[名校联盟]河北省衡水中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．22．由曲线x y e =，x y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于（ ） A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 3．曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．43B ．89C ．83D ．494. 函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确6．定积分π220sin 2xdx ⎰的值等于（ ） A ．π142- B ．π142+ C ．1π24- D ．π12-7.设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立 Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立8.如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )9.设n 是自然数，f(n)=111123n++++……,经计算可得， f(2)=357,(4)2,(8),(16) 3.(32)222f f f f >>>>.观察上述结果，可得出的一般结论是（ ）A.21(2)2n f n +>B.22()2n f n +≥C.2(2)2nn f +≥ D.()222nn f +>10．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=，Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，11．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ）A ．1212-+n nB ．1212--n n C ．n n n 2)1(+ D ．1－121-n 12.已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点（1,0），则()f x 的极值为（ ）A.极大值为427，极小值为0 B.极大值为0，极小值为427 C.极小值为427-，极大值为0 D. 极大值为427-，极小值为0二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）13一个质点以速度2()6(/)V t t t m s =-+沿直线运动，则在时间间隔(14)，上的位移是 14.若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．16． 已知复数212(4)(),2cos (3sin )(,)z m m i m R z i R θλθλθ=+-∈=++∈，并且12z z =，则λ的取值范围 .三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且2[1,1]z ∈-. （1） 求1||z 的值及1z 的实部的取值范围； （2） 若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数.18. （本题12分）已知0a >，12a a≥+19.（本题12分）甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t（吨）满足函数关系x =付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？20.（本题12分）已知数列{}n a 中，428a =，且满足1111n n n n a a n a a +++-=-+(1)求123,,a a a ； (2)猜想{}n a 的通项公式并证明22.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0， 证明：导数f '（x 0）＜0．高二年级(理科) 期中数学答案一、选择题： BDCCD ADADA BA二、填空题13．31.5m 14．10m -≤≤ 15．122n n a a +=+ 16． 9716λ-≤≤ 三、解答题18. 证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)， 只需证4(a 2＋1a2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 ………………12分 19. 解：（1）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w st =．由w s '==， 令0w '=，得201000t t s ⎛⎫== ⎪⎝⎭．当0t t <时，0w '>；当0t t >时，0w '<，所以0t t =时，w 取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量0t 为21000s ⎛⎫⎪⎝⎭（吨）； ………………6分 （2）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-．将21000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69410210v s s =-⨯． 又63510(8000)s v s ⨯-'=，令0v '=，得20s =．当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<， 所以20s =时，v 取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入． ………………12分21. 解：由题意令0)y x =≥，122y p '==，2|1p x y ='=， 所以过1P 点且垂直于过1P 点的抛物线的切线的直线的斜率为1-． 其方程为2p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭． 即2230x y p +-=． ………………4分 与抛物线方程联立消去x ，得22230y py p +-=， 解得y p =或3y p =-． 又32x y p =-+， 所以所求平面图形的面积为23322pp y S y p dy p -⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 23331|226pp y py y p -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭222222131999226222p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2163p =． ………………12分 注：对x 积分结果正确同样给分当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以故当10x a<<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分 （III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：http:///wxt/list.aspx?ClassID=3060。