函数单调性的性质
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
高中数学中的函数单调性性质总结
高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。
在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。
在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。
一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。
具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。
二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。
通常有两种方法：导数法和图像法。
导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。
图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。
若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。
三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。
2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。
若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。
3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。
当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。
当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。
4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
第五课函数单调性.ppt
u=g(x)
减函数 增函数 减函数 增函数
y=f[g(x)]
减函数 增函数 增函数 减函数
可按多因式相乘的符号确定法则来记忆， （同增异减）增函数不改变复合函数的单 调性
四、判断函数单调性的方法： 1、定义法； 2、导数法:y’≥0增（不恒为0）； y’≤0（不恒为0）为减 3、图象法; 4、利用复合函数单调性. 5.利用基本函数的单调性 6.利用函数的奇偶性和单调性的关系 注意：证明单调性只能用定义或导数法
七、巩固练习 1.函1、数f(x)=4x2-mx+5在(2,+∞)上是增函数， 则m的取值范围是 m，≤1f6(1)的取值范 围是 .f(1)≥-7
2.奇函数f(x)在[3，7] 上是增函数，且 最小值是5，则f(x)在[-7，-3]的最 大 . 值为 －5 .
3.函数y=x+ 1 2x 的单调性为 增 .
(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论 增
27. 已知函数 f (x) x 4 a x 在
(-∞,1]上为单调增函数，求a的取值范围 a≥5
28.是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数？ 如果存在，说明a可以取哪些值；如果不 存在，说明理由. a>1
a 2x 1.已知函数 f ( x) 1 x2 是定义在R上
的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判 断函数f(x)在区间（－1，1）上的单调性.
2、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间 （-∞，4）上是减函数，那么实数的取 值范围是
小结：
1、理解掌握函数单调性的定义； 2、理解掌握判断函数单调性的方法：
11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则
函数的性质
函数的单调性和奇偶性1．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)（2）单调区间：如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
例1、如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及函数)(x f y =的最值。
说明：两个单调区间不能用“ ”连接。
（3）利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解、配方、有理化）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
例2：利用函数单调性的定义证明：(1) 1()f x x x=+在区间)0,(-∞上是单调增函数； (2) ()f x x =-在定义域上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法：图像法、定义法、利用已知函数的单调性、复合函数法（同增异减） 例3：讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.531-2-5xOy（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性和运算性质
函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。
函数的单调性证明
函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。
在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。
下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。
一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。
如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。
类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。
同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。
对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。
二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。
导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。
具体的证明方法主要有以下几种。
1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。
首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。
2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。
