专题2.3+基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数专题3 基本初等函数（理科）【三年高考精选】1. 【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. 【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B3.【2018年理数全国卷II】4.【2017课标1，理】设x 、y 、z 为正数，且，则A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z 【答案】D 【解析】令，则，，∴，则，，则，故选D.5.【2017课标II ，理】6．【2017课标3，理15】7．【2016高考新课标1理数】若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 8．【2016高考新课标2理数】9．【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【三年高考刨析】，通过作差或作商进行比较大小准确掌握指对数函数图像与性质，对于比较【2019年高考命题预测】预测2019年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.【2019年一轮复习指引】由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，【2019年高考考点定位】高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.考点1 指数值、对数值的比较大小典例1【重庆市西南大学附中2018届第四次月考】已知定义在上的函数，记，，，则、、的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】D点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，比较大小问题，一般要利用函数的单调性，这里必须让函数的自变量在同一单调区间上，本题利用偶函数的性质易于转换.是比较大小的常见类型，应掌握其方法. 【备考知识梳理】指数函数(0,1)xy a a a =>≠，当a 1>时，指数函数在(,)-∞+∞单调递增；当0a 1<<时，指数函数在(,)-∞+∞单调递减.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠，当a 1>时，对数函数在(0,)+∞单调递增；当0a 1<<时，对数函数在(0,)+∞单调递减.幂函数y x α=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减. 【规律方法技巧】指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较. 【考点针对训练】1. 【江西省南昌市2018届第三次模拟】已知，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．详解：由题，的大小关系为故选：D ．2. 【河南省天一大联考2018届阶段性测试（二）】已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，设1213a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()ln b f π=， 122c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. b a c << 【答案】A【解析】点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，将点代入得到()81,1 1. 3.nm m m n =-⨯-=⇒= 故函数为3y x = ， 132211133a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()3ln ln 1b f ππ==> ， 132222.c f a --⎛⎫===> ⎪⎝⎭故大小关系是a c b <<。

故答案为A 。

【考点2】指数函数的图象和性质典例2【四川省2018届“联测促改”活动】已知()93xxf x t =-⋅， ()2121x x g x -=+，若存在实数a ， b 同时满足()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数t 的取值范围是__________．【答案】[)1+∞， 【解析】∵()()211221=211221x x x xx x g x g x ------==-=-+++，∴函数()g x 为奇函数，又()()0g a g b +=，∴a b =-． ∴()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解，即93930aaaat t ---⋅+-⋅=有解，即9933a aa at --+=+有解．令()332aam m -=+≥，则2992233a a a a m m m m--+-==-+，∵()2m m m ϕ=-在[)2,+∞上单调递增， ∴()()21m ϕϕ≥=．∴1t ≥．故实数t 的取值范围是[)1,+∞．点睛：（1）解题时要正确理解题意，其中得到a b =-是解题的关键．然后将问题转化为方程()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解的问题处理．（2）解决能成立问题的常用方法是分离参数，分离参数后可将问题转化为求具体函数值域的问题．解题时注意以下结论的利用：“()a f x =能成立”等价于a 的范围即为函数()f x 的值域，“()a f x >能成立”等价于“()min a f x >”． 【备考知识梳理】质【规律方法技巧】1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数a 的范围，分a 1>和0a 1<<两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． 【考点针对训练】1. 【北京市十五中2018届模拟练习二】已知函数()xf x a =，其中0a >，且1a ≠，如果以()()11,P x f x ，()()22,Q x f x 为端点的线段的中点在y 轴上，那么()()12f x f x ⋅等于（ ）A. 1B. aC. 2D. 2a【答案】A【解析】由题意得12x x =- ，所以()()12f x f x ⋅ 1201xx a aa === ，选A.2．【天津市部分区2018届期末考试】已知函数()12(0)21xxf x x =+>-，则()f x 的最小值为__________． 【答案】3【解析】∵0x >，∴21x>，故210x ->．∴()()112211132121x xx xf x =+=-++≥=--，当且仅当12121xx -=-，即1x =时等号成立．∴()f x 的最小值为3.答案： 3【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质典例3【新疆乌鲁木齐2018届5月适应性训练】已知，，若，，使得则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A点睛：解答本题的关键是正确理解“若，，使得”的含义，然后将问题转化为求函数的最值的问题处理．【备考知识梳理】1．对数的定义:如果(1)0x a N a a >≠＝且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作a x log N ＝其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质()01a a >≠且：①10a log ＝；②1a log a ＝；③a log Na N ＝(2)对数的换底公式:基本公式log log log c a c bb a=(a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果()01a a >≠且，00M N >>，，那么 ①(·)a a a log M N log M log N ＝＋，②a a a log log M l NN Mog ＝-，③n a a log M nlog M ＝ (n R ∈)． 3．对数函数的图像与性质【规律方法技巧】1、 研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数a 的范围，分a 1>和0a 1<<两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 【考点针对训练】1. 【河南省洛阳市2018届第三次统一考试】函数的单调递减区间是（ ）A.B.C. D.【答案】B【解析】根据题意有，所以要求，结合复合函数单调性法则，实则求的增区间，所以有，解得，所以函数的单调减区间是，故选B.2．【河南省南阳市第一中学2018届第十四次考试】函数，则使得成立的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单调递减，∵是偶函数，∴在上单调递增．∵，∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．故选B．【考点4】二次函数的图象和性质典例4【浙江省台州中学2018届模拟】，若方程无实根，则方程（）A. 有四个相异实根 B. 有两个相异实根 C. 有一个实根 D. 无实数根【答案】D【解析】分析：将函数看成抛物线的方程，由于抛物线的开口向上，由方程无实数根可知，对任意的，，从而得出没有实根.详解：因为抛物线开口向上，由方程无实数根可知，抛物线必在直线上方，即对任意的，，所以方程没有实根，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应的结果，从而得到选项.【备考知识梳理】二次函数的图象和性质【规律方法技巧】1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论. 【考点针对训练】1．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()(),a f a ，()(),b f b ， ()(),c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,1 B. 0,2⎡⎢⎣⎭ C. 0,2⎛ ⎝⎦ D. 2⎣ 【答案】A【解析】由题意可知，∵()222f x x x =-+，∴0x =或2， 22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 2. 【山东省烟台市2018届高考适应性练习（一）】在区间内任取一实数，的图像与轴有公共点的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】D【考点5】幂函数的图象和性质典例5【天津市耀华中学2018届第三次月考】若幂函数()()21mf x m m x =--在()0,+∞上为增函数，则实数m的值为_________. 【答案】2【解析】()()21m f x m m x =--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =或-1.当2m =时， ()2f x x =，此时在()0,+∞上为增函数，当1m =-时， ()1f x x -=，此时在()0,+∞上为减函数，不符合题意.故答案为：2. 【备考知识梳理】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较[0【规律方法技巧】1．幂函数()y x Rαα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【考点针对训练】1. 【2018届广东省茂名市五大联盟学校联考】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，应选答案B。