中职数学6.1 数列的概念ppt课件
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中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
中职数学数列课件
中职数学数列课件一、引言数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定顺序排列的一列数。
数列可以用于描述自然界和现实生活中的许多现象，例如人口增长、物理运动等。
因此，掌握数列的知识对于中职学生来说具有重要的意义。
二、数列的基本概念1.数列的定义：数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的集合。
数列中的每个数称为数列的项，通常用字母表示，如a1,a2,a3等。
2.数列的表示方法：数列可以用列举法、通项公式法、递推公式法等方式表示。
列举法是将数列的前几项直接写出来，如1,2,3,4,5；通项公式法是通过一个公式来表示数列的任意一项，如an=n^2；递推公式法是通过前一项或前几项来递推下一项，如an=an-1+2。
3.数列的项数：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。
有限数列的项数是有限的，如1,2,3,4,5；无限数列的项数是无限的，如1,2,3,4,5,三、等差数列1.等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列。
这个常数称为等差数列的公差。
2.等差数列的表示方法：等差数列可以用通项公式an=a1+(n-1)d表示，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
任意两项之间的差是公差d。
数列中的任意一项都可以表示为首项和项数的函数。
数列的前n项和可以表示为Sn=n(a1+an)/2。
四、等比数列1.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列。
这个常数称为等比数列的公比。
2.等比数列的表示方法：等比数列可以用通项公式an=a1r^(n-1)表示，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
任意两项之间的比是公比r。
数列中的任意一项都可以表示为首项和项数的函数。
数列的前n项和可以表示为Sn=a1(1r^n)/(1r)。
五、数列的应用数列在现实生活中有着广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、在物理学中的运动学问题、在生物学中的人口增长问题等。
中职数学人教版基础模块下册第六章数列《数列的概念》课件
在数列中的每一个数称为这个数列的项.
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
中职数学数列的基本知识ppt课件
中职数学数列的基本知识ppt课件目录•数列基本概念与性质•数列求和与通项公式•数列递推关系与性质•数列极限与收敛性判断•数列在实际问题中应用举例PART01数列基本概念与性质数列定义数列表示方法数列的项通常用带下标的字母来表示数列，如{an}。
数列中的每一个数都叫做数列的项。
0302 01数列定义及表示方法按照一定顺序排列的一列数。
等差数列性质任意两项之差为常数。
从第一项开始，依次成等差数列的若干个数的和等于项数乘以中间项。
中间项等于首尾两项和的一半。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中间项的平方等于首尾两项的乘积。
从第一项开始，依次成等比数列的若干个数的积等于首项乘以末项再乘以公比的次幂。
算术数列几何数列调和数列混合数列常见数列类型及特点01020304每一项与前一项的差为常数，如1, 3, 5, 7,...每一项与前一项的比为常数，如2, 4, 8, 16,...每一项的倒数成等差数列，如1, 1/2, 1/3, 1/4,...不具有明显规律的数列，需要通过其他方法进行分析和处理。
PART02数列求和与通项公式等差数列求和公式推导通过倒序相加法或错位相减法推导等差数列求和公式。
等差数列求和公式应用利用等差数列求和公式解决与等差数列相关的问题，如计算前n项和、求某一项的值等。
等比数列求和公式推导通过错位相减法或等比数列的性质推导等比数列求和公式。
等比数列求和公式应用利用等比数列求和公式解决与等比数列相关的问题，如计算前n 项和、求某一项的值等。
通过观察数列的前几项，找出数列的通项公式。
观察法根据已知的递推关系式，逐步推导出数列的通项公式。
递推法通过设定未知数，建立方程组，求解得到数列的通项公式。
待定系数法通项公式求解方法典型例题解析已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=100，S20=300，求S30。
中职数学数列的基本知识课件
中职数学数列的基本 知识课件
目录
• 数列基本概念与性质 • 数列求和与通项公式 • 数列在生活中的应用 • 数列极限初步认识 • 数列在职业领域中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 数列基本概念与性质
数列定义及表示方法
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法
通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为自然数，表示数列的第$n$项 。
易错难点剖析及注意事项
等差数列与等比数列的判定
在判断一个数列是否为等差或等比数列时，需要注意公差或公比 是否恒定，以及首项是否符合定义。
公式应用中的细节问题
在使用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式时，需要注意公 式中各项的对应关系，以及是否满足公式的使用条件。
极限概念的理解
在理解数列极限的概念时，需要注意极限的严格定义，以及极限的 唯一性、保号性等性质。
等比数列及其性质
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等 于同一个常数的一种数列。 等比数列性质
任意两项之比为常数。
中项性质：在等比数列中，如果$m+n=p+q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。 等比中项：如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a$， $G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项 。
解答1