这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。
3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。
函数单调性课件(公开课)ppt
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
单调性知识点
单调性知识点单调性是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我将会详细介绍单调性的定义、性质、应用以及解题技巧。
一、定义在数学中，单调性是指函数的增减规律。
具体而言，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)<=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不降；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)>=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不增。
如果在区间[a,b]上既有单调不降又有单调不增，则称函数f(x)在该区间上单调不变。
反之，则称函数f(x)在区间[a,b]上不单调。
二、性质1.单调性是一个区间上的性质，不具有函数整体上的性质。
2.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则f(x)在该区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则f(x)在该区间上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。
3.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则其反函数f^-1(x)在区间[f(a),f(b)]上单调不降；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则其反函数f^-1(x)在区间[f(b),f(a)]上单调不降。
三、应用1.单调性可用于求函数的最值。
由于单调不降函数在区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)，单调不增函数反之，因此我们可由单调性确定一个函数的最值。
2.单调性可用于函数图像的预测。
由于函数单调不降或单调不增的特性，我们可以根据已知点预测函数图像的整体增减趋势，从而更好地理解该函数。
3.单调性可用于求解不等式。
对于单调不降函数，我们可以根据函数的单调性求得不等式解集的范围，从而更好地解决不等式问题。
四、解题技巧1.建立函数模型。
对于一些具体的问题，我们需要先根据已知条件建立出函数模型。
2.求得函数的导数。
利用导数可求得函数的单调性及最值。
3.求解不等式。
根据函数的单调性及已知条件，求得不等式解集的范围。
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
函数的性质单调性与极值的分析
函数的性质单调性与极值的分析函数的性质：单调性与极值的分析函数是数学中的重要概念，用来描述变量之间的关系。
在函数的研究中，了解函数的性质是至关重要的。
其中，函数的单调性和极值是两个重要的性质，它们能够帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体而言，函数可以分为单调递增和单调递减两种情况。
单调递增表示函数值随着自变量的增大而增大，反之，单调递减则表示函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过函数图像、导数和增减区间等方式来判断函数的单调性。
1. 函数图像通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数的单调性。
对于单调递增的函数，其图像从左往右逐渐上升；对于单调递减的函数，则是从左往右逐渐下降。
2. 导数函数的导数可以用来判断函数的单调性。
对于单变量函数，我们通过导数的正负来确定函数的单调性。
如果导数在定义域上恒大于零，则函数单调递增；如果导数在定义域上恒小于零，则函数单调递减。
3. 增减区间函数的增减区间也是判断函数单调性的重要方法。
通过求解函数的增减区间，我们可以确定函数在哪些范围内单调递增或单调递减。
了解函数的单调性对于解决实际问题非常有帮助。
例如，在经济学中，对于需求曲线和供给曲线的单调性分析可以帮助决策者做出合理的决策。
二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某个点上的最大值，极小值则是函数在某个点上的最小值。
极值的判断也可以通过函数的图像、导数和二阶导数等方式进行。
1. 函数图像函数的极值点对应于函数图像上的局部最高点和最低点。
通过观察函数图像，我们可以找到函数的极值点。
2. 导数和二阶导数对于单变量函数，函数的极值点通常对应于导数为零的点。
通过求解函数导数为零的方程，我们可以确定函数的极值点。
此外，二阶导数的符号还可以帮助我们确定极值的类型。
如果二阶导数大于零，则函数在该点有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点有极大值。
函数单调性的性质课件
单调性有助于理解不等式的 性质
通过研究函数的单调性，可 以深入理解不等式的性质和 特点。例如，利用函数的单 调递增或递减性质，可以证 明不等式的传递性和可加性 等基本性质。
单调性与积分
总结词
单调性有助于理解积分的性质
详细描述
单调性与积分有着密切的联系。例如，如果 函数在某个区间内单调递增或递减，那么该 区间上的定积分值可以通过比较上下限处的 函数值来求解。此外，利用单调性还可以推 导出一些重要的积分公式和性质，如变上限 积分公式、微积分基本定理等。
函数单调性的性质与应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工具
VS
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的增减趋 势，对于确定函数的最值位置和大小具有 关键作用。例如，如果函数在某区间内单 调递增，那么该区间内的最大值出现在区 间的右端点；反之，如果函数单调递减， 则最小值出现在左端点。
单调性与最值
总结词
单调性有助于解决最值问题
详细描述
利用单调性，可以简化最值问题的求 解过程。例如，通过判断函数在某区 间内的单调性，可以确定最值的位置， 从而避免了对函数进行复杂求导或积 分的过程。
单调性与不等式
总结词
详细描述
总结词
详细描述
单调性是证明不等式的重要 手段
单调性可以用于证明不等式。 例如，通过比较两个函数的 单调性，可以证明它们之间 的不等式关系。此外，利用 单调性还可以推导出一系列 重要的不等式定理，如均值 不等式、柯西不等式等。
函数单调性的性质课件
பைடு நூலகம்
• 函数单调性的定义与分类 • 函数单调性的判定方法 • 函数单调性的性质与应用 • 函数单调性与生活实例 • 函数单调性的扩展知识
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
函数单调性的性质与判断-高中数学知识点讲解
函数单调性的性质与判断1．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f（x1）＜f （x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．1/ 1。
