相似图形的性质
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
第22讲 图形的相似（含答案点拨）
第22讲图形的相似考纲要求命题趋势1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.知识梳理一、比例线段1．比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．2．比例线段的基本性质ab＝cd⇔ad＝bc.3．黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.⎝⎛AC＝5－12AB≈0.618AB，BC＝⎭⎪⎫3－52AB二、相似多边形1．定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．2．性质(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；(2)相似多边形周长的比等于________；(3)相似多边形面积的比等于__________．三、相似三角形1．定义各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；(2)两角对应________，两三角形相似；(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；(4)三边对应成________，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3．性质(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；(3)相似三角形周长的比等于________；(4)相似三角形面积的比等于____________． 四、位似变换与位似图形 1．定义取定一点O ，把图形上任意一点P 对应到射线OP (或它的反向延长线)上一点P ′，使得线段OP ′与OP 的______等于常数k (k ＞0)，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫做________，常数k 叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．2．性质两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．3．画位似图形的步骤 (1)确定位似________；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)； (3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形． 自主测试1．若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1:3，则△ABC 与△DEF 的面积比为( ) A ．1:3 B ．1:9 C ．3:1 D ．1: 32．如图，点F 是ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A ．ED EA ＝DF AB B ．DE BC ＝EF FBC ．BC DE ＝BF BED ．BF BE ＝BC AE3．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA ＝10 cm ，O A ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是__________．4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：(1)△ACB ∽△DCE ； (2)EF ⊥AB .考点一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得S 阴影S 原矩形＝⎝⎛⎭⎫482，S 阴影4×8＝14，S 阴影＝8 cm 2.答案：C方法总结 相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．触类旁通1 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°考点二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD ∥BC ，可得△HED ∽△HBC ，由AB ∥CD ，可得△HED ∽△BEA ，△HFG ∽△BAG .根据相似的传递性，可得△HBC ∽△BEA ，一共有四对相似三角形．答案：C方法总结 判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．触类旁通 2 已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB ，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )A ．都相似B ．都不相似C ．只有(1)相似D ．只有(2)相似 考点三、位似图形【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是( )A ．(3,2)B ．(－2，－3)C ．(2,3)或(－2，－3)D ．(3,2)或(－3，－2)解析：分两种情况计算，即矩形OABC 和矩形OA ′B ′C ′在原点的同侧和两侧． 答案：D方法总结 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似图形所有对应点的连线相交于位似中心．触类旁通3 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1,0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)考点四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm. 乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm ，影长为156 cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)解：(1)如题图，△ABC ∽△DEF ，∴AB DE ＝ACDF.∵AB ＝80 cm ，AC ＝60 cm ，DF ＝900 cm ，∴80DE ＝60900.∴DE ＝1 200 cm ，即DE ＝12 m. 故学校旗杆的高度是12 m.(2)如题图(3)，连接OM ，设⊙O 的半径为r cm.与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156.∴GN ＝208 cm.在Rt △NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602，∴NH ＝260 cm.