北京专用高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定与性质课件
高考一轮复习通用版8.4直线平面平行的判定与性质课件(55张)
【对点训练】
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
2.[2022·江苏南通市检测]《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经 十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1 000多年．在《九
线线平行”)
符号语言
因为 _l_∥__a__， _a_⊂__α__， __l⊄__α__， 所以l∥α
因为 __l∥__α__， __l⊂__β__， ______， 所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件 必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝AD， E为AD的中点，在线段B1C1上是否存在点F， 使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加 以证明，若不存在，请说明理由．
微专题29 函数思想破解立体几何中的问题
名师点评利用函数思想建立MN与a的函数关系式是解此题的关键， 立体几何中的最值问题，通常借助函数思想求解．
因为 _α_∥__β__， ______， ______， 所以a∥b
二、必明2个常用结论 1．平行间的三种转化关系
2．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
关键能力—考点突破
考点一 与线、面平行相关命题的判定 [基础性]
1．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法 正确的是( )
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质课件文
角度 2：证明线线垂直 (2017·全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E
为棱 CD 的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC [思路引导] 每个选项都涉及直线 A1E，而其它直线均为面对
如：已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈α，A∉l，直线 AB
∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，
不一定成立的是(D)
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
提示：如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥
l⇒AB∥β，只有 D 不一定成立．
第
八
立体几何
章
第五节
直线、平面垂直的判定与性质
高考概览 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证 明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定 理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[小题速练] 1．下列结论错误的是( ) A．直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直，则 l⊥α B．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂 直于这个平面 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
[解析] 若 α 内无数条直线是平行的，则 l 与 α 不一定垂直．故 A 错．
所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°， 所以 B1F⊥FD.因为 AD∩FD＝D，所以 B1F⊥平面 ADF. 解法二：在 Rt△B1BD 中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以 B1D ＝ BD2＋BB21＝ 10. 在 Rt△B1C1F 中，B1C1＝2，C1F＝1，所以 B1F＝ B1C21＋C1F2 ＝ 5. 在 Rt△DCF 中，CF＝2，CD＝1，所以 DF＝ CD2＋CF2＝ 5. 显然 DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以 B1F⊥FD.∵ AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面 ADF.
高考数学一轮复习第八章立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课件
[变式训练 1] 如图 41-3，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面 ABD； (2)若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积． [解] (1)证明：因为 AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD， 所以 AB⊥CD. 又因为 CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面 ABD，BD⊂平面 ABD， 所以 CD⊥平面 ABD.
5．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的 长为________．
a [如图所示，取 BD 的中点 O，连结 A′O，CO，则∠A′OC 是二面角 A′-BD-C 的平面角．
即∠A′OC＝90°，又 A′O＝CO＝ 22a， ∴A′C＝ a22＋a22＝a，即折叠后 AC 的长(A′C)为 a.]
4．(教材改编)在三棱锥 P-ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O， (1)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的____________心． (2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC 的____________心． (1)外心 (2)垂心 [∵PO⊥平面 ABC，且 PA＝PB＝PC， ∴OA＝OB＝OC，∴O 是△ABC 的外心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面 PBC， ∴PA⊥BC，又 PO⊥BC ∴BC⊥平面 PAO∴AO⊥BC， 同理 BO⊥AC，CO⊥AB， ∴O 是△ABC 的垂心．]
ll⊂ ⊥βα⇒α⊥βຫໍສະໝຸດ 如果两个平面互相垂直，那么在一
性质 定理
个平面内垂直于它们_交__线__的直线
垂直于另一个平面
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒_l⊥__α_ l⊥a
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A版.pptx
3.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_外____心；
解析 如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_垂____心.
平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角直是角
，若一条直线
和平面平行，或在平面内，它们所成的0°角是 的角.
(2)范围：0，π2.
