 2，可以用廉价的石灰乳来处理；得到的固体加入稀硫酸后发生如下反应：CuO ＋H 2SO 4===CuSO 4＋H 2O 、ZnO ＋H 2SO 4===ZnSO 4＋H 2O ，再加入过量锌将CuSO 4中的Cu 置换出来，用稀硫酸将过量的锌转化为ZnSO 4，得到纯净的铜；将两步反应得到的ZnSO 4溶液合并，然后加热、蒸发、结晶即得ZnSO 4固体．答案：(1)①2Cu ＋O 2=====△2CuO ②CuO ＋H 2SO 4===CuSO 4＋H 2O(2)Ca(OH)2＋SO 2===CaSO 3↓＋H 2O(3)加热、蒸发、结晶 (4)过量Zn 粉和稀硫酸9．氯碱工业中，通过电解饱和食盐水获得重要的化工原料．其中氯气用途十分广泛，除用于净水、环境消毒外，还用于生产盐酸、聚氯乙烯、氯苯等．(1)电解饱和食盐水的化学方程式为________________________________________．(2)氯气用于生产半导体材料硅的流程如下：①石英砂的主要成分是________，在制备粗硅时，焦炭的作用是______________________．②由四氯化硅得到高纯硅的化学方程式是：__________________________.(3)用于制造塑料薄膜、人造革、塑料管材和板材的聚氯乙烯(PVC 塑料)就是以氯气和乙烯为主要原料通过______、消去和________三步主要反应生产的．生产聚氯乙烯的有关反应的化学方程式为__________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.(4)上述两种生产过程可得到同一种副产品，该副产品是________________.解析：(1)2NaCl ＋2H 2O=====通电2NaOH ＋H 2↑＋Cl 2↑. (2)用Cl 2制备高纯硅涉及反应：2Cl 2＋Si(粗)=====△SiCl 4，体现了氯气的强氧化性，再由SiCl 4制取高纯硅，用H 2使之还原，用SiCl 4得到高纯硅的化学方程式为：SiCl 4＋2H 2=====高温 Si ＋4HCl.(3)Cl 2在有机合成中的应用一般体现在利用加成反应制取聚氯乙烯，先发生反应：CH 2===CH 2＋Cl 2―→ClCH 2CH 2Cl ，再通过脱去一分子HCl ，使之形成含双键的氯乙烯，加聚即可得聚氯乙烯，即CH 2ClCH 2Cl ――→一定条件CH 2===CHCl ＋HCl ， n CH 2===CHCl ――→一定条件CH 2CH Cl. (4)在两种材料制备反应中可得副产品HCl.答案：(1)2NaCl ＋2H 2O=====通电2NaOH ＋H 2↑＋Cl 2↑ (2)①SiO 2 作还原剂 ②SiCl 4＋2H 2=====高温Si ＋4HCl (3)加成加聚 CH 2===CH 2＋Cl 2――→一定条件 CH 2ClCH 2ClCH 2ClCH 2Cl ――→一定条件 CH 2===CHCl ＋HCln CH 2===CHCl ――→一定条件CH 2CH Cl (4)HCl10．(2011·德州模拟)分析下面两个案例并回答有关问题．(1)某城镇生产、生活的分布情况如下图所示，河流中W 、X 、Y 、Z 处某次水样抽测结果如下表所示．①导致X、Y处水样pH变化的原因可能是____________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________；②Z处鱼类大量减少，产生这种现象的原因可能是_____________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.(2)某地区已探明蕴藏有丰富的赤铁矿(主要成分为Fe2O3，还含有SiO2等杂质)、煤矿、石灰石和黏土．拟在该地区建设大型炼铁厂．①随着铁矿的开发和炼铁厂的建立，需要在该地区相应建立焦化厂、发电厂、水泥厂等，形成有规模的工业体系．据此确定下图中相应工厂的名称A________、B________、C________、D________；②以赤铁矿为原料，写出高炉炼铁中得到生铁和产生炉渣的化学方程式________________________________________________________________________、________________________________________________________________________；③从“三废”利用、环境保护等角度考虑，该地区和企业在生产中应采取的一些措施有(举出2种措施即可)_________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：(1)从给出的数据看，X 处水样呈碱性，Y 处水样呈酸性，Z 处水样缺氧.(2)①某地区有丰富煤矿可建立发电厂和焦化厂，有丰富赤铁矿和石灰石可建立炼铁厂，有丰富的石灰石和黏土可建立水泥厂．②高炉炼铁中得到生铁的反应为Fe 2O 3＋3CO=====高温2Fe ＋3CO 2，产生炉渣的反应为CaCO 3＋SiO 2=====高温CaSiO 3＋CO 2↑.③从“三废”利用、环境保护等角度考虑，该地区和企业在生产中应建立污水处理系统．将石灰石煅烧成生石灰用于吸收发电厂和焦化厂燃煤时产生的SO 2，减少对空气的污染．用发电厂的煤矸石和粉煤灰作为生产水泥的原料．用炼铁厂的炉渣作为生产水泥的原料．答案：(1)①造纸厂排放的碱性污水使X 处河水pH 升高，火力发电厂净化烟气的酸性废水治理未达标就排放，造成Y 处等的河水pH 降低②化肥厂、农田及生活污水使Z 处河水富营养化，水温较高，适于藻类等水生植物生长，河水中的溶解氧被大量消耗，导致鱼类死亡(2)①发电厂焦化厂炼铁厂水泥厂②Fe 2O 3＋3CO=====高温2Fe ＋3CO 2CaCO 3＋SiO 2=====高温CaSiO 3＋CO 2↑③用炼铁厂的炉渣(或CaSiO 3)作为生产水泥的原料；用发电厂的煤矸石和粉煤灰作为生产水泥的原料；将石灰石煅烧成生石灰，用于吸收发电厂和焦化厂燃煤时产生的SO 2，减少对空气的污染；建立污水处理系统．(答出2种，合理即可)。

人教A版高中数学选修2-3同步课时跟踪检测(一)1.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时跟踪检测一一、题组对点训练对点练一分类加法计数原理的应用1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A ．13B ．16C ．24D ．48解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.2．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A ．40B ．16C ．13D ．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( ) A ．3种 B ．6种 C ．7种D ．9种解析：选C 分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．4．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y 轴上，所以0＜m ＜n ，考虑m 依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n 值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.答案：205．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.对点练二分步乘法计数原理的应用6．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()A．8B．6C．5D．3解析：选B从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A．8本B．9本C．12本D．18本解析：选D完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．答案：4210．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．对点练三两个计数原理的综合应用11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．二、综合过关训练1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：选C小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A．96种B．24种C．120种D．12种解析：选A先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为()A．7 B．12C．81 D．64解析：选D第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4C．6 D．8解析：选D以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B ＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A．34B．43C．12 D．以上都不对解析：选C由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．答案：7207．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．由Ruize收集整理。

人教A版高中数学选修2-3：组合与组合数公式课时作业

组合与组合数公式一、题组对点训练对点练一组合概念的理解1．下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选 B ①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B.2．下列各事件是组合问题的有________．①8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ ②8个朋友相互写一封信，一共写了多少封信？③从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ ④从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？解析：①每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．②每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．③是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．④是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.答案：①④对点练二组合数公式3．下列计算结果为28的是( ) A ．A 24＋A 26 B ．C 77 C ．A 28D ．C 28解析：选D C 28＝8×72＝4×7＝28.4．若C 2n ＝36，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C ∵C 2n ＝36，∴12n (n －1)＝36，即n 2－n －72＝0，∴(n －9)(n ＋8)＝0.∵n ∈N *，∴n ＝9.5．C 26＋C 57＝________.解析：C 26＋C 57＝6！4！×2！＋7！2！×5！＝6×52＋7×62＝15＋21＝36.答案：366．已知A 2n ＝4C 2n －1，则n ＝________.解析：因为A 2n ＝4C 2n －1，所以n (n －1)＝4×(n －1)(n －2)2，解得n ＝4(n ＝1舍去)．答案：47．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.对点练三简单的组合应用题8．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64解析：选C 由于公路的修建问题是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种解析：选D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．10．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称集合A 具有伙伴关系．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 将集合M 中除0,4外的元素分为四组，即－1；1；12，2；13，3.它们能组成具有伙伴关系的非空集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15，故选A.11．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为C 410C 24C 12＝2 520.答案：2 52012．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C 1117＝12 376(种)． (2)教练员可以分两步完成这件事情．第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中再选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C 1117×C 111＝136 136(种)．二、综合过关训练1．(C 2100＋C 97100)÷A 3101的值为( ) A ．6 B ．101 C.16D.1101解析：选C (C 2100＋C 97100)÷A 3101＝(C 2100＋C 3100)÷A 3101＝C 3101÷(C 3101A 33)＝1A 33＝16.2．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A ．C 23C 2198种 B ．(C 23C 3197＋C 33C 2197)种 C ．(C 3200－C 4197)种D ．(C 5200－C 13C 4197)种解析：选B 分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有C 23C 3197种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有C 33C 2197种抽法．因此共有(C 23C 3197＋C 33C 2197)种抽法．3．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．解析：根据题意，知所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：604．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C 49C 55＝126种走法，故从A 地到B 地的最短路线共有126条．答案：1265．若C 4n ＞C 6n ，则n 的集合是________．解析：∵C4n＞C6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n ＞C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．答案：{6,7,8,9}6．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C 36＝6×5×43×2×1＝20.7．(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C 1352种不同的可能．即一名参赛者可能得到C 1352手不同的牌．(2)需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325种不同的投资方式．。