∵NH 切⊙O 于M ， ∴OM ⊥NH .则∠OMN ＝∠HGN ＝90°.又∠ONM ＝∠HNG ，∴△OMN ∽△HGN .∴OM HG ＝ONHN .又∵ON ＝OI ＋IN ＝OI ＋(GN －GI )＝r ＋8， ∴r156＝r ＋8260，解得r ＝12. ∴景灯灯罩的半径是12 cm.方法总结 应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．触类旁通4 一个铝质三角形框架三条边长分别为24 cm,30 cm,36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm,45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )A ．0种B ．1种C ．2种D ．3种1．(贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL2．(山东聊城)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC ．AD AE ＝ABACD ．S △ABC ＝3S △ADE3．(山东泰安)如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB ＝5，CD ＝3，则EF 的长是( )A．4 B．3C．2 D．14．(重庆)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．5．(湖南娄底)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM＝__________米．6．(湖南张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF的相似比为__________．1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()2．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为()A．2 3 B．3 3C．4 3 D．6 33．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为__________．4．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，则AB的长为__________．(第4题图)5．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6 m ，与树相距15 m ，则树的高度为__________ m.(第5题图)6．如图所示，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3,2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．7．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB __________.8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，点E 在AD 边上且AE ＝8，EF ⊥BE 交CD 于点F .(1)求证：△ABE ∽△DEF . (2)求EF 的长．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 2．C 3．1:24．证明：(1)∵AC DC ＝32，BC CE ＝64＝32，∴AC DC ＝BCCE ．又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ∽△DCE .(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC . 又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°. ∴∠EF A ＝90°，∴EF ⊥AB . 探究考点方法 触类旁通1．A 触类旁通2．A 触类旁通3．D触类旁通4．B (1)假设以27 cm 为一边，把45 cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．则可得：24x ＝30y ＝3627①或24x ＝3027＝36y②(注：27 cm 不可能是最小边)，由①解得x ＝18，y ＝22.5，符合题意；由②解得x ＝1085，y ＝1625，x ＋y ＝1085＋1625＝2705＝54＞45，不合题意，舍去．(2)假设以45 cm 为一边，把27 cm 截成两段，设这两段分别为x cm ，y cm(x ＜y )．则可得：24x ＝30y ＝3645(注：只能是45是最大边)，解得x ＝30，y ＝752，x ＋y ＝30＋37.5＝67.5＞27，不合题意，舍去．综合以上可知，截法只有一种． 品鉴经典考题1．B ∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ， ∴∠E ＝∠K ，故A 错误；∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1， ∴BC ＝2HI ，故B 正确；∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1，∴六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHI JKL 的周长×2，故C 错误； ∵六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2:1， ∴S 六边形ABCDEF ＝4S 六边形GHIJKL ，故D 错误． 故选B.2．D ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ，BC ＝2DE ，故A 正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴AD :AB ＝1:2， 又∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 3．D 连接DE 并延长交AB 于H .∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠A ，∠CDE ＝∠AHE . ∵E 是AC 中点，∴EC ＝AE ， ∴△DCE ≌△HAE ， ∴DE ＝HE ，DC ＝AH . ∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线，∴EF ＝12BH .∵BH ＝AB －AH ＝AB －DC ＝2，∴EF ＝1. 故选D.4．9:1 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴三角形的相似比是3:1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9:1. 