函数的单调性(103)
通过构造函数，利用函数的单调性，可以将不等式问题转化为求解函数值的问题。例如， 对于形如f(x) > g(x)的不等式，如果f(x)和g(x)的单调性已知，则可以通过比较f(x)和g(x)
在某一点的函数值来确定不等式的解集。
04 单调性的性质和定理
单调函数的性质
定义域内单调
单调函数在其定义域内是连续的，不会出现跳跃或断 点。
利用单调性判断函数的零点
总结词
利用函数的单调性，可以判断函数是否存在零点，以及零点 的个数和位置。
详细描述
如果函数在某区间内单调递增或递减，且在此区间内与x轴有 交点，则函数在此区间内存在一个零点。通过判断函数的单 调性，可以确定函数与x轴的交点个数和位置。
利用单调性解决不等式问题
总结词
利用函数的单调性，可以将不等式问题转化为求解函数值的问题，从而简化解题过程。
单调性在函数图像上的应用
判断函数的增减性
通过观察函数图像的上升或下降 趋势，可以判断函数的单调性， 进而确定函数的增减性。
比较函数值大小
在单调递增或递减的函数图像上， 可以通过比较自变量的大小来比 较函数值的大小。
求解函数的极值
在单调递增或递减的函数图像上， 极值点是函数值发生变化的点， 通过求解极值点可以得到函数的 极值。
函数单调性的判断方法
导数判断法
通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，则函数为增函数；如果导数小于0，则函 数为减函数。
定义法
通过比较定义域内的任意两个数对应的函数值的大小来判断函数的单调性。如果对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则函数为增函数或减函数。
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函数单调性的性质：
（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
， 当
时，都有
，
0)
()(2
121>--x x x f x f
（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当
时， 都有
，
0)
()(2
121<--x x x f x f
（3） 函数的单调性还有以下性质．
1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．
2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1
x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。
5..若()f x ≠0，则函数
()
1
f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。
若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相反的单调性
7。
.函数()f x 在R 上具有单调性，则()f x -在R 上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
函数
单调状况 内层函数()u g x = 增 增 减 减 外层函数()y f u = 增 减 增 减 复合函数
增
减
减
增
题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间
(1) y ＝|x 2＋2x －3| 1
122
---=
x x
x y
32y 2+--=x x
2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？
题型二：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
例1.若函数y ＝ax , y ＝b
x
-在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）
上是 ________（填单调性）．
例2.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．
答案：在(- 4，0)上单调递减。
例3.设函数y ＝f （x ）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y ＝f （x 2－1）的单调递减区间是______________
答案 函数y ＝f （x 2
－1）的单调递减区间是)0,2-（。
例4.已知函数f(x)=8＋2x －x 2
，如果g(x)=f( 2－x 2
)，那么函数g(x) （ ）
A ．在区间(－1，0)上是减函数
B ．在区间(0，1)上是减函数
C ．在区间(－2，0)上是增函数
D ．在区间(0，2)上是增函数
答案：函数,g(x)=f(2-x 2)在上(-∞，-1) 是增函数，在[-1，0)上是减函数，在[0,1)上是增函数，在[1，+∞）上是减函数。
例 5..设()y f x =是R 上的减函数，则()
3y f x =-的单调递减区间
为 .
答案：y=f(|x-3|)的单调递减区间为（3，＋∞)
题型三：已知函数的单调性，求参数的取值范围。
1.已知函数f(x)＝x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
2.已知函数y ＝－x 2＋2x ＋1在区间［－3，a ］上是增函数，则a 的取值范围是______________
3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．
4.函数2
1
)(++=
x ax x f 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A.2
1
0<<a B.21>a C.a<-1或a>1 D.a>-2
5...函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,- 4］上递减,则a 的取值范围是
答案：(]-5∞，
（2004年高考题）已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ）
A. (0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞) 答案：B.
3.奇函数)(x f 在区间[]a b --,上单调递减，且)0(0)(b a x f <<>，那么)(x f 在区间
[]b a ,上（ ）
A ．单调递减
B ．单调递增
C ．先增后减
D ．先减后增 答案：B
4.已知函数()22()1122x a x x f x x ⎧-≥⎪
=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(),2-∞
B.138⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦， C.()0,2 D.1328⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
答案：
5.已知函数1
2222()2x a x x f x a x -⎧⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.2＜a ＜4 B.3≤4＜4 C.3＜a ＜4 D.2≤4＜4。