6.1 数列的概念1
高中数学一轮复习 6.1 数列的概念与简单表示
第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n －12.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________．[题组训练]1.(累加法)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________. 2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.3.(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12<a n <1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________． 考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝na nb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2 [课时跟踪检测]1．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．232．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( ) A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )A ．10B ．15C ．－5D ．205．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( ) A ．[1,3) B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,3) 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.8．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________． 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．10．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。
2023版高考数学一轮总复习6-1数列的概念及表示课件
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.
6.1数列的概念和表示法
,__13_,
1 4
,
1 5
,
1 6
1 , __7_
练习
1、 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an 1n n
方法：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
2 根据6.下1 列数各列无的穷概数念列的前4项, 写出数列的 一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…；
1
−1
1
，答案不一 定是唯一的
关系 (1)1 (1)2 (1)3 (1)4
．
由此得到，该数列的一个通项公式为
an (1)n．
3、 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1) _1__,4,9,16,25, _36__,49;
(2) 1, 2, __3_,2, 5, （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n an 关系
1
2
3
4
5
10
15
20
5 5 1 10 5 2 15 5 3 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
an 5n．
6.1 数列的概念
(2) 1，1，1，1，L ； 2468
解： (2) 数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
数列
概念形成
疏理归纳有关概念
◆按一定次序排列的一列数叫数列 ◆数列中的每一个数叫做这个数列的项 ◆各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），
第2项，······， 第n项，······
◆数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}，其中an是数列 的第n项。
◆数列分类： 有穷数列,无穷数列;
中职数学人教版基础模块下册第六章数列《数列的概念》课件
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
数列的概念与简单表示法
第六章 数 列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一 数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ ．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)， 即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。
6.1数列的概念与通项公式
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时6.1数列的概念与通项公式考纲定位 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.【典型例题】一、通过归纳、猜想求通项公式例1、写出下列数列的一个通项公式，使其前4项分别是下列各数. （1）0，3，8，15，...；（2）1111,,,12233445--⨯⨯⨯⨯，...；（3）3，33，333，3333，...；变式训练：1、数列3，5，9，17，33，...的通项公式n a 等于（ ）A.121n +- B.21n + C.21n - D.12n +2、（2010 湖南）若数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，只有有限个正整数m 使得m a n <成立，记这样的m 的个数为*()n a ，则得到一个新数列*{()}n a .例如，若数列{}n a 是1，2，3，...，n ，...，则数列*{()}n a 是0，1，2，...，(n-1)，...。
已知对任意的*n N ∈，2n a n =，则*5()a = ，**(())n a = ；二、通过前n 项和n S 求通项公式n a例2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，分别求其通项公式. （1）2n S n n =+； （2）*1111,,3n n a a S n N +==∈变式训练：1、已知数列{}n a 的前n 项和为2*2,n S n n n N =-∈，求其通项公式.三、通过递推公式求通项公式例3、（2010 辽宁）已知数列{}n a 满足*1133,2,n n a a a n n N +=-=∈，求na n的最小值.例4、已知数列{}n a 中，*1111,,2n n n a a a n N n n--==∈≥且，写出数列的前3项，并求出通项公式n a .变式训练：1、（2008 江西）在数列{}n a 中，*1112,ln(1),n n a a a n N n+==++∈，则n a =（ ）A.2ln n +B.2(1)ln n n +-C.2ln n n +D.1ln n n ++2、（2009 北京）已知数列{}n a 满足*434121,0,,n n n n a a a a n N --===∈，则2009a = ；2014a = .3、（2009 重庆）设*11222,,||,11n n n n n a a a b n N a a ++===∈+-，则数列{}n b 的通项n b = ；※ 小结：（1）形如1()n n a a f n +=+的递推公式，可用（2）形如1()n n a a f n +=的递推公式，可用【上本作业】（2013 安徽）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πωωω⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π。
第六章6.1 数列的概念及简单表示法
数学 R A（理）
§6.1数列的概念及简单表示法
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个 数列的 项 ．
2．数列的分类
分类 原则
类型
满足条件
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“次序” 排列的一列数，一个数列 不仅与构成它的“数”有 关，而且还与这些“数” 的排列顺序有关． (2)数列的项与项数：数列 的 项 与 项数是两个不同的
先观察各项的特点，然后归纳出其 通项公式，要注意项与项数之间的 关系，项与前后项之间的关系．
(4)3,33,333,3 333，….
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个通
思维启迪 解析 探究提高
(解2项)每公(一1式)项各：的项分减子去比1 分后母为少正偶1，数而，分所母以组an成＝数2n列＋12.1，22，23，24，…，所以
解析
探究提高
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
由数列的递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
解析
探究提高
＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
第六章 数列-6.1 数列的概念
任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，
即∃ ∈ , ≤ ，否则称为无界数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的
前一项的数列
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3.数列的表示法
表示法
定义
列表法
列出表格表示与的对应关系
图象法
,
把点_______画在平面直角坐标系中
通项公式
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【常用结论】
6.累加法与累乘法
（1）已知1 且 − −1 = ≥ 2 ，可以用“累加法”得：
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + − 1 + .
−1
（2）已知1 且
= ≥ 2 ，可以用“累乘法”得：
= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ − 1 ⋅ .
2.（教材题改编）已知数列{ }的通项公式为 =
A.第4项
√
2
解：由题意，知 2
+
B.第5项
=
1
，2
10
2
1
，那么
是它的(
2 +
10
C.第6项
( ×)
)
D.第7项
+ = 20，解得 = 4或 = −5（舍去）.故选A.