5．3.42 根据题意得AO ⊥BM ，NM ⊥BM ，∴AO ∥NM ，∴△ABO ∽△NBM ，∴OA NM ＝OBBM .∵OA ＝1.52米，OB ＝4米，OM ＝5米，∴BM ＝OB ＋OM ＝4＋5＝9(米)，∴1.52NM ＝49，解得NM ＝3.42(米)，∴林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM 为3.42米． 故答案为3.42.6．2:5研习预测试题1．A 2．B 3．2:3 4．10 5．7 6．(1,0)或(－5，－2) 7．略．8．(1)证明：如图，∵EF ⊥BE ，∴∠EFB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 在矩形ABCD 中，∠A ＝90°，∠D ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠A ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DEF .(2)解：在△ABE 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AE ＝8，11 / 11 ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝62＋82＝10. 又∵DE ＝AD －AE ＝12－8＝4， 由(1)得△ABE ∽△DEF . ∴BE EF ＝AB DE. ∴EF ＝BE ·DE AB ＝10×46＝203.。
初中相似图形的教学教案
教案：初中相似图形教学教学目标：1. 让学生理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2. 培养学生运用相似图形解决实际问题的能力。
教学内容：1. 相似图形的定义和性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的图形变换知识，如平移、旋转等。
2. 提问：你们认为什么是相似图形？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似图形的定义：在平面内，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
2. 讲解相似图形的性质：a. 相似图形的对应边成比例。
b. 相似图形的对应角相等。
c. 相似图形的大小可以通过比例关系来计算。
3. 讲解相似图形的判定方法：a. 如果两个图形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个图形相似。
b. 如果两个图形互相旋转或翻转后能够重合，那么这两个图形相似。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题：判断两个图形是否相似。
2. 引导学生通过对应角和对应边的关系来判断图形是否相似。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生通过相似图形的性质和判定方法来解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，让学生明确相似图形的概念和性质。
2. 提问：相似图形在实际生活中有哪些应用？3. 拓展知识：介绍相似图形在几何学中的重要性，如相似三角形的性质和应用。
教学评价：1. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，评估学生对相似图形的理解和应用能力。
北京四中九年级上册数学相似的图形及相似图形的性质--知识讲解
相似的图形及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。
要点诠释：相似图形对应线段的比叫相似比；相似图形的周长比等于相似比；相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比．2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果a c b d =，那么ad bc =. 要点诠释：(1),,,a b c d 叫做这个比例的项，,a d 叫做比例外项，,b c 叫做比例内项；（2）若a :b=b :c ，则2b =ac （b 称为a 、c 的比例中项）．4.比例的性质： （1）合分比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d±±=； （2）等比性质：如果...(...0),a c m b d n b d n ===+++≠ 那么......a c m a b d n b +++=+++. 【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ).A ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmB ．4cm 、8cm 、3cm 、5cmC ．5cm 、15cm 、2cm 、6cmD ．8cm 、4cm 、1cm 、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2.有一块三角形地，它的周长为12m，它的三边为a 、b、c，且438 324a b c+++==，求这块地的面积．【答案与解析】解：由题意得4332123824a ba b cb c++⎧=⎪⎪++=⎨⎪++⎪=⎩，解得，53,4abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∵32+42=52，即b2+c2=a2，∴此三角形为直角三角形，b、c为两直角边，∴S△=12bc=12×3×4=6m2．【总结升华】解答此题的关键是根据题意列出方程组求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解．3. 已知a b c a b c a b cc b a+--+-++==，求()()()a b a c b cabc+++的值.【思路点拨】根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c=0进行讨论．本题还可以设参数法解答．【答案与解析】（1）若a+b+c≠0，由等比定理有若a b c a b c a b cc b a+--+-++===)a b c a b c a b ca b c+-+-+-++++=1，所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有()()()a b a c b c abc +++=222c b a abcg g =8． （2）若a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，c+a=-b ，于是有()()()a b a c b c abc +++=()()()c a b abc---=-1． 