向量值函数积分学习题课

∫
( , ) 4 4 (0,0)
π π
[sin 2 x − yϕ ( x ) tan x ]dx + ϕ ( x )dy.
∂Q ∂P 解： 由 (1) = ，得ϕ '( x ) + ϕ ( x ) tan x = 0, ∂x ∂y
通解ϕ ( x ) = c cos x ,由ϕ (0) = 2，得c = 2.
S
= =
2
∫∫ ( x + y + z )dS ,[cos α = cos β = cos γ 3
S
=
1 3
]
2
∫∫ dS = 3
S
2 3
⋅ ( S的面积)。
⎧x + y + z = 1 S的面积为圆周 ⎨ 2 的面积， 2 2 ⎩x + y + z = 1
球心到平面的距离为d =
1 3
，
1 该圆周的半径为 1 − = 3
∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )dS
π
解： F = {− y , x },
W =
∫ − ydx + xdy,
AB
⎧ x = 2 + 2 cos θ , 3 π ⎪ AB的参数方程为 ⎨ (− π ≤ θ ≤ ) 4 ⎪ y = 3 + 2 sin θ , 4 ⎩
代入功的表达式得：
W =
∫ - ydx + xdy = 2(π − 1)
∫e
L
x2 + y2
ydx + e
1− xy
xdy =
∫e
L
1− xy
ydx + e
1− xy
xdy
∂Q ∂P = ∫∫ ( − )dxdy = 0. ∂x ∂y D
y
O
x
⎧ x2 + y2 + z2 = a2 , ⎪ 5 ∫ y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz，其中L为曲线 ⎨ 2 x + y 2 = ax , ⎪ L ⎩ (a > 0, z ≥ 0), 从x 轴的正向往负向看，取逆时针方向。
1 2 2 得驻点：a = ，b = ，c = 1.所以Wmax = . 3 3 9
7 证明：由曲面S 所包围的体积等于 1 V = ∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )dS， 3 S 其中cos α ,cos β ,cos γ 为曲面S的外法线的方向余弦。
1 证明： 3
解：由斯托克斯公式
z
y
∫
L
S
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz
= ∫∫ −2( z cos α + x cos β + y cos γ )dS ,
其中S为球面位于圆柱内部部分的上侧。
x
x y z cos α = ,cos β = ,cos γ = ， a a a
2 上式 = − ∫∫ ( xz + yx + zy )dS , a S
因S 关于xoz面对称，被积函数关于y为奇函数，
所以∫∫ ( yx + zy )dS = 0, 所以
2 上式 = − ∫∫ xzdS = −2 ∫∫ xdxdy a S D
= −2 ∫ π dθ ∫
2 − 2
z
y
S
π
a cos θ
0
r 2 cos θ dr
x
=−
π
4
a3
6
⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 1, ∫ xyzdz，其中L为曲线 ⎨ y = z , ⎩ L 从z 轴的正向看去，取逆时针方向。
2 设L为平面上一条不过原点的光滑闭曲线， xdx − aydy 试确定a的值，使 ∫ 2 = 0，并说明理由。 2 x + 4y L
设L所围成的区域为D，侧有当(0, 0) ∉ D时，原式 = 0;
当(0, 0) ∈ D时，在D内作椭圆x 2 + 4 y 2 = ε 2 ,
xdx - aydy 则 ∫ = 0，其中L '的参数方程为 2 2 L+ L ' x + 4 y 1 x = ε cos θ , y = ε sin θ， 2
解：W = ∫
OM
yzdx + zxdy + xydz，
OM的参数方程为：x = at , y = bt , z = ct， ≤ t ≤ 1) (0
代入功的表达式W = abc，即求W = abc在条件
a b c a b c + + = 1下的极值。令F = abc + λ ( + + − 1)， 1 2 3 1 2 3
AB
6 一质点从原点沿直线运动到以A(1, 0, 0),B(0, 2, 0), C (0, 0, 3)为顶点的三角形内一点M (a , b, c )，在此过程中， 该知道受到力F = yzi + zxj + xyk的作用，问当a ,b,c取何 值时，力F 对知道所作的功W 最大？并求出W 的最大值。
解： z 2 dxdy = ∫∫
S
Dxy
(1 − x 2 − y 2 )dxdy ∫∫
π
2 0 1
= ∫ dθ ∫ r (1 − r 2 )dr
=
π
0
Dxy
O
3π 由对称性得：原式 = . 8
8
(2) ∫∫ 2(1 − x 2 )dydz + 8 xydzdx − 4 xzdxdy ,
S
⎧x = ey ,(0 ≤ y ≤ a )绕x 轴旋转 其中S为曲线 ⎨ ⎩z = 0 而成的旋转曲面的外侧。
解：L的参数方程为：
x = cos θ , y =
1 2
sin θ , z =
1 2
sin θ ,
∫ xyzdz
L
=∫
2π
0
1 2 1 cos θ ⋅ sin θ ⋅ cos θ dθ 2 2
O
2 = π 16
思考：能否用斯托克斯公式计算？
x − ay ∂Q ∂P 解：P = 2 ,Q = 2 ,由 = ，得a = −4. 2 2 ∂x ∂y x + 4y x + 4y
(2) I = ∫ [2 y 2 + cos( x + y 2 )dx + 2 y cos( x + y 2 )dy，
L
其中L为曲线y = cos x上由x = −
π
2
到x =
π
2
的一段弧。
解：加直线段AB，其中A( , 0), B( − , 0). 2 2
L + AB
π
π
∫
[2 y 2 + cos( x + y 2 )dx + 2 y cos( x + y 2 )dy
I=
∫
0
L
=
∫
L1
=
∫
2π
( − sin 2θ − cos 2 θ )dθ = −2π
4 计算：I =
∫e
L
x2 + y2
ydx + e1− xy xdy ,
其中L为正向椭圆x 2 + y 2 + xy = 1;
解：在椭圆x 2 + y 2 + xy = 1上，x 2 + y 2 = 1 − xy，所以
= − ∫∫ −4 ydxdy
D
= 4 ∫ 2π dx ∫
−
π
cos x
0
ydy
=π
2
B
A
AB
[2 y 2 + cos( x + y 2 )dx + 2 y cos( x + y 2 )dy = −2， ∫
所以 I = π + 2.
B
A
ydx − ( x − 1)dy (3) I = ∫ ，其中L为正向椭圆周 2 2 L ( x − 1) + y x 2 + 4 y 2 − 4 x = 0. y −( x − 1) 解：令P = ，Q = ， 2 2 2 2 ( x − 1) + y ( x − 1) + y ∂P ∂Q 有 = ，记L1 : ( x − 1)2 + y 2 = ε 2(正方向)， ∂y ∂x ydx − ( x − 1)dy = 0, 故 ε 适当小，则 ∫ − 2 2 L + L1 ( x − 1) + y
解：加辅助面S ' : z = 1,( x 2 + y 2 ≤ 1)的下侧。
S+S '
∫∫
( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x )dxdz + ( x 2 − y )dxdy = 0，
所以原式 = − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
S'
= ∫ dθ ∫ ( r 2 cos 2 θ − r sin θ )rdr
解：加辅助面S ' : x = e a ,( y 2 + z 2 ≤ a 2 )取前侧。
S+S '
∫∫
2(1 − x 2 )dydz + 8 xydzdx − 4 xzdxdy
∂P ∂Ω ∂R = ∫∫∫ ( + + )dV = 0, ∂x ∂ y ∂z V
所以原式 = − ∫∫ 2(1 − x 2 )dydz
S'
= −2 ∫∫ 2(1 − e )dydz