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3.在数列{ }中，1 = 1, = 1 +
解： = 2 + ，则−1 = − 1
2
+ − 1 = 2 − ( ≥ 2)，所以
= − −1 = 2 ≥ 2 . 1 = 1 = 12 + 1 = 2，符合上式.故 = 2 ∈ ∗ .故
第六章 §6.1 数列的概念-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§6.1数列的概念课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{a n }的前n 项和把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(√)(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(√)2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是()A ．21B ．33C ．152D ．153答案C解析由数列的通项公式得，a 1＝21，a 2＝33，a 12＝153.3．(选择性必修第二册P8T4改编)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n 等于()A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1答案B解析∵a 1＝S 1＝1＋1＝2，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，2n ＝2＝a 1，∴a n ＝2n .4．(选择性必修第二册P9T5改编)如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数1,5,12,22，…称为五边形数，则第8个五边形数是________．答案92解析∵5－1＝4,12－5＝7,22－12＝10，∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，∴第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若2S n ＝3a n －3，则a 4等于()A ．27B ．81C ．93D ．243答案B 解析根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a 4＝a 1q 3＝34＝81.(2)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.答案2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析由已知，可得当n ＝1时，a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②，得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)，当n ＝1时，不满足上式，∴a n 2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.思维升华a n 与S n 的关系问题的求解思路(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1(1)(2023·潍坊统考)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S m＋S n＝S m＋n，若a1＝2，则a20等于()A．2B．4C．20D．40答案A解析方法一a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2.方法二令m＝1，∴S n＋S1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝S1＝2，∴a n＋1＝2，∴a20＝2.(2)(2023·深圳模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3且当n≥2时，2a n＝S n·S n－1，则{a n}的通项公式a n＝________________.答案n≥2解析当n≥2时，由2a n＝S n·S n－1可得2S n－2S n－1＝S n·S n－1，化为1S n－1S n－1＝－1 2，因为1S1＝1a1＝13，是首项为13，公差为－12的等差数列，所以1S n＝13－12(n－1)＝－12n＋56所以S n＝65－3n，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝18(5－3n)(8－3n)，又因为a1＝3，不符合上式，故a nn≥2.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2若数列{a n}满足a n＋1－a n＝a1＝1，则数列{a n}的第100项为()A．2B．3 C．1＋lg99D．2＋lg99答案B解析因为a n＋1－a n＝lg n＋1n＝lg(n＋1)－lg n，所以a 100－a 99＝lg 100－lg 99，…a 3－a 2＝lg 3－lg 2，a 2－a 1＝lg 2－lg 1，以上99个式子累加得a 100－a 1＝lg 100，所以a 100＝lg 100＋1＝3.命题点2累乘法例3设在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则a n ＝________.答案2n解析∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2满足上式．思维升华(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法，即可求数列{a n }的通项公式．(2)形如a n ＋1a n＝f (n )的数列，利用累乘法即可求数列{a n }的通项公式．跟踪训练2(1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为______．答案a n ＝n 2＋n 2解析由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时，a 1＝1也满足此式，∴a n ＝n 2＋n 2.(2)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＋1＝2(n ＋2)a n ，则数列{a n }的通项公式为____________．答案a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *)解析∵(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，∴a n＋1a n＝2(n＋2)n＋1，则a n＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·a na n－1＝2n－1·a1×43×54×…×(n＋1)·2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝2满足上式，∴a n＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)．题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若数列{a n}为递增数列，则a n＋1－a n＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)＝(n2＋2n＋1－3λn－3λ)－(n2－3λn)＝2n＋1－3λ>0，即3λ<2n＋1，由于n∈N*，所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1，反之，当λ<1时，a n＋1－a n>0，则数列{a n}为递增数列，所以“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件．命题点2数列的周期性例5若数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，则a2024的值为()A．2B．－3C．－12D.1 3答案D解析由题意知，a1＝2，a2＝1＋21－2＝－3，a3＝1－31＋3＝－12，a4＝1－121＋12＝13，a5＝1＋131－13＝2，a6＝1＋21－2＝－3，…，因此数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2024＝a 506×4＝a 4＝13.命题点3数列的最值例6数列{b n }满足b n ＝3n －72n －1，则当n ＝________时，b n 取最大值为________．答案458解析方法一b n －b n －1＝3n －72n －1－3n －102n －2＝13－3n2n －1，∴当n ≤4时，b n >b n －1，∴{b n }单调递增，当n ≥5时，b n <b n －1，∴{b n }单调递减，故当n ＝4时，(b n )max ＝b 4＝58.方法二n ≥b n ＋1，n ≥b n －1，≥3n －42n ，≥3n －102n －2，解得103≤n ≤133，又n ∈N *，故n ＝4，故当n ＝4时，(b n )max ＝b 4＝58.思维升华(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{a n }的单调性．跟踪训练3(1)(2024·安康模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a 2＝1，a 3＝a 4＝2，a n ＋a n＋4＝0，则()A ．S 23>S 21>S 22B ．S 21>S 22>S 23C ．S 21>S 23>S 22D ．S 23>S 22>S 21答案B解析因为a n ＋a n ＋4＝0，所以a n ＋4＝－a n ，所以a n ＋8＝－a n ＋4＝a n ，所以{a n }是以8为周期的周期数列，又a 1＝a 2＝1，a 3＝a 4＝2，所以a 6＝－a 2＝－1，a 7＝－a 3＝－2，所以S 22－S 21＝a 22＝a 6＝－1<0，S 23－S 22＝a 23＝a 7＝－2<0，所以S 22<S 21，S 23<S 22，故S 21>S 22>S 23.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项的值分别为________．答案3，－1解析a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21>0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21<0，且单调递减．因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a 11＝3，a 10＝－1.课时精练一、单项选择题1．若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为()A.(－1)n＋1n ＋1 B.(－1)nn ＋1C.(－1)n n D.(－1)n －1n答案A解析由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于|1n ＋1|，故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.2．(2023·北京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝n 2－1，则a 3等于()A ．－5B ．5C ．7D ．8答案B解析因为S n ＝n 2－1，所以a 3＝S 3－S 2＝(32－1)－(22－1)＝5.3．已知数列{a n }的首项为3，a n ＋1－a n ＝2n －8(n ∈N *)，则a 8等于()A ．0B ．3C ．8D ．11答案B解析由a n ＋1－a n ＝2n －8，得a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.4．若数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于()A ．2n －1B ．n 2C.(n ＋1)2n 2 D.n 2(n －1)2答案D解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.5．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2024的值为()A ．2B ．1 C.12D.14答案A解析因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列，所以a 2024＝a 2＝2.6．