【总结升华】本题考查了等比性质：若...,a c m k b d n ==== 那么......a c m k b d n +++=+++. （b+d+…+n ≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．举一反三：【变式】已知xyz ≠0且x y z x y z z y x+++===k ，求k 的值． 【答案】∵xyz ≠0，∴x 、y 、z 均不为0，①当x+y+z ≠0时，∵x y z x y z z y x+++===k ， ∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=-z ，z+x=-y ，y+z=-x ，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形;(2)两个半径不等的圆;(3)两个面积不等的矩形;(4)两个边长不等的正方形.【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 5.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．（1）求AD 的长；（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．【答案与解析】（1）由已知得MN=AB ，MD=12AD=12BC ， ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM MNAB BC =，∵MN=AB ，DM=12AD ，BC=AD ，∴12AD 2=AB 2，∴由AB=4得，AD=42；（2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为224DM AB ==22．【总结升华】考查相似多边形的性质，对应边的比相等．。
相似三角形的基本概念及性质
相似三角形的基本概念及性质相似三角形是平面几何中重要的概念之一。
在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，我们就可以说这两个三角形是相似的。
相似三角形具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍相似三角形的基本概念及其性质。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形具有相同的形状，但是大小不同的情况。
当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长度成比例时，我们可以称这两个三角形为相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比例关系在相似三角形中，对应边的长度是成比例的。
假设两个三角形ABC 和DEF是相似的，他们的对应边分别为AB与DE、AC与DF、BC与EF。
那么我们可以得到以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF2. 相似三角形的对应角相等在相似三角形中，对应角是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么他们的对应角度分别为∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比和面积比在相似三角形中，对应边的长度比例关系可以推导出周长比和面积比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么周长比k和面积比k²。
4. 相似三角形的高比和中线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出高比和中线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么高比k，中线比k。
5. 相似三角形的角平分线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出角平分线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么角平分线比为k。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用：1. 比例测量相似三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的长度。
通过已知长度的比例和相似三角形的性质，我们可以计算出未知长度。
2. 利用相似三角形进行图形的放大和缩小相似三角形的形状相同但尺寸不同，因此可以利用相似三角形进行图形的放大和缩小。
相似图形的比例和相似比
相似比在电路分析中的应用
相似比在力学分析中的应用
相似比在电磁学中的应用
相似比在光学中的应用
基因序列比对：通过比对不同生物的基因序列，研究它们的相似性和差异性，有助于了解物种之间的亲缘关系和进化历程。
生物分类：通过比较不同生物的形态特征和基因序列，可以对生物进行分类和鉴别，确定它们的系统发育关系。Leabharlann 相似比用于雕塑中人物的比例关系
相似比用于建筑设计中的空间布局
相似比用于设计图纸的比例缩放
相似比用于绘制风景画的远近关系
相似比与几何定理的关系
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相似比与射影定理的关系：在几何学中，射影定理描述了相似图形之间的比例关系，而相似比是描述相似图形之间相似程度的量，两者之间存在密切的联系。
对应角相等
对应边成比例
对应高、中线、角平分线等成比例
面积比等于相似比的平方
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似图形的比例
相似比是相似图形中对应边的长度之间的比例关系，也是相似图形中对应角的大小之间的比例关系。
在几何学中，相似比是描述两个相似图形之间相似程度的重要参数。
相似比是描述两个相似图形对应边之间的比例关系的数值。
相似比通常用分数或小数表示，也可以用百分比表示。
定义：相似比是指两个相似图形对应边的长度之比
计算方法：取两个相似三角形的一组对应边长，计算它们的长度之比，即为相似比
性质：相似比是两个相似图形之间唯一的比例关系，可以通过相似比来判断两个图形是否相似
相似比在经济学中的未来发展
相似比在经济学中的重要性
图形的相似与相似比
图形的相似与相似比相似形是几何学中一个重要的概念，它与比例和比例相似有密切的关系。
在本文中，我们将探讨图形的相似性以及如何计算相似比。
一、相似形的定义相似形指的是具有相同形状但不一定有相同大小的两个图形。
换句话说，如果两个图形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，那么它们就是相似形。
二、相似比的计算相似比是用来表示两个相似形之间对应边的长度比例关系的比值。
当我们研究相似形时，相似比是一个重要的参考指标。