根据等差数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公差d=2，进而得到通项公式an=2n-1和前n项和公 式Sn=n^2。
例题2
已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b1=2，T3=26 ，求bn和Tn。
解答2
根据等比数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公比q=3，进而得到通项公式bn=2*3^(n-1)和前 n项和公式Tn=(3^n-1)/2。
目录
• 数列基本概念与性质 • 数列求和与通项公式 • 数列在生活中的应用 • 数列极限初步认识 • 数列在职业领域中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 数列基本概念与性质
数列定义及表示方法
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法
通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为自然数，表示数列的第$n$项 。
易错难点剖析及注意事项
等差数列与等比数列的判定
在判断一个数列是否为等差或等比数列时，需要注意公差或公比 是否恒定，以及首项是否符合定义。
公式应用中的细节问题
在使用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式时，需要注意公 式中各项的对应关系，以及是否满足公式的使用条件。
极限概念的理解
在理解数列极限的概念时，需要注意极限的严格定义，以及极限的 唯一性、保号性等性质。
等比数列及其性质
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等 于同一个常数的一种数列。 等比数列性质
任意两项之比为常数。
中项性质：在等比数列中，如果$m+n=p+q$，则$a_m times a_n = a_p times a_q$。 等比中项：如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a$， $G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项 。
解答1
根据等差数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公差d=2，进而得到通项公式an=2n-1和前n项和公 式Sn=n^2。
例题2
已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b1=2，T3=26 ，求bn和Tn。
解答2
根据等比数列的性质和已知条件，可以列出方程组求解 得到公比q=3，进而得到通项公式bn=2*3^(n-1)和前 n项和公式Tn=(3^n-1)/2。
中职《数学》(基础模块)上册第六章数列(6.1.1数列的概念)PPT课件
第六章 数列
6.1数列的概念（1）
创设情景 兴趣导入 揭示课题 6.1 数列的概念．
1、将正整数从小到大排成一列数为
2、将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
3、当n从小到大依次取正整数时， 的值排成一列数为
4、取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列 数为
2021/7/23
2
动脑思考 探索新知 提炼新知识
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列 中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项 按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第 n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对 应的项的项数．
2021/7/23
5
2021/7/23
6
个人观点供参考，欢迎讨论
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．
【想一想】 上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
2021/7/23
3
动脑思考 探索新知 提炼新知识
2021/7/23
4
运用知识 强化练习例．
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个 数列？
6.1数列的概念（1）
创设情景 兴趣导入 揭示课题 6.1 数列的概念．
1、将正整数从小到大排成一列数为
2、将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
3、当n从小到大依次取正整数时， 的值排成一列数为
4、取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列 数为
2021/7/23
2
动脑思考 探索新知 提炼新知识
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列 中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项 按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第 n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对 应的项的项数．
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6
个人观点供参考，欢迎讨论
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．
【想一想】 上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
2021/7/23
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动脑思考 探索新知 提炼新知识
2021/7/23
4
运用知识 强化练习例．
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个 数列？
中职数学《数列的概念》ppt课件
试判断3 , 11是否在数列(1)中？ 4 13 令 正整通令数项an=解a1n1等34,则,解于这得这n个=个31数.数故是1,134解这是关个数列于数中n列的的中项方.的程项,该;若方没程有有则 不是令 a数n=列13中,解的得项n=.2 故13不是数列中的项.