已知数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是()A ．310B ．19C.119D.1060答案C解析令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥610，当且仅当x ＝310时，等号成立．因为a n ＝1n ＋90n，n ∈N *，所以1n ＋90n≤1610，所以当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．二、多项选择题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋，则下列说法正确的是()A ．a 1是数列{a n }的最小项B ．a 4是数列{a n }的最大项C ．a 5是数列{a n }的最大项D ．当n ≥5时，数列{a n }是递减数列答案BCD解析假设第n 项为{a n }n ≥a n －1，n ≥a n ＋1，＋2)≥(n ＋1)－1，＋2)≥(n ＋3)＋1，≤5，≥4，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故在数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574，当n ≥5时，数列{a n }是递减数列．8．(2023·扬州仪征中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a 2n ＋12，则下列说法正确的是()A ．a 2023>a 2022B ．4a 2n ＋1－1＝4a n ＋1a nC.1a 2n ＋15a 2n ＋1的最小值为8＋15D ．a n ≥1答案ABD解析因为a n ＋1－a n ＝a n ＋a 2n ＋12－a n ＝a 2n ＋1－a n2>0，即a n ＋1>a n ，所以a n ≥a 1＝1，故D 正确；因为a n ＋1>a n ，所以数列{a n }为递增数列，可得a 2023>a 2022，故A 正确；对于选项B ，因为a n ＋1＝a n ＋a 2n ＋12，则2a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1，两边平方整理得4a 2n ＋1－1＝4a n ＋1a n ，故B 正确；对于选项C ，因为数列{a n }为递增数列且a n ≥1>0数列，不存在最小值，故C 错误．三、填空题9．若a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是第________项．答案7解析由题意得，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，其对应的二次函数为y ＝－2x 2＋29x ＋3，函数y ＝－2x 2＋29x ＋3的图象开口向下，对称轴为x ＝294，因为n 为正整数，所以当n ＝7时，a n 取得最大值．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案－1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列，故a n －1.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，(n －1)a n ＝n ·2n a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅解析当n ≥2时，有(n －1)a n ＝n ·2n a n －1，故a n a n －1＝n n －1·2n ，则有a n －1a n －2＝n －1n －2·2n －1，a n －2a n －3＝n －2n －3·2n －2，…，a 2a 1＝21×22.上述n －1个式子累乘，得a n a 1＝n －n …2n ·2n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＝(1)(2)22n n n -+⋅.因为a 1＝1，所以a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅，而当n ＝1时，a 1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝(1)(2)22n n n -+⋅.12．(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．现假设有n 个圆环，用a n 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的最少移动次数，且数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －2＋2n －1(n ≥3，n ∈N *)，则解开九连环最少需要移动________次．答案341解析由题意，a n ＝a n －2＋2n －1，故a 3－a 1＝22，a 5－a 3＝24，…a 2n －1－a 2n －3＝22n －2，以上各式相加，可得a 2n －1－a 1＝22＋24＋…＋22n －2＝41＋42＋…＋4n －1，即a 2n －1＝1＋41＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝4n －13，所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a 9＝45－13＝341.四、解答题13．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3.(2)方法一由a n ＋1＝2S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，故S n ＋1＝(S n ＋1)2.∵a n >0，∴S n >0，∴S n ＋1＝S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝1，则S n －S n －1＝1(n ≥2)，由累加法可得S n＝1＋(n－1)＝n，∴S n＝n2(n≥2)，又S1＝a1＝1，满足上式，∴S n＝n2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式，∴a n＝2n－1.方法二由a n＋1＝2S n＋1，得(a n＋1－1)2＝4S n，当n≥2时，(a n－1)2＝4S n－1，∴(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝4(S n－S n－1)＝4a n.∴a2n＋1－a2n－2a n＋1－2a n＝0，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－2)＝0.∵a n>0，∴a n＋1－a n＝2(n≥2)．a2－a1＝2，∴{a n}为等差数列，且公差为2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.14．已知在数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．解(1)∵2S n＝(n＋1)a n，∴2S n＋1＝(n＋2)a n＋1，∴2a n＋1＝(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n，即na n＋1＝(n＋1)a n，∴a n＋1n＋1＝a nn，∴a nn＝a n－1n－1＝…＝a11＝1，∴a n＝n(n∈N*)．(2)∵b n＝3n－λn2，∴b n＋1－b n＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{b n}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3n 2n＋1.令c n＝2·3n2n＋1，则c n＋1c n＝2·3n＋12n＋3·2n＋12·3n＝6n＋32n＋3>1，∴{c n}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．15．(多选)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．“斐波那契数列”{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为S n，则下列结论正确的是() A．S7＝33B．S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2026C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a2024D．a21＋a22＋a23＋…＋a22023＝a2022a2023答案ABC解析A项，S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，A正确；B项，S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2023＋a2024＋a2022＋a2023＝a2025＋a2024＝a2026，B正确；C项，a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a4＋a5＋…＋a2023＝a6＋…＋a2023＝a2022＋a2023＝a2024，C正确；D项，a21＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a23＝a3a4－a2a3，a24＝a4a5－a3a4，…，a22022＝a2022a2 023－a2021a2022，a22023＝a2023a2024－a2022a2023，所以a21＋a22＋a23＋…＋a22023＝a2023a2024，D错误．16．(2023·内江模拟)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a31＋a32＋…＋a3n＝S2n，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为________．答案a n＝n解析a31＋a32＋…＋a3n＝S2n，①当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a31＋a32＋…＋a3n－1＝S2n－1＝(S n－a n)2，②①－②得a3n＝S2n－(S n－a n)2＝a n(2S n－a n)，因为各项均不为0，所以a2n＝2S n－a n，③a2n－1＝2S n－1－a n－1(n≥2)，④③－④得(a n＋a n－1)(a n－a n－1－1)＝0(n≥2)，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)，所以a n＝1＋n－1＝n.又a1＝1适合上式，所以a n＝n.。
数列的概念重要知识点讲解 Microsoft Word 文档
数列的概念重要知识点讲解一、知识梳理：1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2、递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
3、数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n 注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、巩固练习：1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项 （ A ）（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）232．在数列}{n a 中，11++=n n a n ，且9=n S ，则=n 99 ．3． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a 21212121n n -=--. 4.已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为______________（答：125）； 5.数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为_________（答：n a <1+n a ）；6.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围___________（答：3λ>-）；7.给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ）（答：A ）A B C D8．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d 由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >∴2d =∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+。