计算相似比的方法是将两个相似形中的对应边的长度相除。
具体来说，如果两个相似形的长度比为a:b，那么它们的相似比可以表示为a:b或者a/b。
相似比的计算可以应用于各种图形，包括三角形、矩形、圆形、正多边形等。
通过计算相似比，我们可以了解到两个相似形的大小关系。
三、相似形的应用相似形有广泛的应用领域，包括建筑设计、地图制作、模型制作等。
在这些领域中，相似形的概念和计算相似比的方法都会被经常使用。
在建筑设计中，相似形可以帮助设计师按照既定比例缩放建筑模型，以便更好地展示设计意图。
相似形的概念也可以用于地图制作，帮助我们在保持地理比例的基础上绘制精确的地图。
另外，相似形的概念还在模型制作中得到应用。
例如，当我们制作飞机模型或者汽车模型时，可以通过计算相似比来按比例缩放原型，从而制作出准确的模型。
四、相似形的性质相似形具有一些重要的性质，这些性质对于理解相似形的特点和特性非常重要。
1. 对应角相等：两个相似形的对应角是相等的，即它们的内角度量相等。
2. 对应边成比例：两个相似形的对应边之间的长度比是相等的，即它们的边长成比例。
3. 面积比例的平方：如果两个相似形的边长比为a:b，那么它们的面积比例为a²:b²。
五、相似形的判定判定两个图形是否相似需要满足以下两个条件：1. 角对应相等：两个图形的对应角度相等。
2. 边长成比例：两个图形的对应边长度之比相等。
只有当这两个条件同时满足时，我们才能判定两个图形是相似形。
初中数学 如何判断两个图形是否相似
初中数学如何判断两个图形是否相似要判断两个图形是否相似，我们可以考虑以下几个方法：1. 观察对应角度是否相等：如果两个图形的对应角度相等，那么它们很可能是相似的。
对应角度是指在两个图形中相同位置的角度。
例如，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们可能是相似的。
2. 比较对应边长是否成比例：如果两个图形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
对应边长是指在两个图形中相同位置的边长。
例如，如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们可能是相似的。
3. 使用相似三角形的性质：根据相似三角形的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。
如果两个三角形满足这些性质，那么它们是相似的。
4. 利用比例关系：如果我们知道一个图形的各个部分之间的比例关系，我们可以根据这个比例关系来判断另一个图形是否相似。
比例关系可以是长度比例、面积比例等。
如果两个图形的各个部分之间的比例关系相同，那么它们可能是相似的。
5. 使用相似性判定定理：相似性判定定理是几何学中用来判断两个图形是否相似的定理。
根据不同的定理，我们可以利用一些特定的条件来判断相似性。
例如，AA判定定理指出，如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们是相似的。
需要注意的是，判断两个图形是否相似通常需要多个条件的共同验证。
只有满足所有相似性的条件，我们才能确定两个图形是相似的。
总结一下，判断两个图形是否相似可以通过观察对应角度是否相等、比较对应边长是否成比例、使用相似三角形的性质、利用比例关系和应用相似性判定定理等方法。
在判断过程中，需要注意验证多个条件，确保满足相似性的要求。
第五章图形的相似-相似的判断与性质
相似的判断与性质教学目标掌握相似三角形的判定条件，会证明三角形相似，会利用相似进行计算。
重难点分析重点：1、三角形相似的判定；2、利用相似证明等式；3、利用相似进行计算。
难点：1、三角形相似的证明；2、三角形相似的计算。
知识点梳理1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。
2、相似三角形的判定：（1）如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；（3）如果有两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
A字型 8字型交错型双垂直型3、相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比等于相似比；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方；知识点1：相似的概念及判定【例1】下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是【 】A.ABC ∆中，o A 42=∠，o B 118=∠，C B A '''∆中，，o B 15='∠ B.中，8=AB ，4=AC , o A 105=∠，中，16=''B A ，8=''C B ， C.中，，20=BC ，35=CA ，中，36=''B A ，40=''C B ，70=''A C D.和中，有C B BC B A AB ''=''，C C '∠=∠ 【例2】给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似， ②所有的等边三角形都相似，③所有的直角三角形都相似， ④所有的等腰直角三角形都相似．其中判断正确的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】如图，已知△ABC ，P 为AB 上一点，连接CP ，以下条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是【 】A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．D ．【随堂练习】1、如图，BD 平分∠ABC ，且AB ＝4，BC ＝6，则当BD ＝_________时，△ABC ∽△DBC 。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些独特的性质。
本文将介绍相似三角形的性质，并讨论其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的判定条件有以下几种：1. 三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2. 三角形的对应边成比例：如果两个三角形的对应边之比相等，则它们是相似的。
这可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 两个角相等且夹在两边之间的比例相等：如果两个三角形的两个角分别相等，并且夹在两边之间的比例也相等，则它们是相似的。
这可以表示为∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE = BC/EF。
二、相似三角形具有以下性质：1. 对应边之比相等：如果两个三角形相似，它们的对应边之比相等。
这是相似三角形的最重要性质之一。
2. 对应角相等：如果两个三角形相似，它们的对应角是相等的。
