高三一轮复习椭圆经典习题
椭圆及其性质一轮复习
【解析】 设点 P(x0，y0)，由题意，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，则
P→F1＝(－ 3－x0，－y0)，P→F2＝( 3－x0，－y0)， 所以P→F1＋P→F2＝(－2x0，－2y0)， 所以|P→F1＋P→F2|＝ 4x20＋4y20＝2 4－4y20＋y20＝2 －3y20＋4. 因为点 P 在椭圆上，所以 0≤y02≤1， 所以当 y02＝1 时，|P→F1＋P→F2|取得最小值 2.
椭圆复习课
考向一 椭圆的定义及其应用
例 1、（1）一动圆与已知圆 O1：(x＋3)2＋y2＝1 外切， 与圆 O2：(x－3)2＋y2＝81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程． （2）求过点 A(2，0)且与圆 x2＋4x＋y2－32＝0 内切的圆的 圆心的轨迹方程．
（1）如图所示，设动圆的圆心为 C，半径为 r．
(1) 由题意，得 P，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 且椭圆的焦点在 x 轴上，
所以 a＝2 3，b＝2，
所以椭圆的标准方程为1x22 ＋y42＝1.
(2) 与椭圆x42＋y32＝1 有相同的焦点且经过点(2，－ 3).
(2) 设椭圆x42＋y32＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2， 则 F1(－1，0)，F2(1，0)， 所以所求椭圆的焦点在 x 轴上．
A.0，
2 2
B. 22，1
C.0，
3 2
D. 23，1
变式 4、已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 A，B 是长轴的两个端点，
A 若椭圆上存在点 P，使得∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
最新高三理科数学一轮复习试题精选21椭圆(含解析)
高三理科数学一轮复习试题选编21：椭圆一、选择题1 ．（北京市海淀区 高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地 左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同地 点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 地 离心率地 取值范围是 （） A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322U【答案】D解：当点P 位于椭圆地 两个短轴端点时，12F F P ∆为等腰三角形，此时有2个。
，若点不在短轴地 端点时，要使12F F P ∆为等腰三角形，则有1122PF F F c==或2122PF F F c==。
此时222PF a c=-。
所以有1122PF F F PF +>，即2222c c a c +>-，所以3c a >，即13c a >，又当点P 不在短轴上，所以11PF BF ≠，即2c a ≠，所以12c a ≠。
所以椭圆地 离心率满足113e <<且12e ≠，即111(,)(,1)322U ，所以选 D ． 二、填空题2 ．（北京市西城区 高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142x y +=地 两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 地 面积是______．解：由椭圆地 方程可知2,a c ==，且12||||24PF PF a +==，所以解得12||3,||1PF PF ==，又12||2F F c ==，所以有2221212||||PF PF F F =+，即三角形21PF F 为直角三角形，所以△12PF F 地 面积12211122SF F PF ∆==⨯=3 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）椭圆22192x y +=地 焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠地 小大为_____________.【答案】120o【解析】椭圆22192x y +=地 29,3aa ==，22222,7b c a b ==-=，所以c =.因为14PF =，所以1226PF PF a +==，所以2642PF =-=.所以22222211121212421cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-===-⨯⨯，所以12120F PF∠=o三、解答题4 ．（北京东城区普通校 高三12月联考理科数学）(本小题满分14分) 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地地 一个端点与两个焦点构成地 三角形地面积为3. (Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点地 横坐标为12-，求斜率k 地 值;②若点7(,0)3M -，求证:MA MB⋅u u u r u u u r 为定值.【答案】(本题满分14分)解:(Ⅰ)因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222ab c =+，3ca =，1223b c ⨯⨯=解得2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y +=(Ⅱ)(1)将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+因为AB 中点地 横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =(2)由(1)知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++5 ．（北京市朝阳区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>地 左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 地 面积为163. （Ⅰ）求椭圆C 地 方程；（Ⅱ）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径地 圆是否经过点B ？并请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 地 方程为1x =，设点E 在x 轴上方， 由221,91x y t x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F，所以EF =因为△AEF 地面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C地 方程为22192x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R.…………………5分设1122(,),(,)E x y F x y ， 则121222416,2929m y y y y m m --+==++，………………………………………………6分111x my =+，221xmy =+.又直线AE 地 方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++u u u u r u u u r ，……………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++u u u u r u u u r12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= (13)分所以BM BN⊥u u u u r u u u r ，所以以MN为直径地 圆过点B. …………………………………14分6 ．（ 北京海淀二模数学理科试题及答案）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点.(I)求椭圆M 地 方程;(II)直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 地 垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ (O 为原点)面积地 最大值. 【答案】解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>地 四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o地 菱形地 四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 地 方程为2213x y +=(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 地 垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 地 斜率为0时，则AB 地 垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-=，所以AOB S ∆≤当且仅当1||x =时，AOBS ∆当直线AB 地 斜率不为0时，则设AB 地 方程为y kx t =+所以2213y kx t xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330kx kt t +++-=当224(933)0k t ∆=+->， 即2231kt +>①方程有两个不同地 解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314kt+=②代入①，得到04t << 又原点到直线地距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOBS ∆取得最大综上，AOB ∆面积地7 ．（ 北京房山二模数学理科试题及答案）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>地 离心率为22，且过点A .直线2y x m =+交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)△ABD 地 面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)Θace ==22， 22211a b +=，222c b a+=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=(Ⅱ)设11(,)B x y ，22(,)D x y，由22=+2142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒++-=∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<，12,x x+= ① 2122x xm =-②12BD x =-=Q设d 为点A 到直线BD:=+2y x m 地 距离，∴d =∴12ABD S BD d ∆==≤当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =ABD ∆地 8 ．（ 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分) 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>地 长轴为AB ，过点B 地直线l 与x 轴垂直，椭圆地 离心率e =F 为椭圆地 左焦点，且1AF BF=g .(I)求此椭圆地 方程;(II)设P 是此椭圆上异于,A B 地 任意一点，PH x ⊥轴，H为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 地 中点，判定直线QN 与以AB 为直径地 圆O 地 位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由题意可知，(,0)A a -， (,0)B a ，(,0)F c -，()()1AF BF a c a c =+-=g 2221ac b ∴-== 又e =22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a=所求椭圆方程为2214x y +=(Ⅱ)设0(,)P x y ，则0(,2)Q x y 00(2,2)xx ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQy kx =+所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为08(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 地 坐标满足椭圆方程得到:2200+44xy = ，所以220044x y -=-000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 地 方程:0002()2x y yx x y -=--化简整理得到:22000244x x yyx y +=+= 即024x x yy+= 所以点O 到直线NQ 地距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径地 圆O 相切9 ．（北京市丰台区 高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等地 椭圆．点M 地 坐标是（0，1），线段MN 是1C 地 短轴，是2C 地 长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C交于A ，D 两点（A 在D 地 左侧），与2C 交于B ，C 两点（B 在C 地 左侧）．（Ⅰ）当m= 2， 54AC =时，求椭圆12,C C 地 方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 地 取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）设C 1地 方程为2221x y a+=，C 2地 方程为2221x y b+=，其中1,01a b ><<．..2分ΘC 1 ，C 2地 离心率相同，所以22211a b a -=-，所以1ab =，……………………….…3分∴C 2地 方程为2221a xy +=．当m=时，A(2a -，C 1(2a ． (5)分 又Θ54AC =，所以，15224a a +=，解得a=2或a=12(舍)， ………….…………..6分 ∴C 1 ，C 2地 方程分别为2214x y +=，2241x y +=．………………………………….7分（Ⅱ）A(-，m)，B(-，m) ． …………………………………………9分QOB ∥AN ，∴OBANkk =，∴1m =，∴211m a =- ． …………………………………….11分2221a e a-=，∴2211a e =-，∴221e m e-=． ………………………………………12分Q01m <<，∴22101e e-<<，∴12e <<．........................................................13分10．（ 北京西城高三二模数学理科）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<地 左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 地 任意一点，点P 与点A 关于点M 对称.(Ⅰ)若点P 地 坐标为9(,55，求m 地 值; (Ⅱ)若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 地 取值范围.【答案】(Ⅰ)解:依题意，M 是线段AP 地 中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以 点M 地 坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以 41212525m+=， 解得 47m =(Ⅱ)解:设00(,)M x y ，则2201y x m +=，且011x-<<. ①因为 M 是线段AP 地 中点， 所以 00(21,2)P xy +因为 OP OM ⊥， 所以 200(21)20x xy ++=. ②由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+，当且仅当2x=-.所以 m 地 取值范围是1(0,]24-11．