数学教案人教a版选修2_3 同步练习-第3章统计案例跟踪训练含解析

回归分析的基本思想及其初步应用[A 组学业达标]1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形的边长和面积 C ．正n 边形的边数和内角度数和 D ．人的年龄和身高解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A ，B ，C 三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a 2，h(n)＝nπ－2π.D 选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D.答案：D2．设一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A.y ^平均增加1.5个单位 B.y ^平均增加2个单位 C.y ^平均减少1.5个单位 D.y ^平均减少2个单位解析：由线性回归方程y ^＝2－1.5x 中x 的系数为－1.5，知C 项正确．答案：C 3．有下列数据：x 1 2 3 y35.9912.01A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：当x ＝1,2,3时，分别代入求y 值，离y 最近的值模拟效果最好，可知A 模拟效果最好．答案：A4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325.②y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648 ③y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578 ④y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：根据题意，依次分析4个结论：对于①，y 与x 负相关且y ^＝－2.756x ＋7.325，此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；对于②，y 与x 负相关且y ^＝3.476x ＋5.648，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；对于③，y 与x 正相关且y ^＝－1.226x －6.578，此结论错误，由线性回归方程知，此两变量的关系是负相关；对于④，y 与x 正相关且y ^＝8.967x ＋8.163，此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；故②③一定错误．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ^＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为________．解析：由已知得x －＝5，y －＝54，则(5,54)满足回归直线方程y ^＝10.5x ＋a ^，解得a ^＝1.5，因此y ^＝10.5x ＋1.5，当x ＝20时y ^＝10.5×20＋1.5＝211.5.答案：211.56．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．解析：去掉D(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．答案：D(3,10)7．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝ebx ＋a的周围，令z ＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为____________________．解析：由z ＝ln y ，z ^＝0.25x －2.58，得ln y ^＝0.25x －2.58，∴y ^＝e 0.25x －2.58. 故该模型的回归方程为y ^＝e 0.25x －2.58. 答案：y ^＝e 0.25x －2.588．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，求社区一户年收入为15万元的家庭的年支出．解析：由题意可得x －＝15×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，y －＝15×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，可得a ^＝8－0.76×10＝0.4. ∴回归直线方程为y ^＝0.76x ＋0.4.把x ＝15代入可得y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8.故社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为11.8万元．9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析：(1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，∵b ^＝－20，a ^＝y －－b ^ x －， ∴a ^＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．[B 组能力提升]10．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是a 1，a 2，R 2的值分别为b 1，b 2，下列说法正确的是( )A ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，A 的拟合效果更好B ．若a 1＜a 2，则b 1＜b 2，B 的拟合效果更好C ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好D ．若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，B 的拟合效果更好解析：由残差平方和以及R 2的定义式可得若a 1＜a 2，则b 1＞b 2，A 的拟合效果更好．答案：C11．近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位：亿元)数据如下：A.y ^＝2.799 1x －27.248 552 B.y ^＝2.799 1x －23.548 452 C.y ^＝2.699 2x －23.749 352 D.y ^＝2.899 2x －23.749 452解析：x －＝41.72，y －＝93.23，代入验证可知B 选项正确．答案：B12．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．解析：将x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71，得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.2913．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,19}，则y －＝________. 解析：∵x －＝1＋5＋7＋13＋195＝9，且y ^＝1.5x ＋45， ∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.514．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如表统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0已知∑i ＝15x 2i＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3.b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b ^ x －. (1)求x －，y －.(2)x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程． (3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？解析：(1)x －＝4，y －＝5.(2)b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝1.23，a ^＝y －－b ^ x －＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(3)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．15．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x1 2 3 4 5y 58 54 39 29 10(1)令w ＝x 2，利用给出的参考数据求出y 关于w 的回归方程y ^＝b ^w ＋a ^.(a ^，b ^精确到0.1)参考数据：∑i ＝15w i ＝55，∑i ＝15(w i －w －)(y i －y －)＝－751，∑i ＝15(w i －w －)2＝374，其中w i ＝x 2i ，w －＝15∑i ＝15w i .(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据5≈2.24)附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v －－β^ u －.解析：(1)由题意得，w －＝11，y －＝38.b ^＝∑i ＝15w i －w－y i －y－∑i ＝15w i －w－2＝－751374≈－2.0，a ^＝y －－b ^w ＝60.0，所以y ^＝－2.0w ＋60.0. (2)由(1)得，y ^＝－2.0w ＋60.0，所以y ^＝－2.0x 2＋60.0，当y ^≤20时，即－2.0x 2＋60.0≤20，解得x≥25≈4.5，所以为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗1千克蔬菜．独立性检验的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是( )A．频率分布直方图B．回归分析C．独立性检验D．用样本估计总体解析：根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出K2观测值，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验．答案：C2．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )解析：观察等高条形图发现x1x1＋y1和x2x2＋y2相差越大，就判断两个分类变量之间关系越强．答案：D3．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为( )y1y2总计x1 a 21 73x222 25 47总计 b 46 120A.94,72C．52,74 D．74,52解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝74，故选C.答案：C4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果K2的观测值k＞5.024，那么在犯错误的概率不超过________的前提下认为“X与Y有关系”()P(K2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A.0.25 B ．0.05 C ．0.1D ．0.025解析：因为K 2的观测值k ＞5.024，而在临界值表中对应于5.024的是0.025，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”．答案：D5．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱 B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强 C ．(ad －bc)2越大，说明X 与Y 的关系越强 D ．(ad －bc)2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强解析：列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度，由K 2＝a ＋b ＋c ＋dad －bc2a ＋b a ＋cb ＋dc ＋d，当(ad －bc)2越大，K 2越大，表明X 与Y 的关系越强．(ad －bc)2越接近0，说明两个分类变量X 和Y 无关的可能性越大．即所给说法判断正确的是C. 答案：C6.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式，了解读书和健身的人数，得到的数据如表：读书健身总计女 24 31 55 男 8 26 34 总计325789在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．解析：由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝89×24×26－31×8255×34×32×57≈3.689＞2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．答案：0.107．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示：死亡存活总计第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计203050进行统计分析的统计假设是________，K 2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”)参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解析：统计假设是“小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关”，由列联表中数据得K 2＝5.33＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关．所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．答案：小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关 5.33 不相同 8．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：晚上白天总计男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计98D180那么，A ＝________，B ＝E ＝________. 解析：由列联表知识得⎩⎪⎨⎪⎧ 45＋E ＝98，98＋D ＝180，A ＋35＝D ，E ＋35＝C ，B ＋C ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝47，B ＝92，C ＝88，D ＝82，E ＝53.答案：47 92 88 82 539．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？解析：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：经常上网不经常上网总计不及格80120200及格 120 680 800 总计2008001 000得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关．10．随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性中只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成下列2×2列联表：运动非运动总计男性女性总计n(2)数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？解析：(1)补全2×2列联表如下：运动非运动总计男性 15n 15n 25n 女性 15n 25n 35n 总计25n 35n n(2)则P(K 2≥k 0)＝3.841. 由于K 2的观测值k ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5·2n 5－n 5·n 522n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n 36，故n36≥3.841，即n≥138.276. 又由15n ∈Z ，故n≥140.故若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人．(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有25×140＝56(人)的休闲方式是运动．[B 组能力提升]11．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，故在犯错误的概率不超过________的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．0.001B ．0.005C ．0.01D ．0.025解析：可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史 16 93 109 阴性家族史17 240 257 总计33333366根据列联表中的数据，得到K 2的观测值为 k ＝366×16×240－17×932109×257×33×333≈6.067＞5.024.故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系．答案：D12．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________(填序号)． ①若K 2的观测值k ＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：K 2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③13．根据下表计算：不看电视看电视男 37 85 女35143K 2的观测值k≈________(保留3位小数)．解析：k ＝300×37×143－85×352122×178×72×228≈4.514.答案：4.51414．某学校为了解该校高三年级学生在市一练考试的数学成绩情况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名学生的数学成绩，作出频率分布直方图如图，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．(1)由以上频率分布直方图填写下列2×2列联表．若按是否优秀来判断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成绩有差异.文科理科总计优秀非优秀总计5050100(2)某高校派出2140分以上的学生进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位学生只能被一位教授面试．若甲教授面试的学生人数为ξ，求ξ的分布列和均值．解析：(1)由频率分布直方图知，该校文科学生中数学成绩优秀的人数为(0.010＋0.004＋0.002)×10×50＝8，故非优秀人数为50－8＝42.该校理科学生中数学成绩优秀的人数为(0.020＋0.014＋0.006)×10×50＝20，故非优秀人数为50－20＝30.则2×2列联表如下：文科理科总计优秀 8 20 28 非优秀 42 30 72 总计5050100∴K 2的观测值k ＝100×8×30－42×20250×50×28×72≈7.143＞6.635，故有99%的把握认为该校文理科数学成绩有差异．(2)由(1)知，该校随机抽取的学生成绩中一练数学成绩在140分以上的学生为4人，ξ的可能取值为1,2,3.将4人分给两名教授每名教授至少1名学生的不同分法种数为⎝⎛⎭⎪⎫C 34＋C 24C 22A 22A 22＝14，则P(ξ＝1)＝C 1414＝27，P(ξ＝2)＝C 2414＝37，P(ξ＝3)＝C 3414＝27.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P273727∴E(ξ)＝1×27＋2×37＋3×27＝2.15．某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．(1)请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数．(2)完成2×2列联表，并回答：在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计高一高二总计附：临界值表及参考公式： K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ，n ＝a ＋b ＋c ＋d. P(K 2≥k 0)0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)高一年级成绩低于60分的人数为：(0.03＋0.04)×10×100＝70；高二年级成绩低于60分的人数为： (0.035＋0.015)×10×100＝50. (2)2×2列联表如下：成绩小于60分人数成绩不小于60分人数总计高一 70 30 100 高二 50 50 100 总计12080200由于K 2的观测值k ＝200×50×70－50×302100×100×120×80≈8.333＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生所在的年级与消防知识的了解存在相关性”．。