3. 对应角平分线相交于一点：如果两个三角形相似，它们的对应角的平分线交于一点。
4. 对应中线之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应中线之比等于对应边之比。
5. 对应高之比相等：如果两个三角形相似，则它们的对应高之比等于对应边之比。
6. 相似三角形的面积之比等于边长之比的平方：如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边之比的平方。
7. 相似三角形的周长之比等于边长之比：如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可直接测量的物体高度：通过测量相似三角形的一些已知边长和角度，可以推算出无法直接测量的物体的高度。
2. 利用相似三角形进行放缩：在地图制作、建筑设计等领域中，可以利用相似三角形进行放缩和缩小，以便在实际工作中进行精确的测量和设计。
相似图形的性质
《相似图形的性质》一、教学目标：认知目标：探索相似图形的性质，理解相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
知道相似图形的判别方法，会根据相似图形的性质识别两个多边形是否相似。
能力目标:进一步发展学生观察、概括，实践等能力，培养学生分析理解数学问题的能力和运用所学知识解决简单数学实际问题的能力；情感目标:学生通过将地图问题转化为多边形的问题的过程中，体会化归思想。
学生在主动参与观察、实践操作中，发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯。
在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，培养学生的合作习惯。
二、教学重、难点重点：相似多边形的性质难点：理解和应用相似多边形的性质三、教学方法：直观教学法、探究发现法四、教学用具：多媒体、纸片五、教学过程：BC＝的边长b＝5，它们相似吗？请说明理由．①所有的三角形都相似（）②两个等腰三角形相似（）③两个等边三角形相似（）④所有的矩形都相似（）⑤所有正方形都相似（）学生自主完成其目的是让学生加强对新知的理解和应用，培养学生解决问题的能力；（三）巩固提高能力拓展活动：（人人都是设计师）让学生在网格图中设计漂亮的相似图形，看看谁设计得更漂亮。
（同桌之间相互检查画的图形是否是相似图形）在本环节中，一定要充分教师的主导作用，发挥教学评价的激励、调控功能。
（四）小结评价知识提炼在本节课的学习探索中，你学习了哪些知识？你遇到了哪些问题，你是如何解决的？通过提问方式进行小结，交流收获与不足，让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯，有利于帮助学生理清知识脉络，同时明确本节课。
相似三角形的性质
相似三角形的性质在我们的数学世界中，相似三角形就像是一对有着特殊关系的“姐妹花”，它们之间存在着许多有趣且重要的性质。
今天，就让我们一起来深入探究一下相似三角形的那些性质。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小可能不同的三角形。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
首先，相似三角形的对应角是相等的。
这意味着，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的度数是一一对应的，而且完全相同。
比如说，一个三角形的三个角分别是 30°、60°和 90°，那么与它相似的三角形的三个角也必然是 30°、60°和 90°。
这一性质就像是一把钥匙，能够帮助我们快速判断两个三角形是否相似。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么边 AB 与边 A'B' 的比值，等于边 BC 与边 B'C' 的比值，也等于边 AC 与边 A'C' 的比值。
这个比例关系在解决很多几何问题时非常有用。
相似三角形的对应高的比等于相似比。
什么是对应高呢？就是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。
如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们对应边上的高的比也是 k。
比如说，一个三角形的边长是 3、4、5，另一个与其相似的三角形的边长是 6、8、10，相似比为 2。
那么第一个三角形的高是 24，第二个三角形对应边的高就是 48，高的比也是 2。
相似三角形对应中线的比也等于相似比。
中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
相似三角形中，对应中线的长度之比与相似比保持一致。
相似三角形对应角平分线的比同样等于相似比。
角平分线是将三角形一个角平均分成两个相等角的线段。
接下来，我们看看相似三角形的周长比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似与图形的等比性质
相似与图形的等比性质在数学中，相似是一个重要的概念，它指的是两个图形之间具有相同的形状但大小不同。
相似性质在几何学中有着广泛的应用，不仅在解题过程中能够帮助我们简化计算，还能够帮助我们理解图形之间的关系。
本文将重点介绍相似与图形的等比性质，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、相似的定义与判定相似的定义是指两个图形之间对应的角度相等，并且对应的边成比例。
具体而言，对于两个图形A和B，如果存在一个比例因子k，使得A中的任意角度与B中对应角度相等，且A中的任意边与B中对应边的比例都等于k，那么我们可以说A与B相似。
判定两个图形是否相似的方法有多种，其中一种常用的方法是使用角度判定法。
即通过比较两个图形中的对应角度是否相等来判断它们是否相似。
另一种方法是使用边长比例判定法，即通过比较两个图形中的对应边长之比是否相等来判断它们是否相似。
这两种方法可以单独使用，也可以结合使用，以确定两个图形是否相似。
二、相似与图形的等比性质密切相关。
等比性质指的是两个图形之间对应边长之比相等。
在相似的图形中，对应边长之比始终保持不变，这是相似性质的重要特征。
例如，我们有两个三角形ABC和DEF，它们是相似的。
三角形ABC的三条边长分别为a、b、c，而三角形DEF的三条边长分别为x、y、z。
那么根据相似的定义，我们可以得到以下等式：a/x = b/y = c/z这个等式表明，对于相似的三角形，它们的对应边长之比始终相等。
这种等比性质在解决问题时非常有用。
例如，当我们知道三角形ABC的边长，想要求解三角形DEF的边长时，我们可以利用等比性质，通过已知边长和对应边长之比的等式来求解未知边长。
三、相似与比例尺相似性质在实际生活中也有广泛的应用，比如地图的制作。
地图是一种将地球表面缩小到平面上的图形，为了使地图更加方便使用，我们通常会使用比例尺来表示地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例尺是指地图上的一段距离与实际距离之间的比例关系。