例２ 写出下面数列的一个通项公式，使它
(2) 1,2,4,8,…,263
(3)1,
1 ,
1 ,
1
……
248
(4) 15,5,16,16,28,32,51
无穷数列 有穷数列 无穷数列 有穷数列
(5) 1,-1,1,-1,1,-1,…
无穷数列
问题5：观察数列的每一项, 你发 现数列的项an与其序号n有什么 样的对应关系？这一关系用一个 式子如何表示?
如果数列 an 的第n项 an 与序号 n 之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这个公式 就叫做这个数列的通项公式.
问题6：数列中,项与序号的对应关系可以看
成函数吗? 如果是函数，定义域,函数解析
式分别是什么？
数列的实质：定义域为正整数集 N（ 或其有限子集
{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时
(1) 2, 4, 6, 8, ……
第一项记为 a 1 =2 数列的项 _数__列__中__的__每__一__个__数__ 第二项记为 a 2 =4 数列的首项 _数__列__的__第__一__项__ 第三项记为 a 3 =6
… …
三.数列的分类按: 项的个数分 有穷数列
无穷数列
(1) 2,4,6,8,…
... ...
2
•
1• o1 234
n n=64 a64=263
数列1, 2, 4, 8, 16, …,263 数列7, 6, 5, 4, 3, 2
例２ 写出下面数列的一个通项公式，使它
(2) 1,2,4,8,…,263
(3)1,
1 ,
1 ,
1
……
248
(4) 15,5,16,16,28,32,51
无穷数列 有穷数列 无穷数列 有穷数列
(5) 1,-1,1,-1,1,-1,…
无穷数列
问题5：观察数列的每一项, 你发 现数列的项an与其序号n有什么 样的对应关系？这一关系用一个 式子如何表示?
如果数列 an 的第n项 an 与序号 n 之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这个公式 就叫做这个数列的通项公式.
问题6：数列中,项与序号的对应关系可以看
成函数吗? 如果是函数，定义域,函数解析
式分别是什么？
数列的实质：定义域为正整数集 N（ 或其有限子集
{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时
(1) 2, 4, 6, 8, ……
第一项记为 a 1 =2 数列的项 _数__列__中__的__每__一__个__数__ 第二项记为 a 2 =4 数列的首项 _数__列__的__第__一__项__ 第三项记为 a 3 =6
… …
三.数列的分类按: 项的个数分 有穷数列
无穷数列
(1) 2,4,6,8,…
... ...
2
•
1• o1 234
n n=64 a64=263
数列1, 2, 4, 8, 16, …,263 数列7, 6, 5, 4, 3, 2
中职数学教学课件第6章数列
中职数学教学课件第6章数列目录•数列基本概念与性质•等差数列深入探究•等比数列深入探究•数列求和技巧与方法•数列极限初步认识•章节复习与总结PART01数列基本概念与性质数列定义及表示方法数列定义按照一定顺序排列的一列数。
数列表示方法通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为正整数，表示数列的第$n$项。
等差数列性质任意两项之差为常数。
等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中项性质：若$m+n=p+q$，则$a_ma_n=a_pa_q$。
等比数列的通项公式：$a_n=a_1 times q^{(n-1)}$，其中$q$为公比。
数列通项公式与求和公式数列通项公式表示数列第$n$项与$n$之间关系的公式，如等差数列和等比数列的通项公式。
数列求和公式用于计算数列前$n$项和的公式。
对于等差数列，求和公式为$S_n=frac{n}{2}(a_1+a_n)$；对于等比数列，当公比$q neq1$时，求和公式为$S_n=a_1 times frac{q^n-1}{q-1}$。
PART02等差数列深入探究03等差中项的求法已知等差数列的两项，可以通过它们的算术平均数求出等差中项。
01等差中项的定义在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
02等差中项与等差数列的关系等差中项是等差数列的重要性质之一，通过等差中项可以判断一个数列是否为等差数列，也可以求出等差数列的公差。
等差中项与等差数列关系1 2 3等差数列前n项和是指等差数列前n项的和。
等差数列前n项和的定义通过倒序相加法或错位相减法等方法，可以推导出等差数列前n项和的公式。
《数列的概念》PPT课件
（2）将已知递推关系式整理、变形， 变成等差、等比数列的直接用公式求（后 面再介绍）；变成an+1-an=f（n）型的用累 加法；变成an+1an=f（n）型的用累乘法.