数学教案人教a版选修2_3 同步练习--第2章随机变量及其分布第2节跟踪训练含解析

条件概率[A 组学业达标]1．已知A 与B 是两个事件，P(B)＝14，P(AB)＝18，则P(A|B)等于( )A.13 B.14 C.38D.12解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝P ABP B ＝1814＝12.答案：D2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )A.49B.29 C.12D.13解析：由题意可知，n(B)＝C 1322＝12， n(AB)＝A 33＝6.∴P(A|B)＝n AB n B ＝612＝12.答案：C3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：根据条件概率公式P(B|A)＝P AB P A ，得所求概率为0.60.75＝0.8.答案：A4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( )A.112 B.14 C.29D.23解析：由题意事件A 包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是(1,3)，(3,1)共2个，所以P(B|A)＝29.答案：C5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A.18B.14C.25D.12解析：P(A)＝C 23C 22C 25＝25，P(AB)＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝P ABP A ＝11025＝14.答案：B6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X ，则X≤6的概率为________．解析：设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“X≤6”，则P(A)＝3036＝56，P(AB)＝13，∴P(B|A)＝P AB P A ＝25.答案：257．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活动25岁的概率是________．解析：设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B ⊆A ，故P(AB)＝P(B)，于是P(B|A)＝P AB P A ＝P B P A ＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 答案：0.58．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解析：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个．则P(A)＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P(BC)＝C 15·C 15C 110·C 19＝2590＝518， P(B)＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12. 故P(C|B)＝P BCP B ＝51812＝59.9．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．解析：抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝1236＝13. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4＞8,4＋6＝6＋4＝5＋5＞8,5＋6＝6＋5＞8,6＋6＞8. 所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P(B)＝1036＝518.事件AB 的基本事件数为6. 故P(AB)＝636＝16.由条件概率公式得： (1)P(B|A)＝P ABP A ＝1613＝12.(2)P(A|B)＝P ABP B ＝16518＝35.[B 组能力提升]10．将三颗骰子各掷一次，设事件A 表示“三个点数都不相同”，B 表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )A.6091B.12C.518D.91216解析：因为P(A|B)＝P ABP B ，P(AB)＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P(B)＝1－P(B )＝1－5363＝1－125216＝91216.所以P(A|B)＝P ABP B ＝6021691216＝6091.答案：A11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A.119B.1738C.419D.217解析：设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．而P(AB)＝C 25C 220＝119，P(B)＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738.∴P(A|B)＝P AB P B ＝217. 答案：D12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P(A)＝5100＝120，P(AB)＝C 15C 195A 2100＝19396. 所以P(B|A)＝P AB P A ＝9599.答案：959913．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．解析：设第一支取好晶体管为事件A ，第二支取好晶体管为事件B ，则P(A)＝610＝35，P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×59＝13，则P(B|A)＝1335＝59.答案：5914．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为 n(Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A 14A 15＝20，于是P(A)＝n A n Ω＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A 24＝12，于是 P(AB)＝n AB n Ω＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝P ABP A ＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n AB n A ＝1220＝35.15．三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33解析：设事件A ＝{任取的三个数中有a 22}，事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C 28＝28，n(A B )＝2，故P(B |A)＝nA B n A＝228＝114，则P(B|A)＝1－P(B |A)＝1－114＝1314. 即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.事件的相互独立性[A组学业达标]1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决，甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.答案：B2．下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．答案：A3．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 、事件B ，则P ＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 答案：B5．甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为( )A.720 B.1220 C.120D.220解析：第一种：甲答对，乙答错，此时概率为15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝320；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×14＝420.综上，两人中恰有一人答对的概率为320＋420＝720.答案：A6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P(A ∪B)＝________，P(A|B)＝________. 解析：因为A ，B 相互独立，所以P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.65 0.37．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：加工出来的零件的正品率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×(1－168)＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.答案：3708.如图所示，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为________．解析：设P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7，则P(A )＝0.1，P(B )＝0.2，P(C )＝0.3，故该系统的可靠性为1－P(A )P(B )P(C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：0.9949．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，故概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.10．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A 与B 是相互独立的．[B 组能力提升]11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：按A→B→C→A 的顺序的概率为13×13×13＝127，按A→C→B→A 的顺序的概率为23×23×23＝827，故跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝127＋827＝13.答案：A12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：记“A，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(C )P(D )[1－P(AB)]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316，∴灯亮的概率为1－316＝1316. 答案：C13．国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P(A B C )＝1－P(A )·P(B )·P(C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35.答案：3514．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：①P(B)＝P(A 1B)＋P(A 2B)＋P(A 3B)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，①不正确，⑤不正确；②P(B|A 1)＝510×51112＝511，正确；③事件B 与事件A 1有关系，故不正确；④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．答案：②④15．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解析：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.4，P(A 3)＝0.5，P(A 4)＝0.2. (1)法一：该选手被淘汰的概率： P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976. (2)法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A3)＋P(A 1)P(A 2)·P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.16．某示范性高中的校长推荐甲，乙，丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A ，B ，C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是P(E)＝1－P(A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P(ξ＝30)＝P(A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝118，P(ξ＝40)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝518，P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＝49，.P(ξ＝60)＝P(ABC)＝23×23×12＝29.所以ξ的分布列为：独立重复试验与二项分布[A 组学业达标]1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125 B.48125 C.16125D.96125解析：播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝48125.答案：B2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P(X ＝3)等于( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14解析：P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34.答案：C3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析：由题意知C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A. 答案：A4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＝827.答案：A5．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1127. 答案：B6．如果X ～B(20，p)，当p ＝12且P(X ＝k)取得最大值时，k ＝________.解析：当p ＝12时，P(X ＝k)＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220C k 20，显然当k ＝10时，P(X ＝k)取得最大值．答案：107．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝1132. 答案：11328．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②9．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.用X 表示乙投篮3次的进球数，求随机变量X的分布列．解析：随机变量X 的可能值为0,1,2,3，则P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k×⎝ ⎛⎭⎪⎫353－k (k ＝0,1,2,3)．X 的分布列为：10.根据以往统计资料，为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．(2)用X 表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的分布列．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C ＝A ＋B ， P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D ＝C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，由已知得X ～B(5,0.2)，所以P(X ＝k)＝C k50.2k0.85－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，分布列如表：[B 组能力提升]11．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P(X ＝2)＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233解析：∵随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， ∴P(X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233.答案：D12．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p)4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13.答案：A13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球4次的概率为C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25； ④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，所以P(X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④14．张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝6581.答案：658115．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．解析：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P(A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，则P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P(X ＝1)＝C 12×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.所以X 的分布列为：16.两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率．(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．解析：设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ，因为P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，P(C)＝310，所以P(D)＝P(A ∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，知X ＝0,1,2,3,4，设A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，则P(A 0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P(A 1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P(A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625，P(A 3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P(A 4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫254×⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝16625.所以X 的分布列为：。