§6.1 数列的概念及其表示法
解题导引
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解析 由an(an-1+2an+1)=3an-1· an+1(n≥2,n∈N*), 可得 - =2
1 - 1 =3-1=2, a2 a1 1 1 an 1 an
1 an
1 , an1
∴数列
1 1 ∴ - =2n. an 1 an
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解析 当n≥2时,an=2Sn-1, ∴an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, 即an+1=3an, ∴数列{an}的第2项及以后各项构成等比数列,a2=2a1=2,公比为3,∴an=2· 3n-2,n≥2,
当n=1时,a1=1,
∴数列{an}的通项公式为an= 答案
1, n 1 an= n2 2 3 , n 2 1, n 1, n2 2 3 , n 2.
易错警示 利用an=Sn-Sn-1求通项时,应注意n≥2这一前提条件.
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方法 2 由递推公式求数列的通项公式
由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如an+1=an+f(n),常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
(n≥2,n∈N*)求解.
an a2 a3 * (2)形如an+1=an· f(n),常用累乘法,即利用an=a1· · · … · ( n ≥ 2, n ∈ N )求解. a1 a2 an1
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若p=r,则 ,可用等差数列的通项公式求 , 是等差数列,且公差为
1 an
q p
1 an
进而求an;
若p≠r,则采用(3)的方法来求 ,进而求an. (5)形如an+2=pan+1+qan(p+q=1),常用构造等比数列法. 将an+2=pan+1+qan变形为an+2-an+1=(-q)· (an+1-an),则{an-an-1}(n≥2,n∈N*)是等 比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n)(n≥2,n∈N*),然后用累加法求an.
高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法
数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间递增数列a n ＋1>a n其中的大小 关系递减数列 a n ＋1<a n n ∈N *常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)．则a 2 022＝________.答案 －1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2 022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，3)解析 由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1. 化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三 易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2(n ∈N *) 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2，n ∈N *.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________． 答案 9或10解析 要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可， 即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10， 又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列，即1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． 方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 题型二 由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． 命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析 由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0， 又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2(n ＋1)n， 又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n ，a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，……a 3a 2＝22，a 2a 1＝2， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三 数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)． 思维升华 解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2， ∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列， 且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华 解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和． 命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴a n n ＝n ＋28n－1， 设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293，故选C.思维升华 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ， 且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1； 当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1； 当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2； 当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1； 当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1； 当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列， 所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项． 答案 6或7解析 a n ＋1a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n ≤6，即当n ≤6时，a n ＋1≥a n ， 当n >6时，a n ＋1<a n ，∴a 6或a 7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n∈N*，a n≠0，则a1a2a3＝8，∴a3＝8a1a2＝4，由a n a n＋1a n＋2＝8，得a n＋1a n＋2a n＋3＝8，∴a n a n＋1a n＋2＝a n＋1a n＋2a n＋3，∴a n＋3＝a n，∵2 021＝3×673＋2，因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析 由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≤a 4，a 5≤a 6， 即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a ≥－40，a ≤0. 故选B.5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列 答案 ABD解析 对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确； 对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析 对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可， 所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项． 答案 5解析 因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2，n ∈N *. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058， 由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析 在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中，令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8，因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，①所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1， 即n 2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8 ＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于( ) A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ， 当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ， 即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164. 故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2， 两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0， 即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3； 当n ≥3时，b n ＋1－b n >0， 即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…，所以数列{b n}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.。
6.1 数列的概念
an n (n N* )
巩固知识 典型例题
例 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项： （ 1）
n an n 1
（ 2）
an 1 n
n
分析：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
巩固知识 典型例题
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2 , 3，4，5，得到数列 {an}的前5项为
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
a1
a2
(1 )
a3
a4
a5
将2的正整数指数幂从小到大排成排成 一个数列的第n项an如果 能够用关于项数n的一个 一列数为 式子来表示，那么这个 2 3 4 5 式子叫做这个数列的通 2,2 ,2 ,2 ,2 , (2 ) 项公式. n * an 2 (n N )
问题3：2,2,2,2 · · · · · ·是数列吗？
数列具有： 确定性、 有序性、 可重复性
是， 数列中的数可以重复出现.