（ 北京丰台二模数学理科试题及答案）已知椭圆C:2214x y +=地 短轴地 端点分别为A ，B ，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，其中点M (m ，12) 满足0m ≠，且3m ≠±. (Ⅰ)求椭圆C 地 离心率e; (Ⅱ)用m 表示点E ，F 地 坐标;(Ⅲ)若∆BME 面积是∆AMF 面积地 5倍，求m 地 值.【答案】解:(Ⅰ)依题意知2a =，3=c ，23=∴e ; (Ⅱ)Θ)1,0(),1,0(-B A ，M (m ，12)，且0m ≠， ∴直线AM 地 斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m 23，∴直线AM 地 方程为y=121+-x m ，直线BM 地 方程为y=123-x m ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m xmx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()012922=-+mx xm ，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭; (Ⅲ)Θ1||||sin 2AMFSMA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BMESMB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BMES S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴225,41219m mm mm m m m =--++Θ0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0mm --=，又Θm ≠∴230m-≠， 12=∴m，1m ∴=±为所求12．（ 北京顺义二模数学理科试题及答案）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 地 两个焦点分别为21,F F ，且221=F F ，点P 在椭圆上，且21F PF ∆地 周长为6.(I)求椭圆C 地 方程;(II)若点P 地 坐标为()1,2，不过原点O 地 直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设线段AB 地 中点为M ，点P 到直线l 地 距离为d ，且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB+地 最大值.【答案】解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ，解得1,2==c a ，又3222=-=c a b，所以椭圆C 地 方程为13422=+y x(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆地 对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合，显然P O M ,,三点不共线，不符合题设条件.故可设直线l 地 方程为()0≠+=m m kx y . 由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得()0124843222=-+++m kmx xk .①则()()124434642222>-+-=∆m k mk ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 地 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m kkm.因为P O M ,,三点共线，所以22432433,k kmk m k kOP OM+-=+=，因为≠m ，所以23-=k ， 此时方程①为33322=-+-m mx x ，则()1232>-=∆m ，⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB -+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=，又1342232822-=+-=m m d ，所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB ，故当()0,3234-∈-=m 时，2216131312d AB+地 最大值为352 13．（ 北京东城高三二模数学理科）已知椭圆C:22221x y a b+=(0)a b >>地 离心率e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -地 直线地 距离是5.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程; (Ⅱ)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，求2211xy +地 取值范围.(Ⅲ)如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同地 两点E，F ，且E ，F 都在以B 为圆心地 圆上，求k 地 值.【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为c a =，222a b c -=，所以 2a b =.因为原点到直线AB :1x ya b-=地 距离d ==，解得4a =，2b =. 故所求椭圆C 地 方程为221164x y +=.(Ⅱ)因为点()0,P x y 关于直线x y 2=地 对称点为()111,y x P ，所以0101010121,2.22y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得 01435y xx -=，01345yx y +=.所以22221100xy x y +=+. 因为点()00,P x y 在椭圆C:221164x y +=上，所以22222011344x x y x y +=+=+.因为044x-≤≤， 所以2211416xy ≤+≤.所以2211xy +地 取值范围为[]4,16. (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k xkx ++-=.可知0∆>.设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 地 中点是(,)MM M xy ，则2324214Mx x kxk +-==+，21114MM ykx k =+=+.所以21M BMM y kx k+==-. 所以20MM xky k ++=.即 224201414kkk kk -++=++. 又因为0k ≠，所以218k=.所以4k =±14．（北京市石景山区 高三一模数学理试题）设椭圆C:2222x y a b +=1(a>b>0)地 左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =u u u r u u u u r ，且AB ⊥AF 2.(I)求椭圆C 地 离心率;(II)若过A 、B 、F 2三点地 圆与直线l:x 3-=0相切，求椭圆C 地 方程;(Ⅲ)在(II)地条件下，过右焦点F作斜率为k地2直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN地中垂线与x轴相交于点P(m，O)，求实数m地取值范围.【答案】15．（北京市顺义区 高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆()11:222>=+a y ax C 地 上顶点为A ，左焦点为F ，直线AF 与圆0726:22=+-++y x y xM 相切.过点⎪⎭⎫⎝⎛-21,0地 直线与椭圆C 交于Q P ,两点. (I)求椭圆C 地 方程;(II)当APQ ∆地 面积达到最大时，求直线地 方程. 【答案】解:(I)将圆M 地 一般方程072622=+-++y x y x 化为标准方程()()31322=-++y x ，则圆M 地 圆心()1,3-M ，半径3=r .由()()()10,,1,02-=-a c c F A 得直线AF 地 方程为=+-c cy x .由直线AF 与圆M 相切，得3132=++--cc c ，所以2=c 或2-=c (舍去).当2=c 时，3122=+=c a，故椭圆C 地 方程为1322=+y x(II)由题意可知，直线地 斜率存在，设直线地 斜率为k ，则直线地 方程为21-=kx y . 因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在椭圆内， 所以对任意R ∈k ，直线都与椭圆C 交于不同地 两点. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13,2122y x kx y 得()04933122=--+kx xk .设点Q P ,地 坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则()22122122113149,313,21,21k x x k k x x kx y kx y +-=+=+-=-=，所以()()212212y y x x PQ -+-=()()[]21221241x x x xk -++=()()222314113k k k +++=.又因为点()1,0A 到直线21-=kx y 地 距离1232+=k d ，所以APQ ∆地 面积为()2231441921k k d PQ S ++=⋅=设2311kt +=，则10≤<t 且31312-=t k ， ()34231493344931344922+--=-=-⋅=t t t t t S .因为10≤<t ，所以当1=t 时，APQ ∆地 面积S 达到最大， 此时13112=+k，即0=k .故当APQ ∆地 面积达到最大时，直线地 方程为21-=y 16．（ 北京高考数学（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上地 三个点，O 是坐标原点.(I)当点B 是W 地 右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形地 面积;(II)当点B 不是W 地 顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=地 右顶点B 地 坐标为(2，0).因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m )，代入椭圆方程得2114m+=，即m =. 所以菱形OABC 地 面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 地 顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 地 方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠. 由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k xkmx m +++-=.设A 1,1()x y ，C 2,2()xy ，则1224214x xkm k +=-+，121222214y yx x mk m k ++=⋅+=+.所以AC 地 中点为M(2414km k -+，214mk+). 因为M 为AC 和OB 地 交点，所以直线OB 地 斜率为14k -.因为1()14k k ⋅-≠-，所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当点B 不是W 地 顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.17．（ 年高考（北京理））已知椭圆G:2214x y +=.过点(,0)m 作圆221xy +=地 切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆G 地 焦点坐标和离心率;(Ⅱ)将|AB|表示为m 地 函数，并求|AB|地 最大值.【答案】【命题立意】本题考查椭圆地 标准方程和性质以及直线被椭圆截得地 弦长地 求法，运用基本不等式求解函数地 最值问题.考查学生地 运算能力和综合解答问题地 能力. 【解析】(Ⅰ)由已知得2,1a b ==，c =所以椭圆G 地 焦点坐标为(，，离心率为2c e a ==(Ⅱ)由题意知，||1m ≥.当1m =时，切线l 地 方程为1x =，点A ，B 地 坐标分别为，(1,，此时||AB =当1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 地 方程为()y k x m =-，由22()14y k x m xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(14)8440k xk mx k m +-+-=设A 、B 两点地 坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2221212228441414k m k m x x x x k k -+=⋅=++又由l 与圆221x y +=1=，即2221k mk =+所以||AB=由于当1m =±时，||AB =||(,1][1,)AB m ∈-∞-+∞U因为||2||||AB m m =≤+，当且仅当m =||2AB =所以||AB 地 最大值是218．（ 北京朝阳二模数学理科试题）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>地 右焦点为F (1,0)，短轴地 端点分别为12,B B ，且12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r.(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)过点F 且斜率为k (0)k ≠地 直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 地 垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN地 中点为P ，试求DPMN 地 取值范围.【答案】解:(Ⅰ)依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--u u u r，2(1,)FB b =-u u u u r.由12FB FB a⋅=-u u u r u u u u r，得21ba-=-.又因为221ab -=，解得2,a b ==. 所以椭圆C 地 方程为22143x y +=(Ⅱ)依题直线l 地 方程为(1)y k x =-. 由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k xk x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+所以弦MN 地 中点为22243(,)3434k k P k k -++所以MN ===2212(1)43k k +=+直线PD 地 方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<.所以DP MN地 取值范围是1(0,)419．（北京市海淀区北师特学校 高三第四次月考理科数学）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e(Ⅰ）求椭圆C 地 方程；(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同地 两点NM ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径地 圆经过椭圆C 地 右顶点A. 求证：直线l 过定点，并求出定点地 坐标.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c (1)分解得 1,2==b a ………2分 所以椭圆地方程为：1422=+y x ……3分（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1422448)k 41222=-+++m kmx x 得（…4分 0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km 整理得1422>+-m k (5)分设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+ …….6分由已知，ANAM ⊥且椭圆地 右顶点为)0,2(A ………7分)2)(2(2121=+--∴y y x x (8)分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k …… 10分整理得：1216522=++k mk m (1)1分 解得562km k m -=-=或均满足1422>+-m k ……12分当km 2-=时，直线地 l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当56k m -=时，直线地 l 方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56( 故直线l过定点，且定点地 坐标为)0,56( …….14分20．