2021人教版高中数学同步a版选修2-3(理科必考)模块练习题--2.2.2 事件的相互独立性

2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的相互独立性基础过关练题组一条件概率1.(2020北京昌平高三第三次月考)将三枚质地均匀的骰子各掷一次并观察其正面朝上的点数,设事件A 为“三个点数都不相同”,事件B 为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为( ) A.6091 B.12C.518D.912162.(2019河南南阳高二期末)某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( ) A.25 B.35C.12D.233.(2019吉林长春实验中学高二期末)某市气象台统计,7月15日该市某区下雨的概率为415,刮风的概率为215,既刮风又下雨的概率为110,设事件A 表示这一天会下雨,事件B 表示这一天会刮风,那么P(A|B)=( ) A.12 B.34C.25D.384.(2019江西九江高二上学期期末)某射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6,已知该射击手第一次命中,则他第二次也命中的概率是( )A.34B.45C.35D.7105.(2019内蒙古赤峰第二中学高二期末)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(B|A)=( )A.14 B.34C.29 D.596.(2019重庆江津中学、合川中学等七校高二下学期期末联考)袋中装有10个形状、大小均相同的小球,其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球,记事件A为“第一次摸出的是红球”,事件B为“第二次摸出的是白球”,则P(B|A)=( )A.25B.415C.49D.597.(2019广西桂林高二期末)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A.0.75B.0.6C.0.52D.0.488.(2019广东广州高二期末)从1、2、3、4、5、6中任取两个数,记事件A:取到的两个数之和为偶数,事件B:取到的两个数均为偶数,则P(B|A)=( ) A. B.14C.13D.129.(2019福建莆田六中高二上学期期中)已知P(B|A)=13,P(A)=35,则P(AB)= .题组二事件的相互独立性的判断10.(2019陕西咸阳高二期末)抛掷一枚质地均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不是相互独立事件的是( ) A.“两次得到的点数和是12” B.“第二次得到6点” C.“第二次的点数不超过3” D.“第二次的点数是奇数”11.(2019天津耀华中学高二期末)设M,N 为两个随机事件,给出以下命题:(1)若M,N 为互斥事件,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M ∪N)=920;(2)若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(3)若P(M )=12,P(N)=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(4)若P(M)=12,P(N )=13,P(MN)=16,则M,N 为相互独立事件;(5)若P(M )=12,P(N )=13,P(M N )=56,则M,N 为相互独立事件.其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4题组三事件的相互独立性的应用12.(2020天津高三上学期期中)现让两个实习生每人加工一个零件.已知他们加工的零件为一等品的概率分别为56和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.13C.512D.1613.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过三个十字路口.已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率是( ) A.13B.49C.427D.12714.(2019福建莆田一中高二期中)为了提高学生的身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员正进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为34,若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1个球投进的概率为34,则他第3个球投进的概率为( ) A.34B.58C.116D.91615.(2019北京大兴高二期末)甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,然后两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.甲乙丙丁甲 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 0.5 丁0.20.60.5那么甲获得冠军且丙获得亚军的概率是( ) A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.2116.(2020四川广安、遂宁、资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试)某项羽毛球单打比赛采用三局两胜制,若运动员甲、乙两人进入了男子羽毛球单打决赛,假设甲每局比赛获胜的概率都为23,且每局比赛是否获胜互不影响,则由此估计甲获得冠军的概率为 . 17.(2020湖南益阳高三上学期期末)在一个不透明的箱中装有形状、大小均相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人轮流从箱中摸球,每次摸取一个球,规则如下:若摸到绿球,则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球.若甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是 .18.(2020江西南昌第八中学高三上学期期末)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .19.(2019江西上饶高二月考)在一只布袋中装有形状、大小均相同的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率是 .20.一射击手对同一目标独立地进行4次射击,已知他至少命中一次的概率为8081,则此射击手的命中率是 .21.若事件A,B,C 相互独立,且P(AB)=16,P(B C)=18,P(AB C )=18,则P(B)= ;P(A B)= .能力提升练一、选择题1.(2019湖南长沙一中高二月考,★★☆)在形状如图所示的两个游戏盘(图①是半径分别为2和4的两个同心圆,圆心为O;图②是正六边形,点P为其中心)中各有一个玻璃小球,依次摇动2个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是( )A.116B.18C.16D.142.(2019广东广州执信中学上学期高二测试,★★☆)某公交线路的某区间内共设置四个站点(如图),分别记为A0,A1,A2,A3,现有甲、乙两人同时从A0站点上车,且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能且相互独立的,则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( )A.23B.34C.35D.123.(2019四川成都第七中学高三一模,★★☆)如果{a n}不是等差数列,但∃k∈N*,使得a k+a k+2=2a k+1,那么称{a n}为局部等差数列.已知数列{x n}的项数为4,记事件A为“{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5}”,事件B为“{x n}为局部等差数列”,则P(B|A)=( )A.415B.730C.15D.164.(2019山东潍坊寿光现代中学高二期末,★★☆)在荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶上),如图所示,而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍.假设现在青蛙在A 叶上,则跳三次之后仍停在A 叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827二、填空题5.(★★☆)某家公司用三台机器A 1,A 2,A 3生产同一种产品,生产量分别占总产量的12,13,16,且其产品的不良率分别占其产量的2.0%,1.2%,1.0%,则任取此公司的一件产品,其为不良品的概率是 ,若已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来的概率是 .6.(★★☆)在一次象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为 .7.(★★☆)甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,则比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,则比赛结束,乙胜出.已知每一局中甲、乙两人获胜的概率分别为25、35,则甲胜出的概率为 .8.(★★☆)甲袋中有形状、大小均相同的5个白球,7个红球;乙袋中有形状、大小均相同的4个白球,2个红球,从两个袋子中选出一袋,然后从其中任取一球,则取到白球的概率是.三、解答题9.(2019四川成都高二期末,★★☆)为了促进学生的全面发展,某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设,2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和,至少他本人的才艺能力判断,该学生两个社团都能进入的概率为124,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理进入一个社团的概率为38社”的概率.(1)求该同学通过考核选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2;(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的概率.答案全解全析基础过关练1.A ∵P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)= 6063 =518,P(B)=1-P(B )=1-5363=1-125216=91216,∴P(A|B)=P(AB)P(B)=51891216=6091,故选A.2.A 由题意,设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,则P(A)= C 52C 63= 1020= 12,P(AB)= C 41C 63= 15,所以P(B|A)=P(AB)P(A)= 25,故选A.3.B 由题意,可知P(A)=415,P(B)=215,P(AB)=110,利用条件概率的计算公式,可得P(A|B)=P(AB)P(B)=110215=34,故选B.4.A 设该射击手第一次命中,第二次也命中的概率为P,∵该射击手射击一次命中的概率为0.8,连续射击两次均命中的概率是0.6, ∴0.8P=0.6,解得P=34.故选A.5.A 易知事件AB 为“四名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(AB)=A 3344,P(A)=A 4444,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=A 3344·44A 44=14.故选A.6.C 由题意得,P(A)=610=35,P(AB)=610×49=415,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=49,故选C.7.A 记事件A:该元件使用寿命超过1年,事件B:该元件使用寿命超过2年,则P(A)=0.8,P(AB)=P(B)=0.6,因此,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75,故选A.8.D 事件A 包含两种情况:取到的两个数均为奇数和取到的两个数均为偶数,所以P(A)=C 32+C 32C 62=25,P(AB)=C 32C 62=15,由条件概率的计算公式可得,P(B|A)=P(AB)P(A)=12,故选D.9.答案 15解析 ∵P(B|A)=13,P(A)=35,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=15,故答案为15.10.A “第二次得到6点”“第二次的点数不超过3”“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立,而“两次得到的点数和是12”说明第一次和第二次都得到6点,故二者不是相互独立事件,故选A.11.C 若M,N 为互斥事件,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M ∪N)=15+14=920,故(1)正确;若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则由相互独立事件的定义可知M,N 为相互独立事件,故(2)正确;若P(M )=12,P(N)=13,P(MN)=16,则P(M)=1-P(M )=12,P(MN)=P(M)·P(N),所以M,N 为相互独立事件,故(3)正确;若P(M)=12,P(N )=13,P(MN)=16,则当M,N 为相互独立事件时,P(N)=1-P(N )=23,P(MN)=12×23=13≠16,故(4)错误;若P(M )=12,P(N )=13,P(M N )=56,则P(M N )=P(M )×P(N )=12×13=16≠56,所以M,N 不是相互独立事件,故(5)错误.故选C.12.B 记事件A 为“这两个零件中恰有一个一等品”,事件A 1为“仅第一个实习生加工的零件为一等品”,事件A 2为“仅第二个实习生加工的零件为一等品”,则P(A)=P(A 1)+P(A 2)=56×14+16×34=13,故选B.13.C 由题意知甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才遇到红灯的概率P=(1-13)×(1-13)×13=427.故选C.14.D 分以下两种情况讨论:①第2个球投进,其概率为34×34+14×14=58,第3个球投进的概率为58×34=1532;②第2个球投不进,其概率为1-58=38,第3个球投进的概率为38×14=332. 综上所述,第3个球投进的概率为1532+332=916,故选D.15.C 甲、乙比赛中甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛中丙获胜的概率是0.5,甲、丙决赛中甲获胜的概率是0.3,由相互独立事件的定义可知,甲获得冠军且丙获得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C. 16.答案2027解析因为甲获胜的方式有2∶0和2∶1两种,所以甲获得冠军的概率P=(23)2+C 21×23×13×23=2027.故答案为2027.17.答案15128解析设“甲摸到绿球”为事件A,“甲摸到红球”为事件A ,“乙摸到绿球”为事件B,“乙摸到红球”为事件B ,则P(A)=14,P(A )=34,P(B)=14,P(B )=34,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的情况是AA A (B+B ),A A B A,A B AA,所以P=14×14×34×1+14×34×34×14+34×34×14×14=15128.故答案为15128.18.答案 0.245解析甲队以4∶1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率p 1=0.3×0.7×0.5×0.5×0.7=0.036 75;②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率p 2=0.7×0.3×0.5×0.5×0.7=0.036 75;③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率p 3=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75;④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率p 4=0.7×0.7×0.5×0.5×0.7=0.085 75,则甲队以4∶1获胜的概率p=p 1+p 2+p 3+p 4=0.036 75+0.036 75+0.085 75+0.085 75=0.245. 故答案为0.245. 19.答案831解析由题意,无放回地依次从中摸出2颗棋子,则第1次摸出红棋子的概率是1632=12,第2次摸出绿棋子的概率是1631,由相互独立事件的定义可得,第1次摸出红棋子,第2次摸出绿棋子的概率P=12×1631=831.故答案为831.20.答案 23解析设此射击手每次射击命中的概率为P,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知,四次全都没有命中的概率为1-8081=181,所以(1-P)4=181,解得P=23或P=43(舍去),故答案为23.21.答案 12;13解析由题意得,{P(A)P(B)=16,P(B)P(C)=18,P(A)P(B)P(C)=18, 又{P(B)+P(B)=1,P(C)+P(C)=1,所以{P(A)=13,P(B)=12,P(C)=14, 所以P(A B)=P(A )P(B)=23×12=13.能力提升练一、选择题1.A 记一局游戏后,这两个盘中的小球分别停在其阴影部分为事件A 1,A 2,由题意知,A 1,A 2相互独立,且P(A 1)=14π(42-22)42π=316,P(A 2)=13,所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A 1A 2)=P(A 1)·P(A 2)=316×13=116.故选A.2.A 设事件A 为“甲、乙两人不在同一站点下车”, 由题意知甲、乙两人同在A 1站点下车的概率为13×13=19;甲、乙两人同在A 2站点下车的概率为13×13=19;甲、乙两人同在A 3站点下车的概率为13×13=19,所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P(A )=3×19=13,则P(A)=1-13=23,故选A.3.C 由题意知,事件A 共包含C 54·A 44=120个基本事件,事件B 共包含24个基本事件,其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3,共3个,含3,2,1的也有3个,总共6个, 同理,含3,4,5的和含5,4,3的有6个, 含2,3,4的和含4,3,2的有4个, 含1,3,5的和含5,3,1的有8个, ∴P(B|A)=24120=15.故选C.4.A 设按顺时针方向跳的概率为P,则按逆时针方向跳的概率为2P,由题意可得P+2P=3P=1,解得P=13,即按顺时针方向跳的概率为13,按逆时针方向跳的概率为23,若现在青蛙在A 叶上,跳三次之后仍停在A 叶上,则需满足按逆时针方向跳三次或者按顺时针方向跳三次.①若按逆时针方向跳,则对应的概率为23×23×23=827;②若按顺时针方向跳,则对应的概率为13×13×13=127,则所求概率为827+127=13,故选A.二、填空题 5.答案473 000;3047解析由题意知,事件“任取此公司的一件产品,其为不良品”的概率P 1=12×2.0%+13×1.2%+16×1.0%=473 000,事件“已知此产品为不良品,则其是由A 1生产出来”的概率P 2=12×2.0%473 000=3047.6.答案 0.09解析乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,所以所求概率P=(1-0.4)×0.5×(1-0.4)×0.5=0.09. 7.答案1625解析甲胜出的情况有两种,一种是甲第一局获胜,另外一种是甲第一局输了,第二局获胜.设事件A i 为“甲在第i 局获胜”(i=1,2),事件B 为“甲胜出”,则P(B)=P(A 1)+P(A 1A 2).依题意可得P(A 1)=P(A 2)=25,因为两场比赛相互独立,所以P(A 1A 2)=P(A 1)×P(A 2)=35×25=625,从而P(B)=25+625=1625.8.答案 1324解析设事件A 为“取到甲袋”,事件B 为“取到白球”,分两种情况进行讨论.若取出的是甲袋,则此时取到白球的概率P 1=P(A)·P(B|A),依题意可得P(A)=12,P(B|A)=512,所以P 1=12×512=524;若取出的是乙袋,则此时取到白球的概率P 2=P(A )·P(B|A ),依题意可得P(A )=12,P(B|A )=46=23,所以P 2=12×23=13.综上所述,取到白球的概率P(B)=P 1+P 2=1324.三、解答题9.解析 (1)由题意得{p 1p 2=124,1-(1-p 1)(1-p 2)=38,p 1<p 2,解得{p 1=16,p 2=14. (2)记该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ,易知ξ的所有可能取值为0,0.5,1,1.5.又P(ξ=1)=(1-14)×16=18,P(ξ=1.5)=14×16=124,∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1的概率P=18+124=16.。

数学教案人教a版选修2_3 同步练习-第1章计数原理第2节跟踪训练含解析

第1课时排列与排列数公式[A 组学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种．答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个．答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时组合与组合数公式[A 组学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________．解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！，整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。

【高中同步测控优化设计】高中数学选修2-3训练：1.2.2.1组合 Word版含答案[ 高考]

1.2.2组合第一课时组合A组1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()A.4B.8C.28D.64解析:由于“村村通”公路的修建,是组合问题.故共需要建=28条公路.答案:C2.若=6,则n的值是()A.6B.7C.8D.9解析:原方程即为n(n-1)(n-2)=6×=6×,整理得=1.n=7.经检验知n=7是原方程的解.答案:B3.已知,则n等于()A.14B.12C.13D.15解析:∵,∴7+8=n+1,∴n=14.答案:A4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()A.种B.种C.种D.种解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法.故共有种不同的选法.答案:D5.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()A.30种B.35种C.42种D.48种解析:分两类,A类选修课选1门,B类选修课选2门,或A类选修课选2门,B类选修课选1门,因此,共有=30种不同的选法.答案:A6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.解析:从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2 520(种).答案:2 5207.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3人去参观展览.若恰有1名女同学入选的不同选法有20种,则该科技小组中男同学的人数为.解析:由题意得=20,解得x=5.所以该科技小组有5名男同学.答案:58.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故有=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有=246种选派方法.若从反面考虑,则有=246种选派方法.9.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,求共有多少种不同的赠送方法?解:依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).B组1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有=120(种).答案:C2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.20种D.56种解析:每个宿舍至少安排2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2,3,4,5,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以共有=112种互不相同的分配方案.答案:B3.从0,1,,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y=x tan α+b的倾斜角和截距,可组成条平行于x轴的直线.解析:要使得直线与x轴平行,则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可.故有=5条满足条件.答案:54.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.在集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.解析:具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为=15.答案:155.(1)计算:;(2)求证:+2.(1)解:原式=×1==56+4 950=5 006.(2)证明:由组合数的性质可知,右边=()+()==左边.所以原等式成立.6.要从6名男生、4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)甲当选且乙不当选;(2)至少有1名女生且至多有3名男生当选.解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种不同的选法.(2)至少有1名女生且至多有3名男生时,应分三类:第1类是3名男生2名女生,有种不同的选法;第2类是2名男生3名女生,有种不同的选法;第3类是1名男生4名女生,有种不同的选法.由分类加法计数原理知,共有=186种不同的选法.7.某地区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从点A走向点B最短的走法有多少种?解:(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成的矩形有=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从点A到点B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210种走法.。

2003高考物理复习冲关习题第3讲一卷冲关的课后练习案鲁科版选修2

一、选择题1.下列离子中，引起水质硬度较大的是（）①Ca2＋②Al3＋③Na＋④Mg2＋⑤HCO－3⑥SO2－4A.全部B.①④⑤⑥C.⑤⑥D.①④解析：含Ca2＋、Mg2＋较多的水为硬水，由Ca（HCO3）2、Mg（HCO3）2造成的硬水为暂时硬水，由CaSO4、MgSO4造成的硬水为永久硬水。