二、数列的分类：
动脑思考 探索新知
项数有限的数列叫做有穷数列； 如： 4，5，6，7，8，9，10； 项数无限的数列叫做无穷数列． 如: －1，1，－1，1，－1，…；
1 2 n
如数列（3）中
1
a 2 ， a 4 ，a 8
2
3
，……
注意：an表示 第n项，{an}表 示一个数列
动脑思考 探索新知
问题1：铅笔，圆珠笔，水笔，毛笔。它是一 个数列吗？
不是，它不是由数构成.
问题2：2,4,6,8 和 8,6,4,2是同一个数列吗?
不同，因为数的排列次序不同.
特点：1、均是一列数，2、有一定顺序
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】
『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】 根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公 比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列 无穷数列
项数 项数
有限 无限
递增数列 递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和 解析法 ． 4．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是 数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；
第六章数列一章教案
第六章数列⼀章教案第六章数列6.1 数列的概念教学⽬标：1.了解数列的概念和通项公式的意义，会求常见数列的通项公式.2.培养学⽣观察、分析、归纳、判断问题的能⼒.3.对学⽣进⾏由特殊到⼀般和由⼀般到特殊的认识规律的教育.教学重点：数列的概念及求⼀些数列的通项公式.教学难点：已知数列前⼏项求数列的通项公式.教学⽅法：讲授法、启发式教学法等.学习⽅法：观察法、练习法.教具：投影仪.教学过程：⼀、导⼊新课(1)师语：同学们，“队列”⼀词我们⾮常熟悉，谁能描述⼀下“队列”的含义？(2)教师选⼀两名学⽣对队列进⾏描述(可能不准确，不完整).(3)教师对学⽣的描述加以规范，并参照数列的定义给出队列的描述；按⼀定的次序排列的⼀列⼈叫队列.显然，构成队列的元素是⼈.每⼀个⼈在队列中都有固定的次序号，只要我们指定次序号就能找到与之对应的唯⼀的⼈，反之亦然.那么，如果有⼀列数，像⼈排成队列⼀样，按照⼀定的次序排成⼀列，这就是我们今天要学习的“数列”.(4)教师板书课题(⿊板左上⾓).(5)师语：构成“队列”的元素是⼈，⽽构成“数列”的元素是数，为了研究“数列”的问题，必须给出“数列”及有关概念的科学的定义.⼆、讲授数列的定义(1)教师板书数列的定义按⼀定次序排列的⼀列数，叫做数列，例如：4，5，6，7，8，9，10； (1)1，，，，…； (2)的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不⾜近似值列成⼀列：1，1.4，1.41，1.414， (3)－1，1，－1，1，－1， (4)2，2，2，2， (5)等都是数列(2)师语：构成数列的元素是数，⼀个数列中包含很多数，每⼀个数在数列中所处的位置是不同的，(即，每⼀项都有⾃⼰的次序号).在数列中的每⼀个数都叫做这个数列的项.(教师将项的定义板书在数列定义下)，显然，⼀个数列中有很多项.根据项在数列中所处的次序不同，我们依次将各项称为第1项，第2项，第3项，…….(提问学⽣所给出的数列的各项的值.)显然数列中的每⼀项都对应⼀个次序号，反之亦然.所有次序号按从⼩到⼤的顺序排列在⼀起就是正整数的⼀个⼦集1，2，3，4，…….数列中每⼀项所对应的次序号叫做该项的项数.(将项数的定义板书于项定义下.)不难发现对于⼀个已知数列来说“项数⼀经确定，项就被唯⼀确定了”.(提问⼏名同学，分别举出⼀个或⼏个具体的数列，并选择规律明显的板书于⿊板右侧.)三、讲授数列的通项公式(1)师语：前⾯的⼏名同学分别举出了⼏个数列的实例，虽然这些数列是不同的，但是它们的共同特征为按⼀定次序排列的⼀列数.数列的⼀般形式可以写成：，，，，…，…其中代表数列的第项，在这种表⽰⽅法中是项，是项数.为了更简洁地表⽰数列还可以将数列表⽰成{}的形式.显然，将数列表⽰成{}的形式很简单.对于不同的数列来说是不同的.例如，数列1，，，…，，…，记作.我们看这个数列的第项＝，它是⽤项数来表⽰该数列相应项的式⼦，⼀般称其为通项公式.(2)板书通项公式的定义：⽤项数来表⽰该数列的相应项公式，叫做数列的通项公式.例如，前⾯数列(1)的通项公式是.(3)数列与函数的关系.由数列通项公式的定义可知，数列的通项是以正整数的⼦集为其定义域的函数，因此通项可以记作：.(4)看数列(2)的各项同通项公式＝之间的关系：在＝中，如果⽤5代替公式中的，就得到第5项如果依次⽤正整数1，2，3，…去代替公式中的就可求出数列中的各项.四、数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数⽆限的数列叫做⽆穷数列.例如，数列(1)是有穷数列；数列(2)，(3)，(4)是⽆穷数列.五、例题和练习例1 (⽤投影仪或⼩⿊板给出.) 根据通项公式，求出上⾯数列{}的前5项.(1)；(2)＝(－1)·.解：(1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为：；(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列前5项为：―1，―2，―3，4，―5.练习：⽤投影仪订正答案.