（北京市东城区普通高中示范校 高三12月综合练习(一)数学理试题）椭圆T 地 中心为坐标原,,OM ON OP地 斜率之和为0，求证.【答案】解:(1)设椭圆T地由题意知:左焦点为'(2,0)F -2b =. 故椭圆T 地 方法2、待定系数法)(2)设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)M s t N s t P s t ，由:221128xy +=，28x y +=，两式相减，得到12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=,,OM ON OP 地 斜率之和为0，方法2:设直线AB :111()y t k x s -=-，代入椭圆2228xy +=，得到22211111111(12)4()2()80k x t k s k x t k s ++-+--=以下同21．（北京市东城区普通校 高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 地 离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 地 距离为,2求椭圆地方程；（II ）设过椭圆地 右焦点且倾斜角为︒45地 直线和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 地 值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足地 关系式.【答案】解：（I ）222=∴==b b d Θ323622=∴==ac a c e Θ22222324a a c b a =-∴=-Θ 解得.4,1222==b a椭圆地 方程为.141222=+y x (4)分（II ）（i ）∵e .232,3,36222222b a c b a c===∴=Θ椭圆地 方程可化为：22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：bx y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x③设),(),,(2211y x B y x A ，33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB1=∴b ………………………8分（2）（ii ）显然OA 与OB 可作为平面向量地 一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内地 向量OM ，有且只有一对实数λ，μ，使得等OM μλ+=成立. 设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=Θ又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y xx ++-=--+=+693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ ……………………14分22．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆22:143x y C +=地 左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点地 点P ，点Q . (Ⅰ)求椭圆地 离心率和右焦点F 地 坐标; (Ⅱ)(i)证明,,P F Q 三点共线; (Ⅱ)求PQB ∆面积地 最大值. 【答案】解:(Ⅰ)24a=，23b=，所以，2221ca b =-=.所以，椭圆地 离心率12c e a ==. 右焦点()1,0F .(Ⅱ)(i)()2,0A -，()2,0B .设()4,M m ，显然0m ≠.则():26m MA y x =+，():22m MB y x =-. 由()222,6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得222542,2718.27P P m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由()222,2143m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22226,36.3Q Q m x m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩当29m =时，1PQ x x ==，,,P Q F 三点共线.当29m≠时，22018612739P FPP y m mkx m m -===---，22066199Q FQ Q y m mk x m m --===---，所以，FPPQkk =，所以，,,P Q F 三点共线.综上，,,P Q F 三点共线.(Ⅱ)因为,,P Q F 三点共线，所以，△PQB 地 面积()()()22212912327P Q m m S FB y y m m +=⨯⨯-=++2912912m m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭设9u m m =+，则21212uS u =+ 因为()()22246'12u S u-=+，且96u m m =+≥，所以，'0S ≤，且仅当6u =时，'0S =，所以，21212uS u =+在[6,)+∞上单调递减. 所以，212636122S ⨯≤=+，等号当且仅当6u =，即3m =±时取得. 所以，△PQB 地 面积地 最大值为32.23．（北京市海淀区 高三5月查缺补漏数学（理））已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>地 离心率为12，且经过点3(1,)2A .(Ⅰ)求椭圆C 地 方程;(Ⅱ)设,M N 为椭圆C 上地 两个动点，线段MN 地 垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 地 取值范围.【答案】解: (Ⅰ)椭圆C 地 方程为:221.43x y +=(Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=. 依题意有||||PM PN ==，整理得 22221212012()()2()0x x y y y y y -+---=.将2211443y x =-，2222443y x =-代入上式，消去2212,x x ，得 2212012()6()0yy y y y -+-=.依题意有 12y y-≠，所以126y y y+=-.注意到1||y ≤，2||y≤，且,M N 两点不重合，从而12y y -+<所以(y ∈.24．（北京市石景山区 高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆地 中心在原点，焦点在x 轴上，(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同地 两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆地 方程； （Ⅱ）求m 地 取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、地 斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）设椭圆地 方程为22221x y a b +=，因为e =所以224ab =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20ba ==，故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200xmx m ++-=，22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 地 斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．。
高考数学一轮复习课时过关检测五十椭圆的定义标准方程及简单几何性质含解析
课时过关检测(五十) 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质A 级——基础达标1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是( ) A ．x 225＋y 220＝1 B ．x 220＋y 225＝1 C ．x 220＋y 245＝1 D ．x 280＋y 285＝1 解析：B 由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1．2．“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )A ．0＜a ＜bB ．1＜a ＜bC ．2＜a ＜bD ．1＜b ＜a解析：C 若(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则需⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞0，log b 2＞0，log a 2＞log b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞1，a ＜b ，所以1＜a ＜b ，所以“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2＜a ＜b ，故选C ．3．如图，P 是椭圆x 29＋y 24＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点且PQ ―→＝－FQ ―→，|OQ ―→|＝2，则|PF |＝( )A ．2B ． 5C ．3D ．4解析：A 由x 29＋y 24＝1可得a ＝3．因为PQ ―→＝－FQ ―→，所以点Q 是线段PF 的中点，设椭圆的右焦点为F ′，则O 是FF ′的中点，所以|PF ′|＝2|OQ |＝4，由椭圆的定义可知：|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6，所以|PF |＝2，故选A ．4．已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆C 上，当△MF 1F 2的面积最大时，△MF 1F 2内切圆半径为( )A ．3B ．2C ．53D ．43解析：D 因为椭圆为x 225＋y 29＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4．当△MF 1F 2的面积最大时，点M 为椭圆C 短轴的顶点，不妨设点M 为椭圆C 的上顶点，点O 为坐标原点，△MF 1F 2内切圆半径为r ，则|MF 1|＝|MF 2|＝a ＝5，|F 1F 2|＝2c ＝8，|OM |＝b ＝3，S △MF 1F 2＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|OM |，所以r ＝43，故选D ．5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a ．又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55．又0<e <1，所以0<e ≤55．故选A ． 6．(多选)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是( )A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2．5”的充要条件解析：CD 对于A ，当1<k <4且k ≠2．5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2．5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2．5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2．5，所以D 正确．7．(多选)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个说法正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π解析：BC 易知F 1(－4,0)，F 2(4,0)分别为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，E 1(0，－4)，E 2(0,4)分别为椭圆y 225＋x 29＝1的两个焦点．若点P 仅在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，则曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误．故选B 、C ．8．若椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，则该椭圆的长轴长为________．解析：由椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，当m ＞2时，椭圆焦点在x 轴上，c a ＝22＝m －2m，解得m ＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m ＜2时，椭圆焦点在y 轴上，ca＝22＝2－m 2，得m ＝1，所以椭圆的长轴长为22．答案：4或2 29．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)的左、右焦点，P (1,1)为C 内一点，Q为C 上任意一点．现有四个结论：①C 的焦距为2；②C 的长轴长可能为10； ③|QF 2|的最大值为a ＋1；④若|PQ |＋|QF 1|的最小值为3，则a ＝2． 其中所有正确结论的编号是________．解析：对于①：因为c 2＝a 2－(a 2－1)＝1，所以椭圆C 的焦距为2c ＝2，故①正确；对于②：若椭圆C 的长轴长为10，则a 2＝52，所以椭圆C 的方程为x 252＋y 232＝1，则152＋132＞1，从而点P 在C 的外部，这与P 在C 内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c ＝1，Q 为C 上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF 2|的最大值为a ＋c ＝a ＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ |＋|QF 1|＝|PQ |－|QF 2|＋2a ，因为||PQ |－|QF 2||≤|PF 2|＝1，所以|PQ |－|QF 2|≥－1，所以|PQ |－|QF 2|＋2a ≥2a －1＝3，此时a ＝2，故④正确．答案：①③④10．(2019·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解：(1)连接PF 1(图略)．由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1．(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1．③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2．又由①知y 2＝162c2，故b ＝4．由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥42． 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P ．所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．B 级——综合应用11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．32解析：B 由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，长轴长2a ＝22sin 60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝ca ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－112223＝1－34＝12．