浙江省金衢十二校2015年中考数学模拟试卷(3月份)含答案解析

2015年浙江省金衢十二校中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2．2014年金华市实现生产总值（GDP）3206亿元，按可比价计算，比上年增长8.3%．用科学记数法表示2014年金华市的生产总值为（）A．32.06×1012元B．3.206×1011元C．3.206×1010元D．3.206×1012元3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2B．x2﹣2y2+1 C．﹣x2+4y2D．﹣x2﹣4y24．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大 D．三个视图的面积一样大5．不等式组：的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．8，6.5 D．7，7.57．下列说法中，错误的是（）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正方形都相似8．如图，有一圆弧形门拱，拱高AB=1m，跨度CD=4m，那么这个门拱的半径为（）A．2m B．2.5m C．3m D．5m9．已知二次函数y=﹣x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y210．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，圆O的半径为4，且=2．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，则此时与地面相切的弧为（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．计算：（﹣2a）2=．12．如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是（填“相交”、“相切”、“相离”）．13．如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是．14．如图，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=．15．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿C﹣A﹣B向点B以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当P点到达C点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，PQ∥AB．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三、解答题（本题有8小题，共66分，每题都必须写出解答过程）17．计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+tan45°．18．如图，▱ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．请你找出图中与AF相等的一条线段，并加以证明．（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）结论：AF=．证明：19．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．下图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．20．为了迎接体育中考，某校九年级开展了体育中考项目的第一次模拟测验．下图为某校九年级同学各项目达标人数统计图：（1）在九年级学生中，达标的总人数是；（2）在扇形统计图中，表示“其他”项目扇形的圆心角的度数是；（3）经过一段时间的练习，在第二次模拟测验中，“排球”项目达标的人数增长到了231人，则“排球”项目达标人数的增长率是多少？21．如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．22．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？23．正方形ABCD中，AB=4．点E为射线CB上一点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE分别交边AB和CD于G，H．（1）若E为边BC的中点，GH=；=；（2）若=，求的值；（3）若=k，=．24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4）．点P（p，0）是x轴上一个动点，过点B作直线BC⊥AP于点D，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q．当p≠0时，直线BC与x轴交于点C．（1）当p=2时，求点C的坐标及直线BC的解析式；（2）点P在x轴上运动时，点Q运动的路线是一条抛物线y=ax2+c，请选取适当的点Q，求出抛物线的解析式；（3）①是否存在点P，使△OPD为等腰三角形？若存在，请求出点P横坐标p的值；若不存在，请说明理由．②在（2）的条件下，如果抛物线交x轴于E，F两点（点E在点F左侧），过抛物线的顶点和点E 作直线l，设点M（m，n）为l上一个动点．请直接写出m在什么范围内取值时，△EMF钝角三角形．2015年浙江省金衢十二校中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．【考点】实数大小比较．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数，绝对值大的反而小即可解答．【解答】解：∵在这一组数中﹣2，﹣1为负数，0，为正数；又∵|﹣2|＞|﹣1|，∴﹣2＜﹣1．即四个数中﹣2最小．故选：A．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，要求学生掌握比较数的大小的方法：（1）正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．2014年金华市实现生产总值（GDP）3206亿元，按可比价计算，比上年增长8.3%．用科学记数法表示2014年金华市的生产总值为（）A．32.06×1012元B．3.206×1011元C．3.206×1010元D．3.206×1012元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3206亿用科学记数法表示为：3.206×1011．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2B．x2﹣2y2+1 C．﹣x2+4y2D．﹣x2﹣4y2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】能用平方差公式分解因式的条件：是两项；这两项的符号相反，并且都是完全平方数．【解答】解：A、x2+4y2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误；B、x2﹣2y2+l有三项，不能用平方差公式分解因式，故错误；C、﹣x2+4y2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；D、﹣x2﹣4y2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误．故选C．【点评】该题是对因式分解中平方差公式的考查，首先必须找两项符号不同的选项，再看这两项是否为某整数的平方．4．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大 B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大 D．三个视图的面积一样大【考点】简单组合体的三视图．【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．【解答】解：主视图有4个小正方形，左视图有4个小正方形，俯视图有5个小正方形，因此俯视图的面积最大，故选：C．【点评】此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．不等式组：的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．