教材第136页练习第1(1)，2(3)题例2 写出数列的⼀个通项公式，使它的前4项分别是下⾯各列数：(1)1，3，5，7；(2)；(3)―，，―，；解：(1)分析：序号 1 2 3 4项 1 3 5 7由上表可以看出，数列的前4项1，3，5，7，都是序号的2倍数减1，所以通项公式为.(2)数列前4项的分母都等于序号加1，分⼦都等于分母的平⽅减去1，所以通项公式是.(3)数列的前4项的绝对值都等于序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是.练习：⽤投影仪给标准答案.教材第136页练习第3题.例3 已知数列{}的第1项是1，以下各项由公式.给出，写出这个数列的前5项.解：练习：教材第136页练习第2(2)题.六、课堂⼩结由学⽣讨论或教师总结，然后⽤投影仪或⼩⿊板给出.(1)本节课学习了数列的定义及其有关概念；(2)⽤函数的观点研究、分析数列的通项公式.(3)要求会解已知数列通项公式求指定项的习题，以及给出数列的前4项，写出其⼀个通项公式的简单问题，七、课外作业教材136页练习第1(2)，2(4)题练习第2(1)题；教材146页习题5-1第1(2)、(4)、(5)题.常见错误分析本节中常见错误主要集中在两个地⽅：⼀个是求数列的通项公式；另⼀个是第136页练习B第2题的解答.前者的原因主要有两点，⼀是学⽣对通项公式的理解不深刻，在分析、判断中，脱离项数(序号)⽽仅仅注意项；⼆是没有掌握求通项公式的⼀些⽅法，当⾯对复杂的数列时束⼿⽆策.后者的主要原因在于对递推公式的理解上，他们会使⽤递推公式＝＋3，却不会使⽤＝＋3.在教学中，对例3应当强调中的与－1的作⽤仅仅是代表项的序号，该递推公式⽤⾃然语⾔来叙述就是：从第2项起，该数列的任意⼀项等于它的前⼀项的倒数与1的和.⽽＝－⽤⾃然语⾔叙述就是：从第3项起，每⼀项都等于它的前⼆项与前⼀项的差.习题分析⼀、例题分析（⼀）⼤于3且⼩于11的⾃然数排成⼀列：4，5，6，7，8，9，10； (1)⾃然数1，2，3，4，5，…的倒数排列成⼀列数：1，，，，，…； (2)的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不⾜近似值排列成⼀列数：1，1.4，1.14，1.414，… ；(3)－1的⼀次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成⼀列：－1，1，－1，1，－1，… ；(4)⽆穷多个2排成⼀列：2，2，2，2， (5)等都是数列.作⽤：1.数列(1)、(2)、(3)、(4)、(5)是⽤来说明数列定义的，把概念具体化，加深学⽣对概念的理解.2.这5个数列很有代表性.即包含了⽆穷数列(2)(3)(4)(5)⼜包含了有穷数列(1)，既有可以写出通项公式的(1)(2)(4)(5)，⼜有写不出通项公式的(3)，⽽(5)则是常数数列.3.这5个数列的构成简单，便于巩固概念，不会因为理解例题本⾝⽽⼲扰它所起的作⽤.例1 根据通项公式，求出下列各数列的前5项：(1)＝； (2)＝(－1)·.解：解题思路是根据通项公式的定义，第项，就是＝()中的＝时的值.(1)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{}的前5项为：，，，，；(2)在通项公式中依次取＝1，2，3，4，5，得到数列{}的前5项为：－1，2，－3，4，－5.作⽤：1.巩固通项公式的概念.2.说明如何使⽤通项公式求数列的指定项.例2 写出数列的⼀个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)，，，；(3)－，，－，.解：((1)对此题的解法，重点放在分析的过程上，即如何找项与序号的关系，以及由各项的特点，如何找出各项的共同的构成规律.这是解题的关键.)(1)数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是＝2－1；(此题数列的前4项是⾃然数中的前4个奇数，从这个⾓度考虑也可得＝2－1.但本题的解答是要突出解决已知数列前4项求通项公式的⼀般⽅法是找各项与序号之间的关系.)(2)数列的前4项，，，的分母都等于序号加上1，分⼦都等于分母的平⽅减去1，所以通项公式是；(当数列的项构成⽐较复杂时，解决写通项公式的问题，可以把项分成⼏个部分来考虑，分别找其与序号的关系，然后合成.)(3)数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是. (此题也可这样来分析：它的项正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，因此可⽤(－1)解决符号问题，⼜各项分⼦均为1，分母为序号乘以序号与1的和，所以通项公式可得.) 作⽤：1.巩固通项公式的概念.2.说明如何解决已知数列前⼏项，求出其⼀个通项公式的问题.3.给学⽣作出如何分析项的构成与序号的关系，找出各项构成的规律，培养观察分析、归纳、总结问题的能⼒.例3 已知数列{}的第1项是1，以的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.解：＝1，作⽤：1.此题是⽤递推公式给出的数列，⼀般称其为递推数列，也叫递归数列，⽤来说明由递推公式也是给出数列的⼀种⽅法.2.说明如何求递推公式给出的数列的前⼏项，让学⽣了解⼀点递推数列的知识.3.学⽣对第项、第+1项、第－1项之间的顺序关系容易弄错，要给学⽣指出它们之间的相邻关系.⼆、习题分析(⼆)：第146页习题5－12.已知⽆穷数列1×2，2×3，3×4，4×5，…，(+1)…；(1)求这个数列的第10项、第31项及第48项；(2)420是这个数列中的第⼏项？此题中的(2)是课⽂例题所没有涉及以的题型.反映了数列通项公式的另⼀个作⽤.即在某些情况下，可以由已知项的来求未知的项数.