答案：D2.钠型离子交换剂磺化煤（NaR）可使硬水中的钙、镁离子通过离子交换而软化。

海水的一种淡化方法是使海水（含钠离子、镁离子、氯离子等）依次通过两种离子交换树脂A、B（如图所示），下列叙述不．正确的是（）A.A为氢型离子交换树脂（HR），B为羟型离子交换树脂（ROH）B.A为羟型离子交换树脂（ROH），B为氢型离子交换树脂（HR）C.HR与镁离子的反应可表示为：2HR＋Mg2＋===MgR2＋2H＋D.ROH与氯离子的反应可表示为：ROH＋Cl－===RCl＋OH－解析：若使海水先通过ROH树脂，溶液中会有较多的OH－，这样使海水中的Mg2＋转化为Mg（OH）2沉淀，造成堵塞而使海水淡化失败。

所以A为氢型离子交换树脂（HR），B为羟型离子交换树脂（ROH）。

答案：B3.［双选题］在合成氨工业中，为增加氨的日产量，在实现此目的过程中与平衡移动无关的是（）A.不断将氨分离出来B.使用催化剂C.采用500℃左右的高温D.采用20 MPa～50 MPa的压强解析：选项A不断将氨分离出来，可以降低生成物的浓度，使平衡向正反应方向移动，从而提高氨的产量；选项B使用催化剂，只能同等倍数地增加正、逆反应速率，缩短反应达到平衡所需要的时间，但平衡不发生移动；选项C采用高温，平衡左移，实际上是抑制了氨的合成；选项D采用高压，使平衡向生成氨的方向移动，有利于氨的生产。

答案：BC4.下列氮肥中，氮的百分含量最高的是（）A.NH 4ClB.（NH 4）2CO 3C.CO （NH 2）2D.（NH 4）2SO 4解析：A 项，含氮量：28107×100%； B 项，含氮量：2896×100%； C 项，含氮量：2860×100%； D 项，含氮量：28132×100%。

高中数学选修2-3所有试卷含答案

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〔电子〕l111sohu.目录：数学选修2-3数学选修2-3第一章：计数原理 [根底训练A 组]数学选修2-3第一章：计数原理 [综合训练B 组]数学选修2-3第一章：计数原理 [提高训练C 组]数学选修2-3第二章：离散型随机变量解答题精选〔本份资料工本费：4.00元〕新课程高中数学训练题组根据最新课程标准，参考独家部资料，精心编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及局部选修4系列。

湘教版数学选修2-24.2.3知能演练轻松闯关.docx

1.(2012·南川检测)下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x ·log a eD ．(x 2·cos x )′＝－2x sin x解析：选B.A 错误，因为(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x 2；B 正确；C 错误，因为(3x )′＝3x ln3；D 错误，因为(x 2·cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2.(2011·高考重庆卷)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1，2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析：选A.y ′＝－3x 2＋6x ，当x ＝1时，切线的斜率k ＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1，故选A.3.函数y ＝cos x x的导数是( ) A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 2解析：选C.y ′＝(cos x x )′＝（cos x ）′x －x ′cos x x 2＝－x sin x －cos x x 2. 4.(2011·高考江苏卷改编)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝2f ′(u )＝2u ln5＝2（2x ＋1）ln5. 答案：2（2x ＋1）ln5一、选择题1.(2011·高考山东卷)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解析：选C.y ′＝3x 2，所以过P (1，12)的切线的斜率k ＝3，切线方程为3x －y ＋9＝0，故其与y 轴交点为(0，9)，故选C.2.对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋c (c 为常数)，∵f (1)＝1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.3.(2012·渝北质检)函数y ＝x 2cos2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos2x －x 2sin2xB ．y ′＝2x cos2x －2x 2sin2xC ．y ′＝x 2cos2x －2x sin2xD ．y ′＝2x cos2x ＋2x 2sin2x解析：选B.y ′＝(x 2cos2x )′＝(x 2)′·cos2x ＋x 2·(cos2x )′＝2x cos2x －2x 2sin2x .4.(2011·高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22 解析：选B.y ′＝cos 2x ＋sin 2x （sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x，故切线斜率k ＝y ′|x ＝π4＝12，选B. 5.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2012x 1＋log 2012x 2＋…＋log 2012x 2011的值为( )A ．－log 20122011B ．－1C ．log 20122011－1D ．1解析：选B.由y ＝x n ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n ，则在点(1，1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)·(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1， ∴log 2012x 1＋log 2012x 2＋…＋log 2012x 2011＝log 2012(x 1·x 2·…·x 2011)＝log 2012(12×23×34×…×20112012) ＝log 201212012＝－1，故选B. 6.若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1.二、填空题7.令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8.一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s ′(t )＝－1t 2，∴s ′(3)＝－132＝－19. 答案：－199.设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________．解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ，f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0. 答案：0 －1三、解答题10.(2012·永川质检)求下列函数的导数．(1)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4； (2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)．解：(1)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝(sin 2x 4＋cos 2x 4)2－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x . (2)∵y ＝x ·1x －x ＋1x－1＝－x 12＋x －12， ∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x(1＋1x )． (3)∵y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4) ＝－sin x 2[1－(1＋cos x 2)] ＝sin x 2·cos x 2＝12sin x ， ∴y ′＝12cos x . 11.设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，∴f ′(x )＝a ·e x ＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a e ＋b ＝e f ′（－1）＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1，0. 12.(创新题)已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )、f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(十九) 选修2-2 选修2-3 4导数的综合应用

课时冲关练(十九)导数的综合应用(建议用时:60分钟)1.(2014·沈阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,求f(x)<+的解集.【解题提示】考查函数F(x)=f(x)-的单调性,利用单调性解不等式.【解析】设F(x)=f(x)-,则F(1)=f(1)-=1-1=0,F'(x)=f'(x)-,对任意x∈R,有F'(x)=f'(x)-<0,即函数F(x)在R上单调递减,则F(x)<0的解集为(1,+∞),即f(x)<+的解集为(1,+∞).2.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为多少?【解析】由y'=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0.所以当x=40时,y有最小值.即速度应定为40.3.(2014·无锡模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围. 【解题提示】若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),可转化为f(x 1)max<,x1∈(0,+∞),x2∈[0,1].【解析】只需满足f(x1)max<g(x2)max,x1∈(0,+∞),x2∈[0,1].因为g(x2)max=2,f'(x)=a+=(x>0).①当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.②当a<0时,由f'(x)=0,得x=-.所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 故f(x)的极大值即为最大值,所以f(x1)max=f=-1+ln=-1-ln(-a),所以-1-ln(-a)<2,所以a<-.4.(2014·绍兴模拟)已知m为实数,函数f(x)=2x3+3mx2+3mx的图象上存在斜率为-12的切线l.(1)若切线l有且仅有一条,求m的值.(2)求f(x)在区间[-2,-1]上的值域.【解析】(1)由已知得f'(x)=6x2+6mx+3m.令f'(x)=-12,得6x2+6mx+3m=-12.即2x2+2mx+m+4=0.因为切线l有且仅有一条,所以方程2x2+2mx+m+4=0只有一解.所以Δ=4(m2-2m-8)=0.得m=4或m=-2.(2)由(1)可知,方程2x2+2mx+m+4=0的Δ=4(m2-2m-8)≥0.得m≥4或m≤-2.①当m≥4时,则-≤-2,故f'(x)=6x2+6mx+3m在区间[-2,-1]上单调递增,又f'(-2)=24-9m<0,f'(-1)=6-3m<0,故f'(x)<0在[-2,-1]上恒成立,即f(x)在区间[-2,-1]上单调递减.故f(x)min=f(-1)=-2,f(x)max=f(-2)=6m-16.所以f(x)∈[-2,6m-16].②当m≤-2时,则-≥1,故f'(x)=6x2+6mx+3m在区间[-2,-1]上单调递减,又f'(-2)=24-9m>0,f'(-1)=6-3m>0,故f'(x)>0在[-2,-1]上恒成立,即f(x)在区间[-2,-1]上单调递增.故f(x)min=f(-2)=6m-16.f(x)max=f(-1)=-2.所以f(x)∈[6m-16,-2]综上,当m≥4时,f(x)的值域为[-2,6m-16],当m≤-2时,f(x)的值域为[6m-16,-2].5.(2014·山东高考)设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.【解题提示】(1)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间.(2)本题可对k进行分类讨论,由(1)知k≤0,函数f(x)在(0,2)内不存在极值点,因此只需考虑k>0时,是否存在两个极值点即可.【解析】(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=-k=-=.由k≤0可得e x-kx>0,所以当x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(2)由(1)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=e x-kx,x∈(0,+∞).因为g'(x)=e x-k=e x-e lnk,当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g'(x)=e x-k>0,y=g(x)单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,当x∈(0,lnk)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x∈(lnk,+∞)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增.所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk),函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,当且仅当解得e<k<.综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为.6.(2014·陕西高考)设函数f(x)=lnx+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.(2)讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数.(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.【解题提示】(1)利用导数确定函数单调性,再由单调性求函数的极值.(2)首先变形将函数零点个数转化为直线与曲线的交点个数,然后求导确定函数最值,数形结合分类讨论确定零点的个数.(3)先用构造函数法将恒成立转化,再通过分离参数后求函数最值确定m的取值范围.【解析】(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f'(x)=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,所以x=e时,f(x)取得最小值f(e)=lne+=2,所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立. (*)设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),所以(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,所以m≥,所以m的取值范围为.【方法技巧】一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f'(x)=3ax2+2bx+c.方程f'(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac.(1)Δ≤0即b2≤3ac时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程有唯一一个实根.(2)当Δ>0即b2>3ac时,方程f'(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1<x2),函数在x1处取得极大值M,在x2处得取得极小值m,(M>m).①当m>0时,方程f(x)=0有唯一一个实根;②当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;③当m<0,M>0时,方程f(x)=0有三个实根;④当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;⑤当M<0时,方程f(x)=0有一个实根.7.(2014·天津模拟)已知函数f(x)=lnx+mx2(m∈R).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若A,B是函数f(x)图象上不同的两点,且直线AB的斜率恒大于1,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2mx=.当m≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.当m<0时,由f'(x)=0得x=.当x∈时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减.综上所述,当m≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)依题意,设A(a,f(a)),B(b,f(b)),不妨设a>b>0,则k AB=>1恒成立,即f(a)-f(b)>a-b恒成立,即f(a)-a>f(b)-b恒成立,令g(x)=f(x)-x=lnx+mx2-x,则g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以g'(x)=+2mx-1=≥0对x∈(0,+∞)恒成立, 所以2mx2-x+1≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即2m≥-+=-+对x∈(0,+∞)恒成立,因此m≥.故实数m的取值范围为.【加固训练】已知函数f(x)=lnx-λx+λ(λ∈R).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)是否存在实数λ使f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立?若存在,请求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)f'(x)=-λ=,x∈(0,+∞),当λ≤0时,f'(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当λ>0时,由f'(x)=-λ=>0得0<x<,则f(x)在上单调递增,在上单调递减.综上,当λ≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞);当λ>0时,f(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)存在.由(1)得:当λ≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,所以f(x)≤0显然不是恒成立;当λ>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以,f(x)max=f=ln-1+λ=λ-lnλ-1,只需λ-lnλ-1≤0即可,令g(x)=x-lnx-1,则g'(x)=1-,函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,也就是λ-lnλ-1≥0对λ∈(0,+∞)恒成立,所以λ-lnλ-1=0解得λ=1,所以若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,λ=1.8.(2014·武汉模拟)已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1.(1)当p=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的范围.(2)证明:ln(n+1)<1+++…+.【解题提示】(1)分离参数,转化为最值问题处理. (2)ln+ln+…+ln=ln=ln(n+1),故只需证明ln<,令x=,即证lnx<x-1.【解析】(1)因为x>0,所以当p=1时,f(x)≤kx恒成立⇒1+lnx≤kx⇒k≥, 令h(x)=,则k≥h(x)max,因为h'(x)=,由h'(x)=0得x=1,且当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减.所以h(x)max=h(1)=1,故k≥1.(2)由(1)知当k=1时,有f(x)≤x,当x>1时,f(x)<x即,lnx<x-1.令x=,则ln<,所以ln<,ln<,…,ln<,相加得ln+ln+…+ln<1++…+,而ln+ln+…+ln=ln=ln(n+1),故ln(n+1)<1+++…+.【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点:1.注意分离参数第(1)小题求k的范围时,要注意分离参数后再转化为最值问题,从而避免带参数求最值.2.注意综合问题中各个设问的逻辑顺序的设置,往往下一问的设置要用到上一问的结论的某一特殊情况,因此在解决问题时,应注意应用这一提示信息,第(2)小题的原型就是第(1)小题中k=1的情况.3.能够准确构造不等式模型第(2)小题应注意结合第(1)小题中的不等式,构造不等式原型,其关键是看到所证明的不等式右边是和式的形式,故想到将左边变成和式的形式.【加固训练】(2014·湖南高考)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间.(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.【解析】(1)f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,令f'(x)=0得x=kπ(k∈N*),当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx>0,此时f'(x)<0,当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sinx<0,此时f'(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减,又f=0,故x1=,当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)n nπ+1]·[(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点,又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ<x n+1<(n+1)π,因此当n=1时,=<.当n=2时,+<(4+1)<.++…+<<<=<<.综上所述,对一切n∈N*,++…+<.。