【解答】解：解不等式组得，再分别表示在数轴上为．故选C．【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．7，7 B．8，7.5 C．8，6.5 D．7，7.5【考点】众数；条形统计图；中位数．【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7环，故众数是7（环）；因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是7（环）、8（环），故中位数是7.5（环）．故选D．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．下列说法中，错误的是（）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正方形都相似【考点】相似多边形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据相似三角形的判定及相似多边形的定义作答．【解答】解：A、由于等边三角形的每个角都等于60°，根据有两角对应相等的两三角形相似，知等边三角形都相似正确，故选项错误；B、由于任意一个等腰直角三角形的三个内角的度数是45°，45°，90°，根据有两角对应相等的两三角形相似，知等腰直角三角形都相似正确，故选项错误；C、由于矩形对应边的比不一定相等，根据相似多边形的定义知矩形都相似，不正确，故选项正确；D、由于正方形的每个角都相等，每条边也相等，根据相似多边形的定义知正方形都相似正确，故选项错误．故选C．【点评】有两角对应相等的两三角形相似．如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．8．如图，有一圆弧形门拱，拱高AB=1m，跨度CD=4m，那么这个门拱的半径为（）A．2m B．2.5m C．3m D．5m【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r 的值即可．【解答】解：设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC2+OB2=OC2，即22+（r﹣1）2=r2，解得r=2.5m．故选B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类问题应用垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．9．已知二次函数y=﹣x2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的对称轴，然后判断出点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上的位置，再求解．【解答】解：由图可知，此抛物线的顶点坐标为（2，3），对称轴是直线x=2，∴x=0，1时对应的函数值分别等于x=4，3时对应的函数值，∴当0＜x1＜1对应的函数值y1与3＜x＜4对应的函数值相同．∵a=﹣1＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴y1＜y2．故选C．【点评】本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质：①a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x 的增大而减小．②a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大．10．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，圆O的半径为4，且=2．若在没有滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，则此时与地面相切的弧为（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；弧长的计算；旋转的性质．【专题】应用题．【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．【解答】解：∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，=2，∴=×8π=π＜2π，+=×8π=4π＞2π，∴此时与地面相切；故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．计算：（﹣2a）2=4a2．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解答】解：（﹣2a）2=（﹣2）2a2=4a2．故答案为：4a2．【点评】考查了积的乘方的性质，应注意负数的偶次幂是正数．12．如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是相交（填“相交”、“相切”、“相离”）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】观察图形可以发现：太阳与地平线l有两个交点，故是相交关系．【解答】解：如图，根据直线与圆的三种位置关系的定义，可以判断：太阳与地平线l的位置关系是相交．故答案为：相交．【点评】该题主要考查了直线与圆的位置关系的定义及其应用问题；应牢固掌握直线圆的三种位置关系．13．如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是3．【考点】中心对称图形．【分析】通过观察发现，当涂黑3时，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，．【解答】解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为：3．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．14．如图，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=4：1．【考点】弧长的计算．【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【解答】解：，解得R：r=4：1．故答案为：4：1．【点评】解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系．15．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米．【考点】解直角三角形的应用．【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．【解答】解：设OH=x，∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，∴AO=2xm，∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，∴BO=3xm，则AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿C﹣A﹣B向点B以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当P点到达C点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，PQ∥AB．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．【考点】相似三角形的判定与性质；轨迹．【专题】动点型．【分析】（1）当CP：BC=CQ：AC时，PQ∥AB，则有（12﹣2t）：12=t：5，即可求出t的值；（2）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，由题意可知，当t=5时，点P运动到点D（10，0），DB=10，点Q运动到A点，BC的中点为M（6，0），AD的中点为N；当t=6时，点P运动到C 点，点Q运动到K点，AK=1，CK的中点为F，此时P、Q均停止运动，则线段PQ的中点所经过的路程长为线段MN、NF的长度和，利用点M、N的坐标求出MN的长，利用△AKG∽△ABC求出AG、KG的长，进而得出点K、F的坐标，即可求出NF的长．