第2章 共轴球面系统的物像关系

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角放大率（倍率） 三、角放大率（倍率）γ 在近轴区以内，通过物点的光线经过折射后， 在近轴区以内，通过物点的光线经过折射后，必 然通过相应的像点，这样一对共轴光线与光轴的 然通过相应的像点， 的比值即为角放大率γ 夹角 和u的比值即为角放大率 的比值即为角放大率
u' γ= u
利用关系式 lu=l'u'，可得 ，
（2－17） － ）
四、以上三个放大率参数之间的关系
l n 1 γ= = ⋅ l' n' β
（2－18） － ）
n' 2 n 1 αγ = β ⋅ =β n n' β
（2－19） － ）
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拉格朗日—赫姆霍兹不变量 五、拉格朗日 赫姆霍兹不变量
l u' y' nl' 在公式 β = = 中，利用 γ = = ，得 l' u y n'l
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§2-4 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一个基本成像元件（反 射镜作为折射面的特例，可以由单个面构成一基 本成像元件）。基本成像元件是至少由两个球面 或非球面所构成的透镜。为加工方便绝大部分透 镜是由球面组成的。
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• 以下是解决如何由一个折射面过渡到下一个面的问 题。一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 如有k个折射面）：各个折射面的曲率半径 个折射面）：各个折射面的曲率半径r （如有 个折射面）：各个折射面的曲率半径 k; 各个折射球面的顶点之间的间隔为d （k=1,2,3…)各个折射球面的顶点之间的间隔为 k 各个折射球面的顶点之间的间隔为 其中， （k=1,2,3…) 。其中，d1 是指第一个面的顶点 到第 之间的距离，其余类推； 二面顶点 之间的距离，其余类推；各球面间的介质 其中， 折射率n 折射率 k （k=1,2,3…) ，其中，n1 是指第一面的物 方介质折射率，其余类推，其中n 方介质折射率，其余类推，其中 k+1=nk 。 • 有了这些参数以后， 有了这些参数以后，才能对整个光学系统进行光 路计算和成像放大率的计算。 路计算和成像放大率的计算。 • 上图中画出了一个近轴区的物体被共轴球面光学系 统前两个面近轴光线成像的情况。 统前两个面近轴光线成像的情况。
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• 物像位置关系式
• 对于以上公式，利用近轴区成立的关系，加以 对于以上公式，利用近轴区成立的关系， 代换 l u=h=l'u' • 可以导出以下三个重要公式
•
n'−n n'u'−nu = h r n' n n'−n − = =Φ l' l r
（2－11） － ） （2－12） － ）
1 1 1 1 （2－13） － ） n' − = n − = Q r l' r l • 以上公式中，Q称为阿贝不变量，这个量在物 以上公式中， 称为阿贝不变量， 称为阿贝不变量 像空间应相等。 为光焦度， 像空间应相等。φ为光焦度，是光学系统的一 个重要参数。 个重要参数。
第二章 共轴球面系统的物像关系
§2-1 光线经过单个折射球面的折射
• 一、符号规则 • 如图2.1-1，规定从左到右是光线的正方向。 规定从左到右是光线的正方向。 规定从左到右是光线的正方向 • 沿轴线段：L、L'、r 等，以折射球面顶点O 沿轴线段： 、 、 以折射球面顶点 为原点，如果由原点O到光线的交点和球心的 为原点，如果由原点 到光线的交点和球心的 方向与规定的光线传播正方向相同，其值为正， 方向与规定的光线传播正方向相同，其值为正， 反之为负；或者说，沿轴线段在顶点O右侧值 反之为负；或者说，沿轴线段在顶点 右侧值 为正， 线段值为负。 为正，在左侧 线段值为负。 • 垂轴线段：以光轴为基准，在光轴之上为正， 垂轴线段：以光轴为基准，在光轴之上为正， 在光轴之下为负。如物、像的高y、 在光轴之下为负。如物、像的高 、y' 、h 等。
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• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
nuy = n' u' y' = J
（2－20） － ）
此式称为拉格朗日 赫姆霍兹恒等式， 此式称为拉格朗日——赫姆霍兹恒等式，简 拉格朗日 赫姆霍兹恒等式 拉赫公式。其表示为不变量形式， 称拉赫公式。其表示为不变量形式，在一对 共轭平面内，物高y、孔径角u和折射率 和折射率n的乘 共轭平面内，物高 、孔径角 和折射率 的乘 积是一常数， 表示， 拉格朗日—赫姆 积是一常数，以J表示，称为拉格朗日 赫姆 表示 称为拉格朗日 拉赫不变量。 霍兹不变量，简称拉赫不变量 霍兹不变量，简称拉赫不变量。