解这种题的思路是设第项的值为该项的值，由通项公式，得到关于的⽅程，解这个⽅程，所得⽅程的正整数解就是该项的项数(序号).如果是判断某个数是不是该数列的项，也是设第项的值为该数，看所得⽅程有⽆正整数解，有则是项数(序号)，否则就不是数列的项.6.2等差数列的概念(⼀)教学⽬标：1.理解等差数列的概念.2.初步掌握等差数列的通项公式，并会简单应⽤.理解等差中项的概念，并会求两个数的等差中项.3.在等差数列定义的引⼊和通项公式的推导中培养学⽣观察、分析、归纳、概括的思维能⼒和思想⽅法.4.渗透由特殊到⼀般和由⼀般到特殊的辩证唯物主义思想，进⾏辩证唯物主义思想教育.教学重点：等差数列的定义、通项公式.教学难点：通项公式的理解和应⽤.教学⽅法：讲授法、启发式教学法等.学习⽅法：观察法、练习法.教学过程：⼀、复习提问、新课导⼊求下列数列的通项公式：1. (1)；(2)3，6，9，12，15，….师⽣共同解答(或学⽣先做，教师总结).注⼀般来说，两题的结果应是，＝3.教师总结时，应着重对(2)进⾏分析，并指出如下⼏点：第(2)题的每⼀项都是3的倍数，因此可以成如下形式：3·1，3·2，3·3，3·4，3·5，….于是有＝3·.对于第(2)题我们再从任意相邻两项之间差的关系⼊⼿观察分析⼀次.⼆、讲授新课请不同的同学来回答，可能有两种不完整的结论：1. 前项减后项的值相等，2.后项减前项的值相等.教师在评说中要对结论进⾏规范，得出结论：该数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的差都等于3.再请同学观察⼀例：1，2，3，4，5…….然后让⼀些学⽣举出⼏个具体的例⼦.随后，教师给出关键的⼀例：，＋，＋2，＋3，＋4， (3)让学⽣回答它的第项是什么？得出＝＋(－1)，同时，教师可以给出等差数列有关概念.如果⼀个数列从它的第2项起，每⼀项与它的前⼀项的差都等于同⼀常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常⽤字母表⽰.例如，数列：3，6，9，12，…的公差是3；1，2，3，4，…的公差是＝1.数列(3)，＋，＋2，＋3，…的公差是，这个数列可以表⽰任何等差数列.我们刚才找出它的⼀个通项公式，即如果已知⾸项和公差，则等差数列{}的通项公式是＝＋(－1).例如，数列(2)3，6，9，12，…的通项公式为＝3＋(－1)·3＝3＋3(－1)＝3；数列1，2，3，4，…的通项公式为＝1＋(－1).例1 求等差数列8，5，2，…，的通项公式与第20项.分析：等差数列通项公式只须和已知就可确定.有了通项公式，便可求该数列的任意⼀项.解：因为a＝8，d＝5－8＝－3，所以这个等差数列的通项公式是1＝8＋(－1)×(－3)，an即a＝－3＋11.n＝－3×20＋11＝－49.所以a20例2 等数数列－5，－9，－13，…第⼏项是－401？分析：已知⾸项为－5，公差为－9－(－5)＝－4，第项＝－401，利⽤通项公式，可反求项数.解：因为＝－5，＝－9－(－5)＝－4，＝－401，代⼊通项公式，得－401＝－5＋(－1)×(－4)解得＝100，即这个数列的第100项为－401.三、课堂练习教材第140页练习四、课堂⼩结1. 等差数列的定义：注意公差是“后项减前项”.2. 等差数列的通项公式：＝＋(－1)①是求指定项的关键；②通项公式，由和所决定.五、课外作业1.复习作业：复习课⽂6.2等差数列的概念.2.书⾯作业：第140页练习A第2(2)，3(2)题练习第1，3题，教材第146页习题第4题.3.预习作业：预习课⽂6.2等差数列前项和.6.3等差数列的前项和教学⽬标：1.理解等差数列的前项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前项和公式，并会⽤公式解决简单问题.3.培养学⽣观察、分析、归纳、概括的思维能⼒.教学重点：等差数列的前项和的公式.教学难点：等差数列的前项和公式的推导.教学⽅法：启发式讲授法.学习⽅法：观察法、练习法.教具：投影仪.教学过程：⼀、复习提问1.什么叫等差数列？它的通项公式是什么？2.等差数列，＋，＋2，…，＋(－1)＝，能否表⽰成，－，－2，…，－(－1).3.2和10的等差中项是多少？⼆、引⼊新课上节课我们学习了等差数列的通项公式，知道了⼀个数列的通项公式，想求它的哪⼀项，都只需将该项的序号代⼊公式就可求出该项.并且知道＝＋(－1)中，四个量，，和，只要知道其中的3个就能求出第4个.但是如果要求数列1，2，3，4，5，…的前100项和这样的问题，通项公式解决不了，今天我们就来学习等差数列的前项和的问题.三、讲授新课1.已知等差数列，，，…，，…的前项的和记作，即＝＋＋…＋.例如，正整数数列1，2，3，...，，...的前100项的和，记作＝1＋2＋3＋ (100)2.怎样求等差数列前项和？看例⼦.求＝1＋2＋3＋ (100)对于这个问题，著名数学家⾼斯10岁时曾很快求出它的结果.你知道这个故事吗？他是如何计算的呢？⾼斯的算法是：⾸项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和3＋98＝101，…第50项和倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是.这个问题是求等差数列1，2，3，…，，…的前100项的和的问题.在上⾯的求解中，我们发现所求和可⽤⾸项、末项及项数来表⽰，且任意的第项与倒数第项之和都等于⾸项与末项的和，这就启发我们怎样去求⼀般等差数列的前项的和.设等差数列{}的前项和为，即＝＋＋…＋.根据通项公式上式可写成＝＋(＋)＋…＋[＋(－1)].①由于＝－，＝－2，…，＝－(－1)，所以＝＋(＋)＋…＋[＋(－1)].②(提问学⽣怎样想到的.)把①、②两边分别相加，得由此得到等差数列{}的前项和公式.⽤语⾔叙述就是：等差数列的前项和等于⾸末项的和与项数乘积的⼀半.