故选B ．12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1＞e 3＞e 2B ．e 2＞e 3＞e 1C ．e 1＞e 2＞e 3D ．e 2＞e 1＞e 3解析：A 因为椭圆的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2a 2，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为139≈1．44，5645≈1．24，107≈1．43，则139＞107＞5645，所以e 1＞e 3＞e 2．故选A ．13．(多选)数学家称5－12为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有( )A ．ω2＋ω＝1B ．黄金椭圆的离心率e ＝ωC ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θ＝ωD ．交点Q 的坐标为(b ，ωb )解析：AC 方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝－1±52，故A 正确；由题意可知，b a ＝5－12＝ω，则e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－ω2＝ω≠ω，故B 错误；易知QF 1⊥QF 2，且∠QF 1F 2＝θ2，则|QF 2|＝2c ·sin θ2，|QF 1|＝2c ·cos θ2，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2c ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2＝2a ，即sin θ2＋cos θ2＝a c ＝1ω，两边平方，可得sin θ＋1＝1ω＝25－1＝5＋12，即sin θ＝5＋12－1＝5－12＝ω，故C 正确；由C 知，sin θ＝ω，所以tan θ≠ω，即D 错误．故选A 、C ．14．(2021·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255．因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，得e ＝55．答案：255 5515．已知直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y ＝3－x 上存在一点P ，使得三角形PAB 为正三角形，求AB 所在直线的方程．解：(1)因为直线x －3y ＋3＝0与x 轴交于点(－3，0)，与y 轴交于点(0,1)，又直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，可得a ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)， 由题意知直线AB 的斜率存在，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，因为|AB |＝23，PO ＝3可得∠PAO ＝60°，以△PAB 为等边三角形，故得直线AB 的方程为y ＝0．当直线AB 的斜率不为0时， 设AB 的方程为y ＝kx ，代入椭圆方程消去y ，得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k 2·33k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1， 设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，设它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (x 0，y 0)，则x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1，所以|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为正角形，所以应有|PO |＝3|AO |， 可得9k 2＋9k －12＝3·3k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍)或k ＝－1， 故直线AB 的方程为y ＝0或x ＋y ＝0．。
一轮复习课时训练§8.5：椭圆
第八章§5：椭圆(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知F 1、F 2为两定点，|F 1F 2|＝4，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，则动点M 的轨迹是A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ．45B ．35C ．25D ．153．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 A ．x 242－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1C ．x 232－y 242＝1D ．x 2132－y 2122＝14．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆的离心率的取值范围是A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)5．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于A ．0B ．2C ．4D ．－2二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知A 、B 为椭圆C ：x 2m ＋1＋y 2m＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB 的最大值是2π3，则实数m 的值是__________．7．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．8．已知动点P(x ，y)在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：∵M 到两定点的距离的和等于两定点间的距离，∴应选D 项． 答案：D2．解析：由2a 、2b 、2c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c.又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c)2＝4(a 2－c 2)， 所以a ＝53c ，所以e ＝c a ＝35.答案：B3．解析：设C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，由题意知a 1＝13，e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意可知C 2为双曲线，且2a 2＝8，∴a 2＝4. 又c 2＝c 1＝5，∴b 2＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.答案：A4．解析：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c ， 即k ≤2c ，∴2a ≤6c.即e ≥13.答案：D5．解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P(0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时，∠APB 取得最大值，根据题意有tan π3＝m ＋1m m ＝12.答案：127．解析：由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4c ＝2，即P(1，3)，代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1，得1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3.答案：2 38．解析：因为PM →·AM →＝0，所以PM →⊥AM →，在直角三角形PAM 中，|PM →|2＝|PA →|2－|AM →|2＝|PA →|2－1，而A 点为椭圆的右焦点，由椭圆的几何性质可知，当P 为椭圆的右顶点时，|PA →|取得最小值a －c ＝5－3＝2，故|PM →|的最小值为22－1＝ 3. 答案：3三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1，32)，∴⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝121a 2＋94b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝01a 2＋94b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1. ∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4， 圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋(y －34)2＝2516，圆心坐标是(0，34)，半径为54.∵两圆心之间的距离为 (0－0)2＋(34－0)2＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
高考数学一轮复习椭圆专题检测(含答案)
15-16高考数学一轮复习椭圆专题检测（含答案）在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹，以下是椭圆专题检测，请考生及时练习。
一、选择题2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是.9.分别过椭圆+=1(a0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.三、解答题10.(2019西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程.(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.11.(2019渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ 的中点横坐标是-,求直线l的方程.12.(能力挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KHx轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.答案解析2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,长轴长2a=4,a=2.又e==,c=1,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的标准方程为+=1.7.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a0).∵e=,=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因为x3,故舍去),又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16()2+25y2=400,解得y=2,=|F1F2|y=62=6.答案:69.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c20,k2,②则x1+x2=,x1x2=,代入①,得(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,k=2或k=-2,满足②式.所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.因为离心率e==,所以c=.故b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为:+y2=1.(2)直线l:y=kx+,由消去y可得(4k2+1)x2+8kx+4=0,因为直线l与椭圆C相交于P,Q,所以=(8k)2-4(4k2+1)0,解得|k|.又x1+x2=,x1x2=,设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),因为线段PQ的中点横坐标是-,所以x0===-,解得k=1或k=,因为|k|,所以k=1,因此所求直线l:y=x+.12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,则短半轴b===1,椭圆方程为:+ y2=1.(2)设K(x0,y0),则+=1.∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.又A(-2,0),直线AQ的方程为y=(x+2).令x=2,得D(2,).又B(2,0),N为DB的中点,N(2,).=(x0,2y0),=(x0-2,).与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
高考椭圆试题及答案
高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。
答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。
答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。
答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。
6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。
答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。
四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。
答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。
高中椭圆经典练习题1(含答案)
高中椭圆经典练习题【编著】黄勇权一、填空题：1、已知椭圆的焦点为（3,0），长轴是短轴的2倍，则椭圆的方程是 。
2、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴为4，且过点（ 132 ， 233 ），则椭圆的离心率是 。
3、直线y=21x+1于椭圆12y 3x 22=+相交于A 、B 两点。
则线段AB 的长度是 。
4、如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． 则椭圆的离心率 。
5、F1、F2分别为椭圆1by a 2222=+x 的左右两个焦点，过左焦点F1作x 轴垂线交椭圆于P ，若∠21PF F =45°，则椭圆的离心率为 。
6、F1、F2分别为椭圆15y 922=+x 的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点， 若∠21PF F =60°，则△21PF F 的面积为 。
7、椭圆16y 822=+x ，点M 不与C 的焦点重合，A 、B 是M 关于焦点对称的点，若另外一点N ，使得N 与点M 连线的中点落在椭圆上，则=+BN AN 。
1by 22=（a ＞b ＞0），过点M(4,1)作斜率k= -2的直线，与椭圆相交9、F 为椭圆15y 922=+x 的右焦点，P 为椭圆上的一点，并在第一象限，且PF=2，点M 在FP 上，若2PM=MF,O 为椭圆的中心，那么线段OM 的长度= 。
120y 2=+有一动点P （x ，y ），点M 地坐标为（4，0），有另一动点N ，若MN =1，且0=•PN MN,则丨PN 丨的最大值= 。