l −r u i= r n i'= i n' n'
（2－6） － ） （2－7） － ） （2－8） － ） （2－9） － ）
u' = i +u −i'
i' l' = r + r u'
对于单个折射球面，利用上式可以由已知的 和 对于单个折射球面，利用上式可以由已知的l和u 的值。 值，求得折射后近轴光的 u'和l'的值。 和 的值 7
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• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
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对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
综上所述， 综上所述，轴上物点发出的光束在靠近光轴处有 一个区域， 一个区域，这个靠近光轴的区域的细光束经折射后 仍为同心光束。这个区域称为近轴区 近轴区。 仍为同心光束。这个区域称为近轴区。在近轴区行 进的光线称为近轴光线 近轴光线。 进的光线称为近轴光线。 在近轴区内的光线可以用近轴光路计算公式来计 这个区域内把入射同心光束变成出射同心光束， 算，这个区域内把入射同心光束变成出射同心光束， 所成的像是完善的，这个完善的像也称为高斯像 高斯像， 所成的像是完善的，这个完善的像也称为高斯像， 这个近轴区也称为高斯区 高斯区。 这个近轴区也称为高斯区 研究光学系统近轴区的成像性质和规律的光学称 高斯光学，也称为近轴光学 近轴光学。 为高斯光学，也称为近轴光学。
dl
n' dl' ndl − 2 + 2 =0 l' l
n n l' 2 α = 2 2 =β n' n' l
2 2
dl' nl'2 α= = 2 dl n'l
n' 2 α= β n
（2－16） － ）
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• 由上式可见在折射系统中,n＞0,n'＞0,沿轴放大 由上式可见在折射系统中, ＞ ＞ 沿轴放大 率恒大于0 这表示在折射系统中dl'与 同号， α率恒大于0，这表示在折射系统中 与dl 同号， 即物、像移动方向相同。 的大小随物体位置而异， 即物、像移动方向相同。〈的大小随物体位置而异， 由于沿轴放大率与垂轴放大率不是线形关系， 由于沿轴放大率与垂轴放大率不是线形关系，除 的一对共轭面之外的任何位置上， 了| β|>1 的一对共轭面之外的任何位置上，都不 能对小正方体成相似的立方像。 能对小正方体成相似的立方像。
β=
y
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由图中相似三角形ABC和A'B'C' 可得 和 由图中相似三角形
y' l'−r 或 β= = y l −r y' nl' 由式（ 由式（2-13）可得 ） β= = y n'l
y' l'−r − = y −l + r
(2-15)
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• 讨论： 讨论：
(1)当求出轴上一对共轭点的截距 和l' 以后，可 当求出轴上一对共轭点的截距l和 以后， 当求出轴上一对共轭点的截距 用上式求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴 放大率。 ＜ 表示成倒像 表示成倒像， ＞ 时成正像 时成正像。 放大率。β＜0表示成倒像，β＞0时成正像。垂轴 放大率仅决定于共轭面的位置，在一个共轭面上， 放大率仅决定于共轭面的位置，在一个共轭面上， 放大率为常数，故像必和物相似。 放大率为常数，故像必和物相似。 • (2)当β＜0时，l和 l'异号，表示物和像处于球面 异号， 当 ＜ 时 和 异号 的两侧，像的虚实必与物一致。 的两侧，像的虚实必与物一致。当β＞0时，l和l' ＞ 时 和 同号，表示物和像处于折射面的同一侧， 同号，表示物和像处于折射面的同一侧，像的虚 实与物相反。 实与物相反。 • (3)当| β|>1时，为放大像，即像比物大。反之为 当 时 为放大像，即像比物大。 缩小像。 缩小像。 •
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• 三、单个折射面成像的不完善性
•
•
§2-2 近轴区及近轴光线光路计算
当射入折射球面的光线的孔径角U很小时，那 么光路计算公式中相应的I,I',U' 也必很小。角度 X的正弦可以展开
x x3 x5 sin X = − + L L 1 3 5 ! !
当x很小时，上式中的高次方项可以忽略，角度X 的正弦值可以用角度的弧度值x代替，有sinX≈x。 。
将 解得
代入公式
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§2-3 单个折射球面的成像放大ห้องสมุดไป่ตู้及拉赫不变量