29
2021/4/26
判断数列的单调性的方法有两种:
一是定义法:主要判断an+1-an的符号,若
an+1-an>0,则数列{an}是递增数列;若an+1-an<0,
则数列{an}是递减数列.
例如:若 an
n
n
1 ,判断{an}的单调性.
因为
an1
an
（n
1）
1 n
1
n
1 n
1
1 n（n
1）
0，
例如：数列
1 2
,
1 4
,
5 8
,
1163中，，分母的规律是明显
的：2n；第3个数出现了“-”号，第1个数也应该
有“-”号， 32 2021/4/26
故有（-1）n；从第2项开始，分子比分
母小3，第1项若变为-1，也比分母小3，这
样就找到了分子的规律：2n-3,
所以
an
（
1）n
•
2n 2n
3
.
（2）要注意的是并非所有的通项公式
5
（n=1） （n≥2,n∈N*）.
22
2021/4/26
当n≥3时，
bn1
bn
4 2n
5
4 2n
3
（2n
8 5）（2n
3）＞0，
所以，当n≥3时，数列{bn}递增.
而b4
1＜0，又由1 3
4 2n
＞0， 5
29
2021/4/26
判断数列的单调性的方法有两种:
一是定义法:主要判断an+1-an的符号,若
an+1-an>0,则数列{an}是递增数列;若an+1-an<0,
则数列{an}是递减数列.
例如:若 an
n
n
1 ,判断{an}的单调性.
因为
an1
an
（n
1）
1 n
1
n
1 n
1
1 n（n
1）
0，
例如：数列
1 2
,
1 4
,
5 8
,
1163中，，分母的规律是明显
的：2n；第3个数出现了“-”号，第1个数也应该
有“-”号， 32 2021/4/26
故有（-1）n；从第2项开始，分子比分
母小3，第1项若变为-1，也比分母小3，这
样就找到了分子的规律：2n-3,
所以
an
（
1）n
•
2n 2n
3
.
（2）要注意的是并非所有的通项公式
5
（n=1） （n≥2,n∈N*）.
22
2021/4/26
当n≥3时，
bn1
bn
4 2n
5
4 2n
3
（2n
8 5）（2n
3）＞0，
所以，当n≥3时，数列{bn}递增.