三角形相似的性质
三角形相似的性质在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的几何图形。
而三角形相似，则是三角形之间一种特殊的关系，它具有一系列独特而有趣的性质。
接下来，就让我们一起深入探索三角形相似的性质。
首先，我们来明确一下什么是三角形相似。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就被称为相似三角形。
相似三角形就好像是彼此的“放大版”或者“缩小版”，但它们的形状保持不变。
三角形相似的一个重要性质是对应角相等。
这意味着，如果三角形ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
比如说，有两个相似的直角三角形，它们的直角角度始终都是 90 度，其他两个锐角的度数也分别相等。
再来说说对应边成比例这个性质。
假设三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'，那么边 AB 与边 A'B'的比值，等于边 AC 与边 A'C'的比值，也等于边 BC 与边 B'C'的比值。
例如，一个小三角形的三条边分别是 3、4、5，一个大三角形与之相似，且对应边的比例为 2:1，那么大三角形的三条边就分别是 6、8、10。
相似三角形的对应高的比等于相似比。
什么是对应高呢？就是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。
假设两个相似三角形的相似比为 k，那么它们对应边上的高的比也是 k。
比如说，一个三角形的高为 4，另一个与其相似的三角形的相似比为 3:1，那么相似三角形对应的高就是 12。
相似三角形的对应中线的比也等于相似比。
中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
同样，相似比为多少，对应中线的比就是多少。
相似三角形的对应角平分线的比同样等于相似比。
角平分线是将一个角平均分成两个相等角的射线。
还有一个很实用的性质是相似三角形的周长比等于相似比。
引导小学生理解平面图形的相似性质和性质
引导小学生理解平面图形的相似性质和性质在小学数学教学中，平面图形是一个重要的内容。
学习平面图形的性质和相似性质，不仅可以帮助学生提高观察和分析问题的能力，还可以培养学生的逻辑思维和创造力。
本文将从几何形状的相似性质、相似三角形的性质以及平行四边形的性质等方面，引导小学生理解平面图形的相似性质和性质。
首先，我们来讨论几何形状的相似性质。
相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但大小可以不同。
在小学数学中，最常见的相似性质是比例。
比例是指两个数或两个量之间的对应关系。
例如，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
通过比较边长的比例，可以判断两个图形是否相似。
在教学中，可以通过绘制图形，让学生观察图形的边长比例，从而引导他们理解相似性质。
接下来，我们来探讨相似三角形的性质。
相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边的长度之比相等。
在小学数学中，相似三角形的性质是一个重要的概念。
通过研究相似三角形的性质，可以帮助学生理解三角形的形状和大小关系。
在教学中，可以通过绘制相似三角形，让学生观察三角形的对应角和对应边的关系，从而引导他们理解相似三角形的性质。
除了相似性质，平行四边形也是一个重要的内容。
平行四边形是指四边形的对边是平行的。
在小学数学中，平行四边形的性质是一个基础概念。
通过研究平行四边形的性质，可以帮助学生理解四边形的形状和大小关系。
在教学中，可以通过绘制平行四边形，让学生观察四边形的对边是否平行，从而引导他们理解平行四边形的性质。
除了上述内容，还可以通过讨论平面图形的相似性质和性质的应用问题，来帮助学生巩固所学的知识。
例如，可以设计一些实际问题，让学生应用相似性质和性质来解决问题。
通过解决实际问题，可以培养学生的逻辑思维和创造力。
总之，引导小学生理解平面图形的相似性质和性质是一个重要的教学内容。
通过研究几何形状的相似性质、相似三角形的性质以及平行四边形的性质等方面，可以帮助学生提高观察和分析问题的能力，培养他们的逻辑思维和创造力。
确定几何图形的相似条件
确定几何图形的相似条件在数学中，几何图形的相似是指两个图形形状相似而大小不同的性质。
确定几何图形的相似条件是一项重要的任务，它帮助我们理解形状的变化以及图形之间的关系。
本文将介绍几何图形相似的条件以及如何确定它们。
一、几何图形的相似条件几何图形的相似条件有两个重要的方面：边的比例相等和角的对应相等。
1. 边的比例相等：当两个几何图形相似时，它们的对应边的比例相等。
换句话说，如果图形A与图形B相似，则可以找到一个常数k，使得图形A中的每条边与图形B中的对应边的比例都等于k。
这个比例可以用如下公式表示：AB/DE = AC/DF = BC/EF = k其中AB和DE是图形A和B的对应边，AC和DF是对应边，BC和EF是对应边。
2. 角的对应相等：当两个几何图形相似时，它们的对应角是相等的。
如果图形A与图形B相似，则图形A中的每个角与图形B中的对应角相等。
这意味着它们的内角、外角和顶角都相等。
二、确定几何图形的相似性确定几何图形的相似性需要进行一系列的步骤和判断。
1. 判断两个图形是否有相同的形状。
如果两个图形的形状不同，它们就不能被认为是相似的。
2. 比较图形的边长。
如果两个图形的各对应边的比例相等，那么它们就满足了边的相似条件。
3. 比较图形的角度。
如果两个图形的对应角相等，那么它们就满足了角的相似条件。
通过比较边长和角度，我们可以确定两个几何图形是否相似。
当然，在实际问题中，可以使用更多的几何测量方法来验证和确定图形的相似性。
三、应用几何图形相似条件几何图形的相似性条件不仅仅是理论上的概念，它们在实际中有广泛的应用。
1. 测量不规则图形的长度和角度：通过测量不规则图形的长度和角度，我们可以使用相似性条件来计算其其他边和角的大小。
2. 建立三角形比例模型：当我们面对无法直接测量的大型或复杂的图形时，可以使用三角形比例模型来近似计算。
通过找到一个已知的相似三角形，我们可以将其边长和角度应用于目标图形，并进行比例计算。
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P112习题 习题4.5 习题 第1、2、3题（抄题画图） 、 、 题 抄题画图）
• 《伴你学数学》 伴你学数学》 课堂小结 P48—49练习五 练习五 作业布置
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相似多边形对应边的比叫做相似比 相似比与叙述的顺序有关. 相似比与叙述的顺序有关
相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 对应角相等
能对应相等，它们的各边可能对应成比例 能对应相等，它们的各边可能对应成比例.