如果⾼斯的同学都知道这个公式，⾼斯的计算就不会最快了，你说是吗？⽤公式可得1＋2＋3＋…＋100＝＝5 050.⽤这个公式需要已知等差数列的⾸项和末项(第项)以及项数.如果知道⾸项、公差和项数可以⽤下⾯的公式：把通项公式＝＋(－1)代⼊，得.这也是等差数列前项和的公式.显然当知道项，公差和项数时，⽤后⼀个公式最直接.3.例题.例7 如图10－1所⽰，⼀个堆放铅笔的V型架的最下⾯⼀层放⼀⽀铅笔，往上每⼀层都⽐它下⾯⼀层多放⼀⽀，最上⾯⼀层放120⽀，这个V形架上共放多少⽀铅笔？分析：由“往上每⼀层都⽐它下⾯⼀层多放1⽀”，得每⼀层所放铅笔的⽀数为等差数列，且公差＝1，＝1，＝120，＝120，是求的问题.解：由题意可知这120层铅笔数或等差数列，且公差＝1，＝1，＝120.代⼊前项和公式得，即V形架上共放着7 260⽀铅笔.例8 在⼩于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和.分析：100以内是7的倍数最⼩的⼀个是7，依次排出成等差数列，公差是7，最⼤的那⼀个可以通过作除法求得，即100÷7＝7×14＋2.所以最⼤那⼀个7的倍数是98，即＝98.由此也可知＝14.解：在⼩于100的正整数中，7是7的倍数中最⼩的⼀个.由于100÷7＝7×14＋2，可知最⼤的那⼀个是14×7＝8.将这些数由⼩到⼤排列，成等差数列公差为7，＝7，＝98，个数为14.，即在⼩于100的正整数和集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735.四、课堂练习练习：教材第页五、课堂⼩结1.等差数列前n项和的公式(1)；(2).2.思考在什么情况下⽤两个公式中的哪⼀个为好？(这⼀点让学⽣总结分析.)六、课外作业1.复习作业：复习课⽂6.2.2等差数列的前项和.2.书⾯作业：第142练习第1(2)、(3)题，习题5－1第2，3(1)，1题.3.预习作业：预习课⽂6.3等⽐数列中5.3.1等⽐数列的概念.。
6.1数列的定义(改)
3、数列的分类：
1)．根据数列项数的多少分：有穷数列、无穷数列；
2)．根据数列项的大小分：
1，12， 14， 81，···.
1，3，6，10， ···.
递增数列、递减数列、 常数数列、摆动数列．
（1）
（2）
1，4，9，16， ···.
（3）
5，4，1，8，7，3，6，2． （4）
2，6，1，7，8，4，5，3． （5）
第1项 第2项 第3项 第4项
第n项
项 a1 , a2 , a3 , a4 , …,an,…
序号 1 2 3 4 ··· n
问题3：数列的每一项与这一项的序号有什么关系？ 哪个是变动的量,哪个是随之变动的量? 你能联想到以前学过的哪些相关内容? 数列定义域是什么呢？
13
二、数列的表示：
1．数列的项是序号的函数：an=f(n),
1，1.4，1.41，1.414， … ；
④
－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成一列
－1，1，－1，1，－1， … ；
⑤
无穷多个2排成一列
2，2，2，2， ….
⑥
11
1. 已知数列√ 3 ，√ 7 ，√ 11 ，√ 15 ，…， 则 3√ 3 是它的第 7 项．
2. 已知数列1，－ 1 ， 1 ，－ 1 ，…，(－1)n+1· 1 ，…，
如果数列 {an} 的第n项an与序号n之间可以用一个式 子来表示，那这个公式就叫做这个数列的通项公式。
项
1，12
，1
4
，1
8
，···a.n?
(1)
序号 1 2 3 4 ··· n
问题4：数列(1)的第n项an与序号n之间的函数关系
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6.1
第 6 章 6.2
数 列
6.3
时间 第1期末
第2期末 第3期末
……
第n期末
利息 pi
p·2i p·3i
……
p·ni
本金与利息之和F F1=p（1+i） F2=p（1+2i） F3=p（1+3i）
……
Fn=p（1+ni）
由此可见，无论是利息数列还是本利 和数列，都是公差为pi 的等差数列， p元 本金在利率i 下，经过n期后，按单利计算 的本例和公式为
Sn
na1
n(n 1) 2
d.
（Ⅱ）
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第 6 章 6.2
数 列
6.3
6.2.5 等差数列的简单应用
若一笔资金的本金为p元，银行每期 利率为i.若按单利（本金到期后的利息不 加入本金）计算利息，则利息值与本金 之和S可按期数排成如下表所示数列.
※我国债券和银行存款的利息都是 按单利计算.
※这个公式描述了a1，an ，q，n四 个量之间的关系，如果知道了其中的三 个量，通过这个公式可以求得第四个量.
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第 6 章 6.2
数 列
6.3
6.3.3 等比中项
一般地，如果三个数x，G，y构成等 比数列，那么G叫做x与y的等比中项.
由等比数列的定义可得 G y, xG
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第 6 章 6.2
数 列
6.3
数列的一般形式可写成： a1， a2， a3， … an …
也可以简记为{an }.
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【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.
【教学过程】
从小到大依次取正整数时，cos
)下角码中的数为项数，
a
1
【教师教学后记】。