而b4
1＜0，又由1 3
4 2n
＞0， 5
中职数学：数列的基本知识课件
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式是 a_n=a_1×q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是第一项的值，q 是公比 ，n 是项数。
等比数列的求和公式
总结词
等比数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学表达式。
多个不同的极限值。
收敛数列具有有界性，即存在一 个正数M，使得数列的项都满足
$|x_n| leq M$。
收敛数列具有保序性，即如果 $x_n leq y_n$，且$lim x_n = lim y_n$，则可以推出$x_n geq
y_n$。
收敛数列的应用
在数学分析中，收敛数列是研究函数极限、连续性、可微性等概念的基础。
04
CATALOGUE
数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限是数列的一种特性，表示 数列从某一项开始，无限接近 于一个常数。
极限的定义包括两种形式：数 列的极限和子数列的极限。
数列的极限定义是数学分析中 的基本概念之一，是研究数列 的单调性、有界性以及数列求 和等问题的关键。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛数 列只能收敛到一个点，不会出现
数列与实际问题的综合应用
总结词
数列在解决实际问题中具有广泛的应用，如人口增长、 银行利率、股票价格等都可以用数列进行描述和预测。
详细描述
数列作为一种数学工具，在解决实际问题中具有广泛的 应用。例如，人口增长可以用等差数列或等比数列进行 描述和预测；银行利率和股票价格可以用等比数列进行 计算和分析。通过建立数学模型，可以将这些实际问题 转化为数列问题，从而为决策提供科学的依据。
【人教版】中职数学基础模块下册：6.1《数列的概念》ppt教学课件(2)
识 解：（3）数列前4项与其项数的关系如下表：
典
序号
1
2
3
4
型
−1
1
−1
1
例
关系
题
由此得到，该数列的一个通项公式为
由数列的有
限项探求通项 公式时，答案 不一定是唯一 的．
6.1 数列的概念
例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项.来自巩 解 数列的通项公式为
将16代入数列的通项公式有
3. 判断12和56是否为数列
中的项，如果是，请指出是第几项．
6.1 数列的概念
理 论 升 华.
整 体 建 构
数列、项、项数分别是如何定义的？
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数 列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起， 按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这 个数列的第1项（或首项），第2项，第3项， …， 第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1， 2，3，…，n，分别叫做各项的项数．
新
知
【小提示】 数列的“项”与
这一项的“项数”是两个
不同的概念．如右边数列
中，第3项为 ，这一项
的项数为3.
6.1 数列的概念
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列
创 叫做无穷数列．
设
情
境
1，2，3，4，5．
(1)
兴
．
(2)
趣
导
-1，1，-1，1．
(3)
入
3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…．
新
知
叫做数列 { }的通项．
6.1 数列的概念
运
1.说出生活中的一个数列实例．
精品公开课中职数学基础模块下册：6.1《数列的概念》ppt教学课件(两份)
基础知识
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
写出下面各数列的
一个通项公式：
先观察各项的特点，然后归纳
(1)3,5,7,9，…； 出其通项公式，要注意项与项 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，…； 2 4 8 16 32 数之间的关系，项与前后项之 3 1 3 1 3 (3)－1， ， － ，， － ，， …； 2 3 4 5 6 间的关系. (4)3,33,333,3 333，….
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通 【例 1】 写出下面各数列的 项公式中含因子(－ 1)n； 各项绝对值 的分母组成数列 1,2,3,4，… ；而各 一个通项公式： 项绝对值的分子组成的数列中，奇 (1)3,5,7,9，…； 数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，…； 2－1，偶数项为 2＋1，
解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示， 其各项的
n 2 4 8 16 32 2 ＋ － 1 n 所以 a ＝ ( － 1) · . n 3 1 3 1 3 n (3)－1， ， － ，， － ，， …； 2 3 4 5 6 1
(4)3,33,333,3 333，….