二、选择题1、椭圆1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的3倍，且过（3，2），则椭圆其中一个焦点的坐标是（ ）A 、（0102，）B 、（010，）C 、（053，）D 、（05，） 2、已知椭圆C ：18y a x 222=+（a ＞b ＞0）的离心率为31，则椭圆的焦距为（ ） A 、6 B 、3 C 、2 D 、1 过点（ 3， 2），则椭圆的右准线方程是（ ） A 、 x=3 62 B 、 x= 2 63 C 、x= 3 32 D41b y 22=+（a ＞b ＞0）的左右两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于M 、N 两点，若MN F 1∠=60°，MN M F =1,则椭圆的离心率为（ ）1by 22=+（a ＞b ＞0）的左焦点到右顶点的距离是8，右焦点到左准线的距离是20，，则椭圆的方程：（ ）A 、116y 2022=+xB 、112y 1622=+xC 、136y 4022=+xD 、132y 3622=+x7、已知椭圆12m y 1m x 222=++的焦距为4，则椭圆的离心率为（ ）A 、51 B 、 510 C 、 131 D 、1326213y 2=，直线过P （1,-1）交椭圆于A 、B ，若P 为线段AB 的中点，那么直线AB 的方程为（ ）A 、 3x-4y-7=0B 、 3x-4y+7=0C 、 3x-4y+1=0D 、3x-4y-1=01by 22=+（a ＞b ＞0）与直线y+x=1相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长度是（ ）10、过P （-2,0）的直线斜率为k1（k1≠0），与椭圆1222=+y x 交于A 、B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）A 、 - 12B 、 12C - 13D 、 13三、解答题16y 2=+的左右焦点是F1，F2，P 是第一象限内该椭圆上的点， 且F 1P ⊥F 2P ，则P 的横坐标为 。
高考数学一轮复习 考点50 椭圆必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点50 椭圆1．（市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在某某卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B 【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea==≈，选B.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．22B ．12C ．32D ．13【答案】B 【解析】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选：B ．3．（某某2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A ．32-B ．31-C ．22D ．32【答案】B 【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点, 设122F F c =,则1DF c =,23DF c =． 椭圆定义,得122||||3a DF DF c c =+=+, 所以23131c e a ===-+, 故选：B ．4．（某某省某某市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A 【解析】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =000022y y x a c x c -∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 5．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，则椭圆C 的离心率为_________.【解析】1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点A 是1F 关于直线bx ay ab +=的对称点，且2AF x ⊥轴，可得2AF 的方程为x c =，1AF 的方程()a y x c b =+，可得2(,)acA c b， 1AF 的中点为(0,)acb ，代入直线bx ay ab +=，可得：222ac b c a ==-，1c e a=<， 可得210e e --=，解得12e =．6．（某某省某某市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，直线AF 与椭圆另一交点为B ，且2AF FB =，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设()0,A b -，(),0F c ，作BC y ⊥轴，垂足为C ，如下图所示：则：22AF b c a =+=由2AF FB =得：23AF c ABBC==32BC c ∴=，即：32B x c = 由椭圆的焦半径公式可知：B BF a ex =-232B AF a ac c a ex FBa a ∴===--⋅，整理可得：223a c =213e ∴=，即3e =本题正确结果：337．（某某省某某市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与B,A ，连接12,O B O A 则1O BAB ，2O A AB ，过1O 作12O D O A 垂直于D ，连接12,O F O E ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 在12Rt O O D 中，2312DO ，22182215O D11221515cos84O O O D 128O O = 218CO O C21EO CFO C11218O C O CO E O F 解得1=2O C 222211213CFO FO C即13cos2CF O C则椭圆的离心率3cos 252cos 5154e8．（某某省某某市师X 大学某某市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(3M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若AP PB λ=，当230t <≤时，求λ的取值X 围． 【答案】（1）22143x y +=（2）35λ⎛+∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且3b =2a =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t -，设1:1l y x t=-+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +-+-=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ，则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t -=+……②因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ--=-，所以12y y λ=-……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-．当0t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭-，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=-=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 9．（某某省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,短轴的两个端点分别为,A B ，且160AF B ∠=︒，点1)2在C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 和圆O 分别相切于P ,Q 两点，当OPQ ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=.(Ⅱ) y x =【解析】(Ⅰ)由160AF B ∠=︒，可得2a b =，①由椭圆C经过点1)2，得2231144b b+=，② 由①②得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(Ⅱ)由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得()222148440k x kmx m +++-=（*），由直线l 与椭圆相切得，()()222264161140k m m k ∆=--+=，整理得2241m k =+，故方程（*）化为2228160m x kmx k ++=，即2(4)0mx k +=， 解得4kx m-=， 设()11,P x y ，则124414km k x k m--==+，故111y kx m m =+=， 因此41(,)k P m m-． 又直线:(0)l y kx m k =+>与圆O相切，可得||OQ =所以||PQ ==所以1||||2OPQS PQ OQ ∆=⋅= 将2241m k =+式代入上式可得OPQS ∆===21321k k =⋅+3112k k=⋅+， 由0k >得12k k+≥，所以313124OPQ S k k∆=⋅≤+，当且仅当1k =时等号成立，即1k =时OPQ S ∆取得最大值．由22415m k =+=，得5m =±， 所以直线l 的方程为5y x =±．10．（某某省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OA CA OC OB BC BA 〈〉=-=-，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA -=-，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形， 又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C 的纵坐标为C y 222132C y =+，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +-+-=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k+=+，2122164834k x x k -=+， 可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+---- 1212124232142()x x k k x x x x +-=-•=-+-+，又263222182k k k -=•=--； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．11．（某某市某某区2019届高三一模数学理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
高考数学一轮复习椭圆作业题 含答案
基础题1． 若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案 4 3解析 ∵点(－2，3)在椭圆上， ∴416＋3b2＝1，即b 2＝4， ∴c 2＝16－4＝12，故2c ＝4 3.2． 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，∵焦点在y 轴上，∴2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.3． 已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23 B.43 C.53 D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.4． 已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6.5． 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.2－22B.22－12C.3－1D.2－1答案 D解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋2c 2b 2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0， 即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1.中档题1． (2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.2． 已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.3． 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.4． 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____________． 答案33解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.6． 已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________． 答案165解析 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.7. 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ， 则椭圆的方程为__________． 答案x 24＋y 22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，F (a 2－b 2，0)．依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2，baa 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b 2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 所求方程是x 24＋y 22＝1.。
高考数学一轮复习全套课时作业8-6椭圆(二)
作业8.6椭圆（二）一、单项选择题1．(2021·辽宁省实验中学期中)已知F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝()A ．6B ．7C ．5D ．82．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为()A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝03．(2021·广州市高三调研)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A(2，0)，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥PA ，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为()A ．(23，±223)B ．(253，±23)C ．(－23，±223)D ．(－253，±23)4．(2021·河北冀州中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.F 2也是抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为()A.5－12B.2－1C ．3－5D.2＋15．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是()A ．3B.11C ．22D.106.(2021·成都七中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)．过F 1(－2，0)作倾斜角为60°的直线l 交上半椭圆于点A ，以F 1A ，F 1O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形OF 1AB ，点B 恰好也在椭圆上，如图，则b 2＝()A.3B ．23C ．43D ．12二、多项选择题7．设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0<m<3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF|＋|BF|为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为68．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ|＝233D ．△PF 2Q 的周长为43三、填空题与解答题9．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．10．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．11．