【解答】解：（1）由题意知BP=2t，CP=12﹣2t，CQ=t，当CP：BC=CQ：AC时，PQ∥AB，则有（12﹣2t）：12=t：5，解得：t=；（2）如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，点C的坐标为（12，0），点A的坐标为（12，5），由题意可知，当t=5时，点P运动到点D（10，0），DB=10，点Q运动到A点，BC的中点为M（6，0），AD的中点为N；当t=6时，点P运动到C点，点Q运动到K点，AK=1，CK的中点为F，此时P、Q均停止运动，则线段PQ的中点所经过的路程长为线段MN、NF的长度和．过K作KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，∵D（10，0），A（12，5），N为AD的中点，∴N（11，），又∵M（6，0），∴MN=；∵AC=5，BC=12，∴AB=13，∵KG⊥AC，∠ACB=90°，∴KG∥BC，∴△AKG∽△ABC，∴AK：AB=AG：AC=KG：BC，即1：13=AG：5=KG：12，∴AG=，KG=，∴CG=AC﹣AG=，BH=BC﹣KG=，∴K，又∵C（12，0），F为KC的中点，∴F，又∵N（11，），∴NF==，∴线段PQ的中点所经过的路程长为MN+NF=．故答案为：（1）；（2）+．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的轨迹问题，勾股定理的应用，坐标与图形性质，两点间的距离等知识，正确理解题意，准确画出图形是解题的关键，解题中注意数形结合思想的运用．三、解答题（本题有8小题，共66分，每题都必须写出解答过程）17．计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+tan45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：（﹣1）0﹣（）﹣1+tan45°=1﹣2+1=0．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．如图，▱ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．请你找出图中与AF相等的一条线段，并加以证明．（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）结论：AF=CD或AB．证明：【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，又由E是AD的中点，易证得△AEF≌△DEC，继而证得结论．【解答】解：与AF相等的有CD或AB．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠F=∠ECD，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（ASA），∴AF=CD，∴AF=CD=AB．故答案为：AB或CD．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．19．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．下图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．（1）他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；（2）求小明从中间通道进入A密室的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）此题可以采用树状图法求解．一共有6种情况，其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；（2）根据（1）中的树形图即可求出小明从中间通道进入A密室的概率．【解答】解：（1）画出树状图得：∴由表可知，小明进入游区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A密室的有2种可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；（2）由（1）可知小明从中间通道进入A密室的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．20．为了迎接体育中考，某校九年级开展了体育中考项目的第一次模拟测验．下图为某校九年级同学各项目达标人数统计图：（1）在九年级学生中，达标的总人数是600；（2）在扇形统计图中，表示“其他”项目扇形的圆心角的度数是144°；（3）经过一段时间的练习，在第二次模拟测验中，“排球”项目达标的人数增长到了231人，则“排球”项目达标人数的增长率是多少？【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）利用该班共有学生数=跳绳的人数÷它的百分比求解即可；（2）利用“其他”项目扇形的圆心角的度数=360°×“其他”项目所对应的百分比求解即可；（3）先求出第一次模拟测验中“排球”项目达标的人数，又已知第二次模拟测验中“排球”项目达标的人数，那么“排球”项目达标人数的增长率=（第二次模拟测验中“排球”项目达标的人数﹣第一次模拟测验中“排球”项目达标的人数）÷第一次模拟测验中“排球”项目达标的人数×100%．【解答】解：（1）150÷25%=600．即在九年级学生中，达标的总人数是600；（2）360°×（1﹣35%﹣25%）=144°．即在扇形统计图中，表示“其他”项目扇形的圆心角的度数是144°；（3）∵第一次模拟测验中，“排球”项目达标的人数为：600×35%=210，又在第二次模拟测验中，“排球”项目达标的人数增长到了231人，∴“排球”项目达标人数的增长率是：×100%=10%．故答案为600；144°．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．【考点】翻折变换（折叠问题）；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）如图，运用矩形的性质、勾股定理首先求出DF的长，进而求出CF的长，此为解决该题的关键性结论；设BE为x，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x；再次运用勾股定理求出AE的长．（2）如图，作辅助线；首先证明OH=HB；运用△AOH∽△AEB，列出关于半径r的方程，求出r 即可解决问题．【解答】解：（1）由题意知，AF=10，AD=8，根据勾股定理得：DF=6．∴CF=4．设BE=x，那么EF=x，CE=8﹣x．在Rt△CEF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2+42=x2，解得x=5．即BE=5．由勾股定理得：∴AE==5．（2）如图，连接OH、OG；则∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，∴四边形OHBG为正方形，∴OH=BH；设⊙O的半径为r，则OH=BH=r；∵△AOH∽△AEB，∴=，即=；解得：r=．∴⊙O的半径为．【点评】该题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识点是基础，灵活运用是关键．22．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【考点】反比例函数的应用；一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2=，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．23．正方形ABCD中，AB=4．点E为射线CB上一点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE分别交边AB和CD于G，H．（1）若E为边BC的中点，GH=2；=；（2）若=，求的值；（3）若=k，=或．【考点】相似形综合题．【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，由全等三角形证明GH=AE；由相似三角形△AFG∽△ABE，求出的值；（2）若=，如答图2所示，有两种情形，需要分类讨论；（3）若=k，如答图2所示，有两种情形，需要分类讨论．【解答】解：（1）如答图1所示，过点H作HN⊥AB于点N，则四边形ADHN为矩形，∴HN=AD，∴HN=AB．∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°，∴∠GHN=∠EAB．。