人教A高中数学选修22提能达标过关：2.3 数学归纳法含解析

第二章 2．3 数学归纳法提能达标过关一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 1＋1＝1＋a ＋a 2.答案：B2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由假设n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式左边含有2k －1项，当n ＝k ＋1时，不等式左边含有2k ＋1－1项，所以由n ＝k 推证n ＝k ＋1时，不等式左边增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ，故选C.答案：C3．(2019·石嘴山中学高二检测)用数学归纳法证明n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)时，若记f (n )＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A ．3k －1B ．3k ＋1C ．8kD ．9k解析：因为f (k )＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)，f (k ＋1)＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)，则f (k ＋1)－f (k )＝3k －1＋3k ＋3k ＋1－k ＝8k .答案：C4．证明等式12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)时，某学生的证明过程如下①当n ＝1时，12＝1×2×36，等式成立；②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，则当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝(k ＋1)[k (2k ＋1)＋6(k ＋1)]6＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，故原式成立．那么上述证明( )A ．过程全都正确B ．当n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.答案：A5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34.解得a ＝12，b ＝14，c ＝14. 答案：A二、填空题6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：∵n 为正奇数，且与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1.∴需证n ＝2k ＋1时，命题成立．答案：2k ＋17．(2019·南阳一中高二月考)用数学归纳法证明“当n ∈N *时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，当n ＝1时，原式为________________，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是____________________．解析：当n ＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n ＝k 到n ＝k ＋1时需添25k ＋25k ＋1＋…＋25(k ＋1)－1.答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋48．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为f (n )部分，则f (n )＝1＋n (n ＋1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：f (k )＝1＋k (k ＋1)2，f (k ＋1)＝1＋(k ＋1)(k ＋2)2， ∴f (k ＋1)－f (k )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(k ＋1)(k ＋2)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k (k ＋1)2 ＝k ＋1，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)．答案：k ＋1三、解答题9．(2019·泉州高二期末)证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立．即1－12＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立，由①②知，对一切n ∈N *等式都成立．10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)，且a 1＝0. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，并猜想a n 的表达式；(2)请用数学归纳法证明你在(1)中的猜想．解：(1)a 2＝12－a 1＝12，a 3＝12－a 2＝23，a 4＝12－a 3＝34. 由此猜想a n ＝n －1n (n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝0，结论成立； ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k －1k .当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k －1k＝(k ＋1)－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时结论成立，由①②知，对于任意的n ∈N *，a n ＝n －1n 恒成立．。