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．12．已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C于A ，B 两点，求直线AB 的斜率．13．(2021·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．14．(2020·贵州毕节市三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E ，若∠F 1AF 2＝60°，则直线BE 的斜率为________．15．(2021·西安八校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为223，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的右焦点，且与x 轴垂直时，|AB|＝23.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．作业8.6椭圆（二）参考答案1．答案D解析本题考查椭圆焦点三角形的周长．由椭圆方程可知a ＝5，由题意可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△ABF 2的周长为4a ＝20.若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝20－12＝8.故选D.2．答案B 解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1x 12＝1，x 22＝1，两式相减得y 12－y 229＋x 12－x 22＝0，得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9x ＋y －5＝0.3．答案A解析设P(x ，y)，由OP ⊥PA ，得OP →⊥PA →，所以OP →·PA →＝(x ，y)·(2－x ，－y)＝x(2－x)－y 2＝0，与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，解得x ＝23y ＝±223，即点P 的坐标为(23，±223)，故选A.4．答案B解析由题意可知，p2＝c ，则p ＝2c.所以E ：y 2＝4cx.因为F 1(－c ，0)，直线AF 1的倾斜角为45°，所以直线AF 1的方程为：y ＝x ＋c.＝x ＋c，2＝4cx ，＝c ，＝2c ，所以A(c ，2c)．因为F 2(c ，0)，所以AF 2⊥F 1F 2.在Rt△AF 2F 1中，|AF 2|＝2c ，|AF 1|＝22c.由椭圆的定义得：|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即22c ＋2c ＝2a ，解得ca ＝2－1.故选B.5．答案D解析设椭圆x 216＋y 24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝d max ＝|－42－2|5＝10.6.答案B 解析依题意可知，c ＝2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为四边形OF 1AB 为平行四边形，所以y 1＝y 2，又x 12a 2＋y 22b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以x 2＝－x 1，又F 1A ∥OB ，且直线F 1A 的倾斜角为60°，所以y 1x 1＋2＝y2x 2＝3，因为y 1＝y 2，x 2＝－x 1，所以x 1＝－1，x 2＝1，y 1＝y 2＝3，所以A(－1，3)，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋3b 2＝1①，又c ＝2，所以a 2－b 2＝c 2＝4②，联立①②解得a 2＝4＋23，b 2＝2 3.故选B.7．答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF ′|＝6为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF 的周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可得A ，B 的坐标为(－332，32)，(332，32)，又∵F(6，0)，∴AF →·BF →＝(6＋332)(6－332)＋(32)2＝0，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，得A ，B 的坐标为(－6，1)，(6，1)，∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确，故选ACD.8．答案ACD解析由已知得，2b ＝2，即b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，∴椭圆方程为y 23＋x 2＝1，如右图，∴|PQ|＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.9．答案－12解析设P 1(x 1，y 2)，P 2(x 2，y 2)，P(x 中，y 中)，由点差法可求出y 2－y 1x 2－x 1＝－12·x 2＋x 1y 2＋y 1＝k 1，即k 1＝－12·x 中y 中，而k 2＝y 中x 中，∴k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12.10．答案3－1解析由直线y ＝3(x ＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a.即e ＝23＋1＝3－1.11．答案5解析方法一：由题意知A ，B ，P 三点共线．①当AB 所在直线斜率不存在时，点B 的横坐标为0，显然此时点B 的横坐标的绝对值不是最大值．②当AB 所在直线斜率存在时，设斜率为k(k ≠0)，则直线AB 的方程y ＝kx ＋1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 2＝m ，kx ＋1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，则Δ＝(8k)2－4(1＋4k 2)(4－4m)＝64mk 2＋16(m －1)>0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k1＋4k 2，x 1x 2＝4－4m 1＋4k 2.①又AP →＝2PB →，故x 1＝－2x 2.②将②代入①得，x 2＝8k 1＋4k 2，x 22＝2m －21＋4k 2，两式相除，整理得kx 2＝m －14.由x 22＝2m －21＋4k2得2m －2＝x 22＋4(kx 2)2＝x 22＋（m －1）24，故x 22＝2m －2－（m －1）24＝－14(m 2－10m ＋9)＝－14(m －5)2＋4.故当m ＝5时，x 22有最大值4，此时点B 横坐标的绝对值最大．方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →x 1＝2x 2，－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B3－2y 2）2＝m ，y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.12．答案2解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k(x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2－2k(k－2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即直线AB 的斜率为 2.13．答案(1)x 24＋y 2＝1(2)9110解析(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)b 2＝3，＋34b 2＝1，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<41＋x 2＝－3m ，1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即OA →·OB →＝x 1x 2＋y1y 2＝x 1x 21＋2＋＝74x 1x 2＋32m(x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m)＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75<4.又|AB|＝1＋34·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m|1＋34＝|m|72，所以S △AOB ＝12|AB|·d ＝12×72×4－m 2×|m|72＝9110.14．答案－34解析由∠F 1AF 2＝60°，可得a ＝2c ，则b ＝a 2－c 2＝3c ，设E(m ，n)，即有m 2a 2＋n 2b 2＝1，则n 2－b 2m 2＝－b 2a 2，∵A(0，b)，B(0，－b)，∴k EA ·k EB ＝n －b m ·n ＋b m ＝n 2－b 2m 2＝－b 2a 2＝－34，又k EA ＝kAF 1＝3，∴k EB ＝－34.15．答案(1)x 29＋y 2＝1(2)不存在，理由略解析(1)＝223，＋19b 2＝1，a 2－b 2，∴a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)(点差法)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为P(x 0，y 0)，椭圆C 的右焦点为F(22，0)，直线l的斜率为k ，直线FP 的斜率为k 12＋9y 12＝9，22＋9y 22＝9，∴(x 1－x 2)·(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 29（y 1＋y 2）＝－x 09y 0，k ′＝y 0x 0－22，∴kk ′＝－x 09（x 0－22）＝－1，即x 0＝924∉(－3，3)，故不存在．。
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。
2023年新高考数学一轮复习9-3 椭圆(真题测试)含详解
专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3B ．6C ．8D ．125．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 17．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12 C ．13 D ．148．（2021·全国·高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ） A ．△ABF 2的周长为定值 B ．AB 的长度最小值为1 C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠= 三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.20.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=c e a ==22b ∴=，所以方程为4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以210a =，28c =，可得5a =，4c =， 所以22225169b a c =-=-=，可得3b =， 所以该椭圆的短轴长26b =， 故选：B.5．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 1290,PF ∠1,||PF =故选D.7．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．148．（2021·全国·高考真题（理））设B是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PB b≤，则C的离心率的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛⎝⎦D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ）A ．△ABF 2的周长为定值B ．AB 的长度最小值为1C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]【详解】因为11AF F B λ=，则A 三点共线，2ABF 周长21=≠，B 错．，则12AF AF ⊥，A 在上、下顶点处，不妨设A解得0x =⎧⎪⎨或，422,-12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠=三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m+--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解 【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴= 即：圆22670x y x +--= 其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 称性将ADE 的周长转化为【详解】∵椭圆的离心率为2213y c =，即2a OF c =，两点，DE 为线段∴ADE 的周长等于24a a a +=四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．【答案】23由2AF FB =可得x 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率 【详解】因为2AF FB =，设A 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅①②①-②得：，1220y y +=，18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）221123x y +=．19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.5520.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．的面积是BPQ 面积的23,x y y kx +=⎧⎨=⎩所以，k 的值为12-．。
椭圆一轮复习(含书后重点习题)