题型分类
－n，n为正奇数， 也可写为 an＝ 3 ，n为正偶数. n
思想方法 练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华
中职数学数列PPT课件
解答
根据等差数列的求和公式$S_n = na_1 + frac{n(n1)}{2}d$，代入$n = 10$，$a_1 = 1$，$d = 2$， 得到$S_{10} = 10 times 1 + frac{10 times 9}{2} times 2 = 100$。
解答
根据等差数列的性质一，有$a_3 + a_8 = a_1 + a_{10} = 2a_6$，代入已知条件$a_3 + a_8 = 10$， 得到$2a_6 = 10$，解得$a_6 = 5$。
3
等差数列与等比数列的通项公式 an=a1+(n-1)d（等差数列），an=a1*q^(n-1) （等比数列）。
其他类型数列简介
递推数列
由递推公式确定的数列，如斐波那契 数列。
复合数列
由两种或两种以上类型数列组合而成 的数列。
周期数列
具有周期性规律的数列，如三角函数 值数列。
数列在实际问题中应用
等差数列性质探讨
性质一
等差数列中任意两项之和等于它们前后两项之和，即$a_i + a_j = a_{i+1} + a_{ j-1}$（$i,j$为正整数，且$i neq j$）。
性质二
等差数列中任意一项的值都等于其前后两项值的平均数，即$a_i = frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$（$i$为正整数，且$i neq 1, n$）。
查找等问题。
数列在生物学中的应用，如利 用数列的模型描述生物种群的
增长、衰减等问题。
THANKS
感谢观看
实际问题中的数列模型
01
将实际问题抽象为数列模型，如人口增长模型、贷款还款模型
中职数学数列的基本知识ppt课件
如果两个数列的极限存在 且相等，那么这两个数列 之间的任意数列的极限也 存在且等于这两个数列的 极限。
如果数列单调增加（或减 少）且有上（下）界，那 么该数列的极限存在。
利用无穷小与无穷大的性 质求解数列的极限，如无 穷小与有界函数的乘积仍 为无穷小等。
THANKS
感谢观看
递推数列周期性判断
周期性的定义
递推数列中，如果存在某个正整 数p，使得数列中任意一项与它 前面第p项相等，则称该数列具 有周期性，p为该数列的周期。
周期性判断方法
通过观察、分析数列中各项之间 的变化规律，找出可能存在的周 期p，再验证数列中任意一项是
否与它前面第p项相等。
周期性应用
利用数列的周期性，可以简化数 列的求解过程，如求数列中某项
数列表示方法
数列可以用通项公式或递推公式表示，其中通项公式表示数列中任意一项与项 数n的关系，而递推公式表示数列中相邻项之间的关系。
数列分类及特点
有穷数列和无穷数列
根据项数是否有限，数列可分为有穷 数列和无穷数列。有穷数列项数有限， 无穷数列项数无限。
单调数列和摆动数列
根据数列的增减性，数列可分为单调 数列和摆动数列。单调数列单调递增 或递减，摆动数列则不具备单调性。
性质
等比数列中，任意两项的比值相等，且等于公比；等比数列的 每一项都不为零；等比数列的公比可以是正数、负数或零（除 数列首项外）。
等比数列通项公式推导
公式形式
an=a1×qn-1，其中an表示第n项， a1表示首项，q表示公比，n表示 项数。
推导过程
根据等比数列的定义，可以得到 an/a(n-1)=q，通过递推关系，可 以得到an=a1×q×q×...×q（n-1个 q）=a1×qn-1。
数列的概念(中职数学)ppt课件
通过通项公式可以快速求出等差数列 中任意一项的值。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
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导 入
排成一列数为
3，3.1，3.14，3.141，…．
(4)
2
6.1 数列的概念
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每
动
一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排
脑
思
序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），
考
第2项，第3项， …，第n项，…，其中反映各项在数列中
探
索
位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
(1 )
创
a1 a2 a3 a4 a5
设
一个数列的第n项 an
情
an n (n N* )
如果能够用关于项数n
境
的一个式子来表示，那 将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为
兴
2, 22 , 23, 24, 25,L
．
么这个式子叫做这个数 (2 )
14
6.1 数列的概念
自 我 判断22是否为数列 {n2 n 20} 中的项，如果是,请指出是第几项． 反 思
目
标
是，是第7项．
检
测
15
6.1 数列的概念
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
16
6.1 数列的概念
读书部分：阅读教材相关章节
继 续
书面作业：教材习题6.1A组（必做）
巩
例2
设数列{
an
}的通项公式为an
1 2n
,写出数列的前5项．
固 知
解
a1
1 21
1； 2
识
a2
1 22
1； 4
典 型 例
a3
1 23
1； 8
a4
1 24
1； 16
题
a5
1 25
1． 32
11
6.1 数列的概念
例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项.