选修二：数列求和的方法与专题训练

高中数学选修二：数列求和的方法【思维导图】考点一裂项相消【例1】若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+. (1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【一隅三反】1．设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.2．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .考点二错位相减【例2】．已知数列{}n a 满足1(1)n n n a na ++=，且11a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【一隅三反】1．已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，满足42210S a -=，且1a ，2a ，5a 恰为等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．2．设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和为n T .3．已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N .考点三分组求和【例3】．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==，42a b =，4212S T -=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.【一隅三反】1．已知数列{}n c 的前n 项和122n n T +=-，在各项均不相等的等差数列{}n b 中，11b =，且1b ，2b ，5b 成等比数列，（1）求数列{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）设22log n bn n a c =+，求数列{}n a 的前n 项和n S ．2．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，22a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .考点四倒序相加【例4】．已知函数()cos lnxf x x xππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b +的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【一隅三反】 1．设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（） A ．9 B ．11C ．92D ．1122．已知函数()sin 3f x x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-80663．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（）A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593考点五奇偶并项【例5】．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()11na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .【一隅三反】．1.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．考点六绝对值求和【例6】．已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋯+-= （）A ．150B ．162C ．180D ．210【一隅三反】1．已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log n a 前10项和为( ) A ．58 B ．56C ．50D ．45答案解析考点一裂项相消【例1】若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+. (1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）详见解析（2）1n nT n =+ 【解析】证明：当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ----=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ，即121n n a a -=-()1121n n a a -∴-=- ，即1121n n a a --=- ∴ 数列{}1n a -是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=- 12n n a ∴=-()22log 1log 2n n n b a n ∴=-== ()1111111n n b b n n n n +∴==-++，1 则1111111...1311122⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎭+⎝⎝n n n n n n T 【一隅三反】1．设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【解析】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈);(2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和: 1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭113(21)(23)n n n +=-++. 2．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =，（2）1n nS n =+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即2(12)1(18)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或1d =，所以n a n =，（2）由（1）可得11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++考点二错位相减【例2】．已知数列{}n a 满足1(1)n n n a na ++=，且11a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）1*(1)22,()n n S n n N +=-⋅+∈.【解析】（1）11n n a n a n++= 2n ∴≥时，有32412312341231n n a a a a na a a a n -⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-，即1n a n a =，故n a n =，又1n =时也适合该式，n a n ∴=（2）因为2nn b n =，所以1231222322n n S n =++++① 则234121222322n n S n +=++++②①-②得，123112(12)22222212n n n n n S n n ++--=++++-=--1*(1)22,()n n S n n N +∴=-⋅+∈.【一隅三反】1．已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，满足42210S a -=，且1a ，2a ，5a 恰为等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）见解析【解析】（1）由题意，422215210S a a a a -=⎧⎨=⋅⎩，得121252a d d a d +=⎧⎨=⎩，由0d ≠，得11a =，2d =．所以21n a n =-．由11b =，23b =，得公比3q =，所以13n n b -=．（2）因为1213n n n c --=，所以0121135213333nn n T --=++++① 得23111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++② ①-②得21222221133333n n nn T --=++++- 12113321221213313n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦=+-=--．所以3333n nn T +=-．从而3n T <．2．设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+-【解析】（1）当1n =时，1a =1S =4；当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+，且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈，设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q ，∴()31*32n n n b b qn N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==，而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++， 27101331281242n n n T -+=++++，两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．3．已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N .【答案】（1）121n n a -=+；（2）(1)(1)212nn n n S n +=-⋅++．【解析】（1）∵121n n a a +=-，∴112(1)n n a a +-=-，而1110a -=≠， ∴数列{1}na -是等比数列，公比为1，首项为1，∴112n n a --=，∴121n n a -=+；（2）由（1）()11212n n n na n n n --=+=⋅+，21(111)(222)(323)(2)n n S n n -=⨯++⨯++⨯+++⋅+21(1122322)(123)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅+++++设21122322n n T n -=+⨯+⨯+⋅，则2312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得2112222212n n n n n T n n --=+++-⋅=--⋅，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴(1)(1)212nn n n S n +=-⋅++．考点三分组求和【例3】．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==，42a b =，4212S T -=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）213nn n a n b =+=，（2）()()33122n n n -++【解析】（1）由11a b =,42a b =，则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =，所以3(1)21n a n d n =+-=+ 设等比数列{}n b 的公比为q 由4219,3a b b ===，2139b b q q ∴===，解得3q =，所以113n nn b b q -==，（2）()213n n n a b n +=++，数列{}n n a b +的前n 项和()()22222n a a a b b b +++++++()()()()()231332135213332213nnn n n nn -++=++++++++=+=+-()3312n -+【一隅三反】1．已知数列{}n c 的前n 项和122n n T +=-，在各项均不相等的等差数列{}n b 中，11b =，且1b ，2b ，5b 成等比数列，（1）求数列{}n b 、{}n c 的通项公式；（2）设22log n bn n a c =+，求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）()1121n b b n d n =+-=-，2nn c =；（2）n S 2122232n n n+-+=+．【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则21b b d =+，514b b d =+，∵1b ，2b ，5b 成等比数列，∴2215b b b =，即()()21114b d b b d +=+．整理得212d b d =，解得0d =（舍去）或122d b ==，∴()1121n b b n d n =+-=-．当1n =时，12c =，当2n ≥时，()1112222222222n n n n n n n n n n c T T ++-=-=---=-=⨯-=．验证：当1n =时，12c =满足上式，∴数列{}n c 的通项公式为2nn c =．（2）由（1）得，2122log 2n bn n n a c n -=+=+， ∴()()()()35212122232n n S n -=++++++++ ()()35212222123n n -=+++++++++()()21221412214232n n n n n n +-+-+=+=+-．2．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N =+∈，求{}nb 的前n 项和nS.【答案】（1）12n na ；（2）221nn S n n =++-.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，即22q q =，解得2q .因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；（2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++()212(22)12(2462)122221212n n n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--.3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，22a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n na （2）(1)212n n n n S -=-+【解析】（1）设公比为q由题意可知12311212a q a q a q =⎧⎨+=⎩，整理得260q q +-=，解得3q =-（舍），2q ，即11a =则11122n n n a --=⋅=（2）11122log 221n n n n b n ---=+=+-12(1)(1)211222n n n n n n n S ---∴=+=-+-考点四倒序相加【例4】．已知函数()cos lnxf x x xππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b +的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A 【解析】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A【一隅三反】 1．设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（） A ．9 B ．11C ．92D ．112【答案】B 【解析】()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221xx x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.2．已知函数()sin 3f x x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066【答案】D【解析】()()()2sin 32sin 234f x f x x x x x πππ+-=+-+-+--=-，所以原式()4033480662=-⋅=-. 3．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（）A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593【答案】A【解析】因为()442xx f x =+，所以()114214242x x xf x ---==++ 所以()()21414242xx x f x f x +=-+=++因为2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以20191n n a a -+=则数列{}n a 的前2018项和2018S 则1220182018a a S a =+++ 2018212018017S a a a =+++所以201820182S = 所以20181009S = 又()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭20192018201923029100933S S a ∴=+=+= 故选：A考点五奇偶并项【例5】．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足()11na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =. ∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na nnn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-， ∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na nnn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135 (454321)n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由535S =得151035a d +=，解得13a =， ∴()*21N n a n n =+∈. （2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+，∴()()()2222213579 (414121)n nTn n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.【一隅三反】．1.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=（2）1,2,2n nn T n n 为奇数为偶数-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩【解析】（1）因为122n n S a +=-，所以当2n ≥时，122n n S a -=- 两式相减得122n n n a a a +=-+，所以112n n a a += 当1n =时，1222S a =-，11a =，则212a = 所以数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列，故112n n a -= （2）由（1）可得()()()121log 11nnn n b a n =-=--所以()()012311nn T n =+-+-⋅⋅⋅+--故当n 为奇数时，()()()101234212n nT n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-=当n 为偶数时，()()()()012345212n n T n n =++-++-+++-+-=综上1,2,2n nn T n n 为奇数为偶数-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩2．已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当1n =时，11239S a =-. 因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列. 所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n nT n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦ 当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-所以,23,2n nn T n n 为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩考点六绝对值求和【例6】．已知数列{}n a 的通项公式100n a n n=+，则122399100a a a a a a -+-+⋯+-= （）A ．150B ．162C ．180D ．210【答案】B【解析】由对勾函数的性质可知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增．所以122310099a a a a a a -+-++-=12239101110121110099()()()()()()a a a a a a a a a a a a -+-++-+-+-++-=11010010a a a a -+-=1100(1010)(1001)(1010)+-+++-+ =162 【一隅三反】1．已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且636564S S =，则数列{}2log n a 前10项和为( ) A ．58 B ．56C ．50D ．45【答案】A【解析】{}n a 是首项为32的等比数列,n S 是其前n 项和,且636564S S =,所以公比不为1， ()()63321651643211q qqq --∴=--, 365164q ∴+=, 14q ∴=, 172132()24n n n a --∴=⋅=,2log 72n a n ∴=-,∴数列{}2log n a 前10项和为53113579111358+++++++++=,故选：A《数列求和的方法》专题训练【题组一裂项相消】 1．数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11，则n=________.2．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2018项和为（） A ．20172018- B ．20172018C ．20182019-D ．201820193．已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123n S S S n +++<+++.4．已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值.5．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．6．已知等比数列{a n }的公比q>1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项（1）求数列{a n }通项公式；（2）求数列{()()1111n n n a a a ++++}的前n 项和T n .7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-．（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；（2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b的前n 项和n T ．8．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .9．数列{}n a 满足121nn n a a a +=+，11a =．（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，并证明：121111n n S S S n ++⋯+>+．10．设n S 为首项不为零等差数列{}n a 的前n 项和，已知4593a a a =，520S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1n n T a +的最大值.【题组二错位相减】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n. (1)设b n ＝12nn a -.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()214n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R .3．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且满足2d =-，476S =.等比数列{}n b 满足1310b b +=，2420b b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(23)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .4．已知等比数列{}n a 中，12a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +都在直线320x y ++=上.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .6．设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且122,1=+S a 是1a 与3a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()22log =+⋅n n n b S a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．数列{}n a 的前n 项和为n S 满足13122n n S a a =-，且15a -，35a +，415a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n 4log 1nn a b a -=，求数列{}n b 的前n 和n T .【题组三分组求和】1．已知数列{}n a 满足13a =-，且()*124n n a a n +=+∈N .（1）证明：{}4n a +是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S .2．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T3．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且139,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若42n an n b a =+数列{}n b 的前n 项和n S ..【题组四倒序相加】1．设4()42xx f x =+，1231011111111f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( )A ．4B ．5C ．6D ．10.2． 121()(1)2,(0)()()...()(1)n n f x f x a f f f f f n n n-+-==+++++(*n N ∈)，则数列{}n a 的通项公式是___________.3．设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得12019f ⎛⎫⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．4． ()221xf x x =-，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．5．设4()42x x f x =+，则12320162017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．【题组五奇偶并项】1．已知数列{}n a 为等比数列， 24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log (1)nn n b a n =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足252n n nS +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22743a a a =，且3-，4S ，39a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()111nn n b a n n =-++，求数列{}n b 的前n 项和n T .4．在数列{}n a 中，已知12a =，2211440n n n n a a a a ++-+=，121n n n n T a a a +-=+++.（1）求数列{}n T 的通项公式；（2）令()22(1)log 4nnn n b n T =-⋅+-，求数列{}n b 的前50项和50S .5．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n n n S a a =++，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对*n N ∀∈，()21nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【题组六绝对值求和】1．已知数列{}n a 的前n 项和为214n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .2．记数列{}n a 的前n 项和为S ，已知221n n S a n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记224(1)log (4),33nn n b a ⎡⎤=-⋅+-⎢⎥⎣⎦数列n b 的前n 项和为n T ，求n T3．设数列{}n a 前n 项和为S ，且满足()*1111,3232n n a S a n N +==-∈．（1）证明{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 为等差数列113b a =，452b a =-.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T . 答案解析【题组一裂项相消】 1．数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11，则n=________.【答案】143.【解析】因为n a =n a =所以+11n S n+1=11143n ∴=，2．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2018项和为（）A ．20172018-B ．20172018C ．20182019-D ．20182019【答案】D【解析】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为a d ，b d ，则由已知得1531212a a a d -==，71612b b b d -==，所以1a d =，2b d =，所以3(3)n a a a n d n =+-=，1(1)21n b b b n d n =+-=+，所以121(1)(1)n n n c n n -+=-=+111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，所以数列{}n c 的前2018项和为201812201811111223S c c c ⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11113445⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1120172018⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ (1111201820182019120192019)⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,故选D. 3．已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123n S S S n +++<+++. 【答案】（1）31n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得()()111112212231a a d a a d a d ⎧++=⎪⎨++=++⎪⎩，解得12a =，3d =，故数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-.（2）由（1）知()2313222n n n n nS n -+=+=，所以()231322n n n n nS n n +++=+=，所以()122113131n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，所以1211121111111232231n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121313n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 4．已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值. 【答案】（1）n a n =；（2）13.【解析】（1）因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以2428a a a =⋅，因为数列{}n a 是等差数列，且22a =，所以224282a a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()1311123()7a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩或120a d =⎧⎨=⎩（舍去）所以n a n =（2）因为n a n =，11n n n b a a +=，所以11111n n n b a a n n +==-+，所以11411115n n S n n =-=<++，解得14n <，所以当1415n S <时，n 的最大值为13. 5．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++ 6．已知等比数列{a n }的公比q>1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项（1）求数列{a n }通项公式；（2）求数列{()()1111n n n a a a ++++}的前n 项和T n .【答案】（1）12n na ；（2）n T 2121n n -=+.【解析】（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q .所以12n na（2）记()()()()1112112121nn n n n n n a b a a +-+==++++则()()1112211221212121n n n n n nb ---⋅==-++++（）所以 01122311111111122121212121212121n n n T -⎛⎫=-+-+-++-⎪++++++++⎝⎭1121222121n n n-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

高中物理选修二综合测试题重难点归纳(带答案)

高中物理选修二综合测试题重难点归纳单选题1、特高压输电可使输送中的电能损耗大幅降低。

我国已成功掌握并实际应用了特高压输电技术。

假设从A 处采用550kV 的超高压向B 处输电，输电线上损耗的电功率为ΔP ，在保持A 处输送的电功率和输电线电阻都不变的条件下，改用1100kV 特高压输电，输电线上损耗的电功率变为ΔP′，不考虑其他因素的影响，则（） A ．ΔP′=12ΔP B ．ΔP′=14ΔP C ．ΔP′=18ΔP D ．ΔP′=116ΔP 答案：B输电线上传输的功率满足P =UI则线路上损耗的功率为ΔP =(P U)2r所以当输电电压提高一倍时，线路上的功率损耗变为ΔP′=14ΔP故选B 。

2、如图所示，在0≤x ≤b 、0≤y ≤a 的长方形区域中有一磁感应强度大小B 的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy 平面向外。

O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内的第一象限内。

已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ，最先从磁场上边界中飞出的粒子经历的时间为T12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T4。

不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则（）A ．粒子圆周运动的半径r =aB．长方形区域的边长满足关系ba=2C．长方形区域的边长满足关系ba=√3+1D．粒子射入磁场的速度大小v=4qBam答案：CAD．最先从磁场上边界中飞出的粒子在磁场中的偏转角最小，对应的圆弧最短，可以判断出是沿y轴方向入射的粒子；其运动的轨迹如图甲，则由题意偏转角θ=tT×360°=112×360°=30°由几何关系得R=asin30°=2a带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得Bqv=mv2 R所以v=2qaB mAD错误；BC．当R<b时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图乙所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T4，回旋角度为∠OCA=π2，设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得R sinα=a 解得sinα=1 2则α=30°由图可得b=R sinα+R cosα=a+√3a解得b=1+√3aB错误，C正确。

部编版高中物理选修二综合测试题带答案基本知识过关训练

(名师选题)部编版高中物理选修二综合测试题带答案基本知识过关训练单选题1、如图所示，矩形导线框置于磁场中，该磁场可视为匀强磁场。

电阻不计的线框通过电刷、导线与变压器原线圈构成闭合电路，线框在磁场中绕垂直于磁场方向的转轴以大小为ω的角速度逆时针转动，已知线框匀速转动时产生的感应电动势最大值为E m，原、副线圈的匝数比为1:4，副线圈通过电阻R接两个相同的灯泡，开关K闭合。