椭圆2018考纲：1. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.2. 了解椭圆的简单应用.3. 理解数形结合的思想.知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．在椭圆的定义中，当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是 ；当2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹 ．知识点二 椭圆的标准方程和几何性质考点一 椭圆的定义及标准方程例1. (1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 .(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.求|AF 2|= .(3)（选修2-1 47页习题A 2(3)）已知焦距为4的椭圆方程 (4)（选修2-1 47页习题A 2(4)）已知长轴长是短轴长的5倍，且过点(6,2)P 的椭圆方程(5)（选修2-1 41页例3）已知,B C 是两个定点, 8BC ,且ABC 的周长等于18,这个三角形的顶点A 的轨迹方程为 .(6).已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，则椭圆C 的方程为____________．(7).（选修2-1 43页练习B 2）已知点(6,0)B 和(6,0)C -,过点B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ,设直线l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k ，如果1249k k ∙=-，点A 的轨迹方程为 . （8）．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．考点二 椭圆的几何性质 方向1 焦点三角形例2.(1).以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2(2).（选修2-1 48页习题B 5）已知点P 为椭圆2214x y +=上任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点那么12PF PF 的最大值 ，2212PF PF +的最小值 .（3）.（选修2-1 47页习题A 5）已知12,F F 是椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12PF F 的面积方向2 椭圆的离心率例2 (1).已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(22，1)B ．(12，1)C ．(0，22)D ．(0，12)(2).已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23D.13(3).椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF →2|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2.则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，22 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎣⎡⎭⎫33，1D.⎣⎡⎭⎫13，12(4) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 .（5）已知椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．e ≤12B ．e ≥14 C.14≤e ≤12 D ．0<e ≤14或12≤e <1方向3 最值问题(1) 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(2) 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，M 为平面内一点，|AM→|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值为________．考点三 直线与椭圆的位置关系例3. （1）.（选修2-1 70页习题A 2）已知点M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的线段AB 的中点，则直线l 的方程为 .（2）.（选修2-1 70页习题A 3） 已知直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，当m 变化时，求AB 的最大值 .（3）.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为2. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，13. 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2＋y 2＝4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则k PBk QF的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－34∪⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，34 C ．(－∞，－1)∪(0,1) D ．(－∞，0)∪(0,1)课时作业55 椭圆一、选择题1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.592．焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率等于22的椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1D.x 28＋y 24＝1 3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．44．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l (斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 35．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)6．如图，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)∪(23，1)二、填空题7过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使得弦被M 点平分，则此弦所在的直线方程为____________．8若曲线x 24＋k ＋y 21－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．9已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，若椭圆C 1的一个焦点为F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．三、解答题10知椭圆的长轴长为6，离心率为13，F 2为椭圆的右焦点．(1)求椭圆的标准方程； (2)点M 在圆x 2＋y 2＝8上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝8的切线交椭圆于P ，Q 两点，判断△PF 2Q 的周长是否为定值并说明理由．11知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.(1)若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；(2)若椭圆E 过点A (0，－2)，直线AF 1，AF 2与椭圆的另一个交点分别为点B ，C ，且△ABC 的面积为50c9，求椭圆E 的方程．(教材习题精选)1.（选修2-1 47页习题A 4）已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，则k =2. （选修2-1 48页习题B 1）已知方程22(37)(34)512m x m y m +++=+表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围 .3. （选修2-1 48页习题B 2）已知点(1,1)A ，而且1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则1PF PA +的最大值是 ，最小值是 .4. （选修2-1 48页习题B 3）已知12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果12PF F 是直角三角形，则点P 的坐标 .5. （选修2-1 48页习题B 4）在Rt ABC 中，1AB AC ==,如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，那么这个椭圆的焦距 .高考题精选 1．（2018全国新课标Ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）A ．B ．CD2.（2018全国新课标Ⅱ理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A. B ． C ． D ．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．（AB 班做）1．(2018·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1211F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 23121314圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．152．（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．3．(2018·河南省南阳、信阳等六市模拟)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上、下顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________．4．(2018·广东惠州一调)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．。
高中数学_椭圆经典练习题_配答案解析
椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）A ．２B ．３C ．５D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )A４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）A. B.C.D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.B.C.D.６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）A.B .C .D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。
A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .1162522=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=2214y x +=51858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2255x ky -=(0,2)k 1-1512221(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=221254x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24y 2221259x y +=2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围_____12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
最新高考数学一轮复习专题：椭圆练习题(含解析)
A基础巩固训练1.【2018年新课标I卷文】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】C【解析】2.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵椭圆方程为因此，椭圆的焦点坐标为．根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时，取最大值，则此时的面积故选B.3.【2018届南宁市高三摸底】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.4.【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】55.【广东省广州市仲元中学2018届七校联合体考前冲刺】已知椭圆的左右焦点是、，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】∵在上的投影的大小恰好为||，∴PF1⊥PF2，B能力提升训练1.【2018届河北省定州市定州中学高三上第二次月考】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况：①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=≥tan60°，解得：0＜k≤．②当椭圆的焦点在y轴上时，k＞4，同理可得：k≥12，∴m的取值范围是（0，]∪[12，+∞）故选：A．2.【山东省济南省2018届二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】3.椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．或【答案】C.【解析】设椭圆的方程为，，分别为其左右焦点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知，.由得，即，再由即可求出离心率的取值范围.4.设椭圆的左右焦点为，作作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于________. 【答案】5. 【2018年天津卷文】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,C思维扩展训练1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上开学】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设顶点和焦点分别为，则直线l方程为,由点到直线的距离公式得，又，所以，故选C.2.【河北省唐山市2019届高三第一次摸底】已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，且，且，则可知，设，则，即,代入椭圆的方程可得又由，则，解答，且，解得，所以椭圆的方程为，故选A.3.已知椭圆的左右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点P，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.以上都不正确【答案】A所以.综上知，选A.4.【广东省佛山市南海区南海中学2018届七校联合体高考冲刺）】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到定直线的距离比为,记动点的轨迹为. (Ⅰ) 求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当的面积为1时，求.【答案】(1) .(2) .【解析】(Ⅰ)设，则，5.如图，已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段的中点在直线上．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）．………………………3分由已知，求得直线的方程为从而（1）又点在椭圆上，故（2）由（1）（2）解得（舍去）或从而所以点的坐标为………………………………………6分（Ⅱ）设因三点共线，故整理得。
2022届高考数学一轮复习专练45椭圆含解析