巩 固
解 数列的通项公式为
(2)
1 ，1 ，1 ，1 ，L 2468
；
知
(3) −1，1，−1，1，…．
识 解：观察发现，各项的绝对值都是1，符号为负、正相间，
由数列的有 限项探求通项
典
各项恰好为底为－1指数为其项项数的幂，
型
例
故数列的一个通项公式为
公式时，答案 不一定是唯一 的．
题
an (1)n．
10
6.1 数列的概念
第6章 数列
6.1 数列的概念
1
6.1 数列的概念
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
(1)
创
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
设
2, 22 , 23, 24 , 25,L ．
(2)
情
境
当n从小到大依次取正整数时， cos n的值排成一列数为
兴
-1，1，-1，1，…．
(3)
趣
取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，
新
知
叫做数列 { an }的通项或一般项．
5
6.1 数列的概念
运
1.说出生活中的一个数列实例．
用
知
识
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？
强
化
练
3.设数列 {an} 为“-5,-3,-1,1,3,5，…” ，指出其a中3 、a6各是什么数？
习
6
6.1 数列的概念
an 3n 1，将16代入数列的通项公式有
知
16 3n 1
识 解得 n 5 N*．
典
所以，16是数列 {3n 1}中的第5项．
型
将45代入数列的通项公式有
例
45 3n 1
题
解得 n 44 N* 3
所以，45不是数列 {3n 1} 中的项．
12
6.1 数列的概念
1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：
13
6.1 数列的概念
理 论 升 华.
整 体 建 构
数列、项、项数分别是如何定义的？
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数 列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起， 按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这 个数列的第1项（或首项），第2项，第3项， …， 第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1， 2，3，…，n，分别叫做各项的项数．
4
6.1 数列的概念
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整
动
数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作
脑 思
a1, a2 , a3,L , an，L
(n N*)
考
简记作{ an }．其中，下角码中的数为项数，a1 表示第1项，
探
a2 表示第2项，…．当n 由小至大依次取正整数值时，an
索
依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项 an
运 用
（1) an 3n 2；
知
（2） an (1)n n．
识 2. 根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
强
(1)－1，1，3，5，…；
化
(2)
1，1 ， 36
1，1 ，L 9 12
；
练 习
(3)
1 ，3，5 ，7，L ． 24 6 8
3. 判断12和56是否为数列{n2 n}中的项，如果是，请指出是第几项．
探
教材习题6.1B组（选做）
索
活
实践调查：寻找生活中的数列
动
实例
探
究
17
新
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列
知 叫做无穷数列．
3
6.1 数列的概念
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
(1)
创
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
设
2, 22 , 23, 24 , 25,L ．
(2)
情
境
当n从小到大依次取正整数时， cos n的值排成一列数为
兴
-1，1，-1，1，…．
(3)
趣
取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，
导 入
排成一列数为
【小提示】 数列的“项”与
3，3.1，3.14，3.141，3这不.1一同41项的6的概，“念…项．．数如”数是 列两 （(个24）)
上面的4个数列中，哪些是有穷数中的列，项第数,哪为3项些3为. 是23无，穷这数一项列?
趣
列的通项公式.
导
an 2n (n N*)
入
7
6.1 数列的概念
例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
巩
(1)5,10,15,20，…；
固 解 （1）观察发现，每一项都恰好是其项数的5倍，
知
识
an 5n．
题
8
6.1 数列的概念
例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
巩 固
(1)5,10,15,20，…；
(2)
1 ，1 ，1 ，1 ，L 2468
；
知 解：观察发现，各项都是分数，分子都是1，分母恰好是其项数的2倍，
识
典
故数列的一个通项公式为
型 例
an
1． 2n
题
9
6.1 数列的概念
例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
巩 固
(1)5,10,15,20，…；