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面
§8.4 直线、平面垂直的判定与性质
最新考纲
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质 与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
考情考向分析
直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面 垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容.题型主要以解答题的 形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
设正方体的棱长为2， 则 OM＝ 1＋2＝ 3，MN＝ 1＋1＝ 2，
ON＝ 1＋4＝ 5，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上 不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是 A.MN∥AB
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第八章 立体几何 直线、平面垂直的判定与性质
§8.5 直线、平面垂直的判定与性质考纲展示►1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直（1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：答案:(1）任意一条(2)两条相交直线a，b⊂αa∩b＝O l⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α（1）[教材习题改编]下列命题中不正确的是（)A．如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A（2）[教材习题改编］如图，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案:4［典题1］（1）［2017·上海六校联考］已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β［答案］C［解析］由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．（2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB ⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.［证明] ①在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC。
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE。
《空间直线、平面的垂直》立体几何初步(直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定)课件PPT文档
直线与平面垂 直的定义
理解并掌握直线与平面垂 直的定义，明确定义中 “任意”两字的重要性
直观想象
直线与平面垂 直的判定定理
掌握直线与平面垂直的判 定定理，并能解决有关 直观想象、逻辑推理 线面垂直的问题
第八章 立体几何初步
问题导学
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北京专用2020届高考数学一轮第八章立体几何.直线平面垂直的判定与性质
Ｓ △ＡＭＣ １
１ ２ ������ＡＭ������Ｃ１ Ｍ
Ｃ１ Ｍ
３
＝
６ ３ ꎬ所以点 Ａ１
到平面 ＡＭＣ１
的距离为
６ ３
.
二、证明平面与平面垂直的方法
判定或证明面面垂直的主要方法:①利用判定定理.在审题 时要注意直观判断哪条直线可能是垂线ꎬ充分利用等腰三角形 底边上的中线垂直于底边ꎬ勾股定理的逆定理等. ②用定义证明. 只需判定两平面所成二面角为直二面角.③两个平行平面中的一 个垂直于第三个平面ꎬ则另一个也垂直于第三个平面. ④ 两个平 面的法向量 ｍꎬｎ 垂直ꎬ即 ｍ������ｎ ＝ ０.
所以 ＰＡ⊥ＡＢꎬＰＡ⊥ＡＤꎬ
又因为 ＡＢ⊥ＡＤꎬＰＡ∩ＡＢ ＝ Ａꎬ所以 ＡＤ⊥平面 ＰＡＢꎬ
在直角△ＰＡＢ 中ꎬＰＡ ＝ ＡＢ ＝ ２ꎬＥ 为 ＰＢ 的中点ꎬ
所以 Ｓ△ＰＡＥ ＝ １ꎬ
所以 ＶＰ－ＥＡＤ ＝ ＶＤ－ＰＡＥ ＝
１ ３
������Ｓ△ＰＡＥ ������ＡＤ ＝
２ ３
.
������������������������������������������������������������������������������
} ｌ⊥ａꎬｌ⊥ｂ
ａ∩ｂ ＝Ｏ ⇒ｌ⊥α ａ⊂αꎬｂ⊂α
} ａ∥ｂ ⇒ｂ⊥α ａ⊥α
如果 一 条 直 线 和 一 个 平 面垂直ꎬ则这条直线垂直 于平 面内任意一条直线 性质 (即线面垂直⇒线线垂直)
} ａ⊥α ⇒ａ⊥ｂ ｂ⊂α
垂直 于 同 一 个 平 面 的 两 条直线平行
} ａ⊥α ⇒ａ∥ｂ ｂ⊥α
图形语言
符号语言
∠ＡＯＢ 是 二 面 角 α－ｌ－β 的平 面 角ꎬ 且 ∠ＡＯＢ ＝ ９０°ꎬ则 α⊥β
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第八章第四节直线平面垂直的判定与性质pptx课件北师大版
对于D,若m⊂α,l⊂β,l∥m,则α∥β,取平面ABCD为α,
平面ADHE为β,直线BC为l,直线EH为m,此时满足
“m⊂α,l⊂β,l∥m”,但是α,β相交,不满足α∥β,故D不
正确.故选B.
方法总结
对点训练1下列说法中错误的是(
D.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β
(2)(2021浙江丽水二模)已知直线l,m,平面α,β,则(
A.若l⊂α,m∥l,则m∥α
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
D.若m⊂α,l⊂β,l∥m,则α∥β
)
答案 (1)C (2)B
解析 (1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;
第八章
第四节
直线、平面垂直的判定与性质
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.从定义和基本事实出发,借 1.空间中垂直关系的判
助长方体,通过直观感知,了
定
解空间中直线与直线、直线 2.线面垂直的判定与性
与平面、平面与平面的垂直 质
直观想象
关系,并加以证明.
逻辑推理
解析 当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条
件
考点一
空间中垂直关系的判定
典例突破
例1.(1)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法错
误的是(
)
A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b
B.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β