专练45 椭圆一、选择题1．椭圆x 216＋y 26＝1上一点M 到其中一个焦点的距离为3，则点M 到另一个焦点的距离为()A ．2B ．3C ．4D ．52．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长为()A ．23B ．4 3C ．6D ．123．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b4．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．65．已知椭圆的长轴长为8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是()A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的()A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为()A.13B.12C.22D.2238．设椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积为()A ．3B ．3或32C.32D ．6或39．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1二、填空题10．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值X 围是________．11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[能力提升]13．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为()A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 14．已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为()A.63B.33C.23D.1315．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值X 围是________．16．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．,专练45 椭圆1．D ∵a ＝4，由椭圆的定义知，M 到另一个焦点的距离为2a －3＝2×4－3＝5.2．B 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3．B 由题意得，c a ＝12，∴c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，∴4b 2＝3a 2.故选B.4．C 由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1＋||MF 2＝2a ＝6，所以||MF 1·||MF 2≤⎝⎛⎭⎫||MF 1＋||MF 222＝9(当且仅当||MF 1＝||MF 2＝3时，等号成立)．故选C.5．B ∵2a ＝8，∴a ＝4，e ＝c a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. 6．D ∵c 2＝25－k －(9－k )＝16，∴c ＝4， ∴两曲线的焦距相等．7．C 由题可知椭圆的焦点落在x 轴上，c ＝2，∴a 2＝4＋c 2＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.8．C 由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，若P 为短轴的顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝60，△PF 1F 2为等边三角形， ∴∠P 不可能为直角，若∠F 1＝90°，则|PF 1|＝b 2a ＝32，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝32.9．D不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵∠PF 2F 1＝60°，∴|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ＝2a .∴e ＝2c 2a ＝23＋1＝3－1.10．(3,4)∪(4,5)解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <4或4<k <5，故k 的取值X 围为(3,4)∪(4,5)． 11.35解析：由题意知，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，解得e ＝35或e ＝－1(舍去)．12．3解析：如图，∵PF 1→⊥PF 2→，∴△PF 1F 2为直角三角形， 又△PF 1F 2的面积为9， ∴12|PF 1||PF 2|＝9，得|PF 1||PF 2|＝18， 在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即2(a 2－c 2)＝|PF 1||PF 2|＝18， 得b 2＝a 2－c 2＝9， ∴b ＝3. 13．B由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.14．A 由题意得(0,0)到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为a ，∴2aba 2＋b2＝a ，∴a 2＋b 2＝4b 2，∴a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，∴e ＝63.15.⎣⎡⎭⎫22，1 解析：设P 0为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的上顶点，由题意得∠F 1P 0F 2≥90°，∴∠OP 0F 2≥45°，∴c a ≥sin45°，∴e ≥22，又0<e <1，∴22≤e <1.16.15解析：通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2，0)，所以线段FP 的中点M⎝⎛⎭⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝⎛⎭⎫－2＋m 22＋⎝⎛⎭⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n＝152，所以k PF ＝152－0－32－(－2)＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1，在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2.因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.。
一轮复习大题专练56—椭圆(面积最值问题1)—2022届高三数学一轮复习
一轮复习大题专练56—椭圆（面积最值问题1）（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求OAB∆面积的最大值．解：（1）设椭圆C的方程：22221(0) x ya ba b+=>>，由直线0xmy+=恒过点，所以c=，由24b=，2b=，所以2229a b c=+=，所以22194x y+=；（2）由(1,0)D在椭圆内部，故直线l与椭圆必有两个不同的交点，由题意可知，当直线l垂直于y轴时，显然部成立，设直线l的方程为1x my=+，1(A x，1)y，2(B x，2)y，则221194x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，整理得22(49)8320m y my++-=，则122894my ym+=-+，1223294y ym=-+，所以121211||||||22OABS OD y y y y∆=⨯⨯-=-，所以121 OABS∆====，t ，2t，由14ytt=+在)+∞单调递增，所以14422tt++=，所以92AOBS∆=0m=时，取“=”，所以OAB∆面积的最大值3．满足002P T P P =，且点（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F ，2F 分别作平行直线1l 和2l ，设1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点D ，E ，求四边形ABDE 的面积的最大值．解：（1）设点(,)T x y ，0(P x ，0)y ，则点00(P x ，0)，00(,)PT x x y =-，00(0,)P P y =， 002P T P P=，∴000x x y -=⎧⎪⎨⎪⎩，∴00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点0(P x ，0)y在椭圆C 上，∴222212x y a b+=，即为点T 的轨迹方程． 又点T 的轨迹是过Q 的圆， ∴2222212a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+， 联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(2)210t y ty ++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则△28(1)0t =+>，且1221222212t yy t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以||DE ==，同理||AB =，又1l 与2l的距离为d =所以，四边形ABDE的面积为||S DE d =⨯=u =，则1u ，且2421112S u u u u===++⋅当且仅当1u =，即0t =时等号成立． 所以，四边形ABDE 的面积最大值为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 解：（1）P 到焦点的最大值和最小值分别为：a c +，a c -， 由题意可得13a c a c -=+，① 1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为223b a=②， 又222a b c =+③，由①②③可得24a =，23b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得左焦点1(1,0)F -，假设存在这样的直线AB ，由于直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：1x my =-， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理可得：22(43)690m y my +--=，可得：122643m y y m +=+，122943y y m=-+， 所以2221212122223636121||()4(43)43m m y y y y y y m m +-=+-=+=++，令211m t +=，可得：221m t =-，所以22111313m t t t t+==++，1t 时1()13f t t t =+单调递减，所以1t =时，()f t 最大为14，所以12||y y -的最大值为：11234⨯=， 所以2121211||||23322ABF SF F y y c =⋅-⋅⋅=， 设2ABF ∆的内切圆的半径为r ， 因为2ABF ∆的周长为4428a =⨯=， 21442ABF Sa r r =⋅⋅=， 所以43r ，r 的最大值为34，这时内切圆的半径最大．且2916S r ππ=内切圆， 即存在这样的内切圆的面积的最大值为916π． 4．如图所示，1F 、2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一动点，当点P 在椭圆C 的上顶点时，123cos 5F PF ∠=且2122PF F F ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线2PF 与椭圆C 的另一交点为Q ，过1F 作直线PQ 的垂线l ，l 与圆222x y b +=交于A 、B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）由题意设(0,)P b ，则由余弦定理可得：22212(2)3cos 25a a c F PF a a +-∠==⋅①，212(PF F F c ⋅=，)(2b c -⋅，20)22c ==②，由①②得21c =，25a =，于是2224b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程是：22154x y +=；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，||4AB =，||PQ = 则四边形APBQ， 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，将(1)y k x =-与22154x y +=联立并消去y ，整理得2222(54)105200k x k x k +-+-=，△0>恒成立，则21221054k x x k +=+，212252054k x x k -⋅=+，则||PQ ，由于直线l 与直线PQ 垂直，且经过点1F ，∴直线l 的方程为10x ky ++=，∴点O 到直线l，∴||2AB =，则四边形APBQ的面积：1||||2S AB PQ =⨯⨯===，∴5)2，于是S ∈（当0k =时取得最大值）， 综上可知，四边形APBQ面积的最大值为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知A 、B 、C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积． 解：（1）因为△12PF F的周长是4+12||F F =， 所以12||||4PF PF +=，所以24a =，解得2a =， 又c =，所以222431b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，则222122212216(41)44144414k m m x x k m x x k ⎧⎪=-+⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，又0OA OB OC ++=，所以12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩， 又12121222(2)14my y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+，所以3232814214km x k m y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，将点3(x ，3)y 代入椭圆方程，可得222282()4()41414km m k k +-=++， 化简，可得22414m k =+，又点O 到直线AB 的距离为d =，所以12OABS ∆==，因为0OA OB OC ++=，则点O 为ABC ∆的重心， 所以3ABC OAB S S ∆∆=⋅ 当直线AB 的斜率不存在时，根据坐标关系，可得直线AB的方程为1x=±，此时A，因为点O为ABC∆的重心，所以13312ABC OABS S∆∆==⨯综上所述，ABC∆．点分别为E和F，求EOF∆面积的最小值．解：（1）因为上顶点A坐标为(0,1)，则2221bcaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,a b c===所以椭圆的方程为2214xy+=，设(,)M x y，则2222222116||(1)4(1)213253()33 MA x y y y y y y y=+-=-+-+=--+=-++，故当13y=-时，||MA（2）设(M x，)y，1(P x，1)y，2(Q x，)y，由题意可知PQ斜率存在，且不为0，所以00x y≠，则直线MP和MQ的方程分别为2113bx x y y+=，2223bx x y y+=，因为点M在MP和MQ上，所以有210103bx x y y+=，220203bx x y y+=，则P，Q两点的坐标满足方程2003bx x y y+=，所以直线PQ的方程为2003bx x y y+=，可得20(,0)3b E x 和20(0,)3b F y ， 所以4001||||218||EOFb S OE OF x y ∆=⋅=， 因为22222200b x a y a b +=，222200002||b x a y ab x y +， 所以00||2abx y ， 故430018||9EOFb b S x y a ∆=，当且仅当222222002a b b x a y ==时取“=”， 故EOF ∆面积的最小值为39b a．。
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PF 1F2 30 ，求C的离心率。
求下列椭圆的标准方程
3 1.a 10, e , 焦点在 x轴上； 5
2.焦点 0， -2 2 ， 0,2 2 ，并且过点- 21 ， -3
3,0 3.长轴长是短轴长的 2倍，且经过点
10,0 例1.已知椭圆的焦点 F1，F2分别为-10,0，
且椭圆上的动点 M到两焦点的距离之和为 24
求椭圆的标准方程。
求椭圆的标准方程的方 法： 椭圆上的一点。 定义法：已知两焦点和 位置及一点。 标准方程：确定焦点的 待定系数法整式方程：不确定焦点 的位置，任意两点
x y 例3.过椭圆 2 2 1a b 0右焦点作x轴 a b
垂线交椭圆于 A, B.若 OA OB 0.求离心率。
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x y 变式：椭圆 2 2 1a b 0的左右顶点 a b
分别为A, B，左右焦点分别为 F1，F2。若
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AF F1F2 ， F1B 成等比数列。求离心率 。 1，
x y 设椭圆C : 2 2 1a b 0的左、右焦点 a b 分别为F1，F2，点P是C上的点，PF2 F1F2，
求椭圆的标准方程。
变式：已知 B, C是两个定点， BC 6.且△ABC
的周长等于 16，求定点A的轨迹方程。
例2.已知椭圆经过点 P 6， 1，P2 3， 2 1
求该椭圆的标准方程。
1 1 1 变式：已知椭圆经过点 - ， ， 0， 2 3 3