下列说法正确的是（）A．从图示中线框与磁感线平行的位置开始计时，线框中感应电动势表达式为e=E m sinωtB．副线圈上电压的有效值为4E mC．将开关K断开后，电阻R两端电压升高D．保持开关K闭合，若线框转动角速度增大，灯泡变亮2、下列光学现象说法正确的是（）A．泊松亮斑是由于光线偏离了原来的直线传播方向，即发生了光的折射B．胸透又称为X光透视，是利用了光的衍射C．观看3D电影时，佩戴的偏振眼镜的两个镜片的透振方向相互垂直D．两束频率不同的激光能产生明暗相间的干涉条纹3、19世纪中期，科学界已形成了一种用联系的观点去观察自然的思想氛围，这种思想促进了能量转化与守恒定律的建立。

在能量转化与守恒定律建立的过程中，下列说法不正确的是（）A．焦耳发现电流的热效应，建立了电和热的联系B．安培发现电流的磁效应，建立了电和磁的联系C．法拉第发现电磁感应现象，建立了磁和电的联系D．楞次总结出判断感应电流方向的楞次定律，是能量守恒定律在电磁学中的具体表现4、如图，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处由静止开始释放，A、B是边界范围、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场，只是A的区域比B的区域离地面高一些，两线圈下落时始终保持线圈平面与磁场垂直，则（）A．甲先落地B．乙先落地C．二者同时落地D．无法确定5、某山区有一小型水电站，每分钟有60m3的水从高处落下冲击水轮机，水轮机与上游水位的落差是50m。

则（）A．水从高处落下，重力每分钟做功3×106JB．若水的机械能有70%转化为电能，水电站的发电功率是3.5×105WC．若输电电压为10000V，输电电流是3.5AD．若输电电压为10000V，输电线总电阻为0.5Ω，则输电线上每分钟产生的热量是612.5J6、如图所示，理想变压器有A、B两组副线圈，原线圈接入正弦交流电，A组副线圈接有阻值为R1的电阻，B 组副线圈接有阻值恒为R2的灯泡。

【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：模块综合检测(含解析)

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种解析：选B 先选择一块土地种植黄瓜，有C 13种选择，再从剩余的3种蔬菜选出2种分别种在剩余的两块土地上有A 23种法，所以有C 13·A 23＝18种不同的种植方法．2．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误．3．设随机变量服从正态分布N (0,1)，P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜1)＝( ) A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：选C P (－1＜X ＜1)＝1－P (X ＞1)－P (X ＜－1)＝1－2P (X ＞1)＝1－2p . 4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )B ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 左右D ．身高在145.83 cm 以下解析：选C 将x ＝10代入得y ^＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．5．5个人排成一排，甲、乙两人中至少有一人站在两端的排法种数为( ) A ．A 33B ．4A 33C ．A 55－A 23A 33D ．A 22A 33＋A 12A 13A 33解析：选C 不考虑限制条件有A 55种，甲、乙两人都站中间有A 23A 33种，则A 55－A 23A 33即为所求．6.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是( )A ．7B ．－7C ．28D ．－28解析：选A T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·⎝⎛⎭⎫128－r ·C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫128－r C r8x 8－43r . 令8－43r ＝0，解得r ＝6，T 7＝(－1)6×⎝⎛⎭⎫128－6·C 68＝7. 7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75解析：选D 目标被击中的情况有：①甲击中，乙未击中；②甲未击中，乙击中；③甲击中，乙也击中．因此目标被击中的概率为P ＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，所以所求概率为0.60.8＝0.75.8．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：根据以上数据，则( A ．性别与获取学位类别有关 B ．性别与获取学位类别无关 C ．性别决定获取学位的类别 D ．以上都是错误的解析：选A 由列联表可得：博士：男性占2735≈77%，女性占835≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．9．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.10．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25解析：选D 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A ∩ B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A ∩B )＝25. 11.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：选A 只有第六项二项式系数是最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r10x 5－52r ，令5－52r ＝0，r ＝2，T 3＝4C 210＝180.12．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻(a 在b 的前面)，共有排列方法( )A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种解析：选A 从c ，d ，e ，f 中选2个，有C 24种选法，把a ，b 看成一个整体，则3个元素全排列为A 33种排法，共有C 24A 33＝36(种)排法．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内取值的概率为P (0＜X ＜1)＋P (1＜X ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.814．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，∵15k 4<120，k 4<8， ∴k ＝1. 答案：115．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x －＝173，y －＝176，b ＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×602＋9＋9＝1，a ＝y －－bx －＝176－1×173＝3， ∴y ＝x ＋3，当x ＝182时，y ＝185. 答案：18516．一排长椅有7个座位，4个人坐，要求3个空位中有2个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，共有________种坐法．解析：可以用插空法或间接法．法一：把2个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，就是用4个人把2个元素隔开．可以先让4人坐在4个位置上，再让空位的2个元素选择被4个人造成的5个“空隙”中的2个，这样有A 44·A 25＝480(种)坐法．法二：从全部入座的方法中，减去3个空位全相邻和3个空位全分开的坐法，得共有A 47－A 44·C 15－A 44·C 35＝480(种)坐法．答案：480三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解：法一：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B .注意，这里的问题和求“第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P (A ∩B )＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝415610＝49.法二：抓住条件概率的本质，这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是49.18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64.(1)求x 3项的系数； (2)求二项式系数最大的项．解：令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n 2n ＝2n＝64，∴n ＝6.(1)由T r ＋1＝C r 6(x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3 3x r ＝3r C r 6x 3－5r6 可知，当r ＝0时，x 3项的系数为30C 06＝1. (2)∵此展开式共有7项， ∴二项式系数最大的项为第4项．∴T 4＝C 36(x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 3＝540x . 19．(本小题满分12分)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23. 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝3x 2⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841，解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为：(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．21．(2017·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：，χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表χ2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．22．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A－2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2) ＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.。

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题组一：罗斯福新政与凯恩斯革命
1．(2011·苏州调研)1929年至1933年，爆发了席卷整个资本主义世界的经济危机。

这次经济危机持续时间之长、危害强度之深，都是空前的。

著名经济学家凯恩斯针对经济危机的原因和解决危机的对策提出了独特的见解。

(1)凯恩斯认为导致资本主义经济危机的原因是什么？
(2)现阶段，我国应如何借鉴凯恩斯的边际消费递减理论以扩大需求？
解析：要明确凯恩斯革命的内容和影响，并利用凯恩斯革命的理论，结合我国扩大社会需求的一些措施分析说明。

答案：(1)凯恩斯认为，由于在现实生活中存在着边际消费倾向递减、资本边际效率递减和流动偏好，所以随着社会的发展必然出现有效需求不足的问题。

有效需求不足使企业生产出来的东西卖不出去，企业减产停产乃至破产，最终导致资本主义经济危机的爆发，造成工人失业。

(2)①依据凯恩斯的理论，中低收入者的边际消费倾向比高收入者的边际消费倾向高，因此，他们对国民经济中消费扩大的贡献比高收入者要大。

②现阶段，我国社会中农民和城市低收人群体的边际消费倾向相对比较高，应千方百计增加他们的收入。

提高他们的现金购买能力，扩大社会需求。

题组二：新自由主义
2．(2011·苏北四市二模)新自由主义思潮于20世纪70年代流入拉丁美洲，进入80年代后在拉美迅速流行。

在此过程中，许多国家的右翼势力纷纷登上政治舞台。

他们大力推行经济私有化、贸易自由化、开放资本市场、减少政府干预等新自由主义的经济政策。

这些政策的实施带来各国财富分配的严重不均和各国发展对外资的依赖，严重弱化了各国参与国际经济竞争与合作的能力，社会矛盾进一步加剧。

(1)新自由主义在拉美的失败说明了什么？
(2)新自由主义在拉美的失败给我们国家发展社会主义市场经济有哪些启示？
解析：第(1)问考查新自由主义的影响和弊端。

第(2)问考查我们应如何完善社会主义市场经济，要结合新自由主义的失败谈起。

答案：(1)说明了新自由主义所提出的完全私有化、商品市场化、国家退出经济控制对于发展中国家来说，是极其有害的。

(2)第一，我们应该坚持市场化改革的基本方向，把国家的干预和调控与发挥市场机制的作用有机地结合起来。

第二，坚持产权结构改革的基本方向，但不能搞私有化，发展多种所有制经济的同时一定要坚持公有制经济的主体地位。

第三，在中国的经济改革中，需要借鉴和吸收包括新自由主义在内的西方经济学理论。

中国经济运行机制应该朝着“两个
结合”走：一是把市场经济规律与社会主义原则有机结合；二是把市场机制与国家宏观调控有机结合。

题组三：西方国家现代市场经济主要模式
3．(2011·天津测试)在市场经济的发展过程中，某一经济运行主体如果在一定时间能够取得突出的经济成就，其发展模式就会引起人们的模仿；如果其经济发展产生严重的问题，其发展模式就必然引起人们的警惕。

对中国来说，我国正在建设社会主义市场经济体制，在建设社会主义市场经济体制过程中，我们有必要在立足国情的基础上，有选择地借鉴发达国家发展模式中成功的运作方式，创造具有中国特色的、有效的、新的发展模式。

运用经济学常识的有关知识对以美国为代表的市场经济模式进行简要评价，并分析说明该种市场经济模式对于完善社会主义市场经济体制的借鉴意义。

解析：美国模式的市场经济私人经济占绝对主导地位，私人资本集中程度高，市场自发调节作用大，国家干预少。

要利用一分为二的观点评价这种模式，既看到利，又看到弊。

针对美国模式的市场经济特点，调动社会主义市场经济体制的基本框架相关知识，说明借鉴意义。

答案：(1)以美国为代表的市场经济模式强调发挥市场的作用，好处在于束缚少，有利于激发企业活力，但由于缺乏必要的监控和干预，容易加剧两极分化。

(2)坚持和完善公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度，促进各类市场主体的发展，为社会主义市场经济体制的完善提供制度保障。

正确认识和处理政府与市场的关系，充分发挥市场在资源配置中的基础性作用，建立完善的现代企业制度、市场体系和社会保障体系，为社会主义市场经济的发展提供良好的运行基础。

转变政府管理经济的职能，完善宏观调控体系，增强政府调控经济的有效性。

4．美国次贷危机逐步演变为全球范围内的金融危机。

面对日益严峻的金融危机，就采用什么样的市场经济模式，是继续实行自由放任的市场经济，还是采用有政府干预的市场经济呢？有经济学家认为，应采取较为宽松的财政政策和货币政策，保持本国宏观经济和国际金融体系的稳定。

(1)材料中经济学家的观点与20世纪30年代的哪一位经济学家解决经济危机的思想基本一致？这一经济思想的局限性是什么？
(2)有人认为“在现代市场经济发展的过程中，政府与市场的作用是互补而非替代的”。

请对此进行简要评析。

解析：本题以美国的次贷危机为背景，考查学生对教材知识的理解和应用能力以及对经济观点的分析评价能力。

答案：(1)凯恩斯。

凯恩斯主义不可能从根本上消除资本主义经济发展中的各种内在矛盾，其作用是有限的。

(2)①由于受到本国国家制度、历史文化、经济状况等因素的影响，所以会形成不同的。

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