作业布置 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可 如果两个多边形不相似，
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• 例 下列每组图形形状相同，它们的 下列每组图形形状相同， 对应角有怎样的关系？对应边呢？ 对应角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF； 正三角形ABC与正三角形DEF； ABC与正三角形DEF
解：（1）由于正三角形每个角都等于 ：（ ） 600，所以∠A=∠D= 600，∠B=∠E= 所以∠ ∠ ∠ D 600， ∠C=∠F= 600； ∠
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议一议——返过来会怎样？ 返过来会怎样？ 议一议 返过来会怎样
• 如果两个多边形相似，那么它们的对应 如果两个多边形相似， 角有什么关系？对应边呢？ 角有什么关系？对应边呢？
做一做
一块长3m、 一块长 、宽 1.5m的矩形黑板 的矩形黑板. 的矩形黑板
学习是件很充实的事！
镶在其外围的木质边框7.5cm.边框的内 边框的内 镶在其外围的木质边框 外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
直观有时候是不可靠的 直观有时候是不可靠的. 不可靠 它们不相似，因为对应边不成比例.
解：（2）由于正方形每个角都是直角，所 ：（ ）由于正方形每个角都是直角， 获得新知 以∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠ ∠ 知识应用 ∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900； ∠ ∠
巩固练习由于正方形四边相等，所以 由于正方形四边相等， 课堂小结 作业布置 E A B D C F （2） G H
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例.
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看一看， 看一看，议一议
）、观察下面两组图形 （1）、观察下面两组图形，图4-12（1）中 ）、观察下面两组图形， （ ） 的两个图形相似吗？为什么？ 的两个图形相似吗？为什么？图4-12（2）中 （ ） 的两个图形呢？与同桌交流. 的两个图形呢？与同桌交流
A
由于正三角形三边都相等， 由于正三角形三边都相等， 所以 AB BC CA B
. DE EF FD （2）正方形ABCD与正方形EFGH. 正方形ABCD与正方形EFGH. ABCD与正方形
=
=
C E （1）
F
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（2）正方形ABCD与正方形EFGH. 正方形ABCD与正方形EFGH. ABCD与正方形
记作如：六边形 记作如：六边形ABCDEF∽六边形 1B1C1D1E1F1 ∽六边形A
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相似多边形对应边的比叫做相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比
如：六边形ABCDEF∽六边形 1B1C1D1E1F1 六边形 ∽六边形A
A1 A B C F1 B1 C1
AB BC CD DA = = = . EF FG GH HE
• 形状相同的图形，它们的对应角有怎 形状相同的图形， 样的关系？对应边呢？ 样的关系？对应边呢？
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获得新知
各对应角相等、各对应边成比例 对应角相等、 的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形. 的两个多边形叫做相似多边形 注意：记两个多边形相似时， 注意：记两个多边形相似时，要把对应顶 点的字母写在对应的位置. 点的字母写在对应的位置.
F 六边形ABCDEF与六边形 E D 六边形 与 E1 D1 课堂小结 A1B1C1D1E1F1的相似比 （1） （1） 为 K1 = 1 作业布置 图4-11 2 六边形A 六边形ABCDEF的相似比为 2=2 的相似比为K 六边形 1B1C1D1E1F1与六边形 的相似比为
你注意到没有，相似比与叙述的顺序的关系？ 你注意到没有，相似比与叙述的顺序的关系？
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读一读——纸张的大小
• 见课本 见课本111页 《 读一读 》 页 读一读》
生活中的数学无处 不在，只要你愿意 去发现，其乐无穷.
用你的学习用纸，来实 地操作验证一下！
小结
回顾交流
• 各对应角相等、各对应边成比例的两个 对应角相等、 对应边成比例的两个 情境引入 多边形叫做相似多边形 多边形叫做相似多边形
八年级数学（下）第四章 相似形
4 相似多边形
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D
E
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A B C
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F E A
情境引入
A' B F' C D E' D' C' B'
画板演示
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结论： 结论： 六边形ABCDEF与六边形 六边形 与六边形 A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形； 是形状相同的图形； 它们的六个角都分别相等 分别相等， 它们的六个角都分别相等，称为 对应角；六条边的比都相等 相等， 对应角；六条边的比都相等，称 对应边. 为对应边
12 12 （1）
10 图4-12 10
8
（2）
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）、如果两个多边形不相似 （2）、如果两个多边形不相似，那么它们 ）、如果两个多边形不相似， 的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对 的各角可能对应相等吗？ 应